Funciones de-varias-variables

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
MATEMATICAS III
GUÍA DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES
1. Halle el Dominio de las siguientes funciones:
( ) ( )4ln, −= xyyxf ( ) 22
44, yxyxf −−=
( )
y
yx
yxf
1
,
22
+−
= ( ) ( )221
1, yxsenyxf −−= −
( ) yxyxf +=, ( ) 





+
+
= −
2
2
1
1
1
tan,
y
x
yxf
2. Grafique algunas Curvas de Nivel para cada una de las siguientes funciones.
( ) yxyxf −=, ( ) ( )yxyxf −= ln, ´
( ) 22
925, yxyxf −−= ( ) 22
2
,
yx
x
yxf
+
=
( ) xyyxf =,
22
),( yx
eyxf −−
=
3. Demuestre usando la definición de Límite
( ) 1042lim 22
)1,3(,
=−+−
→
yxyx
yx
( ) 53lim 2
)2,1(,
=+
→
yx
yx
( ) 2lim 22
)1,1(,
=+
→
yx
yx
( ) 42lim 2
)4,2(,
−=−+
−→
yxx
yx
4. Use la definición para hallar las derivadas de primer orden a las siguientes funciones.
( ) 332
3, xyxyxyxf −−= ( )
y
x
yxf
2
3
, =
( ) 222
,, zyxzyxf +−= ( ) xzzyyxzyxf 222
,, ++=
5. Obtenga las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.
Profesor CRISTIAN CATILLO

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxyzxxzyzzy
zzyyxxzyxf +++++=,,
• ( ) 





−





=
y
x
Arc
x
y
Arcsenyxf cos,
• ( ) ( ) 4ln2222
ln,, eeezyxf xyzzyx
−=
• ( ) 3
12
, 





= −
zy
xyz
senyxf
• ( ) ( ) ( )mn
nmnmf 11, ++=
• ( ) 





−
= 22
2
,
yx
xy
Arctagyxf
6. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө y = rsenө. Demuestre que:
r
senu
cos
r
u
x
u θ
θ
θ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y r
cosu
sen
r
u
y
u θ
θ
θ
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
7. Demuestre que si u = ln ( x2
+ y2
) y 





= −
x
y
tanv 1
y
v
2
x
u
∂
∂
=
∂
∂
2
y
u
x
v
∂
∂
−=
∂
∂
8. Sea z una función de 2 variables tal que
2
1
y
x
z
=





. Demuestre que:
0
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
9. Si 





= −
y
x
tanz 1
, donde x = u sen v y = u cos v.
Demuestre que
u
z
∂
∂
= 0 y
v
z
∂
∂
= 1
10. Sea 





+= xy
y
x
t Halle
x
t
∂
∂
, y
t
∂
∂
11. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que: 







−=












−
y
1
ln2
x
1
ln2
ee
y
x
)y,x(f
Demuestre que: ( )y,xf4
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
−
∂
∂
12. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:






−−
=
2
x
1
ln
2
1
yln2
e
y
x
)y,x(f

Demuestre que: ( )y,xf4
y
f
y
x
f
x 2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
13. Sea ( )xy22
e,yxfz −= , Halle
x
z
∂
∂
, y
z
∂
∂
14. Sea y
xz = , )x(y ϕ= Halle
x
z
∂
∂
15. Sea y una función de dos variables tal que: y + z = x + ln(y), Halle 2
2
x
y
∂
∂
16. Sea y una función de dos variables de modo que: 





=++ −
x
y
tankzyxln 1222
, tal
que k = ctte, Halle 2
2
x
y
∂
∂
17. Demuestre que la función x
y
xexyz += , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
18. Demuestre que la función zy
yx
xu
−
+
+= , satisface la ecuación:
1
z
u
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
19. Sea ( )






−
= t
r
z
ettrf
ln
, , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
f
tt
r
t
f 12
19. Demuestre que la función 





+=
x
y
fxxyz , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
20. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө, y = rsenө. Demuestre que:
2
2
2
2
2
2
22
2
y
u
x
uu
r
1
r
u
r
1
r
u
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
21. Demuestre que si )y,x(fw = , y que x = rcosө, y = rsenө.

2
2
222
w
r
1
r
w
y
w
x
w






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
+





∂
∂
θ
22. Sea z una función de dos variables tal que, ( ) 4ln2xyzzyx
eeeln
222
= Halle
x
z
∂
∂
, y
z
∂
∂
23. Sea 





+=
x
y
hxy)xy(fw Halle y
w
∂
∂
,
x
w
∂
∂
24. Sea
x
y
y
x
)y,x(f 





= Demuestre que: 0
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
25. Sea z una función de dos variables tal que, )e2ln(
y
x 4
z
=





Demuestre que: 0
y
z
y
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
26. Sea ( )xyf
y
x
w = Demuestre que: w2
y
w
y
x
w
x =
∂
∂
−
∂
∂
27. Sea 





=
x
y
fxyw Demuestre que: w2
y
w
y
x
w
x =
∂
∂
+
∂
∂
28. Sean u y v funciones de “x” e “y” tal que:



=
+=
yuv
yxu
Halle y
u
∂
∂
,
x
u
∂
∂
, y
v
∂
∂
,
x
v
∂
∂
, 2
2
x
u
∂
∂
, 2
2
y
u
∂
∂
,
xy
u2
∂∂
∂
29. Sea ( ) ( )yyx
xegey,xf +
= . Donde g(x,y). Demuestre que: )yx(z
y
f
y
x
f
x −=
∂
∂
−
∂
∂
30. Sea z una función de dos variables tal que: x + y + z = xyz

Demuestre que:
( ) x
z
xy1
y2
x
z
2
2
∂
∂
−
=
∂
∂
( ) y
z
xy1
x2
y
z
2
2
∂
∂
−
=
∂
∂
31. Demuestre que la función 





+=
x
y
fxxyz , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
33. Verifique si ( ) )()cos(, kxsenkatAtxf = , cumple con:
2
2
2
2
2
x
f
a
t
f
∂
∂
=
∂
∂
; siendo A,a,k constantes
34. Sea 





++++ ztngex
zyx
f y
ln,
111
, halle y
f
∂
∂
,
x
f
∂
∂
35. Sea ( ) t
r
z
ettrf 4
2
,
−
= , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
f
r
rrt
f 2
2
1
32. Halle los extremos relativos e identifíquelos, para cada una de las funciones,
• ( ) 2244
242, yxyxyxyxf −+−+=
• y
y
x
x
yxf ++=
8
),(
• ( )
22
, yx
exyyxf −−
=
• )6(),( 23
yxyxyxf −−=
• yxyxyxyxf −−++= 2),( 22
• )2(),( 22
yxeyxf yx
−= −
• 22
2)1(),( yxyxf +−=
• 22
3),( xyyxxyyxf −−=
• ( )
1
4
, 22
++
−
=
yx
x
yxf

33. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos condicionados de
las siguientes funciones con sus respectivas restricciones
• f(x,y) = 4x2
+ 2y2
+ 5, con la restricción x2
+ y2
= 24
• f(x,y) = x2
y con la restricción x2
+ 8y2
- 24
• f(x,y) = 4xy, con la restricción x2
+ y2
= 4
• f(x,y) = x + 2y, con la restricción x2
+ y2
= 5
• f(x,y,z) = x - 2y + 2z, con la restricción x2
+ y2
+ z2
= 9
• f(x,y,z) = xyz, con la restricción x + y + z = 5 y xy + yz + zx =8
• f(x,y) = cos 2
x + cos 2
y, con la restricción y - x =
4
π
• xy
eyxf =),( , con la restricción x2
+ y2
= 8
• ,),( 22
yxyxf += con la restricción 2x + 4y = 15
.

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