Puntos y VEctores

1. Escuela de Ingeniería Mecánica
PUCV
Ingeniería Mecánica
DINÁMICA
ICM3010
Profesor:
Roberto Iquilio Abarzúa
Roberto.iquilio@pucv.cl

2. Capítulo 1. Puntos y Vectores en Mecánica.
1. Sobre “puntos” del espacio euclídeo.
2. Sobre “vectores” en Mecánica
3. Relación entre “puntos” y “vectores”
4. Las “flechas” como elementos de un “Espacio Vectorial”
5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽
6. Concepto de base y representación para 𝑽
7. Sistema de Referencia para el Espacio Euclídeo 𝔼3

3. Puntos y Vectores en Mecánica
• En la asignatura de Álgebra Lineal (que es paralela a la de Estática), se estudia
los conceptos de:
- Escalares, como “conjunto de elementos” con característica de “cuerpo”.
Ejemplo: los números reales de ℝ o los complejos de ℂ.
- Vectores, como elementos de un “Espacio Vectorial”.
- Espacios vectoriales definidos “sobre” un cierto “cuerpo escalar”.
Ejemplos: existen espacios vectoriales formados por “matrices”, por
“polinomios”, por “tríos ordenados” en ℝ3
y muchos otros.
• El enfoque con el que allí se definen los vectores es muy general.
• Nos interesa enfocar el concepto de “vector” hacia la Mecánica Racional.
• Además, es importante agregar el concepto de “punto”.
3
Motivación

4. Puntos y Vectores en Mecánica
• Un punto 𝒙 es una ubicación o lugar del espacio que no tiene volumen,
tamaño ni orientación.
Ejemplos: - El centro de gravedad del Sol.
- La intersección de los ejes de dos calles.
- El centro de la cancha de fútbol del estadio Sausalito.
• Los puntos NO requieren de un sistema de referencia (o sistema de
coordenadas).
• Todos los puntos son igualmente “importantes”.
4
1.1. Sobre “puntos” del espacio euclídeo
El “espacio Euclídeo de puntos en 3D”, que denotaremos 𝔼3, es el conjunto
formado por todos los puntos del espacio tridimensional.

5. 5
Puntos y Vectores en Mecánica
• Un vector 𝐯 es una flecha recta que puede ser ubicada en cualquier lugar
del espacio.
• Los vectores (flechas) tienen magnitud, dirección y sentido.
Si 𝐯 es un vector:
• La magnitud de 𝐯 es la longitud de la flecha, y
se denota 𝐯 .
• La dirección de 𝐯 es la recta que contiene a la
flecha (es decir, es su “línea de acción”).
• El sentido de 𝐯 es la orientación de la flecha
en su línea de acción.
• Se dice que un vector 𝒆 es unitario si 𝒆 = 1
Ejemplo:
Los vectores 𝐯 y 𝐰 :
• Tienen igual magnitud: 𝐯 = 𝐰 > 0
• Tienen igual dirección.
• Tienen sentidos opuestos.
𝐯
𝐰
Línea de acción
1.2. Sobre “vectores” en Mecánica

6. V
6
Puntos y Vectores en Mecánica
Sean 𝒙 e 𝒚 dos puntos en 𝔼3.
Sean 𝐮 y 𝐯 dos vectores.
Entonces:
• La diferencia 𝒙 − 𝒚 de dos puntos es un vector,
dirigido desde 𝒚 hacia 𝒙:
𝒙 − 𝒚 = 𝐯 ∈ 𝑽
• La suma 𝒙 + 𝐮 de un punto y un vector es un
nuevo punto en 𝔼3:
𝒙 + 𝐮 = 𝒚 ∈ 𝔼3
• La suma 𝒙 + 𝒚 de dos puntos NO está definida.
• La suma 𝐮 + 𝐯 de vectores es un vector en 𝑽:
𝐮 + 𝐯 ∈ 𝑽
1.3. Relación entre “puntos” y “vectores”
𝒙
𝒚
𝐯 = 𝒙 − 𝒚
𝒙
𝒚 = 𝒙 + 𝐮
𝐮
La suma se realiza a través de la
“regla del paralelogramo”.

7. Puntos y Vectores en Mecánica
7
• Las operaciones de “suma de vectores” y de “multiplicación de vector por
escalar” se definen del siguiente modo:
➢ Suma de vectores → Regla del paralelogramo:
1.4. Las “flechas” como elementos de un “Espacio Vectorial”
➢ Multiplicación por escalar → Escalamiento de la longitud de la flecha y,
posiblemente también, cambio de su sentido:
𝐯
𝐮 𝐮
𝐮 + 𝐯
𝐯
Sea 𝑎 ∈ ℝ un escalar y 𝐯 un vector.
Entonces el producto 𝑎𝐯 es un nuevo vector tal que:
-- Si 𝑎 > 0 entonces 𝐯 y 𝑎𝐯 tienen igual dirección y sentido.
-- Si 𝑎 < 0 entonces 𝐯 y 𝑎𝐯 tienen igual dirección pero sentidos opuestos.
-- La magnitud de 𝑎𝐯 es: 𝑎𝐯 = 𝑎 𝐯

8. Puntos y Vectores en Mecánica
8
• Con las definiciones dadas anteriormente para las operaciones de “suma de
vectores” y de “producto de vector por escalar”, se tiene que:
El conjunto 𝑽 de todas las flechas forma un espacio vectorial sobre
el cuerpo escalar ℝ de los números reales.
• La razón de que 𝑽 sea un espacio vectorial, es que estas operaciones de suma
y producto por escalar satisfacen los 7 axiomas que definen un espacio
vectorial real:
-- 4 axiomas para la suma de vectores.
-- 3 axiomas para el producto de vector por escalar.
1.4. Las “flechas” como elementos de un “Espacio Vectorial”

9. Puntos y Vectores en Mecánica
9
Los axiomas que definen a 𝑽 como espacio vectorial real son:
(I) La suma de vectores basada en la regla del paralelogramo:
1.- Es conmutativa: 𝐯 + 𝐰 = 𝐰 + 𝐯
2.- Es asociativa: 𝐮 + 𝐯 + 𝐰 = 𝐮 + 𝐯 + 𝐰
3.- Existe un “vector cero”, 𝟎 ∈ 𝑽, tal que: 𝐯 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐯 = 𝐯
4.- Para cada 𝐯 ∈ 𝑽 existe −𝐯 ∈ 𝑽 tal que: 𝐯 + −𝐯 = 𝐯 − 𝐯 = 𝟎
NOTAS: El vector 𝟎 es único en 𝑽.
El vector 𝟎 es la única flecha en 𝑽 con longitud nula y dirección indefinida.
1.4. Las “flechas” como elementos de un “Espacio Vectorial”

10. Puntos y Vectores en Mecánica
10
Los axiomas que definen a 𝑽 como espacio vectorial real son:
(II) El producto de vector por escalar:
5.- Es asociativo: 𝑎𝑏 𝐯 = 𝑎 𝑏𝐯
6.- Distribuye sobre escalares: 𝑎 + 𝑏 𝐯 = 𝑎𝐯 + 𝑏𝐯 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
7.- Distribuye sobre vectores: 𝑎 𝐯 + 𝐰 = 𝑎𝐯 + 𝑎𝐰
1.4. Las “flechas” como elementos de un “Espacio Vectorial”

11. Puntos y Vectores en Mecánica
11
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

12. Puntos y Vectores en Mecánica
12
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

13. Puntos y Vectores en Mecánica
13
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
Sean 𝐮 y 𝐯 dos vectores en 𝑽
Definición:
El producto escalar o producto punto o producto interno entre 𝐮 y 𝐯 es un
número real que se obtiene como:
𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ∈ ℝ , donde 𝜃 = ∡ 𝐮, 𝐯 ∈ 0, 𝜋
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽
𝐮
𝐯
𝜃
𝐯 cos 𝜃
𝐮

14. Puntos y Vectores en Mecánica
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1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
Sean 𝐮, 𝐯 y 𝐰 tres vectores en 𝑽, y sean 𝛼, 𝛽 dos números.
PROPIEDADES:
P1. El producto interno es conmutativo: 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐯 ∙ 𝐮
P2. El producto interno 𝐮 ∙ 𝐮 es no-negativo: 𝐮 𝟐
= 𝐮 ∙ 𝐮 ≥ 0
P3. El producto interno 𝐮 ∙ 𝐮 es satisface: 𝐮 ∙ 𝐮 = 0 ⇔ 𝐮 = 𝟎
P4. Multiplicación por escalar: 𝛼𝐮 ∙ 𝐯 = 𝛼𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ 𝛼𝐯
P5. El producto interno es lineal: 𝛼𝐮 + 𝛽𝐯 ∙ 𝐰 = 𝛼𝐮 ∙ 𝐰 + 𝛽𝐯 ∙ 𝐰
𝐮 ⋅ 𝛼𝐯 + 𝛽𝐰 = 𝛼𝐮 ∙ 𝐯 + 𝛽𝐮 ∙ 𝐰
OBSERVACIÓN: El producto punto entre dos vectores unitarios ෝ
𝒂 y ෡
𝒃 es el coseno
del ángulo entre ellos:
ෝ
𝒂 ∙ ෡
𝒃 = cos 𝜃 , donde 𝜃 = ∡ ෝ
𝒂, ෡
𝒃 ∈ 0, 𝜋
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

15. Puntos y Vectores en Mecánica
15
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽
• Con esta definición de producto interno y de norma, se dice que 𝑽 es un “espacio
vectorial euclídeo”, ya que si 𝐮 = 𝒙 − 𝒚, la norma de 𝐮 permite definir la “distancia”
entre dos puntos 𝒙 e 𝒚 de 𝔼3.
• Esta definición de norma de 𝐮 en ocasiones se denomina “norma euclídea”.
Definiciones (ortogonalidad y norma)
1. Se dice que dos vectores 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑽 son “ortogonales” si y sólo si:
𝐮 ∙ 𝐯 = 0
2 Las propiedades (P2) y (P3) permiten definir la “norma” de un vector 𝐮 ∈ 𝑽,
que coincide con su magnitud, como:
𝐮 ≡ 𝐮 ∙ 𝐮 ≥ 0
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores

16. Puntos y Vectores en Mecánica
16
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

17. Puntos y Vectores en Mecánica
17
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

18. Puntos y Vectores en Mecánica
18
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
Sean 𝐮 y 𝐯 dos vectores en 𝑽
Definición:
El producto vectorial entre 𝐮 y 𝐯 es un nuevo vector 𝐮 × 𝐯 en 𝑽 tal que:
• Su magnitud es:
𝐮 × 𝐯 = 𝐮 𝐯 sen 𝜃 ∈ ℝ+ , donde 𝜃 = ∡ 𝐮, 𝐯 ∈ 0, 𝜋
• Su dirección es simultáneamente perpendicular a la de 𝐮 y a la de 𝐯, siguiendo la
“regla de la mano derecha”:
𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐮 = 𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐯 = 0
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

19. Puntos y Vectores en Mecánica
19
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
PROPIEDADES:
P6. La magnitud de 𝐮 × 𝐯 representa el área del
paralelogramo definido por las flechas de 𝐮 y de 𝐯
P7. El producto cruz es anti conmutativo, es decir:
𝐮 × 𝐯 = − 𝐯 × 𝐮
P8. El producto cruz entre dos vectores paralelos es nulo.
Es decir:
𝐮 × 𝛼𝐮 = 𝟎 ∀𝛼 ∈ ℝ
𝐮
𝐯
Área = 𝐮 × 𝐯
𝜃
𝐮 × 𝐯
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

20. Puntos y Vectores en Mecánica
20
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

21. Puntos y Vectores en Mecánica
21
1. El “producto interno” o “producto escalar” de dos vectores
2. El “producto cruz” o “producto vectorial” de dos vectores
3. El “producto mixto” de tres vectores
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

22. Puntos y Vectores en Mecánica
22
3. El “producto mixto” de tres vectores
Sean 𝐮, 𝐯 y 𝐰 tres vectores en 𝑽
Definición:
El producto mixto entre 𝐮, 𝐯 y 𝐰 es el número dado por: 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 ∈ ℝ
𝐮
𝐯
𝐰
Vol = 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰
𝐯 × 𝐰
PROPIEDAD:
P9. El valor absoluto 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 representa el volumen del paralelepípedo
definido por las flechas de 𝐮, 𝐯 y 𝐰
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

23. Puntos y Vectores en Mecánica
23
3. El “producto mixto” de tres vectores
Sean 𝐮, 𝐯 y 𝐰 tres vectores en 𝑽
DEFINICIONES:
• Se dice que el conjunto 𝐮, 𝐯, 𝐰 forma una tríada con orientación positiva
si y sólo si:
𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 > 0 (orient. positiva = orientación de “mano derecha”)
• Análogamente, 𝐮, 𝐯, 𝐰 forman una tríada con orientación negativa si y
sólo si:
𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 < 0 (orient. negativa = orientación de “mano izquierda”)
1.5. Algunas operaciones entre vectores de 𝑽

24. Puntos y Vectores en Mecánica
24
Definiciones:
• Una “base” del espacio 𝑽 es un subconjunto 𝑩 ⊂ 𝑽 formado por tres vectores
linealmente independientes.
• Tres flechas (vectores) son linealmente independientes (LI) si y sólo si NO son
coplanares.
• Por lo tanto, cualquier conjunto de tres flechas NO coplanares forma una base para 𝑽.
PROPIEDAD:
P10. Tres vectores 𝒃1, 𝒃2 y 𝒃3 son NO coplanares (es decir, son LI) si y sólo si:
𝒃𝑖 ⋅ 𝒃𝑗 × 𝒃𝑘 ≠ 0 ∀ 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 1,2,3 con 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑘 ≠ 𝑖
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽

25. Puntos y Vectores en Mecánica
25
Sea 𝑩 = 𝒃1, 𝒃2, 𝒃3 una base para 𝑽. Entonces:
• Todo vector 𝐮 en 𝑽 se puede representar como una combinación lineal de los
vectores de la base 𝑩. Es decir:
∀ 𝐮∈𝑽, ∃ 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 ∈ ℝ tal que:
𝐮 = 𝑢1𝒃1 + 𝑢2𝒃2 + 𝑢3𝒃3 = ෍
𝑖=1
3
𝑢𝑖𝒃𝑖
Definiciones:
• Se dice que los vectores 𝑢1𝒃1, 𝑢2𝒃2 y 𝑢3𝒃3 son las “componentes vectoriales de
𝐮 referidas a la base 𝑩”.
• Se dice que los números 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 son las “componentes escalares de 𝐮
referidas a la base 𝑩”.
• O, simplemente: 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 son las “componentes de 𝐮 en 𝑩”.
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽

26. Puntos y Vectores en Mecánica
26
Interpretación geométrica de la representación de un vector en una base
Sea 𝑩 = 𝒃1, 𝒃2, 𝒃3 una base para 𝑽.
Sea 𝐮 = σ𝑖=1
3
𝑢𝑖𝒃𝑖 un vector cualquiera en 𝑽.
Entonces:
𝐮 = 𝑢1𝒃1 + 𝑢2𝒃2 + 𝑢3𝒃3
𝑢3𝒃3
𝑢2𝒃2
𝑢1𝒃1
𝒃1
𝒃2
𝒃3
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽

27. Puntos y Vectores en Mecánica
27
Sea 𝑩 = 𝒃1, 𝒃2, 𝒃3 una base para 𝑽.
Definiciones:
• Se dice que 𝑩 es una base ortogonal si y sólo si 𝒃1, 𝒃2 y 𝒃3 son mutuamente
perpendiculares. Es decir:
𝒃𝑖 ∙ 𝒃𝑗 = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 con 𝑖, 𝑗 ∈ 1,2,3
• Se dice que 𝑩 es una base ortonormal si y sólo si es ortogonal y sus elementos
son vectores unitarios:
𝒃𝑖 = 1 ∀ 𝑖 ∈ 1,2,3
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽
Bases ortonormales y componentes cartesianas de un vector

28. Puntos y Vectores en Mecánica
28
Sea 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌 una base ortonormal para 𝑽
Sea 𝐮 = 𝑢1 Ƹ
𝒊 + 𝑢2 Ƹ
𝒋 + 𝑢3
෡
𝒌 un vector cualquiera en 𝑽.
Definición:
• Se dice que 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 son las “componentes cartesianas de 𝐮 en 𝑩”
PROPIEDAD (Obtención de las componentes cartesianas de un vector):
P11. Si 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌 es una base ortonormal en 𝑽 y 𝐮 es un vector cualquiera
en 𝑽, entonces:
𝑢1 = 𝐮 ∙ Ƹ
𝒊 ; 𝑢2 = 𝐮 ∙ Ƹ
𝒋 ; 𝑢3 = 𝐮 ∙ ෡
𝒌
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽
Bases ortonormales y componentes cartesianas de un vector

29. Puntos y Vectores en Mecánica
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Sea 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌 una base ortonormal para 𝑽
Se puede verificar la siguiente propiedad
Ƹ
𝒊 ∙ Ƹ
𝒊 = 1 ; Ƹ
𝒊 ∙ Ƹ
𝒋 = 0 ; Ƹ
𝒊 ∙ ෡
𝒌 = 0
Ƹ
𝒋 ∙ Ƹ
𝒊 = 0 ; Ƹ
𝒋 ∙ Ƹ
𝒋 = 1 ; Ƹ
𝒋 ∙ ෡
𝒌 = 0
෡
𝒌 ∙ Ƹ
𝒊 = 0 ; ෡
𝒌 ∙ Ƹ
𝒋 = 0 ; ෡
𝒌 ⋅ ෡
𝒌 = 1
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽
Bases ortonormales y componentes cartesianas de un vector

30. Puntos y Vectores en Mecánica
30
PROPIEDADES (producto cruz en bases ortonormales):
P12. Si 𝑩 = ො
𝒆1, ො
𝒆2, ො
𝒆3 es una base ortonormal con orientación de “mano
derecha” en 𝑽, entonces:
ො
𝒆1 × ො
𝒆2 = ො
𝒆3 ; ො
𝒆2 × ො
𝒆3 = ො
𝒆1 ; ො
𝒆3 × ො
𝒆1 = ො
𝒆2
ො
𝒆1 × ො
𝒆3 = −ො
𝒆2 ; ො
𝒆3 × ො
𝒆2 = −ො
𝒆1 ; ො
𝒆2 × ො
𝒆1 = −ො
𝒆3
P13. Si 𝑩 = ො
𝒆1, ො
𝒆2, ො
𝒆3 es una base ortonormal con orientación de “mano
izquierda” en 𝑽, entonces:
ො
𝒆1 × ො
𝒆3 = ො
𝒆2 ; ො
𝒆3 × ො
𝒆2 = ො
𝒆1 ; ො
𝒆2 × ො
𝒆1 = ො
𝒆3
ො
𝒆1 × ො
𝒆2 = −ො
𝒆3 ; ො
𝒆2 × ො
𝒆3 = −ො
𝒆1 ; ො
𝒆3 × ො
𝒆1 = −ො
𝒆2
ො
𝒆2
ො
𝒆3
ො
𝒆1
ො
𝒆2
ො
𝒆3
ො
𝒆1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1.6. Concepto de base y representación para 𝑽

31. Puntos y Vectores en Mecánica
31
Definiciones:
• Un sistema de referencia está formado por un punto
𝑶 ∈ 𝔼3 y una base 𝑩 ∈ 𝑽, la cual define unos ejes
coordenados.
• El punto 𝑶 se llama origen y se escoge arbitrariamente.
• Si la base 𝑩 es ortonormal y tiene orientación positiva,
se dice que el sistema de referencia es “cartesiano” y
“dextrógiro”.
• Las líneas de acción de los vectores de la base de un
sistema cartesiano son los “ejes coordenados” o “ejes
cartesianos”.
En adelante, consideraremos solamente sistemas de
coordenadas cartesianas y dextrógiras.
𝒆1
𝒆2
𝒆3
𝑒𝑗𝑒 1
𝑒𝑗𝑒 2
𝑒𝑗𝑒 3
𝒙
𝒚
𝐯 = 𝒙 − 𝒚
𝑶
1.7. Sistema de Referencia para el Espacio Euclídeo 𝔼3

32. Puntos y Vectores en Mecánica
32
Sea 𝑺 el sistema de coordenadas cartesianas definido por el
punto 𝒐 ∈ 𝔼3 y la base 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌 ⊂ 𝑽 (de mano derecha)
Definiciones:
• El “vector posición” del punto 𝒑 ∈ 𝔼3 en el sistema de
referencia 𝑺 es el vector:
𝒐𝒑 = 𝒑 − 𝒐 = 𝑥1 Ƹ
𝒊 + 𝑥2 Ƹ
𝒋 + 𝑥3
෡
𝒌
• Las “coordenadas cartesianas” del punto 𝒑 son las
componentes escalares de su vector posición 𝒐𝒑:
Ƹ
𝒊 Ƹ
𝒋
෡
𝒌 𝒑
𝒐𝒑
𝒐
𝒙1
𝒙2
𝒙3
1.7. Sistema de Referencia para el Espacio Euclídeo 𝔼3
𝑥1 = 𝒐𝒑 ∙ Ƹ
𝒊 = 𝒑 − 𝒐 ∙ Ƹ
𝒊 ≡ 𝑥
𝑥2 = 𝒐𝒑 ∙ Ƹ
𝒋 = 𝒑 − 𝒐 ∙ Ƹ
𝒋 ≡ 𝑦
𝑥3 = 𝒐𝒑 ∙ ෡
𝒌 = 𝒑 − 𝒐 ∙ ෡
𝒌 ≡ 𝑧
𝑒𝑗𝑒 1
𝑒𝑗𝑒 2
𝑒𝑗𝑒 3

33. Puntos y Vectores en Mecánica
33
Con las definiciones dadas anteriormente:
𝑥1 = 𝒐𝒑 ∙ Ƹ
𝒊 ≡ 𝑥 ; 𝑥2 = 𝒐𝒑 ∙ Ƹ
𝒋 ≡ 𝑦 ; 𝑥3 = 𝒐𝒑 ∙ ෡
𝒌 ≡ 𝑧
resulta evidente que podemos asociar la base 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌
a los ejes coordenados:
Ƹ
𝒊 ↔ 𝑒𝑗𝑒 X
Ƹ
𝒋 ↔ 𝑒𝑗𝑒 Y
෡
𝒌 ↔ 𝑒𝑗𝑒 Z
Así mismo, con esta elección de origen y de base, podemos
asociar el punto 𝒑 con sus coordenadas (organizadas en una matriz):
𝒑 ↔
𝑥
𝑦
𝑧
Ƹ
𝒊
Ƹ
𝒋
෡
𝒌
X
Y
Z
𝒑
𝒐𝒑
𝒐
𝑥
𝑦
𝑧
1.7. Sistema de Referencia para el Espacio Euclídeo 𝔼3

34. Puntos y Vectores en Mecánica
34
OBSERVACIÓN:
Como la base 𝑩 = Ƹ
𝒊, Ƹ
𝒋, ෡
𝒌 del sistema de referencia es una
base ortogonal de “mano derecha”, de la propiedad P.12 se
deduce que:
Ƹ
𝒊 × Ƹ
𝒋 = ෡
𝒌 ; Ƹ
𝒋 × ෡
𝒌 = Ƹ
𝒊 ; ෡
𝒌 × Ƹ
𝒊 = Ƹ
𝒋
Ƹ
𝒊 × ෡
𝒌 = − Ƹ
𝒋 ; ෡
𝒌 × Ƹ
𝒋 = − Ƹ
𝒊 ; Ƹ
𝒋 × Ƹ
𝒊 = −෡
𝒌
Ƹ
𝒊
Ƹ
𝒋
෡
𝒌
X
Y
Z
𝒑
𝒐𝒑
𝒐
𝑥
𝑦
𝑧
1.7. Sistema de Referencia para el Espacio Euclídeo 𝔼3
Ƹ
𝒊
Ƹ
𝒋
෡
𝒌
Ƹ
𝒊
Ƹ
𝒋
෡
𝒌