Resumen de vectores de física aplicada a la ingeniería agroindustrial

1. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
.
I. REFLEXIONAMOS
Analiza y observa la siguiente figura:
II. NOS INFORMAMOS
Leemos:
Introducción al Análisis Vectorial
El estudio de los vectores que desarrollaremos nos ayudará a explicar, comprender y evaluar
algunos fenómenos físicos que requieren para su descripción, del uso de magnitudes vectoriales
como la velocidad de un avión, el desplazamiento de un automóvil, la fuerza aplicada a un ladrillo, la
cantidad de movimiento de una bola de billar, etc.
Galileo Galilei (1564 – 1642) fue uno de los primeros científicos que al estudiar el movimiento de
los proyectiles, tuvo la necesidad de usar vectores con el fin de determinar para un instante, la
velocidad del proyectil, la composición de sus velocidades en la dirección horizontal y en la dirección
vertical.
ACTIVIDAD N° 01
ACTIVIDAD N° 02

2. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
La importancia que tienen los vectores para la Física es que a través de ellos se representan las
magnitudes vectoriales; lo cual permite una mejor descripción de los fenómenos físicos.
Las cantidades físicas por su forma geométrica o naturaleza pueden ser clasificadas como
“escalares” o “vectoriales”.
Definición de Vector Es un ente matemático que nos sirve para representar a las magnitudes
de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se
representa la medida de la cantidad. Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se
han ideado a los VECTORES. Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.
Elementos de un Vector
Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se
representará mediante la notación:
Si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, como lo vimos
anteriormente.
Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas
(por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).
Sentido: Representado por la flecha del vector.
Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede
deslizarse.
Representación Analítica de un Vector
Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por:

3. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Clasificación de los Vectores
 Vectores Colineales Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea
de acción.

 Vectores Iguales Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección,
módulo y sentido.
 Vector Unitario Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la
dirección y sentido de un determinado vector.
 Vectores Paralelos Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.
 Vectores Coplanares Son aquellos vectores que se encuentran contenidos en un
mismo plano.

4. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
 Vectores opuestos Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección,
módulo pero sentido contrario.
 Vectores concurrentes Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en
un mismo punto.
Se observa que las líneas de acción de los tres concurren en el punto “O”, por lo que son
concurrentes
Operaciones con Vectores
Adición de Vectores
Al vector “suma” también se le llama resultante, la resultante produce el mismo efecto que los
sumandos.
1) Método del Triángulo Este método es sólo para dos vectores coplanares y concurrentes

5. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Pasos a seguir:
 Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores
 Para hallar el valor de la resultante se aplica la Ley de Lamy o de senos:
2) Método del Paralelogramo
Pasos a seguir:
 La suma o resultante es la diagonal del paralelogramo formado.
 La suma o resultante se denota:
Analíticamente:
3) Método del Polígono
a) Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores.
Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR,
DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero
y llega al extremo del último. Ejemplo:

6. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
 Método del Polígono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia
(horario). El extremo del último llega al origen del primero.
Diferencia de Vectores
La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.
Casos Particulares y Posiciones Relativas de los Vectores
En los documentos que te dejaremos, encontraras 6 casos particulares y posiciones relativas de
los vectores, te recomendamos verificar estos casos:

7. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Descomposición Rectangular de un Vector
Aquí te mostramos como se da la descomposición rectangular de un vector:
Componentes rectangulares de un vector en el plano Las componentes rectangulares están dadas
por:
 Módulo del Vector A
 Dirección del Vector A Respecto al eje «X»
Vectores en el Espacio
Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los
puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.
Puntos en el espacio X: eje de abscisas, Y: eje de ordenadas, Z: eje de cotas

8. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Expresión vectorial de un vector en el Espacio Un vector A, se puede escribir como combinación
lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:
Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:
Módulo de un vector en el Espacio El módulo de un vector “A”, está dado por:
Dirección de un vector en el Espacio La dirección de un vector en el espacio, está dada por sus
ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se
denominan cosenos directores.
Cosenos directores Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados
por:

9. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Operaciones con Vectores en el Espacio
Suma y Diferencia de Vectores en el Espacio Dados dos vectores:
Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:
Multiplicación por Escalar Dado el vector “A” y un escalar “r” se define como producto por escalar
a la operación:
Donde el vector rA, es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A.
Propiedades de la Multiplicación por escalar: Dado los vectores «A» y «B» y los escalares «r» y
«s», se cumple:

10. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Producto Interno o Producto Punto Dados dos vectores:
Se define como producto interno de vectores a la expresión dada por:
Observe que:
Otra definición: Es posible también definir el producto interno mediante la relación:
Propiedades del Producto Interno: Dado los vectores «A», «B» y «C» y los escalares «r» y «s», se
cumple:

11. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Importante: Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:
Observe: ¡Esta es la ley del coseno!
Producto Vectorial o Producto Cruz Dados dos vectores “A” y “B” se define como producto vectorial
AxB, a la expresión definida por el determinante:
Propiedades del Producto Vectorial Dado los vectores «A», «B» y «C» y los escalares «r» y «s», se
cumple:

12. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Producto de Vectores Canónicos Puesto que un vector siempre es paralelo a sí mismo:
Regla de la mano derecha Sirve para determinar la dirección del vector AxB
¡Observe!
Interpretación Geométrica del Vector AxB El vector AxB, está representado por un vector
perpendicular, tanto al vector «A» como al vector «B». Su módulo es igual al área del paralelogramo
formado.
Doble Producto Vectorial
Producto Triple Dado los vectores «A», «B» y «C», se define como producto triple «A.(BxC)» a la
expresión definida por un determinante de la forma:

13. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Interpretación Geométrica de Producto Triple El producto triple «A.(BxC)» de los vectores «A»,
«B» y «C» es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores.
NOS CONTACTAMOS Y ASUMIMOS LOS RETOS
¿Sabías que …?
La rapidez lineal de rotación de la tierra desde el ecuador es aproximadamente de 1600
kmh-1
y la rapidez lineal de traslación supera los 100000 kmh-1
. Te sorprenderá saber
cuánto es la rapidez lineal del sistema solar por la Via Láctea y aún más la Via Láctea por
el universo y a pesar de todo eso, no lo sentimos y la cual se puede representar sus
movimientos mediante vectores.
III. PRACTICAMOS
Leemos:
ACTIVIDAD N° 02
EJEMPLO 01

14. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Un automóvil recorre 20.0 km hacia el norte y después 35.0 km en una dirección 60° al noroeste,
como en la figura 3.6. Utilizando una gráfica, determine la magnitud y dirección de un vector simple
que proporciona el efecto neto del viaje del automóvil. A este vector se le conoce como
desplazamiento resultante del automóvil. Un método gráfico para buscar el vector de
desplazamiento resultante 𝑅
⃗ = 𝐴
⃗⃗⃗ + 𝐵
⃗
Figura 3.6
SOLUCIÓN Sean 𝐴
⃗⃗⃗ el que representa el primer vector de desplazamiento, 20.0 km al norte y 𝐵
⃗ el
segundo vector de desplazamiento extendiendo noreste. Con cuidado grafique a los dos vectores,
dibujando un vector resultante 𝑅
⃗ con su base tocando la base de 𝐴
⃗⃗⃗ y extendiéndose hacia la punta
de 𝐵
⃗ . Mida la longitud de este vector, que es de casi 48 km. El ángulo β, se mide con un
transportador, es de casi 39° noroeste.
Un vehículo robot está explorando la superficie de Marte. El módulo de descenso estacionario es
el origen de las coordenadas; y la superficie marciana circundante está en el plano xy. El vehículo,
que representamos como un punto, tiene coordenadas X y Y que varían con el tiempo:
𝑥 = 2.0𝑚 − (0.25
𝑚
𝑠2)𝑡2
𝑦 = (1.0
𝑚
𝑠
) 𝑡 + (0.025
𝑚
𝑠3)𝑡3
SOLUCIÓN Este problema implica movimiento en dos dimensiones, por lo que debemos usar las
ecuaciones vectoriales obtenidas en esta sección. En la figura se muestra la trayectoria del vehículo
(línea punteada). Usaremos la ecuación 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗ para la posición de 𝑟, la expresión Δ 𝑟 = 𝑟2
- 𝑟1 para el desplazamiento
EJEMPLO 02
 Obtenga las coordenadas del vehículo y su distancia con
respecto al módulo en t = 2.0 s.
 Obtenga los vectores desplazamiento y velocidad media
del vehículo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s.
 Deduzca una expresión general para el vector velocidad
instantánea 𝑉
⃗ del vehículo.
 Exprese 𝑉
⃗ en t = 2.0 s en forma de componentes y en
términos de magnitud y dirección.

15. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
a) Obtenga las coordenadas del vehículo y su distancia con respecto al módulo en t = 2.0 s.
𝑥 = 2.0𝑚 − (0.25
𝑚
𝑠2)𝑡2
reemplazando t = 2.0s 𝑥 = 2.0𝑚 − (0.25
𝑚
𝑠2) (2𝑠)2
= 1𝑚
𝑦 = (1.0
𝑚
𝑠
) 𝑡 + (0.025
𝑚
𝑠3)𝑡3
reemplazando t = 2.0s 𝑦 = (1.0
𝑚
𝑠
) (2𝑠) − (0.025
𝑚
𝑠3) (2𝑠)3
= 2.2 𝑚
La distancia del vehículo al origen en este instante es: 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(1𝑚)2 + (2.2𝑚)2 = 2.4 𝑚
b) Obtenga los vectores desplazamiento y velocidad media del vehículo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s.
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑟 = (2.0𝑚 − (0.25
𝑚
𝑠2
)𝑡2
)𝑖 + ((1.0
𝑚
𝑠
) 𝑡 + (0.025
𝑚
𝑠3
)𝑡3
)𝑗
En el instante t = 0.0 s el vector de posición 𝑟0
⃗⃗⃗ = 2.0𝑚𝑖 + 0.0𝑚𝑗
En el instante t = 2.0 s el vector de posición 𝑟2
⃗⃗⃗ = 1.0𝑚𝑖 + 2.2𝑚𝑗
Por lo tanto, el desplazamiento entre t = 0.0 s y t = 2.0 s es: Δ 𝑟 = 𝑟2 - 𝑟0
Δ 𝑟 = (1.0𝑚𝑖 + 2.2𝑚𝑗) – (2.0𝑚𝑖 + 0.0𝑚𝑗) = −1.0𝑚𝑖 + 2.2𝑚𝑗
Durante este intervalo el vehículo se desplazó 1.0 m en la dirección negativa de x y 2.2 m en la
dirección positiva de y. la velocidad media en este intervalo es el desplazamiento dividido entre el
tiempo transcurrido:
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟
∆𝑡
=
−1.0𝑚𝑖 + 2.2𝑚𝑗
2.0𝑠 − 0.0𝑠
= −0.5
𝑚
𝑠
𝑖 + 1.1
𝑚
𝑠
𝑗
c) Deduzca una expresión general para el vector velocidad instantánea 𝑉
⃗ del vehículo.
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[2.0𝑚 − (0.25
𝑚
𝑠2)𝑡2
] = (−0.5
𝑚
𝑠2) 𝑡
𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[(1.0
𝑚
𝑠
) 𝑡 + (0.025
𝑚
𝑠3
) 𝑡3
] = (1.0
𝑚
𝑠
+ (0.075
𝑚
𝑠3
) 𝑡2
𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 = (−0.5
𝑚
𝑠2
) 𝑡𝑖 + (1.0
𝑚
𝑠
+ (0.075
𝑚
𝑠3) 𝑡2
𝑗
En el tiempo t = 2.0 s, las componentes del vector velocidad 𝑣2 son;
𝑣2𝑥 = (−0.5
𝑚
𝑠2
) (2.0𝑠) = −1.0
𝑚
𝑠
𝑣2𝑦 = (1.0
𝑚
𝑠
) + (0.075
𝑚
𝑠3
) (2.0𝑠)2
= 1.3
𝑚
𝑠
La magnitud de la velocidad instantánea (es decir, la rapidez) en t = 2.0 s es:

16. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
La figura muestra la dirección del vector velocidad 𝑣2 el cual tiene un ángulo a entre 90°
y 180° con respecto al eje positivo x.
El ángulo es menor que 180°; de manera que el valor correcto del ángulo es a = 180° - 52°
= 128°, o 38° al oeste del norte.
En la figura OPQR es un cuadrado, expresar el vector X como combinación lineal de los
vectores A y B .
Solución: Por la ley del triángulo:
OM X A B
  
Pero observe que:
A
2OM B
2
 
Luego:
A
B
2 X A B
2

  
A 2B
X A B
4

  
X 
3A 2B
4

Rpta.
Hallar el módulo de la fuerza resultante de F y T , si: F 25 N
 y T 30 N
 .
EJEMPLO 03
EJEMPLO 04
A
B
X
M
N
O
P
R
Q
A
2
B
X
M
N
O
P
R
Q
A B

Z
3 4
6
F

17. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Solución: De acuerdo al gráfico:
AB 3i 6j 6k
BC 3i 4 j
   
 
Expresión vectorial de T :
AB 2 2 2
3i 6j 6k
T T U 30
( 3) ( 6) 6
  
 
   
 
   
 
3i 6j 6k
T 30
9
  
 
  
 
T 10i 20j 20k
   
Expresión vectorial de F :
BC 2 2
3i 4 j
F F U 25
3 ( 4)

 
 
3i 4 j
F 25 F 15i 20j
5

 
   
 
 
De donde la resultante: R F T
  por lo tanto R 5i 40j 20k
  
EJEMPLO 05
Y
X
Z
3
4
6
10
T
F B(0, 4, 6)
A(3, 10, 0)
C(3, 0, 6)

18. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
Calcular el producto mixto de los vectores A = (0, 1, 1), B = (0, 1, 0) y C = (2, 0, 1).
De la fórmula del producto mixto tenemos:
Por lo tanto:
Hallar el producto vectorial de estos dos vectores:
La función determinante de orden 3 será:
Por tanto, se desarrolla por la primera fila
EJEMPLO 06

19. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
IV. PARA PRACTICAR
Leemos:
1. Una topógrafa calcula el ancho de un río mediante el siguiente método: se para directamente
frente a un árbol en el lado opuesto y camina 100 m a lo largo de la ribera del río, después
mira el árbol. El ángulo que forma la línea que parte de ella y termina en el árbol es de 35.0°.
¿Cuál es el ancho del río?
2. Un peatón camina 6.00 km al este y después 13.0 km a! norte. Con el método gráfico
determine la magnitud y la dirección del vector desplazamiento resultante.
3.
obtener la resultante mínima.
4. La figura muestra una circunferencia de centro “0”. Escribir el vector x

en función de los
vectores a

y b

.
5. Expresar el vector x en términos del vector a y b , sabiendo que ABCD es un paralelogramo,
además M y N son puntos medios de AB y CD respectivamente.
6. En el sistema de vectores mostrado, el módulo de la resultante es:
45º
53º
50
50
20 2
7. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje de las “x”?
ACTIVIDAD N° 02

20. FISICA APLICADA A LA INGENIERIA
AGRO INDUSTRIAL
ANALISIS VECTORIAL
01
37º
37º
60
50
50
y
x
8. Se tienen los vectores A , B y C , y donde A y B y son perpendiculares y además A + B + C =0.
Calcular  A + B , si el área encerrada es de 25m2
y el  C = 25 m.