algunos temas en resumen de ecuaciones diferenciales

1. Teoría preliminarUnsistemade ecuancionesdiferencialesesunconjuntode ecuacionesdiferencialesque relacionan
variasfuncionesincógnitas,lasderivadasde estafunción,lasvariablesconrespetoalasque estan definidasyciertas
constantesEste sistematiene el tiempotcomoúnicavariable independienteydosfuncionesincógnitasx(t) e y(t).
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas
integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una
variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para
resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de
ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito
adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando
la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un
problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las
propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable
independiente tenga una cierta expresión como transformada.
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Condiciones Suficientes De Existencia Para La
Transformada De Laplace
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender
dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:
1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozoso seccionalmente continua en un intervalo
finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los
cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.
Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos
puntos.
Claramente, f(t) es continua en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límitesderechoe
izquierdo de A son,

2. f(A + t) = f(A + 0) = f(A)
f(A - t) = f(A - 0) = f(A)
Aquí el valor de t es siempre positivo.
2. Funciones de orden exponencial: Se dice que una función es de orden exponencial si existe un número real
positivo M y , y un número T tal que,
Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que
Aquí l = 0 o a un número positivo finito.
Sea f(t) es una función continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial
cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces,la transformada de Laplace de f(t) existe para cada valor
de s, el cual es mayor que .
El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable
en cualquier intervalo finito del eje t. Además, como f(t) es de orden exponencial , tenemos que,
Ahora,
| L{f(t)} | = | e-st f(t) dt |
e-st | f(t) | dt
M e-stdt
= M dt
= M/ (s - )
Aquí, la condición de que s fuera mayor que era necesaria para la existencia de la última integral. Por lo tanto,
el teorema queda demostrado.

3. Sin embargo las condiciones mencionadas en el teorema son suficientes pero no necesarias para la
existencia de la transformada de Laplace. Esto se puede entender desde el siguiente ejemplo.
Seaf(t) = 1/ entonces f(t)  como t  0. Por lo tanto f(t) no es continua a trozos en cada intervalo finitodel rango
t 0, pero todavía sigue siendo su transformada de Laplace dado que,
L{1/ } = e-stt-1/2dt
= Sustituye x en el lugar dest., esto producirádt = dx/ s
= 1/ { e-x x-1/2 dx }
= 1/ { e-x x(1/2) – 1 dx }
= 1/ {1/ 2}
= Por la definición de la función gamma, sabemos que , e-u un-1 du = (n)
=
= Dado que (1/ 2) =
Por lo tanto, las condiciones establecidas en el teorema anterior no son necesarias para la existencia de la
transformada de Laplace. Como sabemos, cualquier signo que pueda ser realizado físicamente, y que sea
continuo de naturaleza no puedenuarse tan rápidamente, esto es, que no es posible enlazarlo mediante una
función exponencial, por lo tanto, la transformada de Laplace existe para todas los signos que se pueden
realizar físicamente.
Saludos y suerte prof lauro soto
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Transformada Directa
Transformada Directa de Laplace
Imaginemos un integral que sea de la forma,

4. Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y)
tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es
definida.
Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una
anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala
distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia
esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.
Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente
denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como,
g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos
locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la
ecuación anterior obtenemos,
g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,
=
La derivación anteriores la fórmula para la densidad Gaussiana teniendog’’(y*) como su densidad. La
aproximación de esto es,

5. Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la
transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su
producto con el núcleo de la transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como
la función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.
Utilizando esta integral, las transformadas de Laplace de algunas funciones han sido derivadas, y pueden
utilizar directamente en el lugar de transformar la función de t-dominio hacia una función de s-dominio.
Algunas de ellas son,
1. 1 = 1/ s s> 0
2. t = 1/ s2 s > 0
3. tn= n!/ sn + 1 s > 0
4. eat = 1/ (s – a) s > a
5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0
6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0
7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0
8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0
Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para obtener la transformada directa de Laplace de una función
determinada.
Obtén la transformada directa de Laplace de f(t) = 1 siendo t siempre mayor que uno.
L{f(t)} = e-stf(t) dt
L(1) = e-st(1) dt
L(1) = e-stdt
L(1) = - (1/ s) e-st (-sdt)
L(1) = - (1/ s) [e-st

6. L(1) = - (1/ s) [1/ est
L(1) = - (1/ s) [(1/ ) – (1/ e0)]
L(1) = - (1/ s) [0 - 1]
L(1) = 1/ s
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La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación
algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora,
como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es
decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace
de , escrita es , es decir,
Propiedades de la Transformada de Laplace
Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser
divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones
discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué
condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a
esta pregunta debemos dar algunas definiciones.
Definición [Funciones continuas a trozos]
Decimos que una función es continua a trozos si

7. 1. está definida y es continua en todo , salvo en un número
finito de puntos , para .
2. Para cada los límites
existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si
es uno de los extremos de .
3.4. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.
Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser
divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones
discontinuas.
Decimos que una función f : [a,b] --> R es continua a trozos si
1.- f está definida y es continua en todo X E [a,b] salvo en un número finito de puntos Xk para
k= 1,2...n
2.- Para cada X E [a,b] los limites
Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si X0 es uno de los extremos de [a,b].
Propiedades de la Transformada de Laplace
Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser
divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones
discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué
condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a
esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

8. Definición [Funciones continuas a trozos]
Decimos que una función es continua a trozos si
1. está definida y es continua en todo , salvo en un número
finito de puntos , para .
2. Para cada los límites
existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si
es uno de los extremos de .
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las
únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.
Figura 1.2
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua o que no
son demasiado discontinua.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que
entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

9. Definición [Funciones de orden exponencial]
Decimos que la función es de orden exponencial si
existen números , y tales que
para
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como
se muestra en la 1.3.
Figura 1.3
Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene
calcular el siguiente límite:
para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este
determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que es de orden exponencial.
Solución
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital

10. para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es
de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .
Solución
Calculando el límite
siempre y cuando . De donde, para grande.
3.7 Transformada DeFunciones Multiplicadasportn , y divididas entret
La transformadadeLaplacedel producto deuna función f(t) con t se puedeencontrarmediantediferenciación dela
transformada deLaplacede f(t).Para motivaresteresultado,sesuponeque
existe y quees posible intercambiarel orden de diferenciación e integración.Entonces:

11. Es decir:
Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la
siguiente manera:
3.8 Transformadade derivadas(teorema)
Sea a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe un
número para una función continua existe. Es decir, tal que existe.
Demostración
teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la
transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función aún así tenga
transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo. que no cumpla las hipótesis del
teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

12. 3.9 transformada de integrales (teorema)
Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de
la forma siguiente:
La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u).
Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1 y t2 son dos
valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta .
Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos
variables escogida, llamada la funciónnúcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K − 1(u,t) , que (más o menos) da una
transformada inversa:
Un nucleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.
En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones
iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la
ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método
suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de
orden menor que el grado de la ecuación.
(Teorema de integración) Si , entonces se cumple
Convolución y transformadas
Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es
la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la
respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la

13. transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un
nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.
Definición [Convolución]
La función , donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolución de y .
La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el
siguiente teorema.
Transformada de Laplace de una Función Periódica.
FUNCIONES PERIÓDICAS
Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos
elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual
tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en
escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.
TEOREMA (Transformada de una función periodica)

14. Demostracion
Usando la Definicion:
La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:
La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores
infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende
a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición
convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:
Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente,
de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).

15. En términos del análisis dimensional, esta definición de implica que posee dimensiones recíprocas
a dx.
Definición como distribución de densidad[editar]
Transformada De Laplace De La Funcion Delta Dirac
Transformada de Laplace de la función delta de Dirac
Una función delta de Dirac es una función especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un
punto, este es cuando el argumento de la función es igual a cero. Esto se denota como,
Cambiemos la función delta de Dirac por una constante, digamos c. Entonces ahora la definición de esta
función delta de Dirac desplazada es,
(t – c) = 0, t <> c
= , t = c
Esto es sólo una pseudodefinición de la función. Ahora bien, si derivamos el área de la función para los límites
de integración (- , ), y resulta ser uno, esto es,
(t – c) dt = 1
Se trata de una derivación importante y esta también nos da la noción de pseudoinfinidad,como en la
definición función delta de Diracdesplazada. Aquí, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes
medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un número entero. Para entenderlo,
integremos el producto de la función delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos límites de
integración, esto es, (- , ).
2 (t – c) dt
Uno podría suponer que la salida de la integración debería ser igual a dos, ya que,
= 2 (t – c) dt
= (2) (1)

16. = 2
Es decir, si la función delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito sería dos veces más grande que antes.
Ahora, multiplicando la función delta de Dirac desplazada por alguna otra función,digamos f(t) y tomando la
transformada de Laplace de esta, es decir,
L{ (t – c) f(t)}
En el caso de que uno desee determinar únicamente la transformada de Laplace de la función delta de Dirac
desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno.
Esto es, tenemos,
e-st f(t) (t – c) dt
Como sabemos, el proceso de integración nos da el área de la función que está siendo integrada. Por lo tanto,
primero dibujemos el área de las dos funciones para averiguar qué área estamos determinando realmente.
Mientras lo hacemos,asume que f(t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gráfico de la función como,
Aquí se dibuja una línea recta donde t = c ya que el valor de la función delta de Dirac es siempre cero,
excepto en t = c. Por lo tanto, el espacio común de las dos curvas, cuyo valor será determinado por la
operación de integración viene a ser un solo punto, el cual es el punto de intersección de las dos curvas, y el
valor de la primera función en ese punto en seráe-sc f©. Este es sólo un punto, el cual tiene un valor
constante.
En consecuencia, tenemos un término constante dentro de la operación de integración que se puede mover
fuera y, por lo tanto, quedamos con,
e-sc f© (t – c) dt

17. Como sabemos, el valor de la integral (t – c) dtes uno, por esto, la transformada de Laplace de la función delta
de Dirac desplazada es e-sc f©. Esto nos da la transformada de Laplace de la función delta de Dirac, donde el
valor de c = 0 y f(t) = 1, como,
L{ (t)} = e0 (1) = 1
L{ (t - c)} = e-cs (1) = e-cs
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Transformada de Laplace: Solución de ED
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED
lineales con condiciones iniciales.
El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos.
1. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED
2. Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos
de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación
algebraica o subsidiaria.
3. Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)
Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología.
Poner ejercicio