Breve trabajo de sistemas de ecuaciones con transformada de Laplace

1. FACILITADORA:
PROF. CARLENA ASTUDILLO
REALIZADO POR:
 MAIYELIN GARCIA
 DIOLIMAR TORRES
 JOSE PIAMO
 MARCELO PEDRERO
EL TIGRE ENERO 2015

2. En cálculo elemental aprendimos que la diferenciación e integración son transformadas, esto
significa, en términos aproximados, que estas operaciones transforman una función en otra. Por
ejemplo, la función f(x) = 𝑥2
se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de
funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración:
𝑑𝑥2
𝑑𝑥
=
2𝑥 ˄ 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥
3
3
+ 𝑐 , además estas dos transformadas poseen la propiedad de linealidad.
En esta sección se dan algunos pasos hacia una investigación de como se puede usar la
transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función
desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de Laplace inversa o, con mas precisión; la
inversa de una transformada de Laplace F(s).
Resolver ecuaciones mediante la transformada de Laplace se requiere evaluar una transformada
de Laplace inversa; esto, a su vez, requiere con frecuencia operaciones algebraicas sutiles y la
descomposición de una expresión racional en fracciones parciales.
“Un tipo especial de transformada integral llamada Transformada de Laplace”
INTRODUCCION

3. Si f (t) esta definida cuando 𝑡 ≥ 0, la integral impropia 0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, se define
como un límite:
0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞ 0
𝑏
𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
Si existe el límite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existe el
límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior
existe solo para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = 𝑒−𝑠𝑡,
proporciona una transformación integral muy importante.
Transformada de Laplace
Sea f una función definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces se dice que la integral.
ℒ 𝑓(𝑡) = 0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.
DEFINICION

4. a) ℒ 1 =
1
𝑠
c) ℒ 𝑒 𝑎𝑡
=
1
𝑠−𝑎
e) ℒ cos 𝑘𝑡 =
𝑠
𝑠2+𝑘2
g) ℒ cosh 𝑘𝑡 =
𝑠
𝑠2+𝑘2
b) ℒ 𝑡 𝑛 =
𝑛!
𝑠 𝑛+1 para n=1, 2, 3,…
d) ℒ sen 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2+𝑘2
f) ℒ senh 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2+𝑘2
TRANSFORMADAS DE
FUNCIONES BASICAS

5. .-Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
.-Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden
convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
.-Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
.-Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento
de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente.
Características de la TLP

6.  LINEALIDAD
En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transforman una
función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una
función lineal, una familia de funciones. Polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las
operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:
𝑑𝑥2
𝑑𝑥
= 2𝑥 , 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 𝑐 , 0
3
𝑥2
= 9
Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para
cualesquier constantes 𝛼 y 𝛽,
𝑑
𝑑𝑥
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 = 𝛼
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝛽
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
PROPIEDADES

7. Siempre y cuando exista cada derivada e integral.
Si f(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una
de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener “y”
constante, 1
2
2𝑥𝑦2
𝑑𝑥 = 3𝑦2
. De igual forma, una integral definida
como 𝑎
𝑏
𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓(𝑡), transforma una función f (t) en una función de la variables. Nos
interesan mucho las transformadas integrales de este último tipo, cuando el intervalo
de integración es 0; ∞) no acotado
PROPIEDADES

8. PROPIEDADES
 Orden exponencial
Se dice que f es de orden exponencial c, si existe constantes c, M > 0 y T > 0 tal
que 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒 𝑐𝑡
, para toda t > T.
Si f es una función creciente, entonces la condición 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒 𝑐𝑡
, t > T,
simplemente expresa que la grafica de f en el intervalo 𝑇, ∞ no crece mas rápido
que la grafica de la función exponencial 𝑀𝑒 𝑐𝑡
, donde c es una constante positiva.

9. TRANSFORMADA INVERSA
Si F(s) representa la transformada de
Laplace de una función f (t), es decir
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠), se dice entonces que f
(t) es la Transformada de Laplace inversa
de F(s) y se escribe f (t) = ℒ−1
𝐹(𝑠) .
Transformadas inversas comunes
a) 1 = ℒ−1 1
𝑠
c) 𝑒 𝑎𝑡
= ℒ−1 1
𝑠−𝑎
e) cos 𝑘𝑡 = ℒ−1 𝑠
𝑠2+𝑘2
g) cosh 𝑘𝑡 = ℒ−1 𝑠
𝑠2+𝑘2
b) 𝑡 𝑛
= ℒ−1 𝑛!
𝑠 𝑛+1
d) sen 𝑘𝑡 = ℒ−1 𝑘
𝑠2+𝑘2
f) senh 𝑘𝑡 = ℒ−1 𝑘
𝑠2+𝑘2

10. TABLA DE PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE

11. PARES DE
TRANSFORMADA DE
LAPLACE

12. Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electronicos en este caso circuito RLC.
Iniciamos con la ecuacion
Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la capacitancia
Sustituimos los valores y nos queda
Aplicamos Laplace a toda la ecuación y obtenemos
Multiplicamos 10s toda la ecuación para simplificar
Aplicamos Laplace inversa
APLICACIÓN
PRACTICA

13. Maple es una potente herramienta, tecnológicamente avanzada, que incorpora
algoritmos simbólicos propios reconocidos en todo el mundo. Asi mismo Maple
incorpora desde su versión 6 los prestigiosos resolvedores numéricos
proporcionados por su socio Numerical Algorithms Group (NAG).
Cualquiera que sea el área científica o técnica en la que se esté trabajando, ya sea
en el ámbito de la enseñanza, en el de investigación o en desarrollo, Maple es un
entorno ideal que cubre todos los aspectos necesarios.
Maple incorpora herramientas suficientemente flexibles para ajustarse a todas las
necesidades de cálculo: desde la resolución de sistemas de ecuaciones
diferenciales hasta el modelado de complejos problemas de ingeniería. Maple es
la herramienta que se ajusta mejor a cualquier requerimiento para cálculo técnico.
Software: Maple

14. Maple incorpora más de 3000 funciones para cálculo simbólico y numérico entre las que
se incluyen funciones para:
Algebra: aritmética simbólica con números reales y complejos o polinomios,
factorización, expansión, combinación y simplificación de expresiones algebraicas y
polinomios, secuencias y series.
Cálculo: Derivadas, integrales y límites, rutinas de visualización para diferenciación e
integración.
Ecuaciones diferenciales: Resolución numérica y exacta de ecuaciones y sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) y problemas de valor inicial, resolución
numérica de problemas de valores de contorno, resolución exacta de ecuaciones y
sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (PDE), análisis estructural y reducción de
orden de ODEs y PDEs.
Álgebra Lineal: Más de 100 funciones para construir, resolver y programar en álgebra
lineal, construcción de matrices de Hankel, Hilbert, identidad, Toeplitz, Vandermonde,
Bezout y la matriz Silvester de dos polinomios.
CARACTERISTICAS
DE MAPLE

15. CARACTERISTICAS
DE MAPLE
Cálculo Vectorial: Derivadas direccionales, gradientes, matriz Hessiana, Laplacianas,
rotacionales y divergencias de un campo vectorial, matrices Jacobianas y Wronskian,
productos escalares, vectoriales y externos de vectores y operadores diferenciales.
Otras funciones: funciones para álgebras abstractas, álgebra de operadores lineales,
curvas algebraicas, funciones y estructuras combinatorias, variables complejas, ajuste de
curvas, álgebra diferencial, matemática financiera, series de potencia, teoría de grafos,
programación lineal, lógica, estadística, etc, etc...
Programación: Maple da acceso al mismo lenguaje de programación, herramientas y
rutinas básicas con las que ha sido desarrollado. Tiene un lenguaje de programación
avanzado que incluye programación funcional y procedural, sobrecarga de operadores,
manipulación de excepciones, herramientas de depuración, etc.

16. Visualización: Incluye un amplio conjunto de herramientas de visualización con gráficos
típicos predefinidos, gráficos 2D y 3D, animaciones 2D y 3D, una amplia variedad de tipos
de coordenadas, gráficos implícitos 2D y 3D, gráficos vectoriales, contornos, gráficos
complejos, gráficos de ODEs y PDEs, rotación en tiempo real, objetos geométricos
predefinidas, iluminación.
Interfaz de usuario: Maple utiliza hojas de cálculo, tiene amplias capacidades de edición y
procesado de textos, gestor de hiperenlaces, menús contextuales, paletas, exportación a
HTML, LaTeX y RTF
Conectividad: Maple está adherido a los estándares internacionales para comunicación
de datos soportando un amplio número de formatos
CARACTERISTICAS
DE MAPLE

17. LAPLACE DLTS
Software asociado para el sistema de
ecuaciones con transformadas de Laplace
Se utiliza para estudiar las impurezas eléctricamente activas y defectos en los semiconductores. Tiene
una sensibilidad mayor que casi cualquier otra técnica (en 20 Ohm-cm de silicio que puede detectar
impurezas en una concentración de una parte en un millón de millones)
El software y el hardware se han desarrollado en el Instituto de Física de la Academia de Ciencias de
Polonia en Varsovia y en la Microelectrónica y Nanoestructuras Grupo de la Escuela de Ingeniería
Eléctrica y Electrónica de la Universidad de Manchester.
En el corazón del método son rutinas matemáticas que convierten el proceso de relajación defecto
(medida por ejemplo como un transitorio de corriente, como se muestra a la izquierda) del dominio del
tiempo en un espectro de constantes de tiempo (en las tasas de emisión de electrones caso mostrado)
en el dominio de la frecuencia

18. El programa principal
El programa principal establece los parámetros de
excitación de la muestra, las condiciones de
adquisición transitorios, inicia la medición, adquiere
el transitorio, y finalmente, la convierte en el
espectro. El programa principal permite:
• medir la cinética del proceso no estacionario,
• gobernar el hardware, configurar los parámetros
de excitación y de adquisición,
• realizar un análisis preliminar de la constante de
tiempo (-s), hacen que el histograma de ruido
• iniciar los cálculos numéricos que conducen a la
Laplace transformar la inversión,
• enviará los datos y archivos de resultados de
cálculo para la base de datos que ayuda a
comparar, manipular, analizar y visualizar los
resultados,
• personalizar todos los parámetros del sistema.

19. Rutinas numéricas
Un enfoque común para la descripción cuantitativa de
no exponencialidad observado en los procesos no estacionarios
es asumir que se caracterizan por un espectro de tasas de
emisión, donde f (t) es la registró transitoria y F (s) es la
densidad espectral función. Una representación matemática de
los transitorios de capacidad dada por la ecuación es la
transformada de Laplace de la verencontrar dadera función
espectral F (s) . Por lo tanto, para un verdadero espectro de las
tasas de emisión (constantes de tiempo) presentes en el
transitorio es necesario utilizar un algoritmo matemático que
lleva a cabo efectivamente una transformada inversa de
Laplace
Para la función f (t) . El resultado de tal procedimiento es un espectro de picos-delta como para
múltiples transitorios, mono-exponencial o un amplio espectro sin estructura fina para
distribución continua. En este método no es necesario hacer ninguna suposición a prioridad
acerca de la forma funcional del espectro, excepto que todas las desintegraciones son
exponenciales en la misma dirección

20. En la física y la técnica hay un número de problemas en los que se podría emplear un
enfoque similar para el análisis de datos. Por ejemplo, en la investigación de materiales
semiconductores uno trata con la cinética de fotoluminiscencia, fotocorriente, o
photocapacitante. En la partícula o la física nuclear hay procesos de partículas o isótopos
en descomposición, y finalmente, en una tecnología dispositivo hay un problema de
envejecimiento o la degradación de los componentes ópticos o electrónicos. Por otra
parte, la aplicación de diferentes núcleos de la ecuación integral de Fredholm de tipo se
puede modelar una variedad de diferentes procesos físicos. El software del sistema y
hardware pueden ser fácilmente modificados o adoptados con el fin de cumplir con los
requisitos específicos de otras posibles aplicaciones. Esto condujo a una idea de la
construcción de la versión de la alta resolución de procesos transitorios analizador de que
es capaz de utilizar una gama mucho más amplia de piezas del hardware.
Análisis de procesos no
estacionarios

21. La Base de Datos Experimental es una parte de la del Laplace Transient Processor
systemy es la herramienta que es fundamental para la manipulación de datos,
visualización y análisis. Durante el proceso de diseño que hemos tratado de responder a
las necesidades específicas de esta técnica experimental y también para que sea
compatible con otros experimentos que pueden acompañar el sistema principal. La
necesidad principal era que debería ser posible almacenar y luego fácilmente manipular
grandes cantidades de datos. El sistema de base de datos se ejecuta en el fondo de la
medición, almacena los datos y todos los parámetros, que describen el proceso de
medición, y los datos en sí. Después que permite al usuario extraer, comparar, visualizar y
mantener los datos recopilados.
Programa de base de datos Experimental
La parte de base de datos del Procesador se basa en Microsoft Access Jet versión de
motor de base 3.5. El archivo de base de datos contiene sólo Definición estructura (tablas
y relaciones), algunas consultas SQL y los datos en sí. Mantenimiento de los datos, la
manipulación, la revisión, la inspección y la visualización se hacen desde dentro de un
programa separado. Un programa de Visual Basic contiene toda la interfaz de usuario y
herramientas de manipulación de datos. El programa puede funcionar como una
aplicación independiente, sin la necesidad de comunicarse con el sistema de medición.
También se puede ejecutar en paralelo con el programa de medición, en cuyo caso los
datos cargados en la base de datos durante el experimento pueden ser inspeccionados
inmediatamente.

22. Desde el punto de vista de un
usuario de la estructura de datos
es la siguiente:
 muestra la descripción y los datos,
 medición de parámetros y el nombre
del archivo.
 computados los resultados nombre
del archivo.

23. Programa Base de Datos de defectos (aún en construcción, eficaz para las
versiones 3.3 y superiores)
Este programa es una parte de la del procesador es una herramienta para reunir
información acerca de los defectos medidos por un usuario y los que tienen datos
experimentales fiables en la literatura. Este programa está destinado a ser utilizado
únicamente con el Laplace y mediciones DLTS convencionales.
Este es un programa independiente que permite un transitorio que se genera para un
espectro asumido. Este proceso de generación transitoria es equivalente al cálculo de la
transformación de Laplace para un espectro dado. Esta aplicación permite a un usuario
realizar pruebas en los métodos numéricos aplicados por la aplicación principal. Una de las
funciones de este programa es para reproducir el transitorio de un espectro que ha sido
calculada a partir de los datos reales. Este espectro se puede utilizar como la base para
una transformada inversa de Laplace procedimiento con el fin de comprobar la fiabilidad
del sistema

24. Este es un programa independiente que permite un transitorio que se genera para un
espectro asumido. Este proceso de generación transitoria es equivalente al cálculo de la
transformación de Laplace para un espectro dado. Esta aplicación permite a un usuario
realizar pruebas en los métodos numéricos aplicados por la aplicación principal. Una de las
funciones de este programa es para reproducir el transitorio de un espectro que ha sido
calculada a partir de los datos reales. Este espectro se puede utilizar como la base para
una transformada inversa de Laplace procedimiento con el fin de comprobar la fiabilidad
del sistema
Prueba generador transitoria