Este documento explica la transformada de Laplace, que convierte una función del tiempo en una función de una variable compleja a través de una integral. La transformada de Laplace se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales lineales. También se aplica en ingeniería, por ejemplo, para analizar circuitos eléctricos y sistemas mecánicos.

1. Llamada así en
honor al matemático y
astrónomo francés PierreSimòn Laplace (17491827) considerado como
uno de los más grandes
científicos de la historia, a
veces referido como el
Newton de Francia
Transformada de Laplace
Elaborado por
Ana C. Davalillo
CI.-11.765.245

2. Dada f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en
( 0,= Y). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s),
definida por la integral s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real.
Es esto suficiente para las aplicaciones con Ecuaciones diferenciales lineales de
coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es
necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo L = un
símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse
por la integral de Laplace.

3. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales o en
análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos ≥ 0, es la
función F(s), definida por
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución
con una singularidad en 0, la definición es
.

4. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión
unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como
sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a,
donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t) .
llamado el operador de la transformada de Laplace.
es

5. La idea consiste en convertir de alguna forma la ecuación de origen en una ecuación
algebraica en general mas sencilla de resolver y luego invertir el proceso de forma
que obtengamos la solución buscada. Es fácil comprobar que multiplicar dos números
cuales quiera, es mucho mas complicado que sumarlos, de ahí la utilidad e
importancia que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.

6. La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace
converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo
intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a
infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un
intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número
finito de sub -intervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de
ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

7. Analizando la transformada de Laplace por definición es una integral que va desde
menos infinito a más infinito y que tiene la siguiente forma: L[f(t)]=∫(e^-st)f(t)dt,
evaluada entre cero e infinito, lo que nos dice esta expresión es que si yo tengo una
función del tiempo, esta es igual a la integral desde menos infinito a más infinito de e
elevado a la menos s por t que multiplica a una función variante de t, cuando
resolvemos esta integral pasamos de una función que está en términos del tiempo t a
una función que está en términos de s, de hecho, decimos que vamos a pasar de
f(t)→F(s).

8. Las Matemáticas son la base de todas las Ingenierías, sobre todo la Ing. Civil donde se
amerita cálculos en todos sus elementos constructivos y de el comportamiento de los
mismos. Es por ello que el método Laplace tienen importancia fundamental en la
ingeniería así como también es relevante en la vida cotidiana, debido a que muchos
problemas se les da solución matemática mediante este tipo de ecuaciones.

10. El método de transformaciones Lapace en la Ingeniería, abarca desde la parte eléctrica
para el análisis de sistemas de circuitos eléctricos, así como también vibraciones
mecánicas para examinar el comportamiento de los sistemas.
Esta método resalta la importancia del estudio de las ecuaciones diferenciales para
modelar procesos físicos, mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual son
fundamentales en los programas de estudio de Ingeniería y Economía

11. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más
significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación
y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones
poli nómicas, mucho más fáciles de resolver.

12. En cuanto a los circuitos eléctricos pasivos son construidos con tres elementos básicos;
resistencia, capacitores e inductores y voltaje. El Flujo de corriente en el circuito esta
relacionado con carga.
La integración entre los elementos individuales que forman un circuito eléctrico esta
determinada por las leyes de kirchhoff donde;
Ley 1: La suma algebraica de todas las corrientes que entran en cualquier circuito o nodo
es igual a cero
Ley 2: La suma algebraica de la caída de voltaje alrededor de cualquier curva cerrada o
trayectoria en un circuito es cero.
El uso de estas leyes nos lleva a la ecuación de circuito, las cuales puedes ser analizadas
usando las técnicas de la trastornadora Laplace

13. Los sistemas mecánicos; por metro(mts) y Ns/m (Newtons y segundos por metro)
traslación pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres
elementos básicos; masa resortes y amortiguadores,. Las variables asociadas son el
desplazamiento x(t) (medido en metros) y la fuerza F(t) (medida en Newtons).
Ahora bien, suponiendo que estamos tratando con resortes y amortiguadores
ideales, el cual se comportan lineal mente, y tomando en cuenta las relaciones entre
las fuerzas y desplazamientos en el tiempo, llegamos a las ecuaciones del sistema
que pueden ser usadas mediante la técnica de la transformada laplace cuyas
unidades de medida son, respectivamente, Kg(kilogramos), N/m (Newton).