Introducción a el análisis de mediciones analíticas por el método de los mínimos cuadrados y el análisis de datos anómalos. Permitiendo establecer criterios de aceptación en las mediciones utilizando curvas de calibracion.

1. UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
ANALISIS INSTRUMENTAL
ESPECTROSCOPIA
UV-VIS

2. 01
Los métodos analíticos se clasifican en:
clásicos e instrumentales. Y se utilizan en el
análisis cuantitativo y cualitativo.
• Análisis clásico cualitativo (Rx. de color)
• Cuantitativo: volumétrico, gravimétrico etc.
El Análisis instrumental:
• Análisis cualitativo y cuantitativo ,
empleando instrumentos para identificar y
cuantificar las especies químicas en una
muestra

3. 01
El análisis instrumental comprende una
buena parte de la química analítica en el
sentido de utilizar equipos científicos para
dimensionar características específicas de
especies químicas como:
• La Absorbancia
• Intensidad de emisión de la luz
• Conductividad
• Potencial eléctrico
• Refracción
• Angulo de rotación, etc.

4. 01
Los métodos y/o Técnicas que emplean
instrumentos, analizan las muestras con el
propósito de conocer alguna característica
física o química del analíto, lo que permite
caracterizarlo, identificarlo y/o cuantificarlo.
El análisis instrumental:
• Señal o respuesta
• Tiempo de respuesta
• Resolución (purificación)

5. 01
La medición
Es un proceso básico de la ciencia que
consiste en comparar un patrón
seleccionado con el objeto o fenómeno cuya
magnitud física se desea medir,
para determinar
cuántas veces el
patrón está
contenido en esa
magnitud.

6. 01
Cada aspecto a dimensionar implica un
resultado que puede ser evaluado y medido.
En análisis instrumental tiene principal
interés la relación de cada aspecto medido
en el análisis de una sustancia con su
concentración, por lo que se hace necesario
contar con métodos matemáticos y
estadísticos que permitan el análisis de los
aspectos medibles por métodos
instrumentales.

7. 01
• A menudo, en la práctica de las mediciones,
se requiere la solución de problemas que
incluyen conjuntos de variables cuando se
conoce que existen relaciones inherentes
entre ellas.
• La relación que se ajusta a un conjunto de
datos experimentales se caracteriza por una
ecuación de predicción que se denomina
ecuación de regresión.

8. 01
• Para asegurar la validez del método es
necesario que la dependencia de las
variables sea lineal.
• Es por ello importante comprobar mediante
un gráfico si el modelo es lineal.
• Es usual en química analítica que un
método analítico o instrumento esté
calibrado frecuentemente por la observación
de las respuestas, y, para diferentes niveles
del analíto, x.

9. 01
• En la mayoría de los casos la relación se
torna lineal como:

10. 01
• La curva de calibración es entonces
utilizada para obtener la concentración xpred
del analíto de una muestra, la cual produce
una respuesta observada yobs de:
• Es común determinar las constantes m y b
por el método de regresión de los mínimos
cuadrados en un conjunto de n pares de
valores (xi; yi).
𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑑 =
𝑦 𝑜𝑏𝑠 − 𝑏
𝑚

11. 01
• El método de Mínimos cuadrados es una
técnica de análisis numérico enmarcada
dentro de la optimización matemática, en la
que, dados un conjunto de pares ordenados
—variable independiente, variable
dependiente—
• como por ejemplo: los resultados del análisis
de una serie de estándares o patrones y sus
resultados en una característica propia, es
decir, una familia de funciones.

12. 01
• Se intenta encontrar la función continua,
dentro de dicha familia, que mejor se
aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de
acuerdo con el criterio de mínimo error
cuadrático.
• En su forma más simple, intenta minimizar la
suma de cuadrados de las diferencias en las
ordenadas (llamadas residuos) entre los
puntos generados por la función elegida y los
correspondientes valores en los datos.

13. 01
• Estos resultan de
la variación de los
resultados aunque
se realicen varias
mediciones del
mismo material en
iguales
condiciones.

14. 01
Por ejemplo:
• En la determinación de hierro en agua
potable
• se levanta una curva de calibración según
se observa en la tabla siguiente:

15. 01
Conc. Fe (mg/L) A
0.05 0.151
0.05 0.152
0.05 0.180
0.10 0.259
0.10 0.238
0.10 0.228
0.50 0.317
0.50 0.314
0.50 0.300
1.20 0.577
1.20 0.511
1.20 0.650
2.00 0.915
2.00 1.071
2.00 1.020
5.00 2.389
5.00 2.400
5.00 2.453
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
0.00 2.00 4.00 6.00
A
C Fe mg/L

16. 01
• Desde un punto de vista estadístico, un
requisito implícito para que funcione el
método de mínimos cuadrados es que los
errores de cada medida estén distribuidos
de forma aleatoria.
• El teorema de Gauss-Márkov prueba que
los estimadores mínimos cuadráticos
carecen de sesgo y que el muestreo de
datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a
una distribución normal.

17. 01
• También es importante que los datos a
procesar estén bien escogidos, para que
permitan visibilidad en las variables que han
de ser resueltas.
• La técnica de mínimos cuadrados se usa
comúnmente en el ajuste de curvas,
utilizando las siguientes funciones:

18. 01
𝑆 𝑥𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖
2
= 𝑥𝑖
2
−
𝑥𝑖
2
𝑁
𝑆 𝑦𝑦 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖
2
= 𝑦𝑖
2
−
𝑦𝑖
2
𝑁
𝑆 𝑥𝑦 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑁

19. 01
La técnica de mínimos cuadrados se usa
comúnmente en el ajuste de curvas, utilizando
las siguientes funciones:
Pendiente de la recta 𝑚 = 𝑆 𝑥𝑦 𝑆 𝑥𝑥
Ordenada en el origen 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
Ecuación lineal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Coeficiente de determinación
𝑟2
=
𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦
2
𝑛 𝑥
2
− 𝑥 2 𝑛 𝑦
2
− 𝑦 2

20. 01
• Para el ejemplo en la determinación de hierro
en agua el tratamiento seria:
No.
CST
mg/mL
A 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑦𝑖 − 𝑦 𝑦𝑖 − 𝑦 2
𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦
1 0.05 0.151 -1.43 2.031 -0.634 0.402 0.903
2 0.05 0.152 -1.43 2.031 -0.633 0.400 0.902
3 0.05 0.180 -1.43 2.031 -0.605 0.366 0.862
4 0.10 0.259 -1.38 1.89 -0.526 0.276 0.723
5 0.10 0.238 -1.38 1.89 -0.547 0.299 0.752
6 0.10 0.228 -1.38 1.89 -0.557 0.310 0.765
7 0.50 0.317 -0.98 0.95 -0.468 0.219 0.456
8 0.50 0.314 -0.98 0.95 -0.471 0.222 0.459
9 0.50 0.300 -0.98 0.95 -0.485 0.235 0.473
10 1.20 0.577 -0.28 0.08 -0.208 0.043 0.057
11 1.20 0.511 -0.28 0.08 -0.274 0.075 0.075
12 1.20 0.650 -0.28 0.08 -0.135 0.018 0.037
13 2.00 0.915 0.53 0.28 0.130 0.017 0.068
14 2.00 1.071 0.53 0.28 0.286 0.082 0.150
15 2.00 1.020 0.53 0.28 0.235 0.055 0.124
16 5.00 2.389 3.53 12.43 1.604 2.574 5.655
17 5.00 2.400 3.53 12.43 1.615 2.609 5.694
18 5.00 2.453 3.53 12.43 1.668 2.783 5.881
Promedio 1.475 0.785 𝑆 𝑥𝑥 = 52.946 𝑆 𝑦𝑦 = 10.985 𝑆 𝑥𝑦 = 24.04

21. 01
• O la tabulación sugerida:
No. Conc. ST % A 𝑥𝑖
2
𝑦𝑖
2
𝑥𝑖 𝑦𝑖
1 0.05 0.151 0.0025 0.022801 0.00755
2 0.05 0.152 0.0025 0.023104 0.0076
3 0.05 0.18 0.0025 0.0324 0.009
4 0.1 0.259 0.01 0.067081 0.0259
5 0.1 0.238 0.01 0.056644 0.0238
6 0.1 0.228 0.01 0.051984 0.0228
7 0.5 0.317 0.25 0.100489 0.1585
8 0.5 0.314 0.25 0.098596 0.157
9 0.5 0.3 0.25 0.09 0.15
10 1.2 0.577 1.44 0.332929 0.6924
11 1.2 0.511 1.44 0.261121 0.6132
12 1.2 0.65 1.44 0.4225 0.78
13 2.0 0.915 4.0 0.837225 1.83
14 2.0 1.071 4.0 1.147041 2.142
15 2.0 1.02 4.0 1.0404 2.04
16 5.0 2.389 25.0 5.707321 11.945
17 5.0 2.4 25.0 5.76 12
18 5.0 2.453 25.0 6.017209 12.265
Promedios 1.475 0.7847
sumatorias 26.55 14.125 92.107 22.0688 44.869
N 18
𝑥 𝑖
2
𝑁 =39.16
𝑦 𝑖
2
𝑁 =11.08
42
𝑆 𝑥𝑥 =52.95 𝑆 𝑦𝑦 =10.98 𝑆 𝑥𝑦 =24.04

22. 01
• Obteniendo los resultados de “m” y “b” en:
𝑚 =
𝑆 𝑥𝑦
𝑆 𝑥𝑥
= 0.454 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 = 0.1151
y = 0.454x + 0.1151
R² = 0.9933
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
A
C Fe mg/L
Entonces la
concentración “x” es:
𝑥 =
𝑦−𝑏
𝑚

23. 01
De esta manera al obtener el resultado de
concentración de hierro en una muestra de
agua se utiliza directamente la ecuación de la
línea recta obtenida, despejando el valor de x
para conocer la concentración de la muestra.
por ejemplo: una muestra de agua presenta un
resultado al utilizar una técnica
espectroscópica cuyo valor es de 0.155 en
términos de absorbancia, calcule la
concentración de la muestra, si:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

24. 01
Así para una absorbancia de 0.155:
𝑥 =
0.155 − 0.1151
0.454
= 0.088
𝑚𝑔
𝑙
𝑑𝑒 𝐻𝑖𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑔𝑢𝑎
• El Coeficiente de determinación es un
término asociado a la tendencia de la línea
obtenida
• Su aceptación se determina con base a
criterios establecidos por las exigencias
analíticas del método utilizado
• Se asume de forma general que valores de r2
arriba de 0.98 representan resultados de
linealidad adecuada.

25. 01
• Es decir resultados más cercanos a la unidad
son los deseados en la elaboración de cada
curva de calibración en la práctica analítica.
• para el caso sugerido, si:
• Si r2 ≥0.98 se considera que la tendencia lineal de la curva de
calibración se adecua al propósito del método, es decir a la
cuantificación del analíto buscado.
𝑟2 =
𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦
2
𝑛 𝑥
2
− 𝑥 2 𝑛 𝑦
2
− 𝑦 2
𝑟2 =
18 44.8697 − 26.55 14.125
2
18 92.1075 − 26.55 2 18 22.0688 − 14.125 2
= 0.9933

26. 01
• La Regresión es muy sensible a la presencia
de datos anómalos.
• Por ese motivo es necesario graficar los
puntos experimentales junto con los puntos
esperados de acuerdo a la regresión para
detectar si alguno de ellos esta influenciando
la recta.

27. 01
• En primer lugar, se observa, que en los casos
donde haya ocurrido un error obvio como un
error de transcripción o de funcionamiento
deficiente del instrumento, resulta natural y
permitido rechazar la medida resultante y, si
es posible, repetirla.
• Si hay medidas sospechosas para las que no
hay ninguna fuente de error obvia, se debe
realizar el estudio de los residuos (yi-ŷ)

28. 01
• Al graficar los residuos estos deben
permanecer aproximadamente uniformes en
el tamaño a medida crece y, distribuyéndose
alrededor de cero, es decir deben ser
homocedásticos.
• A continuación se muestran algunas graficas
de residuos

29. 01
• (a) Grafica satisfactoria de los
residuos
• (b) Los residuos tienden a crecer
a medida crece y, sugiriendo que
seria adecuado un grafico de
regresión ponderado
• (c) Los residuos muestran una
tendencia, primero resultan ser
(-)s, luego pasan a través de
cero y, por ultimo, se hacen cada
vez mas (+)s a medida crece y,
sugiriendo que se debería
representar una curva diferente
• (d) Un grafico satisfactorio,
excepto que podría existir un
dato anómalo
DETECCION DE DATOS ANOMALOS

30. 01
• Los gráficos anteriores revelan de manera
muy clara valores sospechosos, pero no
proporcionan criterios que se puedan utilizar
inmediatamente para rechazarlos o
aceptarlos. Además, resultan de un valor
limitado en muchos experimentos, donde el
numero de puntos de calibrado es a menudo
muy pequeño.
DETECCION DE DATOS ANOMALOS

31. 01
• Para identificar posibles datos anómalos, se
puede aplicar un criterio numérico simple:
• Un residuo estándar igual o mayor a 1.5
indica que este residuo es anormalmente
alto, puesto que esta a una distancia igual o
mayor a 1.5 veces su desviación
DETECCION DE DATOS ANOMALOS
Residuo estándar =
𝒚𝒊 − 𝒚𝒊
𝑺

32. 01
• Evaluar la existencia de
datos anómalos en el
siguiente experimento
• La ecuación de la línea
recta es:
• Y=3.4786X + 1.3571
• r2=0.9758
EJEMPLO
Concentración
ppm
Intensidad de
Fluorescencia
0 0.1
2 8.0
4 15.7
6 24.2
8 31.5
10 33.0

33. 01
• La ecuación de la línea recta es:
• Y=3.4786X + 1.3571
• r2=0.9758
EJEMPLO
0
10
20
30
40
0 5 10 15
Y
Variable X
Curva de regresión
ajustada
-4
-2
0
2
4
0 5 10 15
Residuos
Gráfico de los
residuales

34. 01
• La ecuación de la línea recta es:
• Y=3.4786X + 1.3571 r2=0.9758
EJEMPLO
Concentració
n ppm
Intensidad de
Fluorescencia
Pronóstico
para Y Residuos
Residuos
estándares
0 0.1 1.35714286 -1.25714286 0.61367343
2 8.0 8.31428571 -0.31428571 0.15341836
4 15.7 15.2714286 0.42857143 0.20920685
6 24.2 22.2285714 1.97142857 0.96235152
8 31.5 29.1857143 2.31428571 1.129717
10 33.0 36.1428571 -3.14285714 1.53418358
• El residuo estándar 1.53 es considerado un
residuo anormalmente alto, por lo tanto el
valor de intensidad 33 puede ser eliminado

35. 01
• Calculando de nuevo la ecuación de la curva
de calibración:
EJEMPLO
• La ecuación de la línea recta es:
• Y=3.95X + 0.1 r2=0.9996
Concentració
n ppm
Intensidad de
Fluorescencia
Pronóstico
para Y Residuos
0 0.1 0.1 -1.4155E-15
2 8.0 8.0 0.0
4 15.7 15.9 -0.2
6 24.2 23.8 0.4
8 31.5 31.7 -0.2

36. 01
EJEMPLO
• La ecuación de la línea recta es:
• Y=3.95X + 0.1 r2=0.9996
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10
Y
Variable X
Curva de regresión
ajustada
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 5 10Residuos
Gráfico de los
residuales