SOLUCION NUMERICA DE UN PENDULO ELASTICO DE UNA GRADO DE LIBERTAD APLICANDO LA TEORIA DE RUNGE KUTTA 4 EN MATLAB

1. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 1
FECHA: MAYO 2011
SOLUCIÓN NUMÉRICA PÉNDULO ELÁSTICO OSCILANTE CON RUNGE KUTTA 4 EN
MATLAB
Ccarita Cruz Fredy Alan, Hugo Reymundo Alvarez
Profesor: Mgt. Roy Sánchez Gutiérrez
Pontificia Universidad Católica del Perú, Maestría en Ingeniería Mecánica, Métodos
Matemáticos y Numéricos para Ingeniería
Lima: 27.05.2011
RESUMEN
En este estudio sobre péndulo elástico muelle-masa que se investiga. Con el fin de
resolver un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que se obtienen de la
aplicación de la segunda ley de newton que representan el fenómeno físico y que no es
posible determinar la solución por los métodos analíticos, considerando solucionarlo y
demostrar que si es posible con los métodos numéricos y en este caso utilizaremos el
método numérico de Runge Kutta 4 para sistemas con ayuda del software Matlab, se hará
la demostración para dos variaciones de longitud del péndulo y ver que eventos se
producen por estas variaciones, los resultados se compararan con otros trabajos para
verificar los mismo, al final quedamos conforme con el trabajo porque lo dicho
anteriormente ha podido ser demostrado.
Palabras claves: péndulo elástico, la oscilación no lineal, la técnica de simulación,
Matlab, Runge - Kutta
ABSTRACT
In this study of elastic spring-mass pendulum is investigated. In order to solve a system of
nonlinear differential equations obtained from the application of Newton's second law to
represent the physical phenomenon and it is not possible to determine the solution by
analytical methods, considering solutions and demonstrate that it is possible with
numerical methods and in this case we use the numerical method of Runge Kutta 4 for
systems using the Matlab software, will show for two variations of length of the pendulum
and see what events are produced by these variations, the results were compared with
other papers for the same in the end we were satisfied with the work because of the above
has been demonstrated
.
Keywords: elastic pendulum, nonlinear oscillation, the technique of simulation, Matlab,
Runge – Kutta 4
1. INTRODUCION
La aplicación de las ecuaciones
diferenciales dentro de la ingeniería
Mecanica para determinar las ecuaciones
que gobiernan los fenómenos físicos de
estudio son muchísimas por no decir
infinitas, pero la gran mayoría de estas no
tienen solución numérica es por esa razón
que se ha hecho necesario solucionar de

2. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 2
FECHA: MAYO 2011
alguna manera estas ecuaciones
diferenciales, razón por la cual hoy en día
hay muchos métodos como el Método de
Elementos Finitos (FEM), Diferencias
Finitas (FDM), Método de Variación
Iteracional (VIM), Método de Perturbación
Homotropica (HPM) etc etc, para nuestro
caso utilizaremos el método de Runge
Kutta 4 en Matlab.
2. ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL
SISTEMA
Aplicando la segunda ley de Newton y
trabajando en coordenadas cilíndricas
(r,θ) tendríamos lo siguiente:
Ahora podemos escribir
Σ : − sin = (1)
: = 2 ̇ ̇ + ̇ (2)
− sinθ = m 2 ̇ ̇ + ̈
− = 2 ̇ ̇ + ̈
̈ = − − 2 ̇ ̇
̈ =
− − 2 ̇ ̇
(3)
Σ : cos − = (4)
: = − ( − ) (5)
= ̈ − ̇ (6)
− [− ( − )] =
+ ( − ) = ̈ − ̇
− ( − ) = ̈ − ̇
̈ = ̇ + − ( − )
Figura 1 . Diagrama de cuerpo libre péndulo elástico en el punto 2

3. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 3
FECHA: MAYO 2011
̈ = ̇ + − ( − ) (7)
De donde:
L : Longitud sin deformar.
r : Radio.
̇ : Velocidad radial.
̈ : Asceleración radial.
: Posición angular.
̇ : Velocidad Angular.
̈ : Asceleración Angular.
k : Constante de Rigidez
m : Masa.
g : gravedad.
t : tiempo.
El sistema es conservador porque no hay
amortiguación. Por lo tanto la energía
total (energía cinética y energía potencial)
del sistema es siempre constante y el
tiempo invariante (holonómica).
Con el fin de investigar los
comportamientos de la elástica del
péndulo, algunos parámetros se deben
dar. Por esta razón, la frecuencia natural
del resorte y el péndulo respectivamente,
como sigue:
= = 12.64; = = 19.61
Por otra parte determinaremos una
constante:
= = = 0.35
3. SOLUCIÓN NUMÉRICA
Para la solución numérica con Runge
Kutta 4 para sistemas, debemos de utilizar
las ecuaciones (3) y (7), pero antes
debemos de trasformar estas ecuaciones
a un sistema de ecuaciones diferenciales:
Creación de la matriz μ
=
̇
̇
′
=
̇
̈
̇
̈
′
=
+ ( ) − ( − )
−2
−
( )
Para la solución de este problema
debemos de dar los siguientes datos:
g=9.80665 m/s2
; k=40N/m; L=0.5m,
m=0.25Kg
Tendremos lo siguiente:
′
=
+ 9.80665 ( ) − 160 + 80
−2
−
9.80665 ( )
Con las siguientes condiciones iniciales:
=
0.5
0
3
0
=
̇
̇
Una vez reemplazado las variables ahora
debemos de utilizar el método de Runge
Kutta 4 para sistemas:
RUNGE-KUTTA 4 PARA SISTEMAS
"POR FILAS" DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Function A=rks4M(F,a,b,Za,M)
%Datos: F es la función vectorial, el
intervalo [a b]
%Za=[x1(a)...xn(a)] es la condición inicial y
M es el número de pasos.

4. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 4
FECHA: MAYO 2011
%Resultados: T, vector de los nodos,
Z=[x1(t)... xn(t)],las aproximaciones
h=(b-a)/M;
T=zeros(1,M+1);
Z=zeros(M+1,length(Za));
T=a:h:b;
Z(1,:)=Za;
for j=1:M
k1=h*feval(F,T(j),Z(j,:));
k2=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k1/2);
k3=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k2/2);
k4=h*feval(F,T(j)+h,Z(j,:)+k3);
Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
A=[T' Z];
End
Antes de ello debemos de definir lo
siguiente F,a,b,Za,M
F
function Z=Fs5(t,Z)
a=Z(1);
b=Z(2);
c=Z(3);
d=Z(4);
Z=[b a*d.^2+9.80665*cos(c)-160*a+80 d -
2*b*d./a-9.80665*sin(c)./a];
a=0 ; b=0.5 ; Za=
0.5
0
3
0
; M=100
Por lo tanto tendríamos:
A=rks4M('Fs5',0,0.5,[0.5 0 pi/3 0],100)
Que resulta:
A =
t r ̇ ̇
0 0.5000 0 1.0472 0
0.0050 0.5001 0.0245 1.0470 -0.0849
0.0100 0.5002 0.0490 1.0463 -0.1697
0.0150 0.5006 0.0734 1.0453 -0.2542
0.0200 0.5010 0.0976 1.0438 -0.3384
0.0250 0.5015 0.1217 1.0419 -0.4221
0.0300 0.5022 0.1455 1.0396 -0.5051
0.0350 0.5030 0.1691 1.0369 -0.5875
0.0400 0.5039 0.1924 1.0337 -0.6690
0.0450 0.5049 0.2153 1.0302 -0.7495
0.0500 0.5060 0.2378 1.0262 -0.8291
0.0550 0.5073 0.2599 1.0219 -0.9075
0.0600 0.5086 0.2815 1.0171 -0.9847
0.0650 0.5101 0.3026 1.0120 -1.0605
0.0700 0.5117 0.3231 1.0065 -1.1351
0.0750 0.5133 0.3429 1.0007 -1.2081
0.0800 0.5151 0.3621 0.9945 -1.2797
0.0850 0.5169 0.3807 0.9879 -1.3498
0.0900 0.5189 0.3984 0.9810 -1.4182
0.0950 0.5209 0.4154 0.9737 -1.4850
0.1000 0.5230 0.4315 0.9661 -1.5502
0.1050 0.5252 0.4468 0.9582 -1.6137
0.1100 0.5275 0.4612 0.9500 -1.6755
0.1150 0.5299 0.4746 0.9415 -1.7356
0.1200 0.5323 0.4871 0.9326 -1.7940
0.1250 0.5347 0.4986 0.9235 -1.8508
0.1300 0.5372 0.5090 0.9141 -1.9058
0.1350 0.5398 0.5184 0.9045 -1.9592
0.1400 0.5424 0.5266 0.8945 -2.0110
0.1450 0.5451 0.5338 0.8844 -2.0612
0.1500 0.5478 0.5398 0.8739 -2.1098
0.1550 0.5505 0.5447 0.8633 -2.1569
0.1600 0.5532 0.5484 0.8524 -2.2025
0.1650 0.5560 0.5509 0.8412 -2.2467
0.1700 0.5587 0.5523 0.8299 -2.2895
0.1750 0.5615 0.5525 0.8183 -2.3310
0.1800 0.5642 0.5515 0.8066 -2.3712
0.1850 0.5670 0.5493 0.7946 -2.4101
0.1900 0.5697 0.5459 0.7825 -2.4479
0.1950 0.5724 0.5414 0.7702 -2.4846
0.2000 0.5751 0.5358 0.7576 -2.5202
0.2050 0.5778 0.5290 0.7450 -2.5548
0.2100 0.5804 0.5211 0.7321 -2.5885
0.2150 0.5830 0.5121 0.7191 -2.6213
0.2200 0.5855 0.5021 0.7059 -2.6533
0.2250 0.5880 0.4911 0.6925 -2.6845
0.2300 0.5905 0.4791 0.6790 -2.7149
0.2350 0.5928 0.4662 0.6654 -2.7447
0.2400 0.5951 0.4525 0.6516 -2.7739
0.2450 0.5973 0.4378 0.6377 -2.8025
0.2500 0.5995 0.4224 0.6236 -2.8306
0.2550 0.6016 0.4063 0.6094 -2.8582
0.2600 0.6036 0.3895 0.5950 -2.8853
0.2650 0.6055 0.3721 0.5805 -2.9120
0.2700 0.6073 0.3541 0.5659 -2.9383
0.2750 0.6090 0.3357 0.5511 -2.9643
0.2800 0.6106 0.3168 0.5362 -2.9900
0.2850 0.6122 0.2976 0.5212 -3.0153
0.2900 0.6136 0.2781 0.5061 -3.0404
0.2950 0.6149 0.2583 0.4908 -3.0653
0.3000 0.6162 0.2385 0.4754 -3.0899

5. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 5
FECHA: MAYO 2011
0.3050 0.6173 0.2185 0.4599 -3.1142
0.3100 0.6184 0.1985 0.4443 -3.1383
0.3150 0.6193 0.1786 0.4285 -3.1622
0.3200 0.6202 0.1587 0.4127 -3.1859
0.3250 0.6209 0.1391 0.3967 -3.2093
0.3300 0.6216 0.1197 0.3806 -3.2325
0.3350 0.6221 0.1006 0.3644 -3.2555
0.3400 0.6226 0.0819 0.3480 -3.2782
0.3450 0.6229 0.0636 0.3316 -3.3006
0.3500 0.6232 0.0458 0.3150 -3.3227
0.3550 0.6234 0.0286 0.2983 -3.3444
0.3600 0.6235 0.0119 0.2816 -3.3658
0.3650 0.6235 -0.0041 0.2647 -3.3868
0.3700 0.6234 -0.0195 0.2477 -3.4074
0.3750 0.6233 -0.0342 0.2306 -3.4275
0.3800 0.6231 -0.0481 0.2134 -3.4471
0.3850 0.6228 -0.0612 0.1961 -3.4662
0.3900 0.6225 -0.0736 0.1788 -3.4846
0.3950 0.6221 -0.0851 0.1613 -3.5024
0.4000 0.6216 -0.0958 0.1437 -3.5195
0.4050 0.6211 -0.1057 0.1261 -3.5358
0.4100 0.6206 -0.1147 0.1084 -3.5514
0.4150 0.6200 -0.1229 0.0906 -3.5660
0.4200 0.6194 -0.1302 0.0727 -3.5798
0.4250 0.6187 -0.1367 0.0548 -3.5926
0.4300 0.6180 -0.1423 0.0368 -3.6043
0.4350 0.6173 -0.1472 0.0188 -3.6150
0.4400 0.6165 -0.1513 0.0007 -3.6245
0.4450 0.6158 -0.1546 -0.0175 -3.6329
0.4500 0.6150 -0.1572 -0.0357 -3.6400
0.4550 0.6142 -0.1591 -0.0539 -3.6458
0.4600 0.6134 -0.1603 -0.0721 -3.6502
0.4650 0.6126 -0.1610 -0.0904 -3.6533
0.4700 0.6118 -0.1611 -0.1087 -3.6550
0.4750 0.6110 -0.1606 -0.1269 -3.6552
0.4800 0.6102 -0.1597 -0.1452 -3.6539
0.4850 0.6094 -0.1584 -0.1635 -3.6510
0.4900 0.6086 -0.1568 -0.1817 -3.6466
0.4950 0.6078 -0.1548 -0.1999 -3.6407
0.5000 0.6070 -0.1526 -0.2181 -3.6331
>> plot(A(:,1),180*A(:,4)/pi,'r')
(Tiempo * Grados sexagecimales)
grid on
axis on
>> plot(A(:,1),A(:,2),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('radio')
Figura 2 . Diagrama de Posición en función del tiempo – Péndulo Elástico

6. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 6
FECHA: MAYO 2011
Si deseamos saber la posición de r
cuando el péndulo llega a 0°, se tendría lo
siguiente:
El tiempo que la masa del péndulo llega a
la posición:
Θ=0° t=0.44 s.
Figura 3. Diagrama de radio en función del tiempo – Péndulo Elástico.
Figura 4. Diagrama para determinar el tiempo cuando Θ=0°

7. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 7
FECHA: MAYO 2011
4. CONCLUSIONES
En este trabajo, se pudo demostrar que si
es posible solucionar ecuaciones
diferenciales por métodos numéricos que
en este caso el Runge Kutta 4, aplicado al
péndulo elástico, también se demostró
que cuando se hace la variación de la
longitud “L”, la intensidad del movimiento
oscilatorio aumenta con una mayor
elongación de la cuerda elástica, dentro
del campo de las vibraciones este péndulo
se consideraría como un sistema con dos
grados de libertar clasificado como una
vibración libre debido por solo a la
presencia de las fuerzas gravitatorias y
elásticas,
5. REFERENCIAS
Zekeyra Girgin, Ersin Demir 2008,
Investigation of elastic pendulum
oscillations by simulation technique, 81-
86.
Jorge Rodriguez Hernandez, 2010,
Dinamica, Cap II, Cap X
Chang, C.L and Lee 2004, Applyng the
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pendulum problem, Appl. Math Comput
149, 613-624
Georgiou, I. T. 1999. On the global
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structure of the dynamics of the elastic
pendulum, Nonlinear Dynam. 18, 51-68
.
Girgin, Z. 2008. Combining differential
quadrature method with simulation
technique to solve nonlinear differential
equations, Int. J. Numer. Meth. Eng. 75
(6), 722-734.
Figura 5. Diagrama de comparación – para dos casos de L (L1=0.5m y L2=0.575m)