Distribución exponencial y lognormal

Universidad Tecnológica de Torreón
Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Distribución Exponencial y
Lognormal “Minitab”
Ing. Tecnologías de la Producción

Estadística Aplicada a la
Ingeniería
Alumno
Víctor Hugo Franco García

7° ``A´´
Profesor

Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

A Martes 26 de Noviembre de 2013


Distribución Exponencial
Calcula las densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas y
probabilidades acumuladas inversas para una distribución exponencial. Utilice la
distribución exponencial para datos de series de tiempo cuando los datos sean
constantes, como cuando las unidades tienen una tasa de falla constante. Utilice
cuando las variables aleatorias sean mayores que 0.
Distribución exponencial
Se utiliza con más frecuencia para modelar el
comportamiento de unidades que tienen una
tasa de falla constante. La distribución
exponencial tiene una amplia gama de
aplicaciones en el análisis de la confiabilidad y
disponibilidad de sistemas electrónicos, teoría de
colas y cadenas de Markov. Por ejemplo, el
tiempo para la falla de componentes
electrónicos, el tiempo entre las llegadas de
clientes en un terminal, el tiempo para
desintegración de un núcleo radiactivo o la
distancia que recorre un fotón en un medio antes
de chocar con partículas de polvo.
Una propiedad importante de la distribución exponencial es que no tiene memoria.
La propiedad de ausencia de memoria indica que la vida útil restante de un
componente es independiente de su antigüedad. Por ejemplo, un sistema que
experimenta un desgaste natural y, por lo tanto, tiene más probabilidades de fallar
más tarde en su vida útil no es un sistema sin memoria.
La distribución exponencial de 1 parámetro se describe según su parámetro de
escala. La distribución exponencial de 2 parámetros se describe según sus
parámetros de escala y valor umbral. El parámetro de valor umbral,  , de ser
positivo, cambia el comienzo de la distribución en una distancia  a la derecha.
Por ejemplo, usted está interesado en estudiar la falla de un sistema, en cuyo caso
 = 5. Esto significa que las fallas comienzan a ocurrir después de 5 horas de
operación y no pueden ocurrir antes.
Variable aleatoria
Una característica de un experimento o unidad de muestra. En particular, es una
característica que no es controlada directamente por el investigador. Puede ser
numérica o cualitativa. Por ejemplo, si tiene un muestreo de estudiantes de
secundaria, la muestra sería un estudiante. Las variables aleatorias posibles
incluirían estatura, peso, sexo, color de cabello, etc. Como la selección de los
estudiantes es aleatoria, cada una de estas características variará.


Función de densidad de probabilidad (PDF)
Describe la probabilidad de cada valor específico que una variable puede adquirir.
Para una variable discreta, la PDF es una lista que contiene cada valor que la
variable puede adquirir y su probabilidad asociada. Por ejemplo, una fábrica de
caramelos produce un tipo de caramelo de múltiples colores. 30% de los
caramelos producidos son amarillos, 10% anaranjados, 10% rojos, 20% verdes y
30% azules.

Esta gráfica de barras muestra la PDF por color de
caramelo. Cada barra representa la probabilidad
de caramelos de ese color expresada como un
porcentaje.

Para una variable continua, la PDF es la curva que aproxima la forma cuando sus
valores se muestran en una gráfica de barras o histograma. Por ejemplo, una
máquina que corta corchos para botellas de vino produce corchos de diferentes
diámetros. En la siguiente gráfica de barras de diámetros de corchos, cada barra
representa el porcentaje de corchos con el correspondiente diámetro.

La curva azul es la PDF para el diámetro del
corcho. Utilice la PDF para determinar la
probabilidad de un evento que ocurre. Por
ejemplo, sólo un pequeño porcentaje de corchos
(1%) tiene un diámetro por debajo de 2.8 cm.

Si los límites de especificación para el diámetro de
corchos son de 2.85 cm a 3.15 cm, la PDF ofrece
la probabilidad o el porcentaje de todos los corchos
de este proceso que cumplen con las
especificaciones.


La forma de la PDF es diferente para distribuciones diferentes. La curva de forma
de campana familiar representa la PDF para una distribución normal. Mientras el
diámetro de corchos sigue una distribución normal, otras mediciones, tales como
la fuerza que toma extraer el corcho de la botella de vino, puede seguir una
distribución diferente. Por ejemplo, la PDF para una distribución log-normal tiene
una cola larga hacia la derecha.
Debido a que una botella de vino ocasionalmente
requiere una cantidad excepcional de fuerza para
remover el corcho, las mediciones de esta fuerza
con frecuencia siguen una distribución con una
cola larga hacia la derecha tal como la distribución
lognormal.
Elementos del cuadro de diálogo
Densidad de probabilidad: Elija esta opción para calcular las densidades de
probabilidad
Probabilidad acumulada: Elija esta opción para calcular las probabilidades
acumuladas.
Probabilidad acumulada inversa: Elija esta opción para calcular la inverse de las
probabilidades acumuladas. Cuando este valor no está definido, Minitab devuelve
un valor faltante.
Escala: Ingrese un valor de escala para definir la distribución exponencial. El
parámetro de escala es igual a la media, cuando el parámetro de valor umbral es
igual a 0.
Valor umbral: Ingrese un número umbral para definir la distribución exponencial.
Columna de entrada: Ingrese una columna que se evaluará.
Almacenamiento opcional: Ingrese una columna de almacenamiento para los
valores generados. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si
se muestran dos. Minitab muestra los valores almacenados en la ventana Datos,
pero no en la ventana Sesión.
Constante de entrada: Ingrese un número o constante que se evaluará.
Almacenamiento opcional: Ingrese una constante para almacenar el valor
generado. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se
muestran dos. Minitab muestra la constante almacenada en la carpeta Constantes,


Nota Algunas referencias utilizan 1/ b para el parámetro de escala. Minitab utiliza
b.
Si usted no especifica valores, Minitab utiliza escala = 1 y valor umbral = 0.
Procedimiento

Para calcular la pdf, cdf o cdf inversa
1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > (nombre de distribución).

2

Realice uno de los siguientes procedimientos:
Elija Probabilidad para calcular la pdf.
Elija Probabilidad acumulada para calcular la cdf.
Elija Probabilidad acumulada inversa para calcular la cdf inversa.

3

Ingrese los parámetros requeridos. Estos varían de una distribución a otra.

4 Por ejemplo, para la distribución binomial, los parámetros son Número de
ensayos y Probabilidad del evento.
En Columna de entrada, ingrese la columna que desea evaluar. Si lo desea,
en Almacenamiento opcional, ingrese una columna en la que almacenará las
probabilidades.
En Constante de entrada, ingrese la constante (como K1) o el número (como
21) almacenados que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional,
ingrese una constante (como K2) en la que almacenará la probabilidad.
5

Haga clic en Aceptar.


Ejemplo de uso de la función de densidad de probabilidad (pdf)
Nota El siguiente ejemplo es para una distribución binomial; sin embargo, el
método es similar para otras distribuciones.
Supongamos que usted compró cuatro baterías. El paquete dice que 95% de las
baterías dura por lo menos 100 horas. Si esto es verdadero, ¿cuáles son las
probabilidades de que las cuatro baterías duren por lo menos 100 horas? ¿De qué
tres duren ese tiempo? ¿De qué ninguna dure ese tiempo?
Se trata de un problema binomial, porque existen dos resultados para cada
batería: la batería dura más de 100 horas o no.
1 Escriba los números 1, 2, 3 y 4 (para cada una de las cuatro baterías) en una
columna de hoja de trabajo llamada Datos.
2

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Binomial.

3

Elija Probabilidad.

4 En Número de ensayos, ingrese 4. En Probabilidad del evento, ingrese
0.95.
5

Elija Columna de entrada e ingrese Datos. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Sesión

Nota Si usted especifica una columna de almacenamiento, la salida no se
produce en la ventana Sesión. Para ver los resultados, busque en la
ventana de datos o utilice Datos > Mostrar datos.
Interpretación de los resultados
La probabilidad de que cuatro baterías duren por lo menos 100 horas es de
0.814506 y la probabilidad de que sólo tres duren ese tiempo es de 0.171475. La
probabilidad de que ninguna dure ese tiempo es de 0.


Ejemplo de cálculo de probabilidad acumulada (cdf)
Nota El siguiente ejemplo es para una distribución normal; sin embargo, el
método es similar para otras distribuciones.
Supongamos que usted desea calcular una probabilidad acumulada para el valor
27 de una distribución normal con  = 28 y = 1.
Usted busca el área debajo de la curva hasta 27, tal como se muestra:

1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Normal.

2

Elija Probabilidad acumulada.

3

En Columna, ingrese 28. En Desviación estándar, ingrese 1.

4

Elija Constante de entrada e ingrese 27. Haga clic en Aceptar.


Nota Si usted especifica una columna de almacenamiento, la salida no se
produce en la ventana Sesión. Para ver los resultados, busque en la.


La cdf para 27 es 0.158655. Este valor representa el área debajo de la curva
normal hasta 27, que se muestra en negro.

Ejemplo de cálculo de valores p
Nota El siguiente ejemplo es para una distribución F; sin embargo,
el método es similar para otras distribuciones.
Supongamos que usted realiza un análisis de regresión múltiple con los siguientes
grados de libertad: df (Regresión) = 3; df (Error) = 2; y la estadística F = 4.86.
Ahora usted desea calcular un valor p para la prueba F.
Primero, usted calcula la fu
cdf.
1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > F.

2

Elija Probabilidad acumulada.

3 En Grados de libertad del numerador, ingrese 3. En Grados de libertad del
denominador, ingrese 2.
4

Elija Constante de entrada e ingrese 4.86.

5

En Almacenamiento opcional, ingrese K1. Haga clic en Aceptar.

K1 contiene la función de distribución acumulada. Ahora usted utilizará la
Calculadora para restar el valor p de 1.
6

Elija Calc > Calculadora.

7

En Almacenar resultado en variable, ingrese valor P.


8

En Expresión, ingrese

. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Datos
Nota Este comando no genera salida en la ventana Sesión. En
cambio, una columna se almacena en la hoja de trabajo.
El valor p calculado, tal como se muestra en la ventana Datos, es 0.175369.
Utilizando el valor de corte 0.05, usted no concluiría que la significancia estadística
desde 0.175369 no es menos que 0.05.

Ejemplo de cálculo de la probabilidad acumulada inversa
Nota El siguiente ejemplo es para una distribución normal; sin
embargo, el método es similar para otras distribuciones.
En el Ejemplo de cálculo de probabilidad acumulada (cdf), usted descubrió que la
cdf para 27 (el área debajo de la curva normal hasta 27) es 0.1587. Supongamos
que usted desea calcular la probabilidad acumulada inversa para 0.1587 en la
misma distribución. Este valor debería ser 27.
1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Normal.

2

Elija Probabilidad acumulada inversa.

3

En Columna, ingrese 28. En Desviación estándar, ingrese 1.

4 Elija Constante de entrada e ingrese0.1587; a continuación, haga clic en
Aceptar.


La probabilidad acumulada inversa para 0.1587 es 27.0002.
En cambio, tal como se muestra en los Resultados de cálculo de la cdf, la
probabilidad acumulada para 27 es 0.1587. La diferencia de 0.0002 se debe a un
error de redondeo.
Ejemplo de cálculo de valores críticos
Puede utilizar Minitab para calcular un critical value para una hypothesis test en
lugar de buscar en una tabla en un libro.
Nota El ejemplo siguiente es para una distribución chi-cuadrada;
sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.
Supongamos que usted desea realizar una prueba 2 con  = 0.02 y 12 grados de
libertad. ¿Cuál es el valor crítico correspondiente? Una  de 0.02 corresponde a
un valor de probabilidad acumulada de 1 - 0.02 = 0.98.
1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Chi-cuadrada.

2

Elija Probabilidad acumulada inversa. En Grados de libertad, ingrese 12.

3

Elija Constante de entrada e ingrese 0.98. Haga clic en Aceptar.


Minitab muestra el valor crítico, 24.054, en la ventana Sesión. Para la prueba 2 ,
si la test statistic es mayor que el critical value, en este caso 24.054, puede
concluir que hay evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula.


Ejemplo:
Una masa radioactiva emite partículas de acuerdo a un proceso de Poisson a una
tasa promedio de 15 partículas por minuto. En algún punto se echa a andar un
reloj. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra, más de 5 segundos, antes de la
próxima emisión? ¿Cuál es el tiempo promedio de espera hasta que la siguiente
partícula sea emitida?
Solución:
 = 15/60 = 0.25 partículas x seg.

P

5 = 0.713495

Media: 1/ = 1/0.25 = 4

1 – 0.713495 = 0.286506

La probabilidad de que transcurran más de 5 segundos antes de la próxima
emisión es 0.2865 ó 28.65%, la cual no es probabilidad muy alta, pero puede
suceder.


Distribución Lognormal
Calcula las densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas y
probabilidades acumuladas inversas para una distribución lognormal. La
distribución lognormal se utiliza frecuentemente para análisis de confiabilidad y en
aplicaciones financieras, como por ejemplo para modelar el comportamiento de
una acción. Una variable aleatoria sigue esta distribución si el logaritmo de la
variable aleatoria se distribuye normalmente. Utilice cuando las variables
aleatorias sean mayores que 0.
Elementos del cuadro de diálogo
Densidad de probabilidad: Elija esta opción para calcular las densidades de
probabilidad.
Probabilidad acumulada: Elija esta opción para calcular las probabilidades
acumuladas.
Probabilidad acumulada inversa: Elija esta opción para calcular la inverse de las
probabilidades acumuladas. Cuando este valor no está definido, Minitab devuelve
un valor faltante.
Ubicación: Ingrese una ubicación para definir la distribución lognormal.
Escala: Ingrese una escala para definir la distribución lognormal.
Valor umbral: Ingrese un valor umbral para definir la distribución lognormal.
Columna de entrada: Ingrese una columna que se evaluará.
Almacenamiento opcional: Ingrese una columna de almacenamiento para los
valores generados. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si
se muestran dos. Minitab muestra los valores almacenados en la ventana Datos,
Constante de entrada: Ingrese un número o constante que se evaluará.
Almacenamiento opcional: Ingrese una constante para almacenar el valor
generado. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se
muestran dos. Minitab muestra la constante almacenada en la carpeta Constantes,
Nota

Si usted no especifica valores, Minitab utiliza la ubicación = 0, la
escala = 1 y el valor umbral = 0.


Para calcular la pdf, cdf o cdf inversa
1

Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > (nombre de distribución).

2

Elija Probabilidad para calcular la pdf.
Elija Probabilidad acumulada para calcular la cdf.
Elija Probabilidad acumulada inversa para calcular la cdf inversa.

3

Ingrese los parámetros requeridos. Estos varían de una distribución a otra.

4 Por ejemplo, para la distribución binomial, los parámetros son Número de
ensayos y Probabilidad del evento.
En Columna de entrada, ingrese la columna que desea evaluar. Si lo desea,
en Almacenamiento opcional, ingrese una columna en la que almacenará las
probabilidades.
En Constante de entrada, ingrese la constante (como K1) o el número (como
21) almacenados que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional,
ingrese una constante (como K2) en la que almacenará la probabilidad.
5

Haga clic en Aceptar.

NOTA: Cabe mencionar que la distribución Exponencial, tiene mucho
parecido a la distribución Lognormal
Evidencia


Ecuación (4.31)

Ejemplo:
El tiempo de vida de un cierto componente, está distribuido lognormalmente, con
parámetros μ = 1 y σ = 0.5 días. Encuentra la media del tiempo de vida de estos
componentes. Encuentra la desviación estándar del tiempo de vida.
La Y representa el tiempo de vida de un componente escogido aleatoriamente. La
media de Y esta encontrada por la ecuación (4.31), para ser.
La varianza es
–
La desviacion estandar es
1.64 días, es el tiempo de vida del componente que se seleccionó aleatoriamente.

Datos del servidor:
Víctor Hugo Franco García
andruss_hugo1453@hotmail.com
victor_franco_93@hotmail.com
http://victor-garcia.bligoo.com.mx/

Distribución exponencial y lognormal

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Distribución exponencial y lognormal

Similar a Distribución exponencial y lognormal (20)

Más de Hugo_Franco

Más de Hugo_Franco (9)

Distribución exponencial y lognormal