EXPO

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA
ZONA MAYA.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
UNIDAD 4.
TEMA: 4.2. CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN
DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA
SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE
LÍNEAS DE ESPERA.
ISC: EFRAIN LARA DOMINGUEZ.
ALUMNA: LANDY HERNANDEZ GONZALEZ, NANCY
ESTEBAN, JAHDAI LEYVA. GERMAN BACAB

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Contenido
Introducción. ........................................................................................................................... 2
4.2. Criterios bajo la distribución de Poisson y exponencial para la selección del modelo
apropiado de líneas de espera............................................................................................... 3
Distribución de Poisson.......................................................................................................... 3
Modelo de línea de espera..................................................................................................... 7
Conclusión.............................................................................................................................11
Referencias............................................................................................................................12

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Introducción.
En la unidad 4 de la materia de investigación de operaciones, se abordan temas
de probabilidad, como lo es la distribución de Poisson que se utiliza para conocer
la frecuencia con la que ocurre un suceso, es decir que los hechos ocurridos son
aleatorios y se obtienen mediante una muestra poblacional, que indicara la
secuencia en la que ocurre.
De igual modo las líneas de espera sirven para conocer la capacidad que un
servicio puede ofrecer, esto nos sirve para identificar fallas en maquinarias, ya que
la línea de espera se forma por unas entidades que proporcionan información
directamente de los sistemas permitiendo saber de dónde se deriva el problema.

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4.2. Criterios bajo la distribución de Poisson y exponencial para la selección
del modelo apropiado de líneas de espera.
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se
aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo específico. La
variable aleatoria x es el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo. El
intervalo suele ser normalmente tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad
similar. La probabilidad de que el suceso ocurra x-veces, durante el intervalo,
está dada por la siguiente fórmula:
Donde y µ es el número promedio de resultados por unidad de tiempo y
donde la desviación estándar.
La distribución de Poisson debe cumplir los siguientes requisitos:
 La variable aleatoria X es el número de ocurrencias de un suceso durante un
intervalo.
 Las ocurrencias deben ser aleatorias.
 Las ocurrencias tienen que ser independientes entre sí.
 Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo
que se emplea.
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Aspectos importantes a tener en cuenta:

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1. La distribución de Poisson sólo se ve afectada por el valor de la media µ, al
contrario que la distribución binomial que se veía afectada por el tamaño de la
muestra y la probabilidad.
2. Los valores permitidos para x en la distribución de Poisson no tienen cota
superior (0,1,2,3…) al contrario que la binomial que si estaba acotada
(0,1,2,3…n).
Aplicaciones
 el número de muertes por caballo patadas en el ejército prusiano (primera
aplicación)
 defectos de nacimiento y mutaciones genéticas
 las enfermedades raras (como la leucemia, pero no el SIDA porque es
infecciosa y por tanto no independiente) – especialmente en casos legales
 accidentes automovilísticos
 el flujo de tráfico y la distancia de seguridad
 número de errores de escritura en una página
 pelos encontrados en las hamburguesas de McDonald
 propagación de un animal en peligro de extinción en África
 fallos de una máquina en un mes
Ejemplo:
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso.
Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El
número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la
división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente
0, 1, 2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
Aplicando la fórmula anterior:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370

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P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades
de 0,1,2,3 lo que será igual a :
P(0) = 0.00674
P(1) = 0.03370
P(2) = 0.08425
P(3) = 0.14042
P(3 o menos) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511
entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 =
0.73489.
La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.
Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones
binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas
condiciones como :
n=>20
p=<0.05
En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media
de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de
modo que la fórmula quedaría así:
P(x) = (np) X * e-np /x!

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DISTRIBUCION EXPONENCIAL (DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO)
El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio
ha iniciado.
Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad
de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.
e= 2.17828
μt= cantidad media de unidades que pueden servirse por período
En la mayor parte de los casos de colas, la llegada de los clientes se hace en una forma
totalmente aleatoria. Aleatoriedad quiere decir que la ocurrencia de un evento (por
ejemplo, la llegada de un cliente o la terminación de un servicio) no está influido por el
tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior.
Los tiempos aleatorios entre llegadas se describen en forma cuantitativa, en los modelos
de colas, con la distribución exponencial, que se define como sigue:

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Modelo de línea de espera
Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de
un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está
formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a
las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema
que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas,
etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos,
barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son
fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se
encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace
necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este
tipo de sistemas.

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Modelo de Formación de Colas
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la
capacidad del sistema para suministrarlo.
En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a
la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que
los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio;
en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a
medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente,
aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados
anteriormente están siendo atendidos.
OBJETIVOS
Los objetivos de la teoría de colas consisten en:
 Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste
del mismo.
 Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la
capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
 Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones
cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

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 Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de
espera.
Elementos Existentes En La Teoría De Colas
Proceso Básico De Colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en
una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En
determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el
servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se
lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio,
después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.
Fuente De Entrada O Población Potencial: Una característica de la fuente de
entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden
requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es
infinito o finito.
Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por
ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.
Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar
haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse
finita o infinita.
Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más
instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de
servicio, llamados servidores.
Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una
a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos
multitarea.
FILA
Es el conjunto de transacciones que
espera ser atendido por alguno de los
servidores del sistema. Una fila tiene tres

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características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número
máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y
de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas.
Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución
es mucho más fácil de encontrar a partir de las ecuaciones generales ya que la
solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la
evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados,
mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario
recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las
medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto
grado el manejo algebraico de la solución. Abandono por factores como
desesperación, hastío, etcétera.
ECUACIONES GENERALES
Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son
principalmente las siguientes:
Utilización del Servicio
Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y
se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total
del sistema para proporcionar el servicio.
Supuestos
 La línea de espera tiene 1 sólo canal
 las llegadas tienen una distribución Poisson
 Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial

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Conclusión.
Es importante conocer acerca de la distribución de Poisson, debido a que ayuda a
obtener datos derivadas de una población, el intervalo de la edad en la que se
encuentran las personas, el nivel de educación, la cantidad de personas enfermas,
con la finalidad de hacer un muestreo que ayude a conocer a una población, esto
se lleva a cabo por medio de los censos que realiza inegi, ya que se toma una
muestra de un rango de personas de la población para conocer sus necesidades,
etc. Así mismo las líneas de espera se relacionan ya que ambas ayudan a
detectar ciertas causas para darles una solución, a diferencia de que una se
especifica tecnológicamente, detectando problemas mediante un sistema.

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Referencias
https://fisicaymates.com/distribucion-de-poisson/
http://investigaciondeoperacionesuno.blogspot.mx/p/linea-de-espera_18.html
https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-de-poisson/