CONCEPTOS DE ECUACION

1. SISTEMAS DE ECUACIONES
LICEO BICENTENARIO INSTITUTO COMERCIAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

2. Sistemas de ecuaciones
Es un conjunto de dos o más ecuaciones donde hay más de una
incógnita.
En este curso trabajaremos con sistemas de dos ecuaciones con 2
incógnitas llamadas también sistemas de ecuaciones de 2x2.
Resolver un sistema consiste en encontrar los valores de las incógnitas
y para esto existen algunos métodos conocidos como:
Igualación.
Sustitución.
Reducción.

3. MÉTODO PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES
 Para lograr resolver un sistema de ecuaciones es necesario aplicar
estrategias para reducir el SISTEMA DE DOS INCÓGNITAS a solo
UNA ECUACIÓN con UNA INCÓGNITA y así buscar uno de los dos
valores.
 Para efectos de desarrollo de esta guía utilizaremos solo el
método de reducción.
Reducción : Consiste en eliminar una de las incógnitas y para esto se
debe multiplicar alguna(s) de las ecuaciones por un número tal que
una de las incógnitas quede con coeficientes opuestos en cada
ecuación, luego se suman ambas ecuaciones para eliminar dicha
incógnita y de este modo resulta una ecuación de primer grado con
una sola incógnita la que finalmente se resuelve

4. RESOLUCIÓN DE SISTEMA POR MÉTODO DE
REDUCCIÓN
3𝒙 + 𝑦 = 2
2𝑥 − 3𝑦 = 16
EJEMPLO:
Debemos amplificar una de las dos
ecuaciones para reducir x o y según elijas,
en este caso amplificaremos la ecuación de
arriba por -3.
3𝑥 + 𝑦 = 2 / por -3
2𝑥 − 3𝑦 = 16
9𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 − 3𝑦 = 16
Gracias a ello los coeficientes de y
quedaron con valores absolutos iguales pero
de signo contrario, es decir 3 y -3
11𝑥 = 22 /dividiendo ecuación por 11
𝑥 =
22
11
x = 2
Se suman las ecuaciones hacia abajo (expresiones con x, las con y y los
valores constantes resultando:
Se elimina «y» reduciéndose todo
a una ecuación con 1 incógnita, la
cual al resolver entrega uno de
los valores x = 2.

5.  Dado que x = 2, debemos buscar el valor de y para dar cuenta
con la solución final del sistema, para ello reemplazamos el
valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales del
sistema, es decir:
3𝑥 + 𝑦 = 2
2𝑥 − 3𝑦 = 16
Se elige cualquier ecuación, en
este caso elegiremos 3x + y = 2.
3 ∙ 𝟐 + 𝑦 = 2
6 + 𝑦 = 2 /-6
𝑦 = 2 − 6
𝑦 = −4
Se reemplaza x = 2 quedando una
ecuación con una incógnita, en este
caso «y», al resolver la ecuación que
resulta el valor y es -4
𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒙 = −𝟐 𝒆 𝒚 = −𝟒
la que también se puede escribir como S (-2,4)

6.  En el caso de que en el ejemplo anterior quisiera partir
reduciendo x entonces debería amplificar ambas ecuaciones
para igualar los coeficientes con signo opuesto y poder eliminar
tal incógnita, es decir:
3𝑥 + 𝑦 = 2
2𝑥 − 3𝑦 = 16
3𝑥 + 𝑦 = 2 / por -2
2𝑥 − 3𝑦 = 16 / por 3
−6𝑥 − 2𝑦 = −4
6𝑥 − 9𝑦 = 48
EJEMPLO
ANTERIOR
Se amplifican ambas ecuaciones
por los coeficientes contrarios y
para poder cambiar el signo de
uno la primera se amplifico por -2,
con esto partimos eliminando «x»
para encontrar primero «y».
−11𝑦 = 44
11𝑦 = -44
𝑦 = −
44
11
𝑦 = −4
REEMPLAZANDO EN ECUACION 1
3𝑥 + 𝑦 = 2
3𝑥 + −4 = 2 /+4
3𝑥 = 2 + 4
3𝑥 = 6
𝑥 =
6
3
𝑥 = 2
Logramos obtener exactamente la misma solución
(2,-4)

7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
 Para resolver un problema de sistemas de ecuaciones es
importante leer pausadamente el enunciado de tal problema en
donde si o si se presentarán 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Se
sugiere para ello realizar los siguientes pasos:
1. Identificar las incógnitas presentes en el problema.
2. Establecer las relaciones (ecuaciones) que se
establecen de acuerdo a los enunciados presentes en
tal problema.
3. Resolver el sistema (método de reducción)
4. Dar respuesta al problema.

8. SITUACIÓN.
Juan compró 2 kilos de arroz y 1 litro de aceite
cancelando por ello $ 2900, mientras que María
compró en el mismo negocio 1 kilo de arroz y 3
litros de aceite por $3700, ¿Cuál es el valor de
cada kilo de arroz y litro de aceite?
1) Identificar las incógnitas
x = valor kg de arroz
y = valor litro de aceite
2. Plantear sistema de
ecuaciones
2x + y = 2900
1x + 3y= 3700
1º ecuación: compró 2 kilos de arroz y 1 litro de
aceite cancelando por ello $ 2900
2º ecuación: compró 1 kilo de arroz y 3 litros de
aceite por $3700

9. 3. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.
 2𝑥 + 𝑦 = 2900
𝑥 + 3𝑦 = 3700 /por -2
Amplificamos la segunda
ecuación por -2
2𝑥 + 𝑦 = 2900
−2𝑥 − 6𝑦 = −7400
• −5𝑦 = −4500 /por -1
5𝑦 = 4500
𝑦 =
4500
5
y = 900
REEMPLAZANDO EN LA PRIMERA ECUACIÓN
2𝑥 + 𝑦 = 2900
2𝑥 + 900 = 2900
2𝑥 = 2900 − 900
2𝑥 = 2000
𝑥 = 2000/2
𝑥 = 1000

10. 4. RESPUESTA
.
S = (1000,900) El valor de cada
kilogramo de arroz es
$1000 y el valor de
cada litro de aceite es
$900
Es importante que una vez ya desarrollado el ejercicio lleven sus
respuestas al contexto de acuerdo al cual están trabajando, analizar
la consistencia de las soluciones y dar respuesta al problema
planteado, en este caso x = 1000 e y = 900 por ende: