Sistema segundo medio

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son
dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de
verificarse a la vez
Se escribe



=+
=+
''' cybxa
cybxa
Se llaman coeficientes
Se llaman términos independientes

Una SOLUCIÓN del sistema



=+
=+
''' cybxa
cybxa
es cualquier pareja de valores (x, y)
que verifique las dos ecuaciones
Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones



−=−
−=−
14
32
yx
yx
2.
1- 5 = -3
4.
1- 5 = -1
Ejemplo
El par (1, 5) es una
solución de este sistema
porque:
1=x
5=y




=+
=+
''' cybxa
cybxa
• Si
''' c
c
b
b
a
a
==
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
Infinitas soluciones
• Si
• Si
''' c
c
b
b
a
a
≠= SISTEMA INCOMPATIBLE
No tiene solución
'' b
b
a
a
≠
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
Tiene una única solución
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
-Se despeja una incógnita en una ecuación
-Se sustituye esa expresión en la misma incógnita de la otra ecuación
Ejemplo



−=−
=+
643
82
yx
yx

yx 28−=
64)28(3 −=−− yy 3=y
328 ⋅−=x
2=x
-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve
ésta.
-El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba
despejada la otra incógnita.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE IGUALACIÓN
-Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones
-Se igualan esas dos expresiones
Ejemplo



−=−
=+
643
82
yx
yx yx 28−=
3
46
28
y
y
+−
=−
3=y
328 ⋅−=x 2=x
-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve
ésta.
-El valor de esa incógnita se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones, para calcular el valor de la otra.

3
46 y
x
+−
=
yx 28−=

ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE REDUCCIÓN (Eliminación de una incógnita)
-Se multiplican una o las dos ecuaciones por números de manera que los
coeficientes de una misma incógnita sean opuestos
Ejemplo



−=−
=+
643
82
yx
yx
3=y
832 =⋅+x 2=x
-Se suman esas dos ecuaciones, eliminando así una de las incógnitas
-Se resuelve la ecuación resultante.




−=−
−=−−
643
2463
yx
yx
( )3−por
+ 3010 −=− y
-Se sustituye ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el
valor de la otra incógnita.

ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE DOBLE REDUCCIÓN
-Consiste en aplicar el método de reducción a ambas incógnitas
Ejemplo



−=−
=+
643
82
yx
yx
3=y
2=x

b



−=−
−=−−
643
2463
yx
yx
( )3−por
+ 3010 −=− y



−=−
=+
643
82
yx
yx



−=−
=+
643
1642
yx
yx
2por
+ x5 10=

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y
gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el
costo del cuaderno y del plumón es de
$ 6.00.
¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada
plumón?
¿Qué harías para resolver
este problema?
9

Si leíste con atención el problema,
sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de
cada cuaderno y el costo de cada
plumón.
Si representamos con:
p costo de un plumón
c costo de un cuaderno
10

c - p = 6 (diferencia entre el costo del
cuaderno y del plumón)
Esta información la podemos traducir al
lenguaje de las ecuaciones.
5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00)
El resultado es: un Sistema de
Ecuaciones
11

Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2
consiste en dos ecuaciones de primer
grado con dos variables cada una.
12

Resolver un sistema de ecuaciones
significa encontrar los valores de las
variables que satisfacen
simultáneamente dichas ecuaciones.
13

Para resolverlo existen varios métodos:
 Por determinantes
14
 De sustitución
De igualación
De suma y resta o Reducción
Gráfico
Con calculadora

Veamos cómo resolver el problema
anterior utilizando algunos de ellos.

15
Haz < clic > en cualquiera de las opciones
 Gráfico
 De sustitución
 De igualación
 De suma y resta o Reducción
 Salir

Escribimos el sistema de
ecuaciones

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Como su nombre lo indica, consiste en
despejar una variable de una ecuación
y sustituir en la otra.
5c + 4p = 84 .......... ecuación 1
c - p = 6 .......... ecuación 2
16

a) Despejamos la variable “c” (incógnita)
de la ecuación 2 utilizando las
propiedades de la igualdad. (Se
puede despejar cualquier variable de
cualquiera de las 2 ecuaciones).
c – p = 6
c = 6 + p ...... ecuación 3
5 (6 + p) + 4p = 84
b) Sustituimos la ecuación 3 en la
ecuación 1
17

c) Resolvemos la ecuación resultante.
Simplificamos
Reducimos
Despejamos
p = 6
5 (6 + p) + 4p = 84
30 + 5p + 4p = 84
30 + 9p = 84
9p = 84 – 30
9p = 54
p = 54
9
18

d) El valor obtenido se sustituye en la
ecuación 3.
c = 6 + p
c = 6 + 6
c = 12
19

e) Comprobamos ambas soluciones,
sustituyendo los valores encontrados
por las variables en las ecuaciones 1
y 2. Si las igualdades son ciertas,
entonces los valores son los correctos.
Ecuación 1 Ecuación 2
20
5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
60 + 24 = 84
84 84
c + p = 6
12 + 6 = 6
6 6
Nota Idéntico a

Esto quiere decir que a Luis le costó $ 12.00
cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón.
De manera general:
Para resolver un sistemas de ecuaciones
por el método de sustitución se hace lo
siguiente.
1) Se despeja cualquiera de las variables
en cualquiera de las ecuaciones,
generalmente la más sencilla.
21

2) Se sustituye la variable despejada
en la otra ecuación.
3) Se resuelve la ecuación que se
obtuvo para encontrar el valor de una
variable.
4) Una vez encontrado ese valor se
sustituye en la ecuación despejada y
se encuentra el valor de la otra variable.
5) Se comprueba el resultado obtenido
sustituyendo los valores en las
ecuaciones originales.
22Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir

MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar una misma variable
de las dos ecuaciones, igualar ambas
para obtener una ecuación con una sola
variable y resolverla.
Tomaremos como referencia
el problema de Luis.
23

a) Escribimos las dos
ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1
c - p = 6 ........ ecuación 2
24

c - p = 6
c = 6 + p ............... ecuación 4
b) Despejamos la variable (incógnita) “c”
en las 2 ecuaciones.
25
5c + 4p = 84
5c = 84 – 4p
c = 84 – 4p ............. ecuación 3
5
ecuación 1
ecuación 2

c) Se igualan las 2 expresiones.
84 – 4p = 6 + p
5
26

    d) Resolvemos la ecuación.
84 – 4p  = 6 + p
5
84 – 4p = 5(6 + p)
84 – 4p = 30 + 5p
-4p – 5p = 30 – 84
-9p = -54
p = -54
              -9
p = 6
27

c = 6 + p
c = 6 + 6
e) Sustituimos este valor en cualquiera
de las ecuaciones despejadas (inciso
b). Generalmente la más sencilla.
28
c =c = 12

Nota
f) Comprobamos ambas soluciones,
sustituyendo en las ecuaciones
originales estos valores. Si las
igualdades son ciertas, entonces los
valores son los correctos.
29
        5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
60 + 24 = 84
84   84
  c + 4 = 6
12 + 6 = 6
6   6
Idéntico a


Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00
cada cuaderno y $6.00 cada plumón.
Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones
lineales por el método de igualación
seguimos estos pasos.
De manera general:
30
1) Despejamos la misma variable en cada
ecuación.

5) Se comprueban los resultados
sustituyéndolos en las ecuaciones
originales.
2) Igualamos las expresiones que resultan.
3) Se resuelve la ecuación para obtener
el valor de una variable.
4) Se sustituye el valor anterior en
cualquiera de las 2 ecuaciones que se
despejaron para encontrar el valor de la
otra variable.
31Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir

Se suman o se restan ambas ecuaciones
de modo que la expresión resultante
tenga una sola variable, se resuelve y se
comprueba.
MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE
REDUCCIÓN.
Tomando como referencia el problema de
Luis, tenemos:
32

a) Escribimos el sistema de ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1
c – p = 6 ....... ecuación 2
33

b) Analizamos las 2 ecuaciones para
buscar qué variable es más fácil
eliminar, por suma o por resta. Como
en este caso la variable “p” tiene
signos opuestos, multiplicamos la
ecuación 2 por 4 para obtener un
sistema equivalente al original en el
que se pueda sumar ambas
ecuaciones:
34

5c + 4p = 84
4c - 4p = 24
c – p = 6 /x4
4c – 4p = 24
ecuación 2 por 4
Entonces
35

d) Resolvemos la ecuación resultante
para obtener el valor de la incógnita
“c”
c) Cancelamos “p” al sumar miembro a
miembro las 2 ecuaciones.
5c + 4p = 84
4c  - 4p = 24
9c          = 108
9c = 108
  c = 108
          9
c = 12
36

e) Sustituimos este valor en cualquiera
de las ecuaciones originales
(generalmente la más sencilla)
y resolvemos.
       c - p = 6
     12 - p = 6
          - p = 6 - 12
          - p = - 6
     -1 (-p = - 6)
sustituimos en la ecuación 2
resolvemos
37
p = 6

f)  Comprobamos las 2 soluciones
sustituyéndolas en las ecuaciones
originales. Si las igualdades son
ciertas, entonces los valores son
correctos.
38
        5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
       60 + 24 = 84
               84     84
c - p = 6
12 - 6 = 6
        6    6
Nota Idéntico a

En el siguiente diagrama se señalan los
pasos para resolver un sistema de 2
ecuaciones por el método de suma y
resta o reducción.
Esto quiere decir que a Luis le costó
$12.00 cada cuaderno y $6.00 cada
plumón.
39
De manera general:

INICIO
Observa los coeficientes de
las variables.
¿Alguna variable
tiene
coeficientes simétricos?
Suma las ecuaciones.
Resuelve la ecuación que resulte para
encontrar el valor de una variable.
Sustituye la variable conocida por su
valor en una de las ecuaciones originales
y encuentra el valor de la otra variable.
FIN
¿Alguna variable
tiene
coeficientes iguales?
Resta las
ecuaciones.
Multiplica una o ambas ecuaciones
por un número para obtener
coeficientes simétricos en alguna
de las variables.
NO
SÍ NO
SÍ
¡Es muy fácil! Sólo
sigue las flechas y
encontrarás la
solución
40

** El método gráfico se utiliza
generalmente para sistemas con
soluciones enteras, por motivos de
precisión.
MÉTODO GRÁFICO
Resolver gráficamente un sistema de
ecuaciones lineales con 2 variables
significa encontrar el punto (x, y) en el
cual se intersectan las 2 rectas. Ese
punto (x, y) es la solución.
41

Compró 5 cuadernos y 4
plumones pagando $84.00. La
diferencia de costos entre un
cuaderno y un plumón es de
$6.00. ¿Cuánto costó cada
artículo?
42
Para ver este método recordaremos el
problema de Luis:

a) Traducimos a lenguaje algebraico esta
información. (en este caso x = costo
de un cuaderno, y = costo de un
plumón).
5x + 4y = 84 ...... ecuación 1
x - y = 6 ...... ecuación 2
43

x - y = 6
-y = 6 – x
(-y = 6 – x) (-1)
y = -6 + x
b) Despejamos “y” en las 2ecuaciones

5x + 4y = 84
4y = 84 – 5x
y = 84 – 5x
4
44

Ecuación 2
y = - 6 + x
c) Asignamos valores a la “x” en ambas
ecuaciones y tabulamos. Se construye
una tabla para cada ecuación.
Ecuación 1

y = 84 – 5x
4
45

y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1
Ecuación 1

y = 84 – 5x
4
x y
6 13.5
8 11
10 8.5
12 6
14 3.5
16 1
46
y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5
y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11
y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5
y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6
y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5

Ecuación 2 y = - 6 + x
x y
6 0
8 2
10 4
12 6
14 8
16 10 y = -6 + 16 = 10
47
y = - 6 + 6 = 0
y = -6 + 8 = 2
y = -6 + 10 = 4
y = -6 + 12 = 6
y = -6 + 14 = 8

Intersección
Punto (12, 6)
d) Situamos las parejas de
cada ecuación en el
mismo plano cartesiano.
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ecuación 1
Ecuación 2
8
9
10
11
12
13
14
15
16 y
x
48

49
El punto de intersección es (12, 6), esto
significa que x=12 y y=6; por lo tanto el
costo de un cuaderno (x) es $ 12.00 y el
costo de un plumón (y) es $ 6.00.

50
Los sistemas de ecuaciones lineales
pueden ser:
1) Determinado o compatible
La solución es un punto (x, y), en que
las rectas se cortan. Como el caso
anterior.

y
x
51
Ecuación 1
Ecuación 2
x + y = 4
x + y = 6
ec. 1
ec. 2
2) Incompatible
No tiene solución, es decir,
no hay intersección porque
las rectas son paralelas.

3) Indeterminado o dependiente.
Tiene infinitas soluciones, pues las
rectas coinciden en todos los puntos.
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
-3
-2
-1
-1
x - y = 3
2x - 2y = 6
52
x - y = 3
2x - 2y = 6

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