ejercicios analisis matemático 3 UNASAM

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
04
V´ıctor Pocoy Y./Escuela de Ingenier´ıa Civil
26 de noviembre de 2015
1. Usando definici´on calcular ∫ 2
0
∫ 1
0
(x + xy + y)dx
2. Calcular ∫ ∫
D
sec y dA
donde D =
{
(x, y)/0 ≤ x ≤ 1, arc tg(x) ≤ y ≤ π
4
}
3. Calcular ∫ ∫
D
(x + y + 1) dA
donde D es la regi´on interior a la intersecci´on de las elipses
x2
4
+ y2
= 1, x2
+
y2
4
= 1
4. Calcular ∫ ∫
D
[ y
x
] √
x
y
e
√
y/x
dA
donde D es la regi´on acotada por
x = 1, x = 2, y = x, y = 3x
5. Calcular
∫ ∫
D
√
2x + 3y
x + y
e
x + y
2x + 3y dA
donde D es la regi´on acotada por
y =
4 − 2x
3
y los ejes coordenados.
6. Calcular
a)
∫ 2
0
∫ 1
0
(x2
+ 2y) dx dy
b)
∫ 1
0
∫ 1
0
x m´ax {x, y} dx dy
c)
∫ 2
0
∫ 2
0
([|x|] + [|y|]) dx dy
d)
∫ 1
0
∫ 1
y
sen(x2
) dx dy
e)
∫ 2
−2
∫ 2+
√
4−x2
2−
√
4−x2
√
16 − x2 − y2 dx dy
7. Usando integrales dobles demostrar que: ∫ +∞
−∞
e−x2
dx =
√
π
1

2. 8. Sea la integral doble
∫ +∞
0
∫ 1/x
0
ym
xn
dy dx
¿Para qu´e valores de m y n la integral es finita?
9. Demostrar
∫ 1
0
∫ 1
0
1
1 − xy
dx dy =
+∞∑
n=1
1
n2
10. Hallar el ´area de la regi´on limitada por
x3
+ y3
= 3axy; a > 0
11. Hallar el ´area exterior a
r2
= 9 cos(2θ)
e interior a
r = 2 − cos θ.
12. Hallar el volumen del s´olido limitado superiormente por
z = x2
, z = 4 − x2
, z + 2y − 4 = 0, y = 0
13. Hallar el volumen del s´olido limitado superiormente por
z2
= x2
+ y2
,
e inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro
x2
+ y2
− x = 0.
14. Hallar el volumen del s´olido limitado por
x2
a2
+
z2
c2
= 1, y =
b
a
x, y = 0, z = 0, x ≤ 0
donde a, b, c ∈ R+
15. Encuentre el centroide de la regi´on en el primer cuadrante acotado por la curva y = x3
y la recta y = 4x.
16. Hallar el centroide de la regi´on limitada por
r2
= 2a2
cos(2θ)
17. Calcule el momento de inercia de la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1; a > 0, b > 0
a) respecto al eje Y .
b) respecto al origen de coordenadas
18. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hip´erbola xy = 4 y la recta x + y = 5 con respecto
a la recta y = x.
19. Un tri´angulo equil´atero cuyos lados miden 6u giran alrededor de una recta que se encuentra en su mismo plano;
est´a linea es paralela a la base y est´a a 8u de ella. Use el teorema de Pappus para encontrar el volumen del s´olido
generado.
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