matematica

1. SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN
MÉTODOS DE DISCOS Y
ANILLO CIRCULAR

2. Logros de Aprendizaje
2
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas de ingeniería
calculando el volumen de sólidos de
revolución a través de los métodos
del disco y de las arandelas.

4. DETERMINE EL VOLUMEN DE LOS SIGUIENTES SÓLIDOS

5. ¿Podrías calcular el volumen del sólido formado al hacer girar
alrededor del eje Y, la región limitada por las curvas:
y = −x3 + 4x2 − 3x + 1; x = 0 , x = 3; y = 0 ?
¿……………
…?
5

6. 2
[ ( )]
b
a
f x dx

6
Métodos para calcular
volúmenes de sólidos de
revolución
Método
del
disco
Método de
las
secciones
conocidas
Método de
las
arandelas
Método de
los
casquetes
cilíndricos
2 ( )
b
a
x f x dx


2 [ ( ) ( )]
b
a
x f x g x dx
 

 
2 2
[ ( )] [ ( )]
b
a
f x g x dx
 

( )
b
a
A x dx


7. VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región del plano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.

8. MÁTODO DEL DISCO
Diferencial de
volumen
∆xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
2 2
1
lim [ ( )] [ ( )]
n b
i i
a
n
i
V f x x f x dx


    
 
  2
i i i
V f x x

  
 
 

9. TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i i
n
i
b
a
V f x x
f x dx


  
 



10. EJEMPLO 1
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x1/2 y las rectas x = 0, x = 4, y = 0.

11. EJEMPLO 2
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

12. EJEMPLO 3
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y

13. EJEMPLO 4
Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R,
alrededor del eje Y.
 













y
x
y
y
x
R
2
0
;
4
1
/
, 2

14. Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por
la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,
y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
 
 


d
c
dy
y
g
V
2


15. MÉTODO DE ARANDELAS
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas
x=a y x=b.
Diferencial de
volumen
f(xi)
g(xi)
xi
 
   
 
  i
i x
x
g
x
f
V 



2
2

a b
x
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)

16. TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx


   
  



17. EJEMPLO 5
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

18. EJEMPLO 6

19. EJEMPLO 7
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

20. EJEMPLO 8
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.