Este documento presenta una serie de ejercicios propuestos relacionados con el cálculo de integrales múltiples y sus aplicaciones. Se dividen los ejercicios en cuatro secciones correspondientes a los capítulos previos: 1) estimación de volúmenes y resolución de integrales dobles; 2) cálculo de integrales triples; 3) cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa y momentos de inercia; 4) uso de cambios de variables en el cálculo de integrales múltiples. Los ejercicios involuc

1. 164
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
5. EJERCICIOS PROPUESTOS
A continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.
5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1
1. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuación
x + y + z = a y sobre el rectángulo D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ] , donde a ∈
+
, considerando una partición de 9
subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra:
a. Al punto medio de cada subcuadrado.
b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.
2. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie z = 16 − x 2 − y 2 e inferiormente
por el cuadrado D = [ −2 , 2 ] × [ −2 , 2] , tomando como punto de muestra al centro de cada
subrectángulo y considerando:
a. n = 4 y m = 2
b. n = 6 y m = 3
∫∫ f ( x, y ) dA , donde:
3. Resuelva la integral iterada
D
a. f ( x, y ) = a − x − y
y
c. f ( x, y ) = 2 x − y y
D = [ 0 , 2] × [ 0 ,1]
e. f ( x, y ) = ( 2 x + 3 ) y y
4. Calcule la integral doble
D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ]
 2
D =  0 ,  × [1,5]
 3
f ( x, y ) = x 2 +
2
D = [ −2 , 2 ] × [ −2 , 2 ]
y
y D = [ −4 ,3] × [ −2 , −1]
2
f. f ( x, y ) = x + y y
D
a. f ( x, y ) = 2 x − y y
c. f ( x, y ) = xy y
d.
y
2
D = [ 0 ,1] × [ 0 ,1]
∫∫ f ( x, y ) dxdy , y plantee la integral iterada en el orden de integración
inverso. Además, dibuje la región
b. f ( x, y ) = x + y y
b. f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2
D=
D=
D=
D , donde:
{( x, y )
{( x, y )
{( x, y )
1≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ x
}
0 ≤ x ≤1 ∧ 0 ≤ y ≤ x
}
y ≤ x ≤ y +1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
}

2. 165
Geraldine Cisneros
d.
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
3
f ( x, y ) = x + ( 2 y + 3) y D = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≤ y ≤ 4 x 


e. f ( x, y ) = 2 x − y
f. f ( x, y ) = e
− xy
2
3
D=
{( x, y )
2
h. f ( x, y ) = x + 2 y
2
5.
3
y2
y
D=
y
3
i. f ( x, y ) = x + y y
j f ( x, y ) = xe
{( x, y )
y
D=
y
g. f ( x, y ) = x + y
h. f ( x, y ) =
2

y
D=
D=
x≥0 ∧
{( x, y )
D=
0 ≤ x ≤1 ∧
{( x, y )
{( x, y )
{( x, y )
y≤x ∧
x + y + 2 y D = {( x, y )
Calcule la integral doble
∫∫
D
}
}
x2 + y 2 ≤ 1
x2 + y 2 ≥ 1 ∧
y ≤ 4x − x2
x≥0 ∧
x2 ≤ y ≤ 4 x
y≥0 ∧
y≥0 ∧

∧
}
x2 + y 2 − 2 x ≤ 0
y≥0 ∧
}
y ≥ 6 − 3x
}
y ≥ x2 − 4
}
x2 ≤ y ≤ 9
y ≤ 3 − x2 − 2x ∧
y≥ x
}
xdxdy , siendo D el paralelogramo de vértices:
 2 1,  2 1 ,
 − ,−   , 
 3 3  3 3
 4 1  y ( 0,−1) .
 , 
 3 3
6.
Calcule la integral doble
x2
∫∫D x 2 + y 2 dxdy , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por
las rectas y = x , y = − x y x = 1 .
7.
Calcule la integral doble
∫∫ ( x − y )
D
2
sen 2 ( x + y ) dxdy , siendo D el triángulo cuyos vértices son:
( 0,π ) , ( 2π ,π ) y (π , 2π ) .
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

3. 166
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2
1
2
dxdydz donde B = [ 0 , 2] × [ 0 ,1] × [ −1,3] .
1. Calcule
∫∫∫ ( x + y + z + 2 )
2. Calcule
∫∫∫
3. Calcule
∫∫∫ ( x + y )dxdydz
4. Calcule
∫∫∫ ( 3x − y )dxdydz donde B = {( x, y,z )
5. Calcule
∫∫∫
B
−
2
2
2
zdxdydz donde B = ( x, y,z ) x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x 2 + y2 + z 2 ≤ 1 .


B
a

B
donde B =
{( x, y,z )
2
B
6. Calcule
B
dxdydz donde B = {( x, y,z )
∫∫∫
B
∫∫∫
B
c

}
4 ( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 16 .
}
y 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 .
}
x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .
x + yz
dxdydz donde B es el sólido limitado por las superficies: y = x ,
2
y = 2 x , B = {( x, y,z )
7. Calcule
b
}
x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .
x 2 yz 3 dxdydz donde B es el sólido limitado por las superficies: y 2 = 2 x y
z 2 = 8x .
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

4. 167
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
5.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 3
1.
Calcule el área entre las circunferencias C1 : x + y − 4 y = 0 y C2 : x + y − 2 y = 0
2.
Plantee el volumen del sólido
2
2
2

B = ( x, y,z ) x ≥ 0 ∧

y≥0 ∧
2
z≥0 ∧

x2 y2 z 2
+ 2 + 2 ≤ 1 ,
2
a
b
c

empleando integrales dobles y triples.
3.
Calcule el volumen del tetraedro acotado por los planos: x = 0 ,
4.
Para el sólido
siendo B =
5.
My =
que
los
∧
y≥0 ∧
momentos
z≤4 ∧
estáticos
}
z ≥ x + 2y .
para
el
sólido
B
son:
Mx =
M 2 2
(b + c ) ,
3
M 2 2
( a + c ) y M z = M ( a 2 + b2 ) , donde M es la masa del sólido y B está definido
3
3
como: B =
6.
B . Calcule: masa, momentos estáticos, centro de masa y momentos de inercia,
{( x, y,z ) x ≥ 0
Demuestra
y = 0, z = 4 y z = x + 2y .
{( x, y,z ) 0 ≤ x ≤ a
}
∧ 0≤ y≤b ∧ 0≤ z≤c .
Plantee el volumen del sólido acotado por el cilindro x + y = 2 x , sobre el plano z = 0 y bajo el
2
2
paraboloide z = x + y .
2
7.
Calcule
B=
el
{( x, y,z )
centro
2
de
masa
y
los
momentos
}
x2 + y 2 ≤ 2 x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
de
inercia
del
sólido
definido
como:

5. 168
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
5.4 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 4
1.
Calcule
la
∫∫
integral
D
1
(1 + x
2
+y
2
)
3
dxdy
D=
donde
2
{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1
}
∧ 0≤ y≤ x ,
empleando un cambio de variable adecuado.
2.
Calcule la integral doble
∫∫
D
xdxdy , siendo D el paralelogramo de vértices:
 2 1,  2 1 ,
 − ,−   , 
 3 3  3 3
 4 1  y ( 0,−1) , empleando un cambio de variable, de manera que los nuevos vértices sean: ( 0,0 ) ,
 , 
 3 3
(1,0 ) , (1,1) y ( 0,1)
3.
Calcule
la
x2
∫∫D x 2 + y 2 dxdy
integral
empleando el cambio de variable: x =
4.
donde
D=
{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1
∧
}
x2 ≤ y ≤ 2 − x2 ,
v −u y y = u +v .
Calcule el volumen del sólido acotado por el cilindro x + y = 2 x , sobre el plano z = 0 y bajo el
2
2
paraboloide z = x + y , empleando un cambio de variable adecuado.
2
5.
2
Dibuje el sólido acotado por la superficie cerrada r = 1 − cos φ , definida en coordenadas esféricas.
Además, calcule el volumen de dicho sólido, empleando coordenadas esféricas.
6.
Determine el centro de masa para el sólido limitado por las superficies:
z 2 = x2 + y 2 ,
x 2 + y 2 + z 2 = 2 , donde z ≥ 0 y la densidad es proporcional a la distancia en cada punto,
empleando un cambio de variable adecuado.
7.
Determine momento de inercia de un sólido acotado por la superficie x + y + z = 25 , cuya
2
densidad viene dada
8.
ρ ( x, y,z ) = e
Calcule el volumen del sólido B =
(
− x2 + y 2 + z 2
{( x, y,z )
2
2
) , empleando un cambio de variable adecuado.
}
x 2 + y 2 ≤ 2 x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 , empleando coordenadas
cilíndricas.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.