Matematicas números complejos

1. Números complejos
José Luis Galoppo
FECF y N – Universidad Nacional de Córdoba
2020

2. Definición. Justificación de su existencia
• Los números complejos surgen para dar respuesta a ecuaciones del
tipo:
• En particular, si n=1, tenemos:
• Así surge el número imaginario:
𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1
𝑖 = −1
𝑥2 + 𝑛 = 0

3. Algunas observaciones que surgen de la definición
del número imaginario, y de las propiedades de
los exponentes:

4. Con esta inclusión del número imaginario i, surge el
cuerpo de los números complejos, que poseen parte
real y parte imaginaria:

5. Número complejo
• En general un número complejo z puede tener una parte que se
denomina Real y otra parte que se denomina Imaginaria:
• Esta forma de representar a un número complejo se la denomina
forma polinómica (o también binómica)
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

6. b z = a + bi
0 a
Plano complejo (Diagrama de Argand)

7. Como el conjunto de los números complejos
forma un cuerpo, se pueden realizar entre ellos
operaciones, de las cuales veremos las siguientes:
• a) Adición:
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
• b) Multiplicación:
𝑧1. 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 . 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

8. c) Cociente de dos números complejos
• Vamos a definir el conjugado de un número complejo:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ↔ 𝑧∗
= 𝑎 − 𝑏𝑖
• Ahora presentamos la utilización del conjugado para calcular el
cociente de dos números complejos:
𝑧1
𝑧2
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
.
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖
=
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑖
𝑐2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐2 + 𝑑2
+
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
𝑖

9. Vamos a presentar ejemplos de las
operaciones vistas entre números complejos:
• Sean dos números complejos:
• Calcular su suma, su producto y su cociente:
𝑧1 = 5 + 3𝑖
𝑧2 = 6 − 2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 5 + 3𝑖 + 6 − 2𝑖 = 11 + 𝑖
𝑧1. 𝑧2 = 5 + 3𝑖 . 6 − 2𝑖 = 36 + 8𝑖
𝑧1
𝑧2
=
5 + 3𝑖
6 − 2𝑖
=
5 + 3𝑖
6 − 2𝑖
.
6 + 2𝑖
6 + 2𝑖
=
3
5
+
7
10
𝑖

10. Problemas
1. ¿Por qué número debo multiplicar un complejo para que el resultado tenga
sólo parte real?
1. Rta: Por el conjugado
z = z1 . z1
*= (3 + 7i).(3 – 7i) = 58
2. Encontrar el valor de k para que el cociente de los siguientes dos números
complejos, sea un número real:
𝑧1 = 𝑘 + 2𝑖
𝑧2 = 3 − 𝑖
Solución: para que sea un número real, su parte imaginaria debe ser igual a cero; o
sea:
𝑧1
𝑧2
=
𝑘 + 2𝑖
3 − 𝑖
=
𝑘 + 2𝑖
3 − 𝑖
.
(3 + 𝑖)
(3 + 𝑖)
=
3𝑘 + 6𝑖 + 𝑘𝑖 + 2
10
=
3𝑘 + 2
10
+
(6 + 𝑘)𝑖
10
De donde se concluye que para que el resultado sea un número real, k = - 6. De
esta forma su parte imaginaria será igual cero.

11. 3. Encontrar el número complejo z que es solución de la siguiente
ecuación:
2 − 𝑖 =
𝑧
3 + 𝑖
Rta:
(2 − 𝑖)(3 + 𝑖) = 𝑧
6 − 3𝑖 + 2𝑖 + 1 = 𝑧
7 − 𝑖 = 𝑧

12. 4. Encontrar el número complejo que satisface la siguiente ecuación:
2 + 𝑖
3 − 4𝑖
= 𝑧
z= x + yi
2 + 𝑖
3 − 4𝑖
.
3 + 4𝑖
3 + 4𝑖
= 𝑧
2 + 11𝑖
25
= 𝑧
2
25
+
11
25
𝑖 = 𝑧

13. • Encontrar el valor de la expresión:
1 + 2𝑖
3 − 4𝑖
−
2 − 𝑖
5𝑖
= 𝑥
−
2
5
= 𝑥

14. Utilización de los números complejos
• Los números complejos son de aplicación en el Algebra y el Cálculo,
para resolver ecuaciones diferenciales, en las trasformadas de Fourier,
de Laplace, etc.
• Además, los números complejos se utilizan en muchos campos de la
física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería,
especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su
utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la relaciones
entre la corriente eléctrica y la tensión en un circuito. Otras
aplicaciones de los mismos, es en la determinación de la estabilidad
de sistemas de control.

15. Observación
• En algunas utilizaciones de los números complejos (particularmente
en aplicaciones de electrónica) se suele representar la parte
imaginaria con la letra j (para que no se confunda con la intensidad de
corriente):
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑗

16. A modo de ejemplo, presentamos el siguiente
cuadro de la utilización en electrónica: