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Ecuaciones Cuadráticas
1
Completar el Cuadrado
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Método de Completar el Cuadrado
19
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Método de Completar el Cuadrado
19
El método de completar el cuadrado tiene el objetivo
de obtener una ecuación equivalente que contenga un
trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización
tiene dos paréntesis idénticos).
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Método de Completar el Cuadrado
19
El método de completar el cuadrado tiene el objetivo
de obtener una ecuación equivalente que contenga un
trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización
tiene dos paréntesis idénticos).
Este método transforma una ecuación de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma
(𝑥 + 𝑏
2𝑎
)2 = −𝑐 + 𝑏2
4𝑎2.
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Método de Completar el Cuadrado
19
El método de completar el cuadrado tiene el objetivo
de obtener una ecuación equivalente que contenga un
trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización
tiene dos paréntesis idénticos).
Este método transforma una ecuación de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma
(𝑥 + 𝑏
2𝑎
)2 = −𝑐 + 𝑏2
4𝑎2.
Luego se resuelve esta ecuación equivalente por el
método de la raíz cuadrada.
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Método de Completar el Cuadrado
20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.
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Método de Completar el Cuadrado
20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática
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Método de Completar el Cuadrado
20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática
3. Encuentre el término que completa el cuadrado
– Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del
coeficiente del termino lineal y dos.
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Método de Completar el Cuadrado
20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática
3. Encuentre el término que completa el cuadrado
– Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del
coeficiente del termino lineal y dos.
4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la
ecuación.
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Método de Completar el Cuadrado
20
Procedimiento:
1. Deje de un lado todos los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática
3. Encuentre el término que completa el cuadrado
– Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del
coeficiente del termino lineal y dos.
4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la
ecuación.
5. Factorice y use el método de la raíz.
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0
𝑥2 + 8𝑥 = −14
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 16
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= 8 ∙
1
2
2
8
= 4 2
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 28
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.𝑥2 + 8𝑥 = −14+16 +16
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
𝑥 + 4 2 = 2
8
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
8
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
8
𝑥 + 4 = 2±
𝑥 = −4± 2
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Método de Completar el Cuadrado
21
Ejemplo 1:
Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
𝑥2
+ 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±𝑥 + 4 2 = 2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
𝑏
2
2
𝑥2 + 8𝑥 = −14
= 8 ∙
1
2
2
= 16= 4 2
+16 +16
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
∴ C.S. −4 − 2, −4 + 2
8
𝑥 + 4 = 2±
𝑥 = −4± 2
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Método de Completar el Cuadrado
22
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
3 3 3 3
Solución:
= 0
𝑥2 − 4𝑥 = 5
𝑥2 −4𝑥 −5
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
= 4= 2 2
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 54
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
= 4= 2 2
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
4
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥 − 2 2
= 9
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
±
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 − 2 2
= 9
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 − 2 = ±3
±𝑥 − 2 2
= 9
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Método de Completar el Cuadrado
22
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 = 2 ± 3
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 − 2 = ±3
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3
𝑥 = −1 o 𝑥 = 5
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 = 2 ± 3
𝑥 − 2 = ±3
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
Solución:
𝑥2 − 4𝑥 = 5
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
∴ C.S. −1, 5
±𝑥 − 2 2
= 9
𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3
𝑥 = 2 ± 3
𝑥 − 2 = ±3
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Método de Completar el Cuadrado
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Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
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Método de Completar el Cuadrado
23
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
Solución:
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
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23
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
9
4
=
3
2
2
3
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
9
4
+
9
4
+
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23
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
𝑥 +
3
2
2
=
9
4
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23
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 = −
3
2
±
3
2
𝑥 +
3
2
=±
3
2
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4
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23
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
Buscar el número que completa el
cuadrado.
Ejemplo 3:
Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
3𝑥2 + 9𝑥 = 0
Solución:
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Sumar el número que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.∴ C.S. 0, −3
𝑥 = −
3
2
±
3
2
𝑥 +
3
2
=±
3
2
3 3 3
𝑥2 +3𝑥 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 = 0
9
4
+
9
4
+
±𝑥 +
3
2
2
=
9
4
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Práctica
24
Ir al manual de práctica:
Hacer el ejercicio 1 de la página 1
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25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
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Método de Completar el Cuadrado
25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
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Método de Completar el Cuadrado
25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑥 = 0 𝑥 = −2
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25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 = 0 𝑥 = −2
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25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2
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25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 =
1
4
𝑥 = 1𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2
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25
Práctica:
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0
2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
3. 𝑝2
− 4𝑝 = 0
4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1
5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
6. 3𝑥2
− 12𝑥 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
𝑝 = 0 𝑝 = 4
𝑥 =
3
2
−
5
2
𝑥 =
1
4
𝑥 = 1
𝑥 = 0 𝑥 = 4
𝑥 = 0 𝑥 = −2
𝑥 =
3
2
+
5
2
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26
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
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Método de Completar el Cuadrado
26
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
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Método de Completar el Cuadrado
26
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
= 0𝑥2
+ 𝑏
𝑎 𝑥 + 𝑐
𝑎
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
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Método de Completar el Cuadrado
26
Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
𝑏2
4𝑎2
=
𝑏
2𝑎
2
𝑏
𝑎
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Método de Completar el Cuadrado
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
2
2
= ∙
1
2
2
=
𝑏2
4𝑎2
=
𝑏
2𝑎
2
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
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Método de Completar el Cuadrado
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
±𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
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Método de Completar el Cuadrado
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 + 𝑏
2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2±
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Método de Completar el Cuadrado
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Escribir la ecuación a resolver y
despejar para la constante.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Solución:
Práctica:
Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 𝑏
𝑎
𝑥 = − 𝑐
𝑎
Buscar el número que completa el
cuadrado.
𝑏
𝑎
Sumar la expresión que completa el
cuadrado en ambos lados de la ecuación.
𝑥2 + 𝑏
𝑎 𝑥 = − 𝑐
𝑎+ 𝑏2
4𝑎2 + 𝑏2
4𝑎2
Factorizar el trinomio de un lado de la
ecuación y simplificar el otro.
Aplicar el método de la raíz cuadrada,
simplificar la expresión con radical y
establecer el conjunto solución.
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2±
𝑥 + 𝑏
2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
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Metodo completando cuadrado

  • 1. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.www.matematicaspr.com Ecuaciones Cuadráticas 1 Completar el Cuadrado
  • 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 19
  • 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 19 El método de completar el cuadrado tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos).
  • 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 19 El método de completar el cuadrado tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). Este método transforma una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma (𝑥 + 𝑏 2𝑎 )2 = −𝑐 + 𝑏2 4𝑎2.
  • 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 19 El método de completar el cuadrado tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). Este método transforma una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 en otra ecuación equivalente de la forma (𝑥 + 𝑏 2𝑎 )2 = −𝑐 + 𝑏2 4𝑎2. Luego se resuelve esta ecuación equivalente por el método de la raíz cuadrada.
  • 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 20 Procedimiento: 1. Deje de un lado todos los términos con variables.
  • 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 20 Procedimiento: 1. Deje de un lado todos los términos con variables. 2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática
  • 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 20 Procedimiento: 1. Deje de un lado todos los términos con variables. 2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática 3. Encuentre el término que completa el cuadrado – Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del coeficiente del termino lineal y dos.
  • 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 20 Procedimiento: 1. Deje de un lado todos los términos con variables. 2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática 3. Encuentre el término que completa el cuadrado – Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del coeficiente del termino lineal y dos. 4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la ecuación.
  • 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 20 Procedimiento: 1. Deje de un lado todos los términos con variables. 2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática 3. Encuentre el término que completa el cuadrado – Este se obtiene elevando al cuadrado el cociente del coeficiente del termino lineal y dos. 4. Sume el término que completa el cuadrado a cada lado de la ecuación. 5. Factorice y use el método de la raíz.
  • 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado.
  • 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 𝑥2 + 8𝑥 = −14
  • 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑥2 + 8𝑥 = −14 = 16 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = 8 ∙ 1 2 2 8 = 4 2
  • 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑥2 + 8𝑥 = −14 𝑏 2 2 = 8 ∙ 1 2 2 = 16= 4 28 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.𝑥2 + 8𝑥 = −14+16 +16
  • 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑥2 + 8𝑥 = −14 𝑏 2 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 = 8 ∙ 1 2 2 = 16= 4 2 +16 +16 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. 𝑥 + 4 2 = 2 8
  • 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑥 + 4 2 = 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 𝑏 2 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 = 8 ∙ 1 2 2 = 16= 4 2 +16 +16 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 8 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ±
  • 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Buscar el número que completa el cuadrado. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ±𝑥 + 4 2 = 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 𝑏 2 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 = 8 ∙ 1 2 2 = 16= 4 2 +16 +16 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 8 𝑥 + 4 = 2± 𝑥 = −4± 2
  • 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 21 Ejemplo 1: Resuelva 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0, completando el cuadrado. Solución: 𝑥2 + 8𝑥 + 14 = 0 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Buscar el número que completa el cuadrado. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ±𝑥 + 4 2 = 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 𝑏 2 2 𝑥2 + 8𝑥 = −14 = 8 ∙ 1 2 2 = 16= 4 2 +16 +16 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. ∴ C.S. −4 − 2, −4 + 2 8 𝑥 + 4 = 2± 𝑥 = −4± 2
  • 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado.
  • 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución:
  • 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 3 3 3 3 Solución: = 0 𝑥2 − 4𝑥 = 5 𝑥2 −4𝑥 −5
  • 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = ∙ 1 2 2 = 4= 2 2 Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 54
  • 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = ∙ 1 2 2 = 4= 2 2 Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 4 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
  • 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥 − 2 2 = 9 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4
  • 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. ± 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 − 2 2 = 9
  • 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 − 2 = ±3 ±𝑥 − 2 2 = 9
  • 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 = 2 ± 3 ±𝑥 − 2 2 = 9 𝑥 − 2 = ±3
  • 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3 𝑥 = −1 o 𝑥 = 5 ±𝑥 − 2 2 = 9 𝑥 = 2 ± 3 𝑥 − 2 = ±3
  • 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 22 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 2: Resuelva 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0 Solución: 𝑥2 − 4𝑥 = 5 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 − 4𝑥 = 5+4 +4 Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ∴ C.S. −1, 5 ±𝑥 − 2 2 = 9 𝑥 = 2 − 3 o 𝑥 = 2 + 3 𝑥 = 2 ± 3 𝑥 − 2 = ±3
  • 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado.
  • 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. Solución: Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0
  • 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = ∙ 1 2 2 = 9 4 = 3 2 2 3
  • 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 𝑥2 + 3𝑥 = 0 Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 9 4 + 9 4 +
  • 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 𝑥2 + 3𝑥 = 0 9 4 + 9 4 + Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. 𝑥 + 3 2 2 = 9 4
  • 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 𝑥2 + 3𝑥 = 0 9 4 + 9 4 + Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ±𝑥 + 3 2 2 = 9 4
  • 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 = − 3 2 ± 3 2 𝑥 + 3 2 =± 3 2 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 𝑥2 + 3𝑥 = 0 9 4 + 9 4 + ±𝑥 + 3 2 2 = 9 4
  • 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 23 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. Buscar el número que completa el cuadrado. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 3𝑥2 + 9𝑥 = 0, completando el cuadrado. 3𝑥2 + 9𝑥 = 0 Solución: Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Sumar el número que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución.∴ C.S. 0, −3 𝑥 = − 3 2 ± 3 2 𝑥 + 3 2 =± 3 2 3 3 3 𝑥2 +3𝑥 = 0 𝑥2 + 3𝑥 = 0 9 4 + 9 4 + ±𝑥 + 3 2 2 = 9 4
  • 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 24 Ir al manual de práctica: Hacer el ejercicio 1 de la página 1
  • 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0
  • 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2
  • 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑥 = 0 𝑥 = −2
  • 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑝 = 0 𝑝 = 4 𝑥 = 0 𝑥 = −2
  • 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑝 = 0 𝑝 = 4 𝑥 = 3 2 − 5 2 𝑥 = 0 𝑥 = −2 𝑥 = 3 2 + 5 2
  • 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑝 = 0 𝑝 = 4 𝑥 = 3 2 − 5 2 𝑥 = 1 4 𝑥 = 1𝑥 = 0 𝑥 = −2 𝑥 = 3 2 + 5 2
  • 45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 25 Práctica: Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de factorización. 1. 2𝑥2 − 4𝑥 = 0 2. 3𝑥2 + 6𝑥 = 0 3. 𝑝2 − 4𝑝 = 0 4. 𝑥2 + 3𝑥 = −1 5. 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 6. 3𝑥2 − 12𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑝 = 0 𝑝 = 4 𝑥 = 3 2 − 5 2 𝑥 = 1 4 𝑥 = 1 𝑥 = 0 𝑥 = 4 𝑥 = 0 𝑥 = −2 𝑥 = 3 2 + 5 2
  • 46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
  • 47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado.
  • 48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: = 0𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎 Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎
  • 49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = ∙ 1 2 2 = 𝑏2 4𝑎2 = 𝑏 2𝑎 2 𝑏 𝑎
  • 50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 2 2 = ∙ 1 2 2 = 𝑏2 4𝑎2 = 𝑏 2𝑎 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Sumar la expresión que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎+ 𝑏2 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2
  • 51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 𝑎 Sumar la expresión que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎+ 𝑏2 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2
  • 52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 𝑎 Sumar la expresión que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎+ 𝑏2 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. ±𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2
  • 53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 𝑎 Sumar la expresión que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎+ 𝑏2 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2±
  • 54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Completar el Cuadrado 26 Escribir la ecuación a resolver y despejar para la constante. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Solución: Práctica: Resuelva 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, completando el cuadrado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Buscar el número que completa el cuadrado. 𝑏 𝑎 Sumar la expresión que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎+ 𝑏2 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2 Factorizar el trinomio de un lado de la ecuación y simplificar el otro. Aplicar el método de la raíz cuadrada, simplificar la expresión con radical y establecer el conjunto solución. 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2± 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎
  • 55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.27 Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación Ecuaciones Cuadráticas. Si deseas la presentación completa la puedes obtener en matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a aclarar sus dudas del método de completar el cuadrado.