Los números complejos son un sistema numérico que se creó para resolver ecuaciones algebraicas. Un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i2 = -1. Los números complejos permiten realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división y se utilizan en matemáticas, física e ingeniería.

1. |1|
Número
natural
Números
racionales
Números
negativos
Números
irracionales
Números
complejos
Unidad 10.3: ¡A La Máxima!, Funciones cuadráticas
Tema 1: Números complejos
Lección 1.1: Definición, propiedades y operaciones
El número complejo
Todos los números, excepto los números naturales, son creaciones de la mente
humana (Stewart, Redlin y Watson, 2012). La creación y el desarrollo de los
sistemas numéricos se debe, en gran medida, a las distintas necesidades del ser
humano.

2. |2|
Por ejemplo: los números naturales para contar, los números racionales
para expresar partes fraccionarias y razones, los números negativos para
expresar pérdidas, débitos y temperaturas bajo cero. Cuando se observó que no
se podía expresar un tamaño exacto con un número entero, aparecieron los
números racionales. Luego, el conjunto de los números racionales en unión a los
números irracionales (que aparecieron para resolver raíces no exactas y casos
con infinitos decimales no repetidos) formaron el conjunto de números reales.
Más tarde, surgió la necesidad de expandir el sistema de números reales con el
conjunto de los números complejos. Los números complejos completan el estudio
de las soluciones de ecuaciones (Stewart, Redlin y Watson, 2012).
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las
matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y
en la ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por
su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que
caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que
afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas.
El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los
números de la forma:
z = a + bi
donde a y b son números reales e i2 = -1.
De hecho, a es la parte real y b es la parte imaginaria. Dos números
complejos son iguales si y solo sí sus partes, real e imaginaria, son iguales
(Stewart, Redlin y Watson, 2012).

3. |3|
Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación:
x2 = -1
Como ningún número real es la solución de esta ecuación, se define a un número
imaginario i para ser la solución de esta ecuación.
A la forma a + bi, se le llama la forma general (o binómica) de un número
complejo.
Para facilitar la notación usamos algunas variaciones de esa forma general:
 Si a = 0, entonces se omite la parte real y solo se escribe la parte
imaginaria.
 Si b = 0, entonces solo se escribe la parte real y el número a es un número
real.
 Si b contiene un radical, entonces se escribe i antes de b, para evitar
confusión de considerar i dentro del radical.
Ejemplos:
1)
a 3
3 8i
b 8

 

2)
a 3
3 0i 3
b 0

  

3)
a 0
0 6i 6i
b 6

   
 
4)
a 3
3 2i 3 i 2
b 2

   


4. |4|
Operaciones
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se utilizan con los
números complejos. Puedes usar lo que sabes acerca de la suma de los términos
semejantes y la multiplicación de binomios para realizar operaciones con
números complejos.
Suma de números complejos
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
Ejemplos:
a) (3 + 2i) + (6 – 4i) = 3 + 6 + 2i – 4i
= (3 + 6) + (2i – 4i) = 9 – 2i
b) (4 + 5i) + (1 - 7i) = 4 + 5i + 1 - 7i
= (4 + 1) + (5i - 7i) = 5 – 2i
c) (5 + 2i) + (−8 + 3i) = (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i
Resta de números complejos
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
Ejemplos:
a) (9 - 2i) - (6 + 5i) = 9 – 2i -6 – 5i = (9-6) + (-2i-5i) = 3 – 7i
b) (8 - 3i) - (2 - 7i) = 8 – 3i -2 + 7i = (8-2) + (-3i +7i) = 6 + 4i
c) (5 + 2i) + (−8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

5. |5|
Multiplicación de números complejos
Puedes utilizar la propiedad distributiva para multiplicar números complejos. Al
multiplicar, lo haces igual que en la multiplicación de binomios. Debes saber
que:
𝑖2
= −1
Ejemplos:
a) 2(5 + 3i) = 2(5) + 2(3i) → propiedad distributiva
= 10 + 6i
b) 3i(1 + 4i) =3i(1) + 3i(4i) → propiedad distributiva
=3i + 12i2 = 3i + 12(-1) = -12 + 3i
c) (5+2i) · (2 −3i) = 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 15i + 4i − 6 (-1) =
= 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
d) (3 - 2i) · (1 - 5i) = 3 - 15i - 2i + 10i2 = 3 - 15i - 2i + 10(-1)
= 3 - 17i - 10 = 13 + 13i
División de números complejos
Antes de ver la división de números complejos, debemos entender lo siguiente:
Para el número complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝒛̅ = 𝒂 − 𝒃𝒊 se le conoce como su
conjugado complejo.
Por ejemplo:
 El conjugado de 5 + 3i es 5 - 3i.
 El conjugado de 3 - 2i es 3 + 2i.

6. |6|
Teorema:
Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi,
es el número real a2 + b2.
Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.
Ejemplos:
1)
 
   2 2
2 5 4i2 10 8i 10 8i 10 8i
5 4i 5 4i 5 4i 25 16 415
5 4i
5 4i
10 8
i
41 414
   

     
   


2)
  
  
 2
2 2
3 2i 1 3i 3 7i 6 13 2i 3 9i 2i 6i
1 3i 1 3i 1 3i 1 91
1 3i
31 3i
       
    
   


3 7i 6 3 7i
10 10
3 7
i
10 10
 
 
 
 
Simplificación de números imaginarios
Conocemos que:
𝑖2
= −1 ↔ 𝑖 = √−1
Además, debes saber que:
𝑖0
= 1 𝑖1
= 𝑖 𝑖2
= −1 𝑖3
= 𝑖2
⋅ 𝑖 = −𝑖
Esto constituye un patrón en el que los resultados se repiten cada cuatro veces.
Al utilizar leyes de exponentes, tenemos que:
𝑖4
= 1 𝑖5
= 𝑖 𝑖6
= −1 𝑖7
= (𝑖2)3
⋅ 𝑖 = −𝑖
Y así sucesivamente. Para hallar i54, solo tenemos que dividir 54 entre 4 y el
residuo es el resultado en la posición:

7. |7|
54 ÷ 4 = 13 con residuo 2
Por lo tanto, la contestación será:
54 2
i i 1  

8. |8|
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html
https://es.khanacademy.org/math/algebra2/complex-numbers-
a2/complex_numbers/v/introduction-to-complex-numbers
http://politube.upv.es/play.php?vid=56437
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Los_num
eros_complejos/index.htm
Referencias
Stewart, J. (2012). Single Variable Calculus, Early Transcendentals. (7ma ed.)
Belmont, California: Brooks/Cole.
Stewart, J., Redlin, L., Watson S. (2012). Precálculo Matemáticas para el
Cálculo. (6ta ed.) México: Cengage Learning.
Si deseas conocer más sobre este tema, puedes pulsar en los siguientes enlaces: