Me llamo Jesús Carrero, soy estudiante de IUT Antonio José de Sucre (UTS Charallave), curso segundo semestre de tecnología de la construcción civil. Aquí les presento mi informe técnico referente a series y sucesiones. Espero les sirva de mucho...

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE
SUCRE” – AMPLIACIÓN CHARALLAVE
CARRERA: TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN CIVIL
MATERIA: MATEMÁTICA II
SECCIÓN: AE
SERIES Y SUCESIONES
PROFESOR(A): ESTUDIANTE:
NAUDY ALBORNOZ JESÚS CARRERO
C.I: 30.256.274
JULIO, 2022

2. DEFINICIÓN
Los términos “serie” y “sucesión” se utilizan a menudo como sinónimos,
pero en matemáticas tienen significados distintos. Una sucesión es un
conjunto de números ordenados de acuerdo con algún criterio, mientras que
una serie, es el sumatorio de una sucesión (representado por la letra griega
∑), ósea, la suma de sus términos.
Las sucesiones son conocidas también como progresiones y son una
herramienta matemática muy útil y que tiene diversas aplicaciones en la
ingeniería, la economía y la estadística, mientras que una serie es una
generalización de la suma de términos de una progresión.
SUCESIÓN MATEMÁTICA
Es un conjunto de términos ordenados cada uno de ellos es llamado
término de la sucesión y se denotan an. En general los términos de una
sucesión se expresan:
a1, a2, a3,…an
En términos generales existen dos progresiones importantes, la
progresión aritmética y la progresión geométrica.
En una progresión aritmética la diferencia entre un término y otro siempre
es la misma, se le llama distancia y se denota “d”.
Mientras que una progresión geometria tiene una razón que acompaña a
cada término la cual es constante y se denota “r”.
SERIE MATEMÁTICA
Como bien mencionamos antes una serie matemática es la
generalización de la suma de los términos de una sucesión:

3. Se denota con un signo ∑ a modo de resumir o generalizar lo que sucede
para el enésimo termino.
a1, a2, a3 → ∑1 ≤ n an
Existen varios tipos de series, lo más importante es poder clasificarlas
como convergentes o no convergentes.
Si una serie converge significa que los términos de la sucesión tienden
hacia un límite finito, de no ocurrir esto se dice que la serie es no convergente
o divergente.
RESEÑA
El primer caso que registra el uso de una suma infinita de términos de
una sucesión, se remonta hasta la antigua Grecia, con Arquímedes, quien
probablemente uso este tipo de ideas para determinar el área encerrada bajo
un arco de una parábola. Otras ideas relacionadas con el uso de series y
sucesiones para la representación de determinadas funciones se concibieron
en India durante el siglo XIV, época en que se destaca el trabajo de Madhava.
Madhava también fue de los primero en considerar el problema de la
convergencia de una serie, es decir, determinar si la suma infinita de los
términos de una sucesión es igual a algún número real. Madhava desarrollo
algunos métodos y test de convergencia. En Europa, sin embargo, este tipo
de problemas fueron estudiados en profundidad solo a partir del siglo XIX con
los trabajos, entre otros, de Euler, Cauchy y Gauss.
Johann Car Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemán llamado a
menudo El príncipe de los matemáticos de todos los tiempos, fue al parecer
también un niño prodigio.
A la edad de 9 años, Gauss fue admitido en la clase de aritmética y
durante una de las clases su maestra decidió plantearles a los alumnos una

4. problema largo y tedioso para mantenerlos ocupados por un buen tiempo. Al
parecer el problema era similar al siguiente: realizar la suma de los primero
100 términos de una sucesión aritmética, específicamente realizar la suma de
los números 1, 2, 3, 4,…, 100. En aquella época, desde luego, no había
calculadoras así que todo debía hacerse a mano.
Gauss, que nunca había estudiado fórmulas para resolver este tipo de
problemas en pocos segundos entrego su respuesta en el escritorio de la
maestra. La maestra sorprendida le pregunto a Gauss como lo había
conseguido en tan poco tiempo y él le explicó que para calcular la suma de los
numero 1, 2, 3,… 100 no era necesario realizar suma por suma sino que
bastaba notar que la suma se podía agrupar en parejas de la siguiente forma
1+100 = 101, 2+99 = 101, 3+98 = 101,…50+51 = 101 y de esta manera para
realizar la suma total, al considerar las 50 parejas cuya suma era 101, el
resultado final se obtendrá haciendo 50*101= 5050.
Afortunadamente hoy en día ninguno de nosotros necesitamos ser un
prodigio como Gauss para estudiar y entender los conceptos de series y
sucesiones y debemos simplemente admirar el talento precoz de uno de los
grandes matemáticos de la historia.
TIPOS. PROPIEDADES
SUCESIONES
SUCESIONES CONVERGENTES

5. Son las sucesiones que tienen límite finito.
an= -1,
1
2
, −
1
3
,
1
4
, −
1
5
, … ,
(−1)𝑛
𝑛
Límite = 0
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, … ,
𝑛
𝑛+1
Límite = 1
SUCESIONES DIVERGENTES
Son las sucesiones que no tienen límite finito.
1, 2, 4, 8, 16, 32,…
Limite = ∞
SUCESIONES OSCILANTES
No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a
menor o viceversa.
a1= -1 → a2= 1 → a3= -1
a100= 1 → a101= -1 → a102= 1
a1000= 1 → a1001= -1 → a1002= 1
SUCESIONES ALTERNADAS
Son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
Convergentes
1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25, 0.125, -0.125,…
Tanto los términos pares como los impares tienen de limite 0.

6. Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25,…
Tanto los términos pares como los impares tienen limite +∞.
Oscilantes
-1, 2, -3, 4, -5,…, (−1)𝑛
∗ 𝑛
SUCESIONES MONÓTOMAS
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es
mayor que el anterior.
an + 1 › an
2, 5, 8, 11, 14, 17,…
5 › 2; 8 › 5; 11 › 8;…
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual
que el anterior.
an + 1 ≥ an
2, 2, 4, 4, 8, 8,…
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4;…
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término
de la sucesión es menor que el anterior.

7. an + 1 ‹ an
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
, …
1
2
< 1;
1
3
<
1
2
;
1
4
<
1
3
, …
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión
es menor o igual que el anterior.
an + 1 = an
10, 10, 8, 8, 6, 6, 4, 4,…
10 ≤ 10; 8 ≤ 10; 8 ≤8; 6 ≤ 8;…
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos sus términos son iguales,
an = k.
an = an + 1
5, 5, 5, 5,…
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son
mayores o iguales que un cierto número k, que llamaremos cota inferior de la
sucesión.
An ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

8. Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son
menores o iguales que un cierto número k’, que llamaremos cota superior de
la sucesión.
An ≤ k’
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o
supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de los términos se le llama
máximo.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente.
Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la
sucesión y otro k’ mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo
que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y k’.
k ≤ an ≤ k’
SERIES
Según la cantidad de términos
 Finitas: es una sucesión que tiene final.
 Infinitas: es una sucesión que no tiene final.

9. Según el orden de los elementos
 Ascendentes: van de un número menor a uno mayor (progresivas).
 Descendentes: van de un número mayor a uno menor (regresivas).
 Alternadas: los términos se alternan, ya sea que uno crezca y el
siguiente decrezca o que uno sea positivo y el siguiente negativo, o
ambos cambios a la vez.
Según los patrones que siguen
 Aritméticas, polinomiales, lineales o de primer orden: la diferencia
(resta) entre un término y el siguiente es un valor constante.
2, 4, 6, 8, 10
 Polinomiales cuadráticas o de segundo orden: la segunda
diferencia entre un término y el siguiente es un valor constante.
1, 4, 9, 16, 25
 Geométricas: la razón (división) entre un término y el siguiente es un
valor constante.
2, 4, 8, 16, 32
CARACTERÍSTICAS
La sucesión numérica tiene consigo algunas características particulares,
algunas de ellas son:
1) Está conformada por números que se encuentran ordenados.
2) Los números ordenados siguen una regla o comportamiento en
particular.
3) Cada uno de los números que conforma la sucesión numérica se
conoce como elemento.
4) Estas pueden ir de forma creciente o de forma decreciente.
Entre otras.

10. Las series numéricas, por su parte:
1) Son un grupo de números ordenados que guardan relación consecutiva
entre sí.
2) Puede ir de un número hasta otro de uno en uno, de dos en dos, o de
acuerdo a la serie que se elija.
3) Los elementos de una serie numérica son los términos y el patrón.
Entre otras.
APLICACIONES
Las sucesiones y series numéricas pueden ser utilizados en muchos
ámbitos como en la vida cotidiana o en las industrias. Algunas aplicaciones
recurrentes son:
 En los números primos.
 En la velocidad de un auto.
 Varios fenómenos naturales.
 En los intereses bancarios.
 En el deporte.
 En la biología.
Su importancia recae en que ayudan a interpretar al mundo ya que
mediante dichas operaciones podemos estudiar o representar fenómenos
en momentos intermitentes, para diversas ramas del estudio, etc.

11. EJEMPLOS RESUELTOS
SUCESIONES
1) an = 1, 2, 3, 4, 5,…, n
 Es creciente.
 Está acotada inferiormente en 1.
 El mínimo es 1.
 No está acotada superiormente.
 Divergente.
2) bn = -1, -2, -3, -4, -5,…, -n
 Es decreciente.
 Está acotada superiormente.
 El máximo es -1.
 No está acotada inferiormente.
 Divergente.
3) cn = 2,
3
2
,
4
3
,
5
4
, … , 𝑛 +
1
𝑛
 Es decreciente.
 Está acotada superiormente.
 El máximo es 2.

12.  Está acotada inferiormente.
 El ínfimo es 1.
 Convergente, limite =1.
4) dn = 2, -4, 8, - 16, 32, …, (−1)𝑛−1
∗ 2𝑛
 No es monótoma.
 No está acotada.
 No es convergente ni divergente.
SERIES
1) Encuentra el número que sigue la secuencia 9, 15, 25, 35, 49, 64,…
En este caso la respuesta es 81
Explicación: 9, (+7) 16, (+9) 25, (+11) 36, (+13) 49, (+15) 64,…
En este caso comienza del 7 luego aumenta +2 para los numero 7, 9, 11, 13,
15… entonces tocaría sumarle +17 al número anterior quedando lo siguiente
64 8+17) = 81.
2) Sigue a secuencia 5, 7, 9,…
En este caso la respuesta es 11
Explicación: va aumentando +2 quedando: 5, (+2) 7, (+2) 9, (+2)…
3) Encuentra el número que sigue la secuencia 7, 9, 13, 15, 20, 22,…
Respuesta: 28
Explicación: la secuencia es +2 que se mantiene constante luego para el
resultado del número siguiente aumenta de +1 en +1 pero empieza con +4
luego +5 y el que le sigue seria +6.
7(+2), 13(+2), 15(+5), 20(+2), 22(+6),…