trabajo

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO MONAGAS
ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES
MATEMATICAS 1-0081613
Sucesiones, Sumatorias y
progresiones
Profesora: Bachilleres:
Milagros Coraspe Michell Ortiz
Sección 41 María Gil
Maturín, Febrero de 2017

2. En el siguiente trabajo conoceremos un poco acerca de que son las
sucesiones, progresiones y sumatorias: Una sucesión se dice que no es
mas que un conjunto de elementos o números enteros positivos. No
debe confundirse como una serie matemática que es la sumatoria de
los términos de una sucesión.
Las progresiones no son otra cosa que: es una sucesión de números
entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos
tipos: Progresión aritmética: aquella en que la diferencia entre sus
términos es constante. Progresión geométrica: aquella en que la razón
o cociente entre sus términos es constante. Por otro lado las
sumatorias son: una notación matemática que permite representar
sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, evitando
el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de
paso al límite .
INTRODUCCION:

3.  1) Sucesiones:
es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su
condominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o
funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la
sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la
longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de
los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y
un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión
puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un
subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo:
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En
este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita
sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto.
Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso
puede excluirse dependiendo del contexto.

4. 2) Tipos de Sucesiones:
Sucesión finita: Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término,
por ejemplo el n- ésimo:
ejemplo: Genéricamente a0,….a1,..a2,..a3,..ai,..an donde ai seria el termino general si
hiciera falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0
Subsucesión: Una sucesión es una aplicación en los enteros; como an = s(n) para
cualquier n ≥ n0. Luego se circunscribe la aplicación a un subconjunto de los enteros. Se
elige un entero mayor o igual a n0, denotado como n1, en seguida otro mayor que n1,
denotado por n2, y así sucesivamente. Entonces la nueva sucesión definida por
ch= anh = s (nh) para h = 0,1,2,.
se llama subsucesión de {an}. Obviamente para una sucesión existen varias
subsucesiones.1
Sucesión constante: Se dice que una sucesión es constante si todos los términos
tienen un mismo valor k es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:
Genéricamente a0=k, a1=k, a2=k, a3=k, an=k,... a0 = k, a1 = k, a2 = k,
ejemplo: si k= 1 k=1 queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el
mismo, 1.

5. Sucesión monótona: Una sucesión monótona es una sucesión creciente o
decreciente:2
Sucesión creciente: Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o
igual que el anterior.
Ejemplo: an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
sucesiones decrecientes: Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de
la sucesión es menor o igual que el anterior.
Ejemplo: an+1 ≤ an
Sucesiones estrictamente decrecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente
decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
Ejemplo: an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesiones decrecientes: Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de
la sucesión es menor o igual que el anterior.
Ejemplo: an+1 ≤ an

6. Sucesiones acotadas inferiormente: Una sucesión está acotada inferiormente si
todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos
cota inferior de la sucesión.
Ejemplo: an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Sucesiones acotadas superiormente: Una sucesión está acotada superiormente si
todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos
cota superior de la sucesión.
Ejemplo: an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Sucesiones acotadas superiormente: Una sucesión está acotada superiormente si
todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos
cota superior de la sucesión.
Ejemplo: an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

7. Sucesiones acotadas: Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e
inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la
sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los
términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
Ejemplo: k ≤ an ≤ K‘
3)Suma de sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
4)Propiedades
1 Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0

8. 5)La sumatoria o sumatorio: Se emplea para representar la suma de muchos
o infinitos sumandos.
La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n".
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ. i es el valor
inicial llamado límite inferior.
n es el valor final llamado límite superior.
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede simplificar:
Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.
Ejemplo:
6)Progresiones: una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la
diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante,
cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».
Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de
diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de
diferencia constante −3.

9. 7)Tipos de progresiones:
*Progresión aritmética: aquella en que la diferencia entre sus términos es constante.
Ejemplo:
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
*Progresión geométrica: aquella en que la razón o cociente entre sus términos es
constante. Una progresión geométrica particular es el llamado interés compuesto.
Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d = -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

10. Suma de términos equidistantes: Sean ai y aj dos términos equidistantes de los
extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los
extremos.
ai + aj = a1 + an
Suma de términos equidistantes
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos:
Suma de n términos
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Suma de 5 términos
8)Propiedades de las sumatorias
Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se
encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza
utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

11. Propiedad 1: propiedad 7:
Propiedad 2: propiedad 8:
Propiedad 3: propiedad 9:
Propiedad 4: propiedad 10:
Propiedad 5: propiedad 11:
Propiedad 6:

12. CONCLUSION:
Una sucesión es un conjunto de aplicaciones de los enteros positivos también se le
conoce como un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números.
Las sucesiones no solo las utilizamos en matemática sino también en otras áreas
importantes del día a día como la biología, las ciencias incluso en casa avecés utilizamos
las sucesiones sin darnos cuenta algunos ejemplos mas claros de esto pueden ser : Asi
como se pueden resolver diferentes tipos de problemas en el area de la matematica las
sucesiones se pueden encontrar en cualquier situación de la vida
El aumento de velocidades por segundo en la prueba de una carro de carreras
Medición de infraestructuras
Para calcular el incremento en el que se ha dado la tasa de mortalidad y natalidad de
una ciudad.