Informe técnio hecho por: Darwin Díaz

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TEGNOLOGIA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
2DO SEMESTRE
CARRERA: INFORMATICA
INFORME TECNICO:
Series y Sucesiones
DOCENTE: AUTOR:
ING. NAUDY ALBORNOZ DARWIN DIAZ
C.I: 27.513.940
CHARALLAVE, 10 DE FEBRERO DE 2023

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
INTRODUCCION
Aunque a simple vista podemos pensar que las sucesiones en general, solo consisten en
una serie de números que no tienen ninguna aplicación práctica, lo cierto es que podemos
encontrar aplicaciones de ellas en muchas situaciones de la vida cotidiana.
Por ejemplo: en una competición de tenis, en los intereses bancarios, en las industrias,
en los números primos, en la producción en serie, en la velocidad de un auto, al clavar un clavo,
en los minutos (medir el tiempo de algo), en la crianza de ganado y fenómenos naturales, por
ejemplo, el desarrollo de los girasoles.
Las matemáticas se ponen más interesantes cuando les encontramos un uso en la vida
real. Entonces, ¿para qué sirven las sucesiones o las series en la vida real? Te permiten
pronosticar el futuro con cierta precisión. Ojo que no es lo mismo que adivinar. Es totalmente
diferente. En una empresa, cuando estamos viendo una proyección hacia el mes entrante o el
año siguiente, muy seguramente somos testigos del uso de sucesiones para predecir resultados
futuros.
Las series son algo tan sencillo como una suma infinita de muchos números o una
sucesión de varios números para conseguir un objetivo, y la misma nos ayuda con casi cualquier
aspecto de nuestra vida diaria, como dijimos anterior mente son muy útiles en la vida empresarial
ya que nos ayuda a realizar las cuentas, los balances, las proyecciones entre muchas otras cosas
porque su utilidad es tan infinita que nos sirve hasta para medir los mobiliarios y utensilios que
se utilizan en la empresa.
Definitivamente las mismas son tan importantes en todos los aspectos que me parecieron de real
importancia realizar el trabajo que le presentare a continuación hablando de todas sus formas,
ventajas y características.

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Series y Sucesiones
Las sucesiones numéricas y series pueden parecer conceptos idénticos, pero como objetos
matemáticos están definidas de distinta manera. Analicemos, entonces, sus características
básicas y sus definiciones para entender sus diferencias.
Sucesión numérica
Una sucesión numérica puede ser descrita como una lista de números (conocidos como
términos) que siguen una regla. Las reglas que siguen conforman un patrón matemático.
Primero veamos algunos ejemplos de sucesiones y sus reglas explicadas:
 3, 9, 15, 21, 27,33: La sucesión comienza con el número 3 y cada número siguiente supone
un incremento de 6 respecto del anterior.
 72, 64, 56, 48, 40,32: La sucesión comienza con el número 72 y cada número siguiente
supone una disminución de 8 respecto del anterior.
 5, 10, 20, 40, 80,160: La sucesión comienza con el número 5 y cada número siguiente es
igual al anterior multiplicado por dos.
Las sucesiones pueden ser finitas (como en los ejemplos anteriores) o infinitas, que significa que
no tienen un elemento final. Una sucesión numérica infinita generalmente se denota con el
símbolo de puntos suspensivos “...”.
Debido a que estas sucesiones son infinitas, es normal utilizar la expresión matemática que las
define para caracterizarlas y obtener sus propiedades y términos concretos. A diferencia de un
conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede
aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una
función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto
una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso
se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la
sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8….

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede
considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede
excluirse dependiendo del contexto.
Tipos de sucesiones numéricas
Hay dos tipos de sucesiones principales:
Sucesiones aritméticas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen
respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama
diferencia y se denota, habitualmente, por la letra ‘d’.
Sucesiones geométricas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen
respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta
cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra ‘r’.
Progresión Aritmética
En Matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión matemática de números tales que la
diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad
llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».
Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de cuadro
constante 2, así como 5, 2, −1, −4 es una progresión aritmética de constante «−3».
En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera de esta, la
diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia.
Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se
tiene que:
d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
 Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
 Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
 Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Progresión Geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el
elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele
reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras
que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos.
Ejemplos de progresiones geométricas
 La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que
5, 10, 20, 40, ...
 La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875,... es
una progresión geométrica con razón 1/4.
 La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24,...
tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los
signos alternan entre positivo y negativo.
 Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7,...
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
La Sucesión Triangular se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla:
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
 El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
 y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición en la sucesión.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
Ésta es la Sucesión de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
 El 2 se calcula sumando los dos antes de él (1+1)
 El 21 se calcula sumando los dos antes de él (8+13)
 etc...
La regla es xn = xn−1 + xn−2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Este tipo de reglas se conocen como fórmulas recursivas.
La sucesión de Fibonacci está numerada del 0 en adelante, de esta manera:
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
Ejemplo: el 6º término se calcularía así:
x6 = x6−1 + x6−2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series Numéricas
Una serie es la suma de todos los términos (o solo de una parte de ellos) de una sucesión.
Ejemplos de series asociadas a sucesiones son:

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
 3, 9, 15, 21, 27,33 es una sucesión aritmética finita de diferencia 6; podemos calcular su serie
como: 3+9+15+21+27+33: 108.
 72, 64, 56, 48, 40, 32 es una sucesión aritmética finita de diferencia -8; su serie se puede
calcular como: 72+ 64+ 56+ 48+ 40+ 32: 312.
Fórmulas que definen los términos de una sucesión
Cuando trabajes con sucesiones y series, puede ocurrir que necesites un término específico de
estas. Para ello, es útil utilizar las fórmulas matemáticas que las caracterizan.
Fórmulas para sucesiones
Hay una fórmula que define ambos tipos de secuencias. Estas son usadas para encontrar el
término enésimo de las mismas.
Cuando nos referimos al término enésimo estamos hablando de un término en concreto que se
encuentra en la posición ‘n’ calcular.
Un: a + (n + 1) d
Aquí ‘Un’ es el enésimo de la lista, ‘a’ es el primer término y ‘d’ es la diferencia.
Ejercicios de sucesiones
Encontremos el decimoquinto término de la sucesión aritmética infinita: 5, 12, 19, 26, 33, 40…
Solución
Puesto que aquí ‘Un’ es el decimoquinto término, es igual a 15. El primer término (5, en este
caso) siempre se corresponde con a.
La diferencia común entre todos los términos es de 7, u1- a: 12-5: 7, u2: 19- 12: 7, y así
sucesivamente).
U15: 5 + (15-1)7
U15: 103.
Sumas parciales
Cuando sumamos solo una parte de la sucesión decimos que hacemos una suma parcial.
Pero una suma de una sucesión infinita se llama "serie" (parece como si fuera otro nombre para
las sucesiones, pero en realidad es una suma). Lee Series Infinitas.
Ejemplo: Números impares
Sucesión: {1, 3, 5, 7,...}

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Serie: 1 + 3 + 5 + 7 +...
Suma parcial de los primeros tres términos: 1 + 3 + 5
La suma de términos infinitos que siguen una regla.
Cuando tenemos una secuencia infinita de valores:
12, 14, 18, 116,...
Que siguen una regla (en este caso, cada término es la mitad del anterior), y los sumamos todos:
12 + 14 + 18 + 116 +... = S obtenemos una serie infinita.
"Serie" suena como si fuera la lista de números, pero en realidad es cuando los sumamos.
(Nota: los puntos "..." significan "continuar indefinidamente")
Notación
A menudo se usa la Notación Sigma para series infinitas. Nuestro ejemplo de arriba se ve así:
Este símbolo (llamado Sigma) significa
"sumar"
Intenta poner 1/2^n en la Calculadora Sigma.
Otro ejemplo
14 + 116 + 164 + 1256 +... = 13
De los 3 espacios (1, 2 y 3) solo se llena el número 2, por lo tanto, 1/3.
Convergencia
Sumemos los términos uno a la vez. Cuando la "suma hasta un cierto valor" se acerca a un valor
finito, se dice que la serie es "convergente":
Nuestro primer ejemplo:
12 + 14 + 18 + 116 +...
Va sumando así:
Término Suma hasta cierto valor
1/2 0,5

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
1/4 0,75
1/8 0,875
1/16 0,9375
1/32 0,96875
... ...
Las sumas se dirigen hacia un valor (1 en este caso), por lo que esta serie es convergente.
La "suma hasta cierto valor" se llama sumas parciales .
Entonces, más formalmente, decimos que es una serie convergente cuando:
"la secuencia de sumas parciales tiene un límite finito".
Divergencia
Si las sumas no convergen, se dice que la serie diverge.
Puede ir a +infinito, −infinito o simplemente subir y bajar sin establecer ningún valor.
Ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 +...
Va sumando así:
Término Suma hasta cierto valor
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
... ...
Las sumas se hacen cada vez más grandes, no se dirigen a ningún valor finito.
No converge, por lo que es divergente y se dirige al infinito.
Ejemplo: 1 − 1 + 1 − 1 + 1...
Sube y baja sin establecerse en algún valor, por lo que es divergente.

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Series Aritméticas
Cuando la diferencia entre cada término y el siguiente es una constante, se llama una serie
aritmética.
(La diferencia entre cada término es 2).
Series Geométricas
Cuando la razón entre cada término y el siguiente es una constante, se llama una serie
geométrica.
Nuestro primer ejemplo de arriba es una serie geométrica:
(La razón entre cada término es ½)
Y, como se prometió, podemos mostrarte porqué esa serie es igual a 1 usando Álgebra:
Primero, a toda la suma le llamaremos "S": S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...
A continuación, dividimos S entre 2: S/2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +...
Ahora restamos S/2 de S
Todos los términos de 1/4 en adelante se cancelan.
Y tenemos: S − S/2 = 1/2
Simplificamos: S/2 = 1/2
Finalmente: S = 1
Serie armónica
Ésta es la serie armónica:

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Es divergente.
¿Cómo lo sabemos? Comparémosla con otra serie:
1 +
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+ ...
2 3 4 5 6 7 8 9
etc...
1 +
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+ ...
2 4 4 8 8 8 8 16
En cada caso, los valores superiores son iguales o mayores que los valores inferiores.
Ahora, sumemos los grupos inferiores:
1 +
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
... + ...
2 4 4 8 8 8 8 16
1 +
1
+
1
+
1
+
1
+ ... = ∞
2 2 2 2
Esa serie es divergente.
Entonces la serie armónica también debe ser divergente.
Aquí hay otra forma:
Podemos dibujar el área de cada término y compararlo con el área bajo la curva 1/x:
1/x vs el área de la serie armónica
El cálculo nos dice que el área bajo 1/x (de 1 en adelante) se aproxima a infinito, y la serie
armónica es mayor que eso, por lo que debe ser divergente.
Series alternantes
Una serie alternante tiene términos que alternan entre positivo y negativo.
Puede o no converger.

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
Ejemplo: 12 − 14 + 18 − 116 +... = 13
Esta ilustración puede convencerlo de que los elementos convergen en 13:
¿Quizás puedas probarlo tú mismo? Intenta emparejar cada par positivo y negativo, luego busca
arriba una serie que coincida.
Otro ejemplo de una serie alternante (basada en la serie armónica anterior):
Ésta converge en el logaritmo natural de 2
Explicación avanzada:
Para mostrar PORQUÉ, primero comenzamos con un cuadrado del área 1, y luego emparejamos
las fracciones menos y más para mostrar cómo reducen el área al área debajo de la curva y=1/x
entre 1 y 2.

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SERIES Y SUCESIONES MATEMÁTICAS
CONCLUSION
En el trabajo realizado anteriormente pudimos ver que las series y sucesiones son más
que solo juntar o sumar números a alzar, es mucho más complejo y muchísimo más útil en todo
sentido vimos que hay diferentes tipos de sucesiones que nos ayudan en todos y cada uno de
los aspectos de las matemáticas, de la vida y en todas las carreras porque desde la más básica
hasta la más avanzada de las ciencias en algún punto llegan a utilizar series, sucesiones o alguna
variante de la misma.
Existen varios tipos de sucesiones como lo son la aritmética que nos explica que los
términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una
cantidad fija.
Esta por ejemplo nos funciona bien cuando debemos realizar la medición de la velocidad
de un auto ya que nos permite sumar el tiempo que dura cuando avanza y a la vez restarle
cuando va desacelerando, y es algo que sin darnos cuenta lo utilizamos en la vida diaria y no
sabemos que es una sucesión aritmética, que si nos basamos en su nombre pensamos que es
algo complejo y hasta algo que no sabemos cómo podríamos aplicarlo, sin saber que ya día a
día se está aplicando solo al manejar un auto y medir su velocidad, o en un juego de tenis que
pensamos que es solo darle a la bola y jugar y es mucho más complejo que eso.
De verdad que la vida es mucho mejor con las matemáticas, siempre nos preguntamos porque
debemos aprender tanto sobre matemáticas es solo sumar y restas, y no nos damos cuenta de
su valor y de no es solo sumar y restar va mucho más allá de todo esto, es mucho más extensa
más valiosa en todos los sentidos y en todas sus formas desde series y sucesiones hasta
aritmética y mucho más allá.

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BIBLIOGRAFIA
Disfruta las matemáticas Avanzadas, Algebra, E.E.U.U, Autor desconocido.
https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
C.StudySmarter AGB , E.E.U.U, Autor Desconocido
https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/
adsmatematica@gmail.com, Ubicación y Autor Desconocido.
http://matematica.50webs.com/sucesiones.html
Autora: Paola Andrea Bustos, Ubicación Desconocida.
http://www.calculointegrales.com/p/series-y-sucesiones.html