Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre sistemas de numeración. Explica que los sistemas de numeración son conjuntos de reglas y convenciones para nombrar números. Describe tres tipos de sistemas: aditivo, multiplicativo y posicional. Luego se enfoca en el sistema decimal posicional, el más común, explicando sus características como el uso de 10 cifras y el valor posicional.

1. NIT 807002171-8
DANE 154001002462
INSTITUCION EDUCATIVA JULIO PEREZ FERRERO
“Caminando junto a la ciencia, la convivencia y la productividad”
GESTION ACADÉMICA
GUÍA DE APRENDIZAJE
GA-F19
Versión 1.0
17-02-2014
Página 1 de 4
NOMBRE GUÍA EVALUACIÓN TALLER
AREA ASIGNATURA GRADO FECHA SEMANA
Matemáticas Matemáticas 6 10-03-17 7
TEMA COMPETENCIA PERIODO
Resumen examen bimestral Primer Periodo 1
Sistemas de numeración
Debido al hecho de que los números naturales son
infinitos, es necesario buscar un conjunto de
palabras, símbolos y reglas que nos permitan
determinar los números naturales y viceversa; a la
vez de poder trabajar con ellos. En esta guía vamos
a definir los sistemas de numeración, sus
propiedades y algunos los más comunes, como el
que utilizamos nosotros: el sistema decimal.
Definición: Llamamos Sistemas de Numeración al
conjunto de reglas y convenios que utilizamos para
poder nombrar los números. Los símbolos reciben el
nombre de cifras y el cardinal del conjunto de estas
cifras, el nombre de base. Según sus características
los podemos clasificar en tres tipos:
a) Sistema de numeración aditivo: se caracteriza por
tener un símbolo para referirse a las unidades, otro
para las decenas, otro para las centenas, y así
sucesivamente, de tal forma que es necesario sumar
todos los símbolos para hallar el número del que se
trata. No importa la posición en la que se
encuentran, únicamente la cuantía y su cantidad. Un
ejemplo de este sistema es el egipcio. Donde por el
ejemplo el número 276 es:
b) Sistema de numeración multiplicativo: es una
variación del sistema aditivo. Este sistema necesita
un símbolo para referirse a las cifras del 0 al 9
(dependiendo de la base, esto sería en base 10) y un
símbolo para las decenas, centenas, etc…. de tal
forma que se multiplica una cantidad por otra,
sumando finalmente el resultado. Un ejemplo de
este sistema es el sistema chino.
c) Sistema de numeración posicional: cada cifra tiene
un valor dependiendo del valor de la cifra y de la
posición que ocupe. Este tipo de sistema es el
sistema que utilizamos, conocido como sistema de
numeración decimal, el sistema binario y el
hexadecimal.
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
Los sistemas de numeración de base a se
caracterizan por:
1) Utilizar las cifras: 0,1,2,…….,a-1.
2) Cada a unidades de un orden, forman una unidad
del orden inmediatamente superior.
3) El valor de cada cifra viene dada por el lugar que
ocupa. Esta caracteriza se denomina principio del
valor relativo.
Teorema Fundamental de la Numeración: Todo
número natural en base b>1 puede escribirse de
forma única como:
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Es el sistema que utilizamos normalmente para
expresar cantidades.
Se llama DECIMAL porque tiene 10 cifras o
dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Es un sistema posicional porque una cifra
cambia de valor según la posición que ocupe:
Por ejemplo ¿Qué valor tiene el número 5 en las
siguientes cantidades?

2. NIT 807002171-8
DANE 154001002462
INSTITUCION EDUCATIVA JULIO PEREZ FERRERO
“Caminando junto a la ciencia, la convivencia y la productividad”
GESTION ACADÉMICA
GUÍA DE APRENDIZAJE
GA-F19
Versión 1.0
17-02-2014
Página 2 de 4
125  5 unidades
5124  5 unidades de mil = 5000 unidades
547  5 centenas = 500 unidades
6456  5 decenas = 50 unidades
Recordemos los valores de las distintas
posiciones: 3.457.892
3 4 5 7 8 9 2
Unida
des
de
Millón
Cente
nas
de Mil
Dece
nas
de
Mil
Unida
des
de Mil
Cente
nas
Dece
nas
Unida
des
EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO
DEL SISTEMA DECIMAL
Descomponemos un número en una suma:
57.892 = 2 + 90 + 800 + 7.000 + 50.000
Pero ya sabemos cómo se pueden expresar las
potencias de 10
100
= 1 101
= 10 102
= 100 103
= 1.000 104
=
10.000
105
= 100.000
106
= 1.000.000
Y también sabemos que un número que termina
en ceros se expresa con una potencia de 10 así:
90 = 9 x 10
800 = 8 x 100 = 8 x 102
7.000 = 7 x 1.000 = 7 x 103
50.000 = 5 x 10.000 = 5 x 104
400.000 = 4 x 100.000 = 4 x 105
3.000.000 = 3 x 1.000.000 = 3 x 106
Por tanto la descomposición polinómica del
número será:
3.457.892 = 2 + 9.10 + 8.102
+ 7.103
+ 5.104
+
4.105
+ 3.106
Como todos los números en el sistema decimal
se descomponen con potencias de 10 y se usan
10 cifras, se dice que este sistema es de BASE
10
Ejercicio 1: Halla la descomposición polinómica
de los siguientes números:
1.043, 23.500, 7.520.000, 508
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
Este sistema es de base 2, o sea que sólo tiene
dos cifras, el 0 y el 1.
Contemos en base 2 comparando con la base
10.
Binari
o
0 1 1
0
1
1
10
0
10
1
11
0
11
1
100
0
Decim
al
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Para pasar un número del sistema binario al
decimal se hace lo siguiente:
Ejemplo, pasemos el número 111(2 al sistema
decimal.
111(2 = 1 + 1.2 + 1. 22 = 1 + 2 + 4 = 7
1000(2 = 0 + 0.2 + 0.22
+ 1.23
= 8
1011100(2 = 0 +0.2 + 1.22
+ 1.23
+ 1.24
+ 0.25
+
1.26
= 4 + 8 + 16 + 64 = 92
Pero ¿cómo pasamos de sistema decimal al
binario?
Ejemplo: pasar a binario el número 75:

3. NIT 807002171-8
DANE 154001002462
INSTITUCION EDUCATIVA JULIO PEREZ FERRERO
“Caminando junto a la ciencia, la convivencia y la productividad”
GESTION ACADÉMICA
GUÍA DE APRENDIZAJE
GA-F19
Versión 1.0
17-02-2014
Página 3 de 4
Sistema de Numeración Romano: Lo describiremos
como ejemplo de sistema de numeración no
posicional.
Veamos: el número romano XCIX (99 decimal) los
numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la
cifra equivalen siempre al mismo valor, sin
importar su posición dentro de la cifra.
En la numeración romana no existe símbolo para el
dígito cero
Características del sistema:
• Los símbolos de este sistema de
numeración lo componen siete
letras del alfabeto romano. Cada
símbolo tiene un valor específico, el
cuál se muestra en la siguiente
tabla:
Agregamos al conjunto de símbolos la “suprarraya”,
que no es propiamente un símbolo. Cada una de
sus ocurrencias, multiplica por mil el número que
califica.
◊ I, X, C, y M se denominan símbolos primarios
◊ V, L, y D se denominan símbolos secundarios
• Las reglas son:
1.Los símbolos que siguen a uno mayor
o igual suman al símbolo anterior.
Ejemplos:
VI = 6 (1 suma al 5)
CLVII = 157 (a 100 le sigue 50 que suma, a éste 5
que suma, luego viene 1 que suma, y finalmente
otro 1 que también suma)
XV = 15 (10 + 5 = 15)
MCVI = 1.106 (1000 + 100 + 5 + 1 = 1.106)
Un símbolo, si es primario puede aparecer
sumando consecutivo hasta tres veces, y los
secundarios pueden aparecer sumando una sola
vez
Taller
1. Descompone los siguientes números en
sistema decimal
a. 12300 b. 34 c. 328500
2. Convierte los siguientes números del
sistema decimal a base 2 o sistema binario
a. 5 b. 18 c. 45
3. Convertir los siguientes números de
decimal a romano: 125, 38, 2008, 457, 539.
4. Convertir los siguientes números de
romanos a decimal: LXV, DLV, XXXIX,
LXXXVIII, MCCXXXIV.
CONJUNTO Y ELEMENTO
Observemos
Los anteriores gráficos, podemos definirlos de la
siguiente manera:
a) La colección de monedas de $100.
b) El equipo de fútbol "Los Millonarios".
c) La agrupación de las letras de nuestro
abecedario.
d) El conjunto de los departamentos de la
República de Colombia.
Cada uno de los anteriores enunciados, nos da una
idea clara, de lo que significa la palabra conjunto.
Los términos: equipo, agrupación, colección,
grupo, etc., son sinónimos del término conjunto.
Ejercicio En tu cuaderno, escribe 5 enunciados
que te den la idea de conjunto.
En el estudio de las matemáticas, la palabra
conjunto, no se define; se considera un término
primitivo, en el lenguaje de la teoría de
conjuntos.
NOTACIÓN DE CONJUNTOS
Por comodidad se acostumbra representar a los
conjuntos con letras mayúsculas del abe-
cedario, y a los elementos (objetos) que los
componen, con letras minúsculas, números o
Símbolo Valor Decimal
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

4. NIT 807002171-8
DANE 154001002462
INSTITUCION EDUCATIVA JULIO PEREZ FERRERO
“Caminando junto a la ciencia, la convivencia y la productividad”
GESTION ACADÉMICA
GUÍA DE APRENDIZAJE
GA-F19
Versión 1.0
17-02-2014
Página 4 de 4
cualquier otro símbolo, separados entre sí por
comas y encerrados entre llaves.
Ejemplo
Sea el conjunto de los días de la semana.
Convengamos en representar este conjunto con
la letra A y a sus elementos los simbolizaremos
con una letra minúscula así:
domingo = d. lunes = l, martes = m, miércoles
= n, jueves = j, viernes = v, sábado = s.
Obtendremos lo siguiente:
A = {d, l, m, n, j, v, s}
Cada uno de los objetos que forman al
conjunto se llama elemento
PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA
Tenemos el conjunto
B = {1,2,3, a, b,}; podemos decir, al respecto,
que:
El elemento 1 pertenece al conjunto B
El elemento 2 pertenece al conjunto B
El elemento 3 pertenece al conjunto B
El elemento a pertenece al conjunto B
El elemento b pertenece al conjunto B
EL elemento i no pertenece al conjunto B
EL elemento x no pertenece al conjunto B
Las palabras pertenece y no pertenece, las
podemos reemplazar por los siguientes signos
respectivamente: ∈y ∉; entonces, nuestro
ejercicio quedaría así:
1 ∈ B
2 ∈ B
3 ∈ B
a ∈ B
x ∉ B
4 ∉ B
b ∈ B
i ∉ B
Ejercicio:
1. Dado el conjunto
M = {1, 2, 3, 4, 5};
escribe V ó F para cada una de las
siguientes afirmaciones:
1 ∈ M
2 ∈ M
3 ∉ M
4 ∉ M
5 ∈ M
7 ∈ M
9 ∉ M
6 ∈ M
3 ∈ M
5 ∉ M
1 ∉ M
6 ∉ M
2. Dado el conjunto
R = {a, b, c, d, e};
Completa con ∈y ∉cada expresión
a R P R
e R
i R
b R
o R
t R
v R
q R
u R
g R
k R
m R
v R
j R
d R
3. Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6}; escribe para cada
afirmación, V ó F
1 ∈ A
2 ∈ B
4 ∈ A 4Ʌ ∈ B
3 ∈ B
5 ∈ B 5Ʌ ∈ A
6 ∈ A V 6 ∈ B
6 ∈ A 6Ʌ ∉ B
4 ∈ A 4Ʌ ∉ B
4 ∉ A 1Ʌ ∉ B
1 ∉ A 4Ʌ ∈ B
5 ∈ A V 5 ∉ B
3 ∉ A V 3 ∉ B