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Materia: Informática
Nota de Clases – Sistemas de Numeración

Lic. S. Vanesa Torres – mail: informatica.unvime@gmail.com Página 1
Conversión Entre Sistemas de Numeración
1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN
1.1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos y reglas que
permiten construir todos los números válidos en el sistema; dichos
números son usados para representar cantidades, así se tienen los
sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal.
Puede representarse como:
P = (M, N)
Donde:
 P, es el sistema de numeración considerado (binario, decimal, octal,
etc.)
 M, es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del
sistema decimal son {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}; en el binario son {0,1};
en el octal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7}; en el hexadecimal son {0,1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.
 N, son las reglas que nos indican qué números son válidos en el
sistema, y cuáles no.
1.2. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
1.2.1. Definición
El sistema de numeración decimal es el que utilizamos
habitualmente; el cual, se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la
posición que ocupen en la cifra
1.2.2. Descripción
El principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada
10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a
la izquierda de la primera de las unidades; llamada decena, el
agrupamiento de diez decenas forma una centena, la cual se ubica a
la izquierda de las decenas, y así sucesivamente.
1.2.3. Características Principales
 Se compone de diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
 El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base
10; por ejemplo 528, significa: 5*102
+ 2*101
+ 8*100
.
 En el caso de números con decimales, la situación es análoga
aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias
serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la
derecha del separador decimal.
Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8*103
+ 2*102
+ 4*101
+ 5*100
+ 9*10-1
+ 7*10-2
.
 Las posiciones que puede ocupar un dígito en una cifra son:
unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

 En el caso de números con decimales, las posiciones de un
dígito, después de la coma decimal son: décimos, centésimos,
milésimos, etc.
1.3. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
1.3.1. Definición
Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por
tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades.
Estos símbolos son:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además
de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números
del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24
1.3.2. Descripción
Un número en el sistema hexadecimal se divide en cifras con
diferente peso: 1, 16, 256, 4096, 65536,.... etc.
El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de
su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las
cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,
porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.
Por ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16 en el sistema
decimal es:
1A3F16 = 1*163
+ A*162
+ 3*161
+ F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F(16) = 6719(10)
 Se compone de dieciséis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F).
 Sus símbolos se componen por 10 números y 6 letras.
 El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base
16.
 Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de
la computación dígitos
1.4. EL SISTEMA DE NUMERACION OCTAL

1.4.1. Definición
Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 8, por
tanto, utiliza 8 símbolos diferentes para la representación de
cantidades. Estos símbolos son:
0 1 2 3 4 5 6 7
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la
hexadecimal
1.4.2. Descripción
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios
agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de
derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en
binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número
decimal 74 en octal es 112.
Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es
necesario pasar por el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal
se sigue esta serie: decimal >> binario >> octal.
 Se compone de ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
 Una ventaja es que sólo utiliza dígitos y no letras u otro tipo de
caracteres.
 El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las
potencias de base 8.
 La numeración octal es tan buena como la binaria y la
hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único
factor primo para sus bases es 2.
 Los dígitos del sistema octal tienen el mismo valor que los del
sistema decimal dígitos.
1.5. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA
1.5.1. Definición
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de
numeración en el que los números se representan utilizando
solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las
computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de
voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema
binario (encendido 1, apagado 0)
1.5.2. Descripción
Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden
forman la unidad de orden superior siguiente, que se escribe a la
izquierda de la unidad de orden anterior.
 Se compone sólo de dos símbolos (0, 1).

 El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las
potencias de base 2.
 El sistema binario también es denominado lenguaje de bajo
nivel.
 La adyacencia es una característica que consiste en que de una
combinación binaria a la siguiente, sólo varía un bit (distancia
igual a uno). Esta propiedad es aplicable únicamente a las
combinaciones binarias de un código, no al código en sí mismo.
 La distancia entre dos combinaciones es el número de bits que
cambian de una a otra.
 La continuidad es una característica de los códigos binarios que
cumplen que todas las posibles combinaciones del código son
adyacentes, es decir, que de cualquier combinación del código a
la siguiente cambia un sólo bit.
2. TECNICAS RAPIDAS DE CONVERSION ENTRE SISTEMAS DE NUMERACION
2.1. CONVERSION DE NUMEROS ENTEROS
2.1.1. Decimal – Hexadecimal
La división sucesiva por 16 de un numero decimal generara el
numero hexadecimal equivalente formado por los restos de la
división. El primer resto que se genera es el digito menos
significativo. Cada división sucesiva por 16 dará un resto que el digito
del número hexadecimal equivalente.
Ejemplo: Convertir a hexadecimal el numero decimal 650 por el
método de divisiones sucesiva por 16
650 = 28A (16)
2.1.2. Hexadecimal – Decimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con
dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se
utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay
dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.
Un método para encontrar el equivalente decimal de un numero
hexadecimal es, primero, convertir el numero hexadecimal a binario y
después es binario a decimal.
Ejemplo: Convertir 1C(16) a decimal.
16
16
650
10 40
8 2
1 C
0001 1100 = 24
+ 23
+ 22
= 16 + 8 +4 = 28(10)

Otro método para convertir un numero hexadecimal a su equivalente
decimal es multiplicar el valor decimal de cada digito hexadecimal por
su peso, y luego realizar la suma de estos productos. Los pesos de
un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de
derecha a izquierda). Para un número hexadecimal de 4 dígitos.
163
162
161
160
4096 246 16 1
Ejemplo: Convertir E5(16) a decimal
E5(16) = (E x 16)+(5 x 1) = (14 x 16)+(5 x 1) = 224+5 = 229(10)
2.1.3. Decimal – Octal
Un método para convertir un número decimal en un número octal es
el método de la división sucesiva por 8.
Ejemplo: Convertir 359 a base 8
2.1.4. Octal – Decimal
Ya que el sistema de numeración octal es un sistema de base ocho,
cada posición sucesiva de dígitos es una potencia superior de ocho,
empezando por el digito situado más a la derecha con 80
. La
evaluación de un número octal en términos de su equivalente
decimal se consigue multiplicando cada digito por su peso y
sumando los productos.
Ejemplo: Convertir 2374(8) a decimal
Peso: 83
82
81
80
Numero Octal: 2 3 7 4
2374(8) = (2 x 83
) + (3 x 82
) + (7 x 81
) + (4 x 80
)
= (2 x 512) + (3 x 64) + (7 x 8) + (4 x 1)
= 1024 + 192 + 56 + 4
= 1276(10)
2.1.5. Decimal – Binario
Método de la suma de pesos
Una forma de calcular el número binario equivalente a un número
decimal dado es determinar el conjunto de pesos binarios, cuya
suma es igual al número decimal. Una forma fácil de recordar los
pesos binarios es que el pero más bajo es 1, es decir 20
, y que
duplicando cualquier peso, se obtiene el siguiente pero superior; por
tanto, la lista de los siete primeros peros binarios seria: 1, 2, 4, 8, 16,
32, 64; como se aprenderá es la última sección. El numero decimal 9,
8
8
359
7 44
4 5
359(10) = 547(8)

por ejemplo, puede expresarse como la suma de los pesos binarios
siguientes:
 9 = 8 + 1 ó 9 = 23
+ 20
Colocando los unos en las posiciones de pesos adecuadas, 23
y 20
; y
los ceros en las posiciones 22
y 21
, se determina el número binario
correspondiente al decimal 9:
23
22
21
20
1 0 0 1 Nueve Binario
Método de las divisiones sucesivas
Un método sistemático para convertir a binario números enteros
decimales es el proceso de la división sucesiva por 2. Por ejemplo,
para convertir a binario el numero decimal 12, comenzamos
dividiendo 12 entre 2. Luego cada cociente resultante se divide por 2
hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es 0. Los restos
generados en cada división forman el número binario. El primer resto
es el bit menos significativo del número binario, y el último resto es el
bit más significativo. Este procedimiento, se muestra en los pasos
siguientes para convertir el número 12 en decimal.
12 = 1100(2)
2.1.6. Binario – Decimal
El valor decimal de cualquier número binario se puede determinar
sumando los pesos de todos los bits que son 1, y descartando los
pesos de todos los bits que son 0.
Ejemplo: Convertir el numero entero binario 1101101 a decimal
Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se
obtiene la suma de los pesos para obtener el número
decimal
.
Peso: 26
25
24
23
22
21
20
Numero Binario: 1 1 0 1 1 0 1
1101101 = 26
+ 25
+ 23
+ 22
+ 20
= 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109
2.1.7. Octal – Binario
Ya que cada digito octal se puede representar mediante un numero
binario de 3 dígitos, es fácil convertir a binario un numero octal. Para
2
2
12
0 6
0 3 2
1 1

convertir un número octal en un número binario, simplemente se
reemplaza cada digito octal por el correspondiente grupo de tres bits.
Ejemplo 1: Convertir 13(8) a binario.
Ejemplo 2: Convertir 7508 a binario:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
Y, por tanto: 750(8) = 111101000(2)
2.1.8. Binario – Octal
La conversión de un numero binario a un numero octal es el inverso
de la conversión de octal a binario. Para convertir a binario se
comienza por el grupo de tres bits más a la derecha y moviéndose de
derecha a izquierda, se convierte cada grupo de 3 bits en el digito
octal equivalente. Si para el grupo más a la izquierda no hay
disponibles tres bits, se añade uno o dos ceros para completar el
grupo, estos ceros no afectan al valor del numero binario
Ejemplo: Convertir 110101(2) a octal
Ejemplo: Convertir 101001011(2) a octal
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
Y, de ese modo: 101001011(2) = 513(8)
2.1.9. Hexadecimal – Binario
Para convertir un número hexadecimal en un número binario se
realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo hexadecimal
por el grupo de cuatro bits adecuados.
Ejemplo: Convertir 10A4 (16) a número binario.
2.1.10. Binario – Hexadecimal
La conversión de un binario en hexadecimal es un procedimiento
muy sencillo. Simplemente se parte el número binario en grupos de 4
bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada
grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente.
Ejemplo: Convertir a hexadecimal el siguiente numero binario
1 0 A 4
1 0000 1010 0100
1 3
001 011
110 101
6 5
110101(2) = 65(8)

(a) 1100101001010111(2)
(b) 101001110011(2)
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
Y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de
cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar
el último grupo.
Por ejemplo:
(c) 1011102 = 001011102 = 2E16
2.1.11. Hexadecimal – Octal
Para realizar la conversión de Hexadecimal a Octal, se realiza lo
siguiente:
 Primero se convierte la cantidad hexadecimal a binario. (Se debe
reemplazar el dígito hexadecimal por los cuatro dígitos binarios
correspondientes).
 Después se convierte de binario a octal. (Se debe agrupar la
cantidad binaria en grupos de 3 en 3, iniciando por el lado
derecho, si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos,
entonces agregue ceros a la izquierda).
 Por último se sustituye el valor octal correspondiente por los 3
dígitos binarios
Ejemplo: 6BD
Proceso:
Tomamos los números en ese orden y cada uno lo
convertimos a binario por separado:
6 B D
0110 1011 1101
Ahora agrupa de 3 en 3 (comienza de izquierda a
derecha), convierte de binario a octal.
011 010 111 101
3 2 7 5
Por tanto: 6BD=3275
2.2. CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES
1100 1010 0101 0111
C A 5 7 = CA51(16)

A la fracción decimal se multiplica por 16, obteniendo en la parte
entera del resultado el primer dígito de la fracción hexadecimal
buscada, y se repite el proceso con la parte fraccionaria de este
resultado. El proceso se acaba cuando la parte fraccionaria
desaparece o hemos obtenido un número de dígitos que nos permita
no sobrepasar el máximo error que deseemos obtener.
Ejemplo: Pasar a hexadecimal la fracción decimal 0.06640625
0.06640625*16=1.0625
0.0625*16 = 1.0
Luego 0.06640625(10)=0.11(16)
Los números hexadecimales son convertidos a su equivalente
decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente
decimal del dígito de cada posición y sumando los productos.
Entonces:
A21,116=2593,0.062510
10*162
+2*161
+1*1+1*16-1
10*256+2*16+1*1+1/16
2560+32+1+0.0625
2593,0.062510
Se toma la fracción decimal y se multiplica por 8, obteniendo en la
parte entera del resultado el primer dígito de la fracción octal
resultante y se repite el proceso con la parte decimal del resultado
para obtener el segundo dígito y sucesivos. El proceso termina
cuando desaparece la parte fraccionaria del resultado o dicha parte
fraccionaria es inferior al error máximo que deseamos obtener.
Ejemplo:
0.140625*8=1.125
0.125*8=1.0
0.140625(10)=0.11(8)
Si la conversión es de octal a decimal se procederá como en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo:
740,238=480,296875
7*82
+4*81
+0*80
+2*8-1
+3*8-2
7*64+4*8+0+2/8+3/64
448+32+0+0,25+0,046875
480,296875
Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

 Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2
(si la parte entera es mayor que 1 en binario será 1, y en caso
contrario es 0).
 En caso de ser 1, en la siguiente multiplicación se utilizan sólo
los decimales.
 Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números
obtenidos en el orden de su obtención.
 Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por
ejemplo: el 0,1.
Ejemplo: 0,3125 (decimal)  0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 x 2 = 0,625  0
0,625 x 2 = 1,25  1
0,25 x 2 = 0,5  0
0,5 x 2 = 1  1
En orden: 0101  0,0101 (binario)
Ejemplo: del 0,1.
0,1 x 2 = 0,2  0
0,2 x 2 = 0,4  0
0,4 x 2 = 0,8  0
0,8 x 2 = 1,6  1
0,6 x 2 = 1,2  1
0,2 x 2 = 0,4  0 se repiten las cuatro cifras,
periódicamente
0,4 x 2 = 0,8  0 
0,8 x 2 = 1,6  1 
0,6 x 2 = 1,2  1  ...
En orden: 0, 0011 0011...
 Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y
elévelo a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la
potencia -1).
 Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas
y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplo: 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal).
Proceso:
1*(2) elevado a (-1)=0,5
0*(2) elevado a (-2)=0
1*(2) elevado a (-3)=0,125
0*(2) elevado a (-4)=0
0*(2) elevado a (-5)=0
1*(2) elevado a (-6)=0,015625
La suma es: 0,640625
Al ser la base del octal (8) potencia de la base binaria (23), la
transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito

a dígito. Cada dígito octal será reemplazado por 3 dígitos binarios (3
por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que
tenemos a continuación.
Octal Binario
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Ejemplo: Convertir a binario el número 276,5348
2 7 6, 5 3 4
010 111 110, 101 011 100
276,5348 = 10111110,1010111
Como se puede ver los ceros al comienzo se han quitado, igual que
los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen
ningún sentido).
Para esta conversión cada tres símbolos binarios corresponde uno
octal. Para realizar correctamente esta conversión el número de
dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 3 si no
lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea
necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho
caso los ceros se agregan al principio del número.
Ejemplo: Convertir el binario 10101011,0011 a octal.
010 101 011, 001 100
2 5 3, 1 4
0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.
10101011,00112 = 253,148
La transformación de una base a la otra se hace en forma directa
dígito a dígito. Cada dígito hexadecimal será reemplazado por 4
dígitos binarios (4 por ser la potencia que relaciona ambas bases),
según la tabla que tenemos a continuación.
Hexadecimal Binario Hexadecimal Binario

0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111
Ejemplo: Convertir a binario el número 5A8,39C16
5 A 8, 3 9 C
0101 1010 1000, 0011 1001 1100
5A8,39C16 = 10110101000,00111001112
Como se puede ver otra vez los ceros al comienzo se han quitado,
igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no
tienen ningún sentido)
Esta conversión es similar a la conversión a octal, pero en lugar de
tres, serán cuatro símbolos binarios los que corresponde a un
hexadecimal. Para realizar correctamente esta conversión el número
de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 4 si
no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como
sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho
caso los ceros se agregan al principio del número.
Ejemplo: Convertir el binario 1010101011,00111 a hexadecimal.
0010 1010 1011, 0011 1000
2 A B, 3 8
0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.
1010101011,00111 2 = 2AB,38816
2.2.11. Hexadecimal – Octal
Para realizar la conversión de Hexadecimal a Octal, se realiza de la
misma manera que la de la conversión normal de números enteros,
teniendo en cuenta que después de la coma el resultado también
debe ir separado con coma.
Ejemplo: 5BE,9A
Proceso:
Tomamos los números en ese orden y cada uno lo
convertimos a binario por separado:
5 B E, 9 A
0101 1011 1110, 1011 1010
Ahora agrupa de 3 en 3 (comienza de izquierda a
derecha), convierte de binario a octal.
010 110 111 110, 101 110 100

2 6 7 6, 5 6 4
Por tanto: 5BE,9A=2676,564
2.3. CONVERSION DE NUMEROS ENTEROS Y DECIMALES
Se puede realizar empleando dos procesos: Divisiones sucesivas por
16, cuando el número es entero, o multiplicaciones sucesivas por 16,
cuando el número es fraccionario. Siguiendo los mismos
lineamientos empleados con los otros sistemas numéricos.
Ejemplo 1: 650(10)
650 / 16 = 40 y resta 10 = A (dígito más próximo al punto
hexadecimal)
40 / 16 = 2 y resta 8 (dígito a la izquierda del anterior)
No se puede continuar dividiendo, por lo que el 2 queda como
símbolo más significativo a la izquierda del anterior.
Resultado 650(10) = 28A(16)
Ejemplo 2: 2588(10)
2588 / 16 = 161 y resta 12 = C (dígito más próximo al punto
hexadecimal)
161 / 16 = 10 y resta 1 (Dígito siguiente a la izquierda del
obtenido arriba)
No se puede seguir dividiendo, por lo que el diez (la A) queda
como símbolo más significativo a la izquierda del obtenido
arriba
Resultado 2588(10) = A1C(16)
Ejemplo 3: 0.642(10)
0.642 x 16 = 10.272 (dígito más próximo al punto hexadecimal)
1010=A16
0.272 x 16 = 4.352 (dígito siguiente a la derecha del anterior)
0.352 x 16 = 5.632 (dígito siguiente a la derecha del anterior)
0.632 x 16 = 10.112 (Dígito siguiente a la derecha del anterior)
1010=A16
Resultado 0.642(10) = 0.A45A (16)
OBSERVACION: Note que la conversión no fue exacta
Los números hexadecimales son convertidos a su equivalente
decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente
decimal del dígito de cada posición y sumando los productos.
Entonces:

121(16) = 1 x 162
+ 2 x 161
+ 1 x 160
= 1 x 256 + 2 x 16 + 1 x 1
= 256 + 32 + 1
= 28910
A1C(16) = A x 162
+ 1 x 161
+ C x 160
= 10 x 256 + 1 x 16 + 12 x 1
= 2560 + 16 + 12
= 258810
OBSERVACION: Los valores que sustituyen a las letras se obtienen
de la tabla dada arriba.
En este caso basta usar el mismo método de conversión con los
números binarios. Pero en vez de hacer divisiones sucesivas por 2
hay que efectuarlas por 8. Nótese que el divisor corresponde a la
base del sistema al cual se va a convertir.
Ejemplo 1: Convertir 245(10)
245 / 8 = 30 y resta 5 (dígito más próximo al punto octal)
30 / 8 = 3 y resta 6 (dígito a la izquierda del 5 obtenido arriba)
No se puede seguir dividiendo, por lo que el 3 queda como dígito
de mayor peso a la izquierda del 6 obtenido arriba.
Resultado: 245(10) = 365(8)
175 / 8 = 21 y resta 7 (dígito más próximo al punto octal)
21 / 8 = 2 y resta 5 (dígito a la izquierda del 7 obtenido arriba)
No se puede seguir dividiendo, por lo que el 2 queda como dígito
de mayor peso a la izquierda del 7 obtenido arriba.
Resultado: 175(10) = 257(8)
Se emplea el método de multiplicaciones sucesivas, pero en este
caso por 8. Necesarias para convertir números fraccionarios.
Ejemplo 3: Convertir 0.432(10)
0.432 x 8 = 3.456 (dígito más próximo al punto octal)
0.456 x 8 = 3.648 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba)
Resultado: 0.432(10) = 0.3351(8)
OBSERVACION: Note que la conversión no exacta.

Para ara realizar la conversión de un número en base octal a
decimal, se debe proceder de la siguiente manera:
 Iniciar por el lado derecho del número octal, cada número debe
ser multiplicado por 8, el cual, antes debe ser elevado a la
potencia consecutiva iniciando por la potencia cero.
 Después se procede a sumar el resultado de cada una de las
multiplicaciones y el número resultante viene a ser el equivalente
en sistema decimal.
Veamos esto con un ejemplo:
Convertiremos a decimal el número 4023(8)
 Primero multiplicamos cada número por la base elevada a la
potencia consecutiva:
3(80
) = 3
2(81
) = 16
0(82
) = 0
4(83
) = 2048
 Sumamos los resultados obtenidos:
3 + 16 + 0 + 2048 = 2067 que es el equivalente de 4023(8)
Aquí veremos el método de divisiones y multiplicaciones sucesivas.
 Para convertir un número ENTERO decimal a una nueva base, el
número decimal es sucesivamente dividido por la nueva base.
Como en nuestro caso la nueva base es 2 el número será
sucesivamente dividido por 2, o sea, el número original es dividido
por 2, el resultado de ese cociente es dividido por 2
sucesivamente hasta que el cociente de 0. El resto de cada
división es un número binario que conforma el número resultante
de la conversión. El primer resultado producido (el primer resto
obtenido) corresponde al bit más próximo al punto decimal (o lo
que se conoce como bit de menor peso). Los sucesivos bits se
colocan a la izquierda del anterior. Nótese que esto es como
escribir en sentido contrario al empleado normalmente.
Veamos esto con un ejemplo: convertir a binario 18.625(10)
1º. Convertiremos a binario el número 18(10)
18 / 2 = 9 y resta 0 (este cero es el bit más próximo al punto
binario)
9 / 2 = 4 y resta 1 (este uno es el bit que le sigue a la izquierda al
cero obtenido arriba)
4 / 2 = 2 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda
al uno obtenido arriba)
2 / 2 = 1 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda
al cero obtenido arriba)
Con 1 no se puede continuar dividiendo pero se coloca éste a la
izquierda del cero obtenido arriba, quedando como bit de mayor
peso.
Entonces, 18(10) = 10010(2).

 En el caso de convertir un número decimal FRACCIONARIO, la
parte fraccionaria debe ser multiplicada por 2 y el número binario
es formado por 0's o 1's que aparecen en la parte correspondiente
al entero. Solo que en este caso el número binario se escribe de
izquierda a derecha, a diferencia de lo explicado antes para los
números enteros. Las multiplicaciones se efectúan SOLO sobre la
parte fraccionaria del número por lo que siempre serán 0.XXX.
Nunca debe multiplicar 1.XXX. El proceso de multiplicaciones
sucesivas concluye cuando quedan en cero la parte entera y la
fraccionaria.
2º. Convertiremos el número fraccionario 0.625(10)
0.625 x 2 = 1.250 (bit más próximo al punto binario)
0.250 x 2 = 0.500 (bit a la derecha del uno obtenido
anteriormente)
0.500 x 2 = 1.000 (bit a la derecha del cero obtenido
anteriormente)
La operación concluye porque no queda parte fraccionaria para
seguir multiplicando.
0.625(10) = 0.101(2)
Luego unimos amos resultados lo cual nos da:
18.625(10) =10010.101(2)
Para poder transformar números binarios en su correspondiente
decimal basta multiplicar el dígito binario (que sólo puede ser 0 o 1)
por 2 elevado a la potencia correspondiente a la distancia de ese
símbolo al punto decimal. Luego se suman los valores obtenidos y se
consigue el número final.
Ejemplos:
 10(2) = 1x21
+ 0x20
= 1x2 + 0x1
= 2 + 0
= 210
 101(2) = 1x22
+ 0x21
+ 1x20
= 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1
= 4 + 0 + 1
= 510
 1001(2) = 1x23
+ 0x22
+ 0x21
+ 1x20
= 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1
= 8 + 0 + 0 + 1
= 910
Y para número fraccionarios:
 0.011(2) = 0x2-1
+ 1x2-2
+ 1x2-3
= 0x0.5 + 1x0.25 + 1x0.125
= 0 + 0.25 + 0.125
= 0.37510
 0.101(2) = 1x 2-1
+ 0x 2-2
+ 1 x 2-3
= 1x0.5 + 0x0.25 + 1 x0.125
= 0.5 + 0 + 0.125
= 0.62510

 110.010(2) = 1x22
+ 1x21
+ 0x20
+ 0 x 2-1
+ 1 x 2-2
+ 0 x 2-3
= 1x4 + 1x2 + 0x1 + 0x0.5 + 1x0.25 + 0x.125
= 4 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 0
=6.2510
Como se ve en los ejemplos el punto decimal aparece
automáticamente en la posición correcta una vez efectuada la suma
de los componentes
La conversión de un número octal a su equivalente en binario se
logra sustituyendo cada dígito octal por sus correspondientes 3
dígitos binarios:
Veamos esto con un ejemplo:
Convertiremos a decimal el número 14576(8)
1 4 5 7 6
001 100 101 111 110
Por lo tanto, el número 14576(8) representado en binario es
1100101111110
Para ara realizar la conversión de un número binario a octal, se debe
proceder de la siguiente manera:
 Se agrupa la cantidad binaria en grupos de 3, iniciando por el lado
derecho, si al terminar de agrupar, el último grupo (empezando de
la derecha) no completa los 3 dígitos, entonces se agrega ceros a
la izquierda.
 Luego a cada grupo formado se reemplaza por su equivalente en
octal, de acuerdo a la siguiente tabla:
Número 000 001 010 011 100 101 110 111
Valor 0 1 2 3 4 5 6 7
 Finalmente la cantidad correspondiente en octal se agrupa de
izquierda a derecha
Veamos un ejemplo:
Convertiremos a octal el número 110111(2)
 El número agrupado de derecha a izquierda:
111 = 7
110 = 6
Entonces el número en octal es 678

Para efectuar la conversión basta con colocar los cuatro bits
correspondientes a cada símbolo del número hexadecimal
respetando su posición original. Para saber el valor de cada símbolo
sólo tiene que mirar la tabla de relación entre sistemas mostrada
arriba.
Por ejemplo: Para convertir 7A2(16)
7 A 2
0111 1010 0010
Resultado: 7A2(16) = 011110100010(2)
Otro ejemplo: Para convertir 3D4.F(16)
3 D 4 . F
0011 1101 0100 . 1111
Resultado: 3D4.F(16) = 001111010100.1111(2)
Primeramente hay que agrupar los bits de a cuatro comenzando por
la derecha y siguiendo hacia la izquierda. Si bien en palabras cuya
longitud sea múltiplo de cuatro esto no tiene obligatoriedad, en
aquellas cuyo tamaño no sea múltiplo de cuatro si selecciona de
izquierda a derecha los grupos de bits quedarán mal conformados.
Esto anterior para la parte entera. Para la parte fraccionaria el orden
es inverso, o sea que se agrupa de izquierda a derecha. Nótese que
siempre es del punto hacia afuera. Una vez formados los grupos
basta con fijarse en la tabla y reemplazar cada grupo por el símbolo
Hexadecimal correspondiente.
1010 1101 0010
A D 2
Resultado: 101011010010(2) = AD2(16)
101 1101 0110
5 D 6
Resultado: 10111010110(2) = 5D6(16)
Ejemplo 3: 1101011110.101(2)
0011 0101 1110 1010
3 5 E A
Resultado: 1101011110.101(2) = 35E.A(16)

OBSERVACION: Cuando un grupo de bits de la parte entera queda
formado por menos de cuatro bits sus posiciones a la izquierda
deben ser asumidas como ceros, las cuales verá que no surten
efecto en el valor. En tanto cuando esto ocurra en la parte
fraccionaria pasa posiciones a la derecha son las que deben ser
completadas con cero. Aquí si tiene efecto. En el ejemplo de arriba
los ceros se colocaron resaltados para facilitar su visualización.
2.3.11. Hexadecimal - Octal
Para ara realizar la conversión de un número hexadecimal a octal, se
sigue los siguientes pasos:
 Primero se convierte la cantidad hexadecimal a binario
(reemplazando el dígito hexadecimal por los cuatro dígitos
binarios que representan a cada número).
 Después se convierte de binario a octal (agrupando la cantidad
binaria en grupos de 3 en 3, iniciando por el lado derecho,
completando con ceros a la izquierda en caso no se complete los
3 dígitos)
 Luego se reemplaza cada grupo formado por su equivalente en
octal, de acuerdo a la siguiente tabla:
Número 000 001 010 011 100 101 110 111
Valor 0 1 2 3 4 5 6 7
 Finalmente la cantidad correspondiente en octal se agrupa de
izquierda a derecha
Veamos un ejemplo:
Convertiremos a octal el número 6BD(16)
 Se convierte el número dado en binario:
6 B D
0110 1011 1101
 Ahora se agrupa los dígitos de 3 en 3 y se reemplaza por su
equivalente en octal:
011 010 111 101
3 2 7 5
Entonces el número 6BD (16) en octal es 3275(8)
3. COMENTARIOS DEL TEMA

 Conocer y entender lo que son los sistemas de numeración nos parece
importante; puesto que no es necesario ser ingenieros para saber este tema;
porque creemos que nos servirá no sólo en el ámbito profesional, sino
también en el personal y sobre todo en el social ya que actualmente las
personas debemos ser competitivas e íntegras.
 Los sistemas de numeración; es un tema que al principio nos pareció
complejo y difícil; pero durante la realización del trabajo fuimos entendiendo
cómo es que estos funcionan y comprendimos las operaciones que se
realizan con dichos sistemas.
4. CONCLUSIONES
4.1. SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
a) Del sistema de numeración decimal
 Este sistema de numeración es el que comúnmente conocemos, y
utilizamos con este sistema de numeración podemos hacer
combinaciones con 10 dígitos que van desde el cero hasta el nueve.
 Todos los números que están a la derecha de la coma decimal,
representa a todos los números menores que la unidad; sin embargo
la forma de trabajar con éstos es similar a los números mayores a la
unidad, la diferencia radica en que los exponentes de las potencias de
diez son negativos
b) Del sistema de numeración hexadecimal
 Al no contar con más dígitos en el sistema decimal (dicho sistema
cuenta sólo con diez dígitos); el sistema hexadecimal toma como
dígitos a seis letras del alfabeto; llegando así a tener 16 dígitos.
 El sistema de numeración hexadecimal comparte algunas
características de los sistemas octal y binario.
 Este sistema es utilizado en informática y en las ciencias de la
computación
c) Del sistema de numeración octal
 El sistema de numeración octal cuenta con ocho dígitos (desde el cero
hasta el siete), el valor de las posiciones de cada dígito están
determinadas por la potencia de ocho.
 Para pasar un número que está en sistema decimal a octal; primero
debemos pasarlo a la base dos y luego al sistema octal.
 Es utilizado en algunos casos en informática; en vez del sistema
hexadecimal
d) Del sistema de numeración binaria
 Este sistema es el más utilizado en informática y en ciencias de la
computación, ya que sólo tiene por dígitos al cero y al uno; los cuales
representan los dos niveles de voltaje; el cero representa el ‘apagado’
y el uno representa el ‘encendido’.

4.2. SOBRE LAS TÉCNICAS RÁPIDAS DE CONVERSIÓN
a) De la conversión de números enteros
 En informática se trabaja no solamente con el sistema decimal sino
también con otros sistemas de numeración como por ejemplo el
binario; entonces para convertir fácilmente de un sistema a otro se
utilizan las formas rápidas y sencillas como convertir los sistemas
decimales, hexadecimales, octales y binarios a cualquiera de una de
estas. Es necesario en algunas ocasiones convertir primero a otro
sistema de numeración y después al que se nos pide.
b) De la conversión de números decimales
 Para convertir números decimales de los sistemas de numeración:
decimales, hexadecimales, octales y binarios a cualquiera de una de
estas. Se tiene cuidado con las comas decimales. Si es para convertir
por ejemplo del sistema binario a decimal se aumentan los ceros antes
y después de la coma decimal tantos que sean necesarios
c) De la conversión de números enteros y decimales
 Como podemos ver la conversión de un número en base 10 a base n
se realiza a través de divisiones y multiplicaciones sucesivas por n.
 La conversión de un numero entero y decimal para la facilidad de su
conversión se lo realizar por separado y luego se lo une.
4.3. SOBRE LOS COMENTARIOS DEL TEMA
 Todo el desarrollo del tema no ha permitido ver las diversas formas del
como es el procedimiento para la conversión en los diferentes
sistemas.

5. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
(1) Eloy L., Thomas (2000). Fundamentos de Sistemas Digitales (Sétima
Edición). España: Prentice Hall
(2) Gonzales Gómez, Juan (2002). Circuitos y Sistemas Digitales. España
(3) J. Tocci, Ronald. SISTEMAS DIGITALES: principios y aplicaciones
(4) Consultado el 8 de Junio de 2010 de la World Wide Web:
http://www.fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node111.html
http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html#Sistema_de_nu
meraci%F3n_decimal:
http://www.scribd.com/doc/3290086/Sistema-de-numeracion 10 d junio del
2008

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