Sistemas Numéricos en matemática Discreta

1. Instituto
Tecnológico
Superior
Bolívar
Tutor:
Ing. Fernando
Beltrán
Matemática
Discreta

2. ¿Qué son los Sistemas
Numéricos?
 Un sistema de numeración es un conjunto de
símbolos y reglas de generación que permiten
construir todos los números válidos.
 Un sistema de numeración puede
representarse como:

3. Donde:
 N: es el sistema de numeración considerado
(p.ej. decimal, binario, etc.).
 S: es el conjunto de símbolos permitidos en el
sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son
{0,1,...7}; en el hexadecimal son
{0,1,...9, A, B, C, D, E, F}.
 R: son las reglas que nos indican qué números
son válidos en el sistema, y cuáles no. En un
sistema de numeración posicional las reglas
son bastante simples, mientras que la
numeración romana requiere reglas algo más
elaboradas.

4. Clasificación
 Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la
mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de
cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas
con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la
coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del
antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en
Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
Sistemas de numeración posicionales
 El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración
posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si
un sistema de numeración posicional tiene base b significa que
disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números,
y que b unidades forman una unidad de orden superior.

5. SISTEMA DE NUMERACIÓN
DECIMAL
 Es un sistema de numeración donde se
toma como base eles un sistema de
numeración donde se toma como base el
numero 10 y va desde el 0 al 9
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

6. SISTEMA DE NUMERACIÓN
OCTAL
 Sistema en el que se toma por base el 8 y
va del 0 al 7
 Va desde el 0,1,2,3,4,5,6,7

7. SISTEMA DE NUMERACIÓN
HEXADECIMAL
 Sistema de numeración posicional que
sistema de numeración posicional que
tiene como base el 16 y comprende de los
siguientes
símbolos(1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10)

8. SISTEMA DE NUMERACIÓN
BINARIO
 Es el sistema de numeración que se representa
solo es el sistema de numeración que se
representa solo utilizando las cifras 1 y 0.
Características:
 Este sistema es el que se utiliza en los
ordenadores ya que trabaja con dos este sistema
es el que se utiliza en los ordenadores ya que
trabaja con desniveles de voltaje internamente
(encendido 1 apagado 0).

10. DECIMAL A BINARIO
 Para pasar de base 10 a otra base, en vez
de multiplicar, dividimos el número a
convertir entre la nueva base. El cociente se
vuelve a dividir por la base, y así
sucesivamente hasta que el cociente sea
inferior a la base. El último cociente y los
restos (en orden inverso) indican los dígitos
en la nueva base.

11. Ejemplo:
 Convertir el 100 en binario.

12. BINARIO A DECIMAL
 Para pasar de una base cualquiera a base
10, basta con realizar la suma de los
productos de cada dígito por su valor de
posición. Los valores de posición se
obtienen como potencias sucesivas de la
base, de derecha a izquierda, empezando
por el exponente cero.
Cada resultado obtenido se suma, y el
resultado global es el número en base 10.

13. Ejemplo:
 El número binario 1010010

14. BINARIO A
OCTAL Para convertir un número binario a su expresión
octal agrupamos los dígitos de tres en tres de
derecha a izquierda y si en la última agrupación
no se completan los tres dígitos los
completamos con ceros y cada grupo de tres
representa un digito en octal
 Ejemplo:
10011012 (1 1 5)8

15. HEXADECIMAL A
DECIMAL Como la base del sistema hexadecimal es
16, cada dígito a la izquierda del punto
hexadecimal representa tantas veces un
valor sucesivo potencia de 16
 Ejemplo:
(1234)16
1*(16)³ + 2*(16)² + 3*(16)¹+ 4*(16)0
4096 + 512 + 48 + 4 = (4660)10

16. TABLA DE
CONVERSION:DECIMAL BINARIO OCTAL HEXAGESIMAL
0 00000 0 0
1 00001 1 1
2 00010 2 2
3 00011 3 3
4 00100 4 4
5 00101 5 5
6 00110 6 6
7 00111 7 7
8 01000 10 8
9 01001 11 9
10 01010 12 A
11 01011 13 B
12 01100 14 C
13 01101 15 D
14 01110 16 E
15 01111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14

18. SUMA DE NÚMEROS
BINARIOS Las posibles combinaciones al sumar dos
bits son
 0 + 0 = 0
 0 + 1 = 1
 1 + 0 = 1
 1 + 1 = 10

19. Ejemplo:
100110101
+ 11010101
——————
1000001010
Operamos como en el sistema decimal:
comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro
ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del
resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A
continuación se suma el acarreo a la siguiente columna:
1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la
columnas (exactamente como en decimal).

20. RESTA DE NÚMEROS
BINARIOS El algoritmo de la resta en binario es el
mismo que en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operación de restar en
decimal para comprender la operación
binaria, que es más sencilla.
Los términos que intervienen en la resta se
llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

21. Ejemplo:
Restamos 17 - 10 = 7
10001
-01010
——————
00111 = 7

22. MULTIPLICACIÓN DE
NÚMEROS
BINARIOS El algoritmo del producto en binario es igual
que en números decimales; aunque se lleva
cabo con más sencillez, ya que el 0
multiplicado por cualquier número da 0, y el 1
es el elemento neutro del producto.

23. Ejemplo:

24. DIVISIÓN DE NÚMEROS
BINARIOS
 La división en binario es similar al decimal, la
única diferencia es que a la hora de hacer
las restas, dentro de la división, estas deben
ser realizadas en binario.

25. Ejemplo: