Control de Calidad

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Estadística
Control de Calidad
Bogotá, junio de 2020
Ilustración de la eficiencia de las cartas CUSUM y EWMA tomando
como base el artículo:’Aplicación del control estadístico de procesos
(CEP) en el control de su calidad’ y una segerencia multivariada
usando Componentes principales.
Loana Beltrán , Daniel Martinez , Jhonier Rangel
Departamento de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia
1. Resumen.
El principal objetivo del presente artículo es mejorar el artículo “Aplicación del control estadístico de procesos
(CEP) en el control de su calidad” utilizando los conocimientos adquiridos en la asignatura control de calidad
y en las diferentes asignaturas del Pregrado en Estadística de la Universidad Nacional. Para llevar a cabo
nuestro objetivo principal los objetivos específicos que nos hemos planteado son los siguientes: Utilización de
las cartas CUSUM y EWMA para el control del proceso ya que estas detectan cambios de manera más rápida
en comparación a las cartas Shewhart; Aplicación de índices de capacidad mas eficientes de los ya usados para
optimizar de mejor manera la detección de puntos fuera de control ; Análisis numérico de pruebas de normalidad
que nos ayuden a evidenciar de manera mas certera el supuesto de normalidad de los datos y por último se
aplicaran técnicas de estadística multivariada para determinar como un análisis de este tipo seria mejor para
monitorear el proceso presentado.
2. Abstrac.
The main objective of this article is to improve the article .A
pplication of statistical process control (CEP)
in quality controlüsing the knowledge acquired in the quality control subject and in the different subjects of the
Undergraduate in Statistics of the National University . To carry out our main objective, the specific objectives
that we have set ourselves are the following: Use of the CUSUM and EWMA charts to control the process,
since they detect changes more quickly compared to the Shewhart charts; Application of more efficient capacity
indices than those already used to better optimize the detection of out-of-control points; Numerical analysis of
normality tests that help us to more accurately demonstrate the assumption of normality of the data and finally
multivariate statistical techniques will be applied to determine how an analysis of this type would be better to
monitor the process presented.
3. Contextualización.
Debido a que la fabricación o elaboración de productos avanza gracias a la tecnología, puede ser más difícil
monitoriarlos, aunque sigue siendo un trabajo necesario debido a que el mal procesamiento o el incumplimiento
de parámetros puede presentar problemas o perdidas en la industria.
1

2 Loana Beltrán, Daniel Martinez & Jhonier Rangel
Así mismo el control estadístico de procesos se muestra como una gran herramienta para el seguimiento
de la producción, además de verificar que las características de dicho producto cumplan con los estándares o
parámetros, encuentra posibles anormalidades.
Aunque el CEP se presenta de varias formas, siempre busca la estabilidad del proceso, aminorar el número de
artículos defectuosos, disminuir su variabilidad y garantizar un aumento en la calidad. En el artículo Aplicación
del control estadístico de procesos (CEP) en el control de su calidad, el CEP fué usado para el monitoreo en una
línea de producción de pintura, la cual tiene tres variables en sus productos, tales como el peso, piezas rotas y
la alteración de color de las piezas fabricadas pero, solo se muestran los datos de la variable peso en el primer y
sexto día, con estos se hizo su respectivo análisis, entre esto se encuentra los gráficos de control(Carta shewart),
los histogramas par ver la normalidad de los datos y los índices de capacidad.
De modo que, hacer el análisis de maneras diferentes puede llegar a darnos un poco más de información, así
como el empleamiento de otras cartas puede ayudarnos a detectar más rápido los cambios en la producción o
defectos en los artículos. Al poder comparar las nuevas cartas hechas con las del artículo ya mencionado, puede
darnos más conclusiones ya sea sobre la variabilidad de los productos o sobre la fabricación de estos.
4. Marco teórico.
4.1 Supuesto de Normalidad.
Para suponer normalidad existen pruebas que nos ayudan a identificar si los datos que se tratan siguen
un comportamiento de una distribución normal existen varias de estas pero las mas conocidas y potentes
son las de Shapiro-Wilk y Kolmogorov- Smirnov, este supuesto es deseable ya que si no se cumple las
inferencias que se hagan no son válidas.
Shapiro-Wilk: En el desarrollo del test de normalidad propuesto por (Shapiro y Wilk 1965), se deben tener
en cuenta los siguientes pasos:
1. Se ordena la muestra de menor a mayor, se obtiene el nuevo vector muestral (w(1), ..., w(n)) siendow(i)
el i-ésimo valor de la muestra ordenada.
2. Se calcula el estadístico:
Wc =
1
ns2
h
i=1
ain w(n−i+1) − w(i)
2
siendo s2
una estimación de la varianza poblacional
h =
n
2 , si n par
n−1
2 , si n impar
ain es un valor tabulado.
3.La distribución del estadístico W se encuentra también tabulada para cada nivel de significación.
Si Wc es menor o igual que Wn(α), entonces se rechaza la hipotesis de normalidad.
4.2 Cartas de control 3-sigma.
Las cartas de control 3-sigma son las más sencillas y se basan en la regla empírica, :.aproximadamente
el 99.7 % de valores tomados de una distribución normal pertenecen al intervalo de la media menos tres
veces la desviación estándar y la media mas tres veces la desviación estándar.
Sea T una estadística para τ, es necesario verificar la normalidad de la variable para poder usar esta carta,
Control de Calidad (2020)

Ilustración de la eficiencia de las cartas CUSUM y EWMA tomando como base el artículo:’Aplicación del control estadístico de procesos (C
la carta de control 3-sigmas es:
τ = Parámetro a controlar
σ2
T = Varianza de la estadística.
σ2
T = Estimador de la Varianza de la estadística.
LCS = τ − 3 ∗ σT
LCS = τ + 3 ∗ σT
Veamos el ejemplo para controlar la media, usamos muestras históricas bien comportadas para estimar
τ = µ igual a la media de la medias de las muestras.
Figura 1: Carta ¯X
Para esta carta existen índices que evalúan la habilidad que tiene un proceso para producir artículos que
se ajusten a las especificaciones dadas, según Vargas.J (2017) estos índices están definidos como sigue:
Cp =
LES − LEI
6 ∗ σT
Cps =
LES − τ
6 ∗ σT
Cpi =
τ − LEI
6 ∗ σT
Cpk = mín{Cps, Cpi}
4.3 Cartas de control CUSUM.
La carta de sumas acumuladas se define en Vargas(2017), como sigue:
Sea X ∼ N(µ, σ2
), se tiene un valor objetivo µ0 y se considera la variable estandarizada de la siguiente
manera : Zi = Xi−µ0
σ ∼ N(0, 1), y las sumas acumuladas hasta el tiempo t se define:
SH,t =
t
i=1
(Zi + k)
SL,t =
t
i=1
(k − Zi)
Tenemos que Zi − k > 0, cuando las umas parciales alcancen cero comienza otra serie, ahora cuando
supere un h>0 definido, tenemos un punto fuera de control, es análogo el proceso en los número negativos.
Tenemos por una relación recursiva la definición de los puntos:
SH,n = max{0, SH,n−1 + Zn − k}
SL,n = min{0, SL,n−1 + Zn + k}
(1)
En el ejemplo vemos un H=0.01 y vemos que es un proceso dependiente de la observación anterior.

Figura 2: Carta CUSUM
4.4 Cartas de control EWMA.
Tenemos que la motivación de esta carta se expone en Vargas. J(217), que ilustra la diferencia de la carta
CUSUM que sin importar la .edad"de los datos tienen un peso w constante sin importar lo antiguo que
estos sean, pero las estadísticas EWMA cada vez que pasa el tiempo, a las observaciones antiguas les
reduce su peso en la estadística. Sea λ ∈ (0, 1), la estadística recursiva sobre la muestra son:
Zt = λ ∗ Xt + (1 − λ) ∗ Zt (2)
Se evidencia que la escencia de las sumas acumuladas se tiene , pero, toda la información acumulada del
pasado tiene una ponderación de1 − λ.Ahora teniendo L una constante sugerida como 3 , tenemos que los
límites de control son:
LCI = Z0 + L ∗ σZi
(3)
Figura 3: Carta EWMA
4.5 Componentes principales.
Este método se encuentra explicado en su totalidad en Pardo.C.E.(2020), una componente principal es
una pseudo-variable que se logra a partir de una combinación lineal de las variables.
Las CP’s buscan explicar un vector aleatorio medido en n individuos. Se puede demostrar que los vectores
propios son las direcciones de las componentes principales y que la proporción asociada a cada una es su
correspondiente valor propio, para esta propuesta vamos a tomar las variables estandarizadas pues hay
variables que no son conmensurables.
Usemos la deﬁnición de vector aleatorio estandarizado, entonces tenemos:

Xc = (I −
1
n
J)X
S =
1
n − 1
X (I −
1
n
J)X
R = diag(s−1
i ) ∗ S ∗ diag(s−1
i )
Z = S
1
2 Xc = S
1
2 (I −
1
n
)X
(4)
Luego la matriz de rotación de las componentes principales se hace con el siguiente algoritmo:
1. Hallamos los valores propios de R denotados por λi, ordenados de mayor a menor.
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp (5)
2. Como R es una matriz semi-deﬁnida positiva, entonces para lo valores propios li se tiene que a valores
propios diferentes hay vectores propios ortogonales, en el caso de multiplicidad mayor que 1 se pueden or-
togonalizar estos vectores, luego tenemos una nueva Base de Rp
, que determina una rotación de la matriz,
las nuevas variables se dicen que son las componentes principales.
Yi = X ∗ Vλi
⇒ Y = XV : V = V1 V2 · · · Vp (6)
3. Escoger las componentes cuyo valor sea mayor que 1 y ver la correlación entre las componentes y las
variables para facilitar la interpretación.
Figura 4: ACP
5. Validación de Supuestos.
Es común comenzar suponiendo normalidad en los datos, pero puede que no la haya. Una solución es realizar
una prueba o un test de normalidad para la veriﬁcación de la distribución o comportamiento de los datos. Aun-
que existen muchos de estos test, cada uno tiene una función o desempeño diferente dependiendo las situaciones.
Uno de ellos es el test de Shapiro-Wilk que suele ser mejor cuando se tienen muestras pequeñas a comparación
al test de Kolmogorov-Smirnov que es utilizado para muesrtas grandes. El test de Shapiro-Wilk busca hacer la
siguiente prueba de hipótesis:
H0 : La muestra proviene de una distribución normal.

H1 : La muestra no proviene de una distribución normal.
Si tomamos α = 0.005 nuestro criterio de decisión será rechazar H0 si p < α y no rechazar H0 si p ≥ α.
Es más fácil hacer el test con la herramienta R y shapiro.test(X), donde X son las medias calculadas de cada
muestra.
El test de Shapiro-Wilk para las medias del día uno, peso en diez muestras de tamaño 10 da:
p − value = 0.4824
Por lo tanto se rechazaría H0, para las medias en el día uno.
El test de Shapiro-Wilk para las medias del día seis, peso en diez muestras de tamaño 10 es:
p − value = 0.05582
Por lo tanto no se rechaza H0, para las medias en el día seis.
Aunque este test es para ver si los datos provienen de una muestra que se distribuye normal, cabe recordar que
al contar con solo 10 medias por muestra, esto puede afectar en el resultado de la prueba.
6. Comparación de las Cartas CUSUM, EWMA y 3-Sigma.
En el articulo ”Aplicación del control estadístico de procesos(CEP) en el control de su calidad” utilizaron
cartas de control de datos individuales para graﬁcar el comportamiento del proceso, en las cuales en ningunos
de los dos días el proceso salio de control, a continuación se presentan los gráﬁcos donde se evidencia lo dicho
anteriormente.
Figura 5: Carta de control Día 1

Figura 6: Carta de control Día 6
Aunque en el artículo mencionado se hace el análisis en gran parte sobre las observaciones indivuales en
ambos días y debido a que planteamos que sería mejor utilizar estos para analizar los comportamientos de las
medias, y así las cartas de control X − Bar para el día 1 y el día 6 son:
Figura 7: ¯X día 1
Figura 8: ¯X día 6
Nosotros planteamos la idea de controlar el proceso por medio de cartas CUSUM y EWMA en vez de las
Shewhart, ya que estas son mas perceptibles a los cambios y por lo tanto detectan datos fuera de control con
mas rapidez y esto nos ayudara a mejorar la homogeneidad entre los pesos de los productos sanitarios. para las
cartas que se presenta a continuación se utilizo el Software estadístico R, El código se presenta en la parte de
anexos del articulo.

Figura 9: Carta CUSUM Dia 1
Figura 10: Carta EWMA Dia 6
De esta manera podemos observar que estas cartas si tenemos puntos fuera de control por lo cual deberíamos
detener el proceso y ajustarlo de tal manera que respete los limites de control demarcados en las cartas CUSUM
y EWMA y así nuestra producción mejore en términos de calidad y homogeneidad. Claro esta que esto se da
para los datos obtenidos en el dia 1, al realizar el mismo procedimiento con los datos del dia 6 so observa que
el procesos sen cuentra dentro de control.

Figura 11: Carta CUSUM Dia 6
Figura 12: Carta EWMA Dia 6
De esta manera podemos ver que nos faltarían los datos de los demás días para determinar si es adecuado
cambiar el tipo de carta de control o el proceso puede estar bajo control con la carta actual, así que se sugiere
hacer el proceso anterior con todos los datos y realizar una carta global donde se encuentren los datos de los
10 días para poder determinar con certeza la carta mas óptima para controlar el peso de los productos sanitarios.
En esta sección calcularemos los índices de control ya antes mencionados para las muestras de medias del
día uno y del día seis, para luego compararlas. Como no tenemos límites especíﬁcos, µ, o σ, lo haremos con los
límites de control y demás estimaciones dadas en las cartas ¯X dadas anteriormente

Tabla 1: Índices de capacidad
índice día 1 día 6
Cp 0.3162278 0.3162278
Cps 0.3162278 0.3162278
Cpi 0.3162278 0.3162278
Cpk 0.3162278 0.3162278
Cpmk 0.3162278 0.3162278
7. Sugerencia multivariada.
Se sugiere para el análisis de datos multivariados usar las cartas chi-cuadrado o T2
pues estas dependen
de las varianzas y covarianzas, pero como las componentes son independientes entonces podemos usar cartas
individuales para las cartas para poder evidenciar cual es la componente que se sale de control y ver las variables
que se correlacionan con la componente, pues estas son las que hacen que el proceso no este bajo control.
Este proceso se evidenciara paso a paso con un ejemplo ilustrativo y es una sugerencia para que la empre-
sa lo implemente y tenga más precisión en sus procesos.
Supongamos que en una producción de tornillos se toma una muestra cada hora de 10, a los cuales se les mide:
longitud, profundidad del hilo del tornillo, diámetro del tornillo, fuerza del tornillo y ajuste del tornillo, vamos
a hacer la fase 1 con 50 muestras históricas bajo control, .las muestras se recogieron como se presenta en la tabla:
longitud.1... profundidad.1... diámetro.1... fuerza.1... ajuste.1...
1 9.97 0.97 2.96 75.52 6.99
2 10.05 1.00 2.98 42.95 9.40
3 9.94 1.01 3.01 54.00 9.37
4 10.00 1.00 3.03 66.71 7.59
5 9.92 0.99 2.98 42.36 10.15
6 9.98 0.99 2.97 40.76 7.32
7 10.01 0.99 3.02 36.86 8.17
8 9.95 1.02 2.96 51.69 7.44
9 10.05 1.01 3.03 17.09 8.55
10 10.08 1.03 3.02 41.53 8.54
Tenemos que la necesidad de usar cartas multivariadas, cuando las variables se correlacionan. pero usando
componentes principales tenemos pseudo-variables ortogonales, entonces, el uso de cartas univariadas es correcto
y tiene ﬁabilidad, además se evidencia cuales son las variables que causan que el proceso está fuera de control.
Observemos la estimación de la matriz de covarianzas es:
1 2 3 4 5
1 2.00 0.20 0.60 9.38 1.67
2 0.20 0.02 0.06 0.94 0.17
3 0.60 0.06 0.18 2.81 0.50
4 9.38 0.94 2.81 44.08 7.84
5 1.67 0.17 0.50 7.84 1.40
Antes de la estimación hacemos el proceso de reducción de la dimensionalidad por medio de un ACP sobre
el vector de medias de cada muestra, en este caso tenemos el gráﬁco de valores propios:

Figura 13: Valores propios
La primer componente principal es la variable: Y1 = X(0.447, 0.447, 0.447, 0.447, 0.447) . Evidenciamos que
en este proceso las variables se pueden reducir a 1 y hacer una carta x barra donde la variable aleatoria sea Y1,
la primer componente principal, que se relaciona con las variables de la siguiente manera:
Figura 14: Correlación entre las variables y la componente
Luego sobre esta variable sintética hacemos una carta univariada que se correlaciona directamente con las
cinco, es decir si el proceso está fuera de control, entonces, se debe a las cinco variables.

8. Conclusiones.
1. Se nota que la carta cusum y ewma en las muestras del primer día de estudio detectan cambios significativos
en el peso del producto sanitario, como una sugerencia para el artículo se recomienda mejorar el control
del proceso utilizando estas cartas, con esto mejoraría el proceso ya que estas cartas son mas sensibles a
los cambios en el proceso.
2. Se evidencia que en el articulo al realizar las cartas ¯X toman los datos de forma individual y según la
teoría la carta X se grafica con las medias de cada muestra observada.
3. Los índices de control son iguales cuando se grafica los individuos de cada muestra y las medias de cada
muestra, esto se debe a que la media distribuye con una varianza menor y la dispersión de las medias
también es menor.
4. La reducción de dimensionalidad es buena ya que son variables que se incorrelacionan entre si y son validas
las cartas univariadas sin la necesidad de correcciones como la de Bonferroni.
5. Otro aspecto importante es que una pseudo-variable o componente principal puede relacionarce fuerte-
mente con varias variables y si en la carta de dicha componente principal se ve fuera de control ,entonces,
probablemente se deba a este grupo de variables.
6. La mejor manera de controlar el proceso para saber cual de las cartas es la mas recomendable es graficar
los datos de los 10 días en una misma carta para ver de manera mas global el proceso ya que como vimos
la cartas CUSUM y EWMA detectaron puntos fueras de control en el día 1 pero no en el día 6.
9. Anexos.
Código cartas univariadas
datosd1<-matrix(
c( 23.57, 23.44 , 23.35 , 23.63 , 23.63 , 23.31 , 23.48 , 23.31 , 23.61 , 23.56
, 23.15 , 23.59 , 23.63 , 23.56 , 23.22 , 23.65 , 23.74 , 23.63 , 23.48 , 23.79
, 23.61 , 23.34 , 23.41 , 23.66 , 23.18 , 23.59 , 23.65 , 23.28 , 23.58 , 23.47
, 23.40 , 23.32 , 23.41 , 23.37 , 23.27 , 23.44 , 23.29 , 23.46 , 23.29 , 23.46
, 23.45 , 23.19 , 23.11 , 23.69 , 23.70 , 23.32 , 23.61 , 23.08 , 23.60 , 23.47
, 23.25 , 23.14 , 23.28 , 23.73 , 23.15 , 22.98 , 23.35 , 23.20 , 23.12 , 23.72
, 23.41 , 23.18 , 23.34 , 23.66 , 23.52 , 23.56 , 23.69 , 23.57 , 23.55 , 23.65
, 23.47 , 23.29 , 23.51 , 23.39 , 23.43 , 23.28 , 23.55 , 23.41 , 23.41 , 23.55
, 23.63 , 23.74 , 23.70 , 23.60 , 23.63 , 23.32 , 23.61 , 23.69 , 23.72 , 23.59
, 23.53 , 23.64 , 23.30 , 22.99 , 23.52 , 23.11 , 23.39 , 23.13 , 22.96 , 23.21 )
,10,byrow = T)
datosd1
library(qcc)
s<-sd(datosd1)
s
x<-c(22.8, 23.8)
qcc(datosd1, type = "xbar.one", center=23.3, limits=x)
cusum(datosd1,sizes=0.5, center=23.3, std.dev=s,decision.interval = 0.5)
ewma(datosd1, center=23.3, std.dev=s, lambda = 1, nsigmas = 2.492)

datosd6<-matrix(c( 23.15, 23.29, 23.37, 23.11, 23.34, 23.33, 23.25, 23.17, 23.43, 23.13,
23.30, 23.27, 23.38, 23.36, 23.36, 23.30 ,23.40, 23.34, 23.32, 23.29,
23.30, 23.39, 23.27, 23.15, 23.38, 23.43, 23.33, 23.31, 23.17, 23.31,
23.26, 23.33, 23.35, 23.18, 23.16, 23.30, 23.15, 23.29, 23.32, 23.24,
23.49, 23.30, 23.45, 23.37, 23.15, 23.39, 23.33, 23.45, 23.26, 23.26,
23.29, 23.24, 23.19, 23.29, 23.22, 23.31, 23.25, 23.21, 23.38, 23.32,
23.34, 23.29 ,23.31, 23.55, 23.43, 23.35, 23.32, 23.24, 23.37, 23.18,
23.29, 23.40, 23.24, 23.22, 23.26, 23.38, 23.40, 23.24, 23.36, 23.30,
23.21, 23.33, 23.12, 23.28, 23.50, 23.27, 23.16, 23.32, 23.31, 23.05,
23.31, 23.30, 23.35, 23.41, 23.32, 23.38, 23.28, 23.37, 23.29, 23.42 ),
10,byrow = T)
datosd6
x<-c(22.8, 23.8)
qcc(datosd6, type = "xbar.one", center=23.3, limits=x)
cusum(datosd6,sizes=0.5, center=23.3, std.dev=s,decision.interval = 0.5)
ewma(datosd6, center=23.3, std.dev=s, lambda = 1, nsigmas = 2.492)
Códigos propuesta multivariada
#Método multivariado sugerido.
#Librerias necesarias
library(xtable)
library(FactoMineR)
#Simulación de datos.
#matrices que hospedaran la simulación
longitud <- matrix(0,50,10)
profundidad <- matrix(0,50,10)
diámetro <- matrix(0,50,10)
fuerza <- matrix(0,50,10)
ajuste <- matrix(0,50,10)
set.seed(151515)
for (i in 1:50) {
longitud[i,] <- rnorm(10,10,0.05)
profundidad[i,] <- rnorm(10,1,0.02)
diámetro[i,] <- rnorm(10,3,0.03)
fuerza[i,] <- rnorm(10,50,25)
ajuste[i,] <- rnorm(10,9,1)
}
#Visualización de la muestra 1
muestra_1 <- data.frame(longitud[1,],profundidad[1,],diámetro[1,]
,fuerza[1,],ajuste[1,])
View(muestra_1)
xtable(muestra_1)
#matriz de medias
medias <- matrix(0,50,5)
for (i in 1:50) {
medias[i,]<- c(mean(longitud[i,]),mean(profundidad[i,]),
mean(diámetro[i,]),mean(fuerza[i,]),mean(ajuste[i,]))
}

xtable(cov(medias))
#ACP sobre las variables
acp <- PCA(medias)
plot(acp, choix = "var")
10. Referencias.
1. Vargas J.A.(2017),’ Control Estadístico de Calidad’, Editorial: Publicaciones Universidad Nacional de
Colombia;Facultadad de ciencias.
2. Pardo C.E.(2020),’Estadística descriptiva multivariada’, Editorial: Publicaciones Universidad Nacional de
Colombia;Facultadad de ciencias.
3. Diaz L.G.(2020),’Análisis de datos multivariados’, Editorial: Publicaciones Universidad Nacional de Co-
lombia;Facultadad de ciencias.
4. Melo O.O.,Lopez L.A.,Melo S.E (2020),’Diseño de Experimentos Métodos y Aplicaciones’, Editorial: Pu-
blicaciones Universidad Nacional de Colombia;Facultadad de ciencias.
5. Hernández C., Silva F.(2015),’Aplicación del control estadístico de procesos (CEP) en el control de su
calidad’, Revista Scielo, Facultad de Ingeniería Química, Universidad de Oriente. pedrera2012@gmail.com
6. MONTGOMERY, D. C.(2004), Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. Rio de Janeiro: LTC –
Livros Técnicos e Cientíﬁcos Editora S.A., 74 p.

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