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Unidad 3 Herramientas para CEC
Preparado por: IQI María Guadalupe cadenas Trejo 1
CARTAS DE CONTROL
Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de
los procesos.
Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones
para el control del proceso.
Estas gráficas fueron desarrolladas por el Dr. Shewhart son gráficas poligonales que muestran en el
tiempo el estado de un proceso.
Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas
aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes (Las causas comunes o
aleatorias se deben a la variación natural del proceso).
Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del
operador, defectos en materias primas.
Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes únicamente.
Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible.
Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de
control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que
podamos tomar acciones al momento.
Las gráficas de control se usan entre otras cosas:
• Para verificar que los datos obtenidos poseen condiciones semejantes.
• Para observar un proceso productivo, a fin de poder investigar las causas de un
comportamiento anormal.
• Al distinguir entre las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena
indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de
una acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización.
Existen diferentes gráficas de control en función de la variable a observar y del proceso a controlar.
El proceso a controlar puede depender de una variable o de características llamadas atributos.
Recordemos la diferencia entre una variable y un atributo.
En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de calidad
“medible” tal como una longitud, peso, temperatura, etc. Mientras que se denomina atributo a las
características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados tales como
conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso.
Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente tipo de
Gráfico de Control a obtener:

• Cartas de control por variables
• Cartas de control por atributos
Las Gráficas de control más utilizadas son las siguientes:
Por variables
Carta Descripción Campo de aplicación.
RX − Medias y Rangos Control de características individuales.
SX − Medias y desviación estándar. Control de características individuales.
X-Rm Mediciones y rangos móviles
Control de un proceso con datos variables que no
pueden ser muestreados en lotes o grupos.
Por atributos
Carta Descripción Campo de aplicación.
p Proporción Control del porcentaje de unidades defectuosas.
np Número de defectuosos Control del número de piezas defectuosas.
c Defectos Control de número global de defectos por unidad.
u
Promedio de defectos
por unidad
Control del promedio de defectos por unidad.

1CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
Cartas de control -R
(Medias y rangos)
Paso 1: Colectar los datos.
Variables a considerar.
La elección se basa en el propósito de reducir o impedir los rechazos, los costos, el desperdicio, el
reproceso, etc.
Elegir algo que pueda ser medido y expresado en números: dimensiones, dureza, fragilidad,
resistencia, peso, etc.
Elección del tamaño y la frecuencia de la obtención de los datos representativos.
Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser
registrados y agrupados de la siguiente manera:
• Se toma una muestra (subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas (Shewhart sugiere 4) sin
embargo es muy común utilizar 5 y se anotan los resultados de la medición. Durante un estudio
inicial, los subgrupos pueden ser tomados consecutivamente o a intervalos cortos para detectar
si el proceso puede cambiar o mostrar inconsistencia en breves periodos de tiempo. Algunos
recomiendan que el intervalo sea de ½ a 2 hrs., ya que más frecuentemente puede representar
demasiado tiempo invertido, y si es menos frecuente pueden perderse eventos importantes que
sean poco usuales.
Elección de cuantos subgrupos tomar.
Mientras menor sea el número de subgrupos que tomemos, más pronto tendremos una idea para
actuar, pero menor será la seguridad de que esta base sea confiable. Es conveniente tener al menos
25 subgrupos; la experiencia indica que las primeras muestras pueden no ser representativas de lo
que se mide posteriormente.
Paso 2: Calcular el promedio y Ri para cada subgrupo
= promedio de un subgrupo
Xi= Valor de la variable medida.
n = Tamaño de la muestra
minValormaxValorRi −=
iX
X
n
X
X
n
i
i
i
∑=
= 1
iX

Paso 3: Calcular el promedio de rangos y el promedio de promedios .
Paso 4: Calcular los límites de control.
Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados
en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:
Límites de control para Límites de control para R
Paso 5: Trazar la gráfica de control.
Una carta de control -R nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las
medias y la grafica inferior es la de rangos R.
En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números cardinales que
representan las muestras sucesivas).
En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó rangos según corresponda a la
gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica para las medias
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite
de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control
son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.
Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca,
cada punto corresponde a un valor .
Para la gráfica de Rangos
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y
límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de
control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.
cada punto corresponde a un valor Ri.
k
X
X
i∑=
k
R
R
i∑=
RAXUCLx 2+=
XCentralLínea =
RAXLCLX 2−=
RDUCLR 4=
RCentralLínea =
RDLCLR 3=
iX
X
X
X
XR

1.- En la producción de porta engranes se tomaron 30 muestras de tamaño 5 y se midió el diámetro
a continuación se muestran los datos.
Construya la Carta de Control -R e interprete la misma.
No de
muestra
Datos en 1/10000 in
A B C D E
1 583 584 584 584 584
2 584 583 584 583 583
3 584 583 583 583 584
4 584 584 584 583 585
5 583 583 583 585 582
6 582 583 583 583 583
7 583 583 584 583 584
8 583 583 584 583 583
9 582 582 584 583 583
10 583 582 583 583 583
11 583 583 583 584 585
12 584 583 585 585 585
13 583 582 585 585 585
14 585 582 585 585 585
15 586 583 584 584 583
16 584 583 583 584 585
17 583 584 583 585 583
18 583 583 584 585 583
19 583 583 585 583 583
20 582 585 584 585 583
21 584 584 584 583 582
22 583 583 582 583 583
23 584 583 585 586 584
24 583 583 583 582 584
25 583 583 584 583 583
26 583 583 582 582 583
27 583 582 582 583 582
28 582 582 583 583 584
29 583 583 585 584 584
30 583 584 583 583 584
X

2.- Construya la Carta de Control X-R e interprete la misma.
No de
muestra
Datos según escala
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
1 2.5 0.5 2.0 -1.0 1.0 -1.0 0.5 1.5 0.5 -1.5
2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 1.0 -1.0 1.0 1.5 -1.0
3 1.5 1.0 1.0 -1.0 0.0 -1.5 -1.0 -1.0 1.0 -1.0
4 0.0 0.5 -2.0 0.0 -1.0 1.5 -1.5 0.0 -2.0 -1.5
5 0.0 0.0 0.0 -0.5 0.5 1.0 -0.5 -0.5 0.0 0.0
6 1.0 -0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 -1.0 1.0 -2.0 1.0
7 1.0 -1.0 -1.0 -1.0 0.0 1.5 0.0 1.0 0.0 0.0
8 0.0 -1.5 -0.5 1.5 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.5 -0.5
9 -2.0 -1.5 1.5 1.5 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0
10 -0.5 3.5 0.0 -1.0 -1.5 -1.5 -1.0 -1.0 1.0 0.5
11 0.0 1.5 0.0 0.0 2.0 -1.5 0.5 -0.5 2.0 -1.0
12 0.0 -2.0 -0.5 0.0 -0.5 2.0 1.5 0.0 0.5 -1.0
13 -1.0 -0.5 -0.5 -1.0 0.0 0.5 0.5 -1.5 -1.0 -1.0
14 0.5 1.0 -1.0 -0.5 -2.0 -1.0 -1.5 0.0 1.5 1.5
15 1.0 0.0 1.5 1.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 -2.0 -1.5

Cartas de control - s
(Medias y desviaciones estándar)
El procedimiento para realizar las cartas de control - s es similar al de las cartas de -R la
diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para
detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso.
La grafica monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias y la grafica s monitorea la
variación en forma de desviación estándar.
Paso 1: Colectar los datos
En este paso se siguen las mismas consideraciones que en la construcción de los gráficos, solo que
aquí el tamaño de muestra n es recomendable que sea mayor a 9.
Paso 2: Calcular el promedio y la desviación estándar (si) para cada subgrupo
= promedio de un subgrupo
Xi= Valor de la variable medida.
n = Tamaño de la muestra
si = Desviación estándar de un subgrupo
Paso 3: Calcular la desviación estándar promedio y el promedio de promedios
= Promedio de promedios
= Promedio del subgrupo i
k = Número de subgrupos
= Desviación estándar promedio
si = Desviación estándar del subgrupo i
Paso 4: Calcular los límites de control.
Límites de control para Límites de control para s
n
X
X
n
i
i
i
∑=
= 1
( )
1
1
2
−
−
=
∑=
n
XX
s
n
i
i
i
k
X
X
i∑=
k
s
s
i∑=
iX
X
XX
X
iX
s X
iX
X
s
s*AXUCLx 3+=
XCentralLínea =
s*BUCLs 4=
sCentralLínea =
X
s*AXLCLx 3−=
s*BLCLs 3=

Una carta de control -s nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las
medias y la grafica inferior es la de las desviaciones estándar.
En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó desviaciones estándar según
corresponda a la gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica para las medias
de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control
cada punto corresponde a un valor .
Para la gráfica de desviaciones estándar
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLs, línea central CLs y límite
de control superior UCLs. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de control
cada punto corresponde a un valor si .
iX
X
X

3.- Construya la Carta de Control X-S e interprete la misma.
No de
muestra
Datos según escala
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
1 2.5 0.5 2.0 -1.0 1.0 -1.0 0.5 1.5 0.5 -1.5
2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 1.0 -1.0 1.0 1.5 -1.0
3 1.5 1.0 1.0 -1.0 0.0 -1.5 -1.0 -1.0 1.0 -1.0
4 0.0 0.5 -2.0 0.0 -1.0 1.5 -1.5 0.0 -2.0 -1.5
5 0.0 0.0 0.0 -0.5 0.5 1.0 -0.5 -0.5 0.0 0.0
6 1.0 -0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 -1.0 1.0 -2.0 1.0
7 1.0 -1.0 -1.0 -1.0 0.0 1.5 0.0 1.0 0.0 0.0
8 0.0 -1.5 -0.5 1.5 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.5 -0.5
9 -2.0 -1.5 1.5 1.5 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0
10 -0.5 3.5 0.0 -1.0 -1.5 -1.5 -1.0 -1.0 1.0 0.5
11 0.0 1.5 0.0 0.0 2.0 -1.5 0.5 -0.5 2.0 -1.0
12 0.0 -2.0 -0.5 0.0 -0.5 2.0 1.5 0.0 0.5 -1.0
13 -1.0 -0.5 -0.5 -1.0 0.0 0.5 0.5 -1.5 -1.0 -1.0
14 0.5 1.0 -1.0 -0.5 -2.0 -1.0 -1.5 0.0 1.5 1.5
15 1.0 0.0 1.5 1.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 -2.0 -1.5

Cartas de Control (X-Rm)
(Mediciones individuales y rangos móviles)
En muchas situaciones el tamaño de la muestra para monitorear el proceso es n=1; es decir la
muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de estas situaciones son:
Las mediciones repetidas del proceso difieren únicamente por el error de laboratorio o de análisis,
como en muchos procesos químicos. En otras palabras cuando la característica a medir es
relativamente homogénea.
El principal objetivo de este tipo de grafico es estimar la variabilidad debida a causas especiales
cuando se presentan lecturas individuales que constituyen tendencias.
Procedimiento para la construcción del gráfico.
Paso 1: Colectar los datos
Paso 2: Calcular el promedio de los datos.
Xi= Valor de la medición en el lote o tanda.
k= Numero de subgrupo (lote o tanda)
Paso 3: Calcular los rangos móviles.
Xi= Valor de la medición i en el lote ( i es un contador)
Xi-1= Valor de la medición i-1 en el lote
Paso 4: Calcular el promedio de los rangos móviles.
Paso 5. Calcular los límites de control
Para el grafico de mediciones individuales Para el grafico de rangos móviles
Nota: Los valores de las constantes d2, D3 y D4 se toman para n=2
k
X
X
k
i
i∑=
= 1
1−−= iii XXRm
k
Rm
Rm
k
i
i∑=
= 2










+=
2
3
d
Rm
XUCL *
Rm*DLCLRm 3=
X=CL
RmCLRm =










−=
2
3
d
Rm
XLCL *
Rm*DUCLRm 4=

La gráfica superior es la de observaciones individuales y la grafica inferior es la de rangos móviles
Rm.
En el eje de las “y” se representan los valores individuales ó rangos móviles según corresponda a
la gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica de valores individuales
de control superior UCLx. La línea central es el promedio de las mediciones individuales y los dos
límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.
cada punto corresponde a un valor Xi .
Para la gráfica de Rangos móviles
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y
límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos móviles y los dos
límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.
cada punto corresponde a un valor Rmi . (Nota: solo tomamos desde el valor del segundo lote o
tanda ya que el primero no genera rango móvil).

Ejemplo en con el uso de excel.
Nota: Los valores de las constantes son los correspondientes a n=2
Paso 6
Seleccionar las columnas de UCLx CLx, y LCLx y la columna de los valores individuales Xi e
insertar un grafico de líneas 2 D.
Seleccionar las columnas de UCLRm CLRm, y LCLRm y la columna de los valores de rangos móviles
Rmi e insertar un grafico de líneas 2 D.
Paso 3
Paso 4
Paso 5
k
X
X
k
i
i∑=
= 1
Paso 2
1−−= iii XXRm
k
Rm
Rm
k
i
i∑=
= 2










+=
2
3
d
Rm
XUCL *
Rm*DLCLRm 3=
X=CL
RmCLRm =










−=
2
3
d
Rm
XLCL *
Rm*DUCLRm 4=

5.- Se mide la pureza de un producto químico en cada lote. Las determinaciones de la pureza para
20 lotes sucesivos se muestran abajo.
Elaborar un gráfico de control de Mediciones individuales y rangos móviles
Lote Pureza
1 0.81
2 0.82
3 0.81
4 0.82
5 0.82
6 0.83
7 0.81
8 0.8
9 0.81
10 0.82
11 0.81
12 0.83
13 0.81
14 0.82
15 0.81
16 0.85
17 0.83
18 0.87
19 0.86
20 0.84

6.- Se desea controlar la concentración (g/ml) de un ingrediente activo de un blanqueador
líquido producido con un proceso químico.
Elaborar un gráfico de control de Mediciones individuales y rangos móviles.
Observación
Concentración
(g/ml)
1 60.4
2 69.5
3 78.4
4 72.8
5 78.2
6 78.7
7 56.9
8 78.4
9 79.6
10 100.8
11 99.6
12 64.9
13 75.5
14 70.4
15 68.1
16 99.9
17 59.3
18 60
19 74.7
20 75.8
21 76.6
22 68.4
23 83.1
24 61.1
25 54.9
26 69.1
27 67.5
28 69.2
29 87.2
30 73

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