Dinamica friccion

IntroducciónIntroducción
En el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de unEn el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de un
cuerpo, describiéndolo en función de lacuerpo, describiéndolo en función de la posiciónposición ((xx),), tiempotiempo ((tt),), velocidadvelocidad
((vv) y) y aceleraciónaceleración ((aa), de tal forma que mediante el análisis decíamos), de tal forma que mediante el análisis decíamos
hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante dehacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de
tiempo predecir en que posición se encontraba y con que velocidad setiempo predecir en que posición se encontraba y con que velocidad se
estaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el porque seestaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el porque se
mueve el cuerpo.mueve el cuerpo.
En el presente capítulo abordaremos lasEn el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento de loscausas del movimiento de los
cuerposcuerpos, que es el objeto de estudio de la, que es el objeto de estudio de la DinámicaDinámica..
Desde el punto de vista de laDesde el punto de vista de la Mecánica ClásicaMecánica Clásica que es el nivel que nosque es el nivel que nos
atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudioatañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudio
considerando:considerando:
Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (modelomodelo
corpuscularcorpuscular) y que además se mueven con velocidades mucho muy) y que además se mueven con velocidades mucho muy
pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108
m/s ).).
LasLas causascausas que originan el movimiento de los cuerposque originan el movimiento de los cuerpos se deben a lase deben a la
interaccióninteracción con otros cuerposcon otros cuerpos que conforman su medio ambiente,que conforman su medio ambiente,
entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como puedenentendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden
ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas;ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas;
poleas; la Tierra; el Sol, etc.poleas; la Tierra; el Sol, etc.

Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema,Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema,
considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción queconsiderando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que
ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y seejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se
puede despreciar.puede despreciar.
El problema a resolver es el siguiente:El problema a resolver es el siguiente:
Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principalesSe nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales
características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen,características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen,
composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc.composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc.
Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambienteColocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente
adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay unadecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay un
plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc.plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc.
Las preguntas a contestar serían:Las preguntas a contestar serían:
¿Por que se mueve?¿Por que se mueve?
¿Como se seguirá moviendo?¿Como se seguirá moviendo?
Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedadDicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad
de medios ambientes y fue cuando formuló lasde medios ambientes y fue cuando formuló las Leyes de MovimientoLeyes de Movimiento y lay la
Ley de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación Universal..

Las interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzasLas interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas
llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo:llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo:
 Fuerza GravitacionalFuerza Gravitacional.- M.- Mantiene unidos a cuerpos grandes: Tierra -antiene unidos a cuerpos grandes: Tierra -
personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol).personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol).
 Fuerza ElectromagnéticaFuerza Electromagnética.- M.- Mantiene unidas a las moléculas y a losantiene unidas a las moléculas y a los
átomos y en el interior de estos últimos, hace que los electronesátomos y en el interior de estos últimos, hace que los electrones
permanezcan cerca del núcleo.permanezcan cerca del núcleo.
 Fuerza Nuclear FuerteFuerza Nuclear Fuerte.- A.- Actúa a nivel nuclear y hace que lasctúa a nivel nuclear y hace que las
partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico.partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico.
 Fuerza Nuclear DébilFuerza Nuclear Débil.- P.- Permite que algunos núcleos atómicos seermite que algunos núcleos atómicos se
separen produciendo radioactividad.separen produciendo radioactividad.
De acuerdo a su magnitud pueden ser:De acuerdo a su magnitud pueden ser:
 ConstantesConstantes
 VariablesVariables
Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser:Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser:
 ConservativasConservativas
 No conservativas o disipativasNo conservativas o disipativas
Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser:Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser:
 Por contactoPor contacto
 A distanciaA distancia

En nuestro caso, abordaremos el concepto deEn nuestro caso, abordaremos el concepto de interaccióninteracción que es unaque es una
fuerza,fuerza, la cual se define en función dela cual se define en función de la aceleración que experimenta unla aceleración que experimenta un
cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambientecuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambiente, estableciendo, estableciendo
una técnica para asociarle una masauna técnica para asociarle una masa mm a cualquier cuerpo, con el fin dea cualquier cuerpo, con el fin de
entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera),entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera),
experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismoexperimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismo
medio ambiente.medio ambiente.
El concepto deEl concepto de fuerza y masafuerza y masa se encuentran íntimamente relacionados,se encuentran íntimamente relacionados,
asociamos a:asociamos a:
 lala fuerzafuerza con jalar o empujar un objeto y,con jalar o empujar un objeto y,
 lala masamasa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser aceleradocomo la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado
(movido).(movido).
Los tres conceptos:Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleraciónfuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí por, se relacionan entre sí por
medio de:medio de:
 laslas Leyes de la Naturaleza o Leyes de FuerzasLeyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas yy
 laslas Leyes de Movimiento o Leyes de NewtonLeyes de Movimiento o Leyes de Newton,,
Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenosLas primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos
naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medionaturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio
ambiente.ambiente.
Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medioLas segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio
ambiente.ambiente.

IntroducciónIntroducción (( Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza ))
Dentro de lasDentro de las Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones:se tienen dos clasificaciones:
 Interacción por contactoInteracción por contacto
 Interacción a distanciaInteracción a distancia
Interacción por contactoInteracción por contacto
 Fuerzas de fricciónFuerzas de fricción
 FF == mmNN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por unaPor ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una
superficie áspera.superficie áspera.
 FF == mmvv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede serUn cuerpo que se mueve en un medio que puede ser
aire o un líquido.aire o un líquido.
 Fuerza elástica:Fuerza elástica:
 FF = k= kxx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.
 Fuerza de sostén o soporte:Fuerza de sostén o soporte:
 FF = P/= P/AA Por ejemplo cuando aplicamos una presión sobre unPor ejemplo cuando aplicamos una presión sobre un
objeto.objeto.

IntroducciónIntroducción (( Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza ))
Interacción a distanciaInteracción a distancia
 Fuerza gravitacional (de atracción)Fuerza gravitacional (de atracción)
 FF = m= maayy Por ejemplo el peso de un cuerpo (dondePor ejemplo el peso de un cuerpo (donde ││ aayy ││ = g)= g)
 FF = (GmM∕r= (GmM∕r22
)) rr Por ejemplo la fuerza de atracción que existePor ejemplo la fuerza de atracción que existe
entre el Sol y la Tierra.entre el Sol y la Tierra.
 Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)
 FF = (kq= (kq11qq22∕r∕r22
)) rr Por ejemplo la fuerza de repulsión que existePor ejemplo la fuerza de repulsión que existe
entre dos electrones.entre dos electrones.
 Fuerza magnética (atracción o repulsión)Fuerza magnética (atracción o repulsión)
 FF = q (= q (v x Bv x B)) Por ejemplo un electrón que se mueve en unPor ejemplo un electrón que se mueve en un
campo magnético.campo magnético.

IntroducciónIntroducción (Leyes de Movimiento)(Leyes de Movimiento)
De lasDe las Leyes de MovimientoLeyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las, tenemos los siguientes enunciados de las
Leyes de Newton:Leyes de Newton:
Primera LeyPrimera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiarmovimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar
dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza.dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza.
Segunda LeySegunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es.- La aceleración que experimenta un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamentedirectamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente
proporcional su masa.proporcional su masa.
Tercera LeyTercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual.- A toda acción le corresponde una reacción de igual
magnitud pero en sentido contrario.magnitud pero en sentido contrario.

En esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremosEn esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos
únicamente casos ideales en los cuales:únicamente casos ideales en los cuales:
 No existe fricciónNo existe fricción,,
adicionalmente, trabajaremos exclusivamente conadicionalmente, trabajaremos exclusivamente con
 Fuerzas constantesFuerzas constantes,,
es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo unaes decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una
fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.
En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas queEn la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que
involucran fricción.involucran fricción.
Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzasPosteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzas
tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.

LEYES DE MOVIMIENTOLEYES DE MOVIMIENTO
PRIMERA LEY DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTON
En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo seEn la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se
encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que seencontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se
requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y querequería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que
cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo,cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo,
tendía nuevamente a su estado natural.tendía nuevamente a su estado natural.
Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, yaDicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, ya
que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una ciertaque por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una cierta
velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y sevelocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se
detiene.detiene.
Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con elNuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el
siguiente experimento:siguiente experimento:
Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, esteÉl argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este
tendería al reposo después de recorrer una distancia.tendería al reposo después de recorrer una distancia.
v0 ≠ 0 v = 0
d = │ Δ x│

PRIMERA LEY DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTON
Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vezPero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez
pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia.pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia.
Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo vaSi además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va
a recorrer una mayor distancia.a recorrer una mayor distancia.
Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpoSi usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpo
recorrerá cada vez una mayor distancia.recorrerá cada vez una mayor distancia.
v0 ≠ 0 v = 0
d = │ Δ x│
v0 ≠ 0 v = 0
d = │ Δ x│
v0 ≠ 0
v = 0
d = │ Δ x│

Primera Ley de NewtonPrimera Ley de Newton
En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que alEn el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al
evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueveevitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueve
siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será unsiempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un
movimiento rectilíneo uniforme.movimiento rectilíneo uniforme.
El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:
““Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar laSe requiere la presencia de un agente externo para cambiar la
velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia paravelocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia para
que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”.que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”.
Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo seComo se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se
encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton.encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton.
v0 ≠ 0 v = ctte.
Δ x
v = ctte.
Δ x
v = ctte.
Δ x

Primera Ley de NewtonPrimera Ley de Newton
Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos queSi nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que
si la fuerza neta sobre un cuerpo es cerosi la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, entonces, entonces no habráno habrá
aceleraciónaceleración y por consiguientey por consiguiente el cuerpo estará en reposoel cuerpo estará en reposo oo moviéndosemoviéndose
con velocidad constantecon velocidad constante..
Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un casoPor tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso
especial de la Segunda Ley, sin embargo, laespecial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se atribuye aPrimera Ley se atribuye a
marcos de referencia inercialesmarcos de referencia inerciales, ya que, ya que sobre un cuerpo puede estarsobre un cuerpo puede estar
obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpoobrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo
es cero.es cero. Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierraEjemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra
observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto,observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto,
observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposoobservará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo
con respecto a él.con respecto a él.
x´
y´
y
x
a
a = 0
Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está
acelerado
Visto desde el interior del auto, el
sistema está en reposo

SEGUNDA LEY DE NEWTONSEGUNDA LEY DE NEWTON
Como se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza loComo se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo
relacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargorelacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargo en Física seen Física se
requiere una definición mas precisa y se define en función de larequiere una definición mas precisa y se define en función de la
aceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambienteaceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente
adecuadoadecuado..
Por convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de PlatinoPor convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de Platino
e Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se lee Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le
denominadenomina kilogramo patrónkilogramo patrón. Como medio ambiente, se elige una. Como medio ambiente, se elige una
superficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitudsuperficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitud LL
Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre elPara determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el
cuerpo, se realiza el siguiente experimento:cuerpo, se realiza el siguiente experimento:
se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficiese ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie
horizontal y estirando el resorte una cierta longitudhorizontal y estirando el resorte una cierta longitud ΔΔLL, de tal forma, de tal forma
que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo queque el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que
estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientrasestaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras
mantengamos elongado el resorte la misma longitudmantengamos elongado el resorte la misma longitud ΔΔLL, la aceleración,, la aceleración,
que podemos medir experimentalmente, será constante, su valorque podemos medir experimentalmente, será constante, su valor
numérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud delnumérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud del
resorte.resorte.

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de Newton
Si para un ciertoSi para un cierto ΔΔLL encontramos una aceleración de 1 m/sencontramos una aceleración de 1 m/s22
, entonces, entonces
decimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 Newtondecimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 Newton
sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como:sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como:
1 Newton = 1 Kg m/s1 Newton = 1 Kg m/s22
Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble laSi continuamos con el experimento pero incrementando al doble la
elongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos seráelongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos será
el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambienteel doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambiente
está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.
L
a= 0
L
2 ΔL
2F1
F1
L
ΔL
a1
F1
L
ΔL
L
2 ΔL
2F1
2 a1

Una conclusión de nuestro experimento es que:Una conclusión de nuestro experimento es que:
la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración quela Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración que
experimenta el cuerpoexperimenta el cuerpo..
Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamosPara determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos
nuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor fuerza, de talnuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor fuerza, de tal
forma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valoresforma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valores
para las respectivas elongaciones del resorte:para las respectivas elongaciones del resorte:
Fuerza
(Newton)
Elongación
(cm)
Aceleración
(m/s2
)
F1
= 1 ΔΔLL a1
= 1
F2
= 2 22 ΔΔLL 2 a1
= 2
F3
= 3 33 ΔΔLL 3 a1
= 3
F4
= 4 44 ΔΔLL 4 a1
= 4
F5
= 5 55 ΔΔLL 5 a1
= 5
F6
= 6 66 ΔΔLL 6 a1
= 6
F7
= 7 77 ΔΔLL 7 a1
= 7

Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 a (m/s2
)
F (Newton)
Pendiente = tan  =
6 Newton – 4 Newton
6 m/s2
– 4 m/s2
=
6 kg m/s2
– 4 kg m/s2
6 m/s2
– 4 m/s2
Pendiente = tan  = 1 kg



Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por loComo se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo
que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a laque la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la
aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular laaceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la
pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que laspendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las
unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiereunidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiere
que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón.que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón.
Luego entonces,Luego entonces, la Fuerza aplicada es directamente proporcional a lala Fuerza aplicada es directamente proporcional a la
aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidadaceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la masala masa
del mismodel mismo, lo cual expresado en terminología matemática es:, lo cual expresado en terminología matemática es:
F = m aF = m a
Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.
Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalarYa que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar
como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la mismacomo lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma
dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, ladirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la
Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que:Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que:
FF = m= m aa

Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer losDebemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos queefectos que
una misma fuerza ejerce sobre otros cuerposuna misma fuerza ejerce sobre otros cuerpos y comparar los resultados cony comparar los resultados con
el efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamosel efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos
otros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar losotros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los
experimentos.experimentos.
1
F F
m0
Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón
y experimentalmente determinamos la ace-
leración que experimenta, teniendo ésta un
cierto valor a.
F
A otro cuerpo de masa desconocida M, le
aplicamos la misma fuerza F, encontrando
que su aceleración es la mitad de la que --
experimento el kilogramo patrón.
m0
m m
a 0 a 0
a =
2
F F
A un segundo cuerpo de masa desconocida
m2 le aplicamos la misma fuerza F, encon-
trando que su aceleración es el doble de la
que experimentó el kilogramo patrón.m m
a = 2
F F
a = 4
Por último, a un tercer cuerpo de masa des-
conocida m3 le aplicamos la misma fuerza F
encontrando que su aceleración es el cua---
druple de la que experimentó el kilogramo --
patrón.m m
11
2
22
3
33
a 0
a 0
a 0
l ∆ l
∆ l
∆ l
∆ l
∆ l
∆ l
∆ l
∆ l
l
l l
l
l
l

De lo anterior concluimos que:De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturalezacuerpos de la misma naturaleza
experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismoexperimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismo
medio ambiente.medio ambiente.
Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta elAsí mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el
cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masascuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masas
desconocidas, obtenemos:desconocidas, obtenemos:
o bien:o bien:
conocida comoconocida como relación de masas y aceleracionesrelación de masas y aceleraciones, con la cual podemos, con la cual podemos
determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Pordeterminar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Por
ejemplo:ejemplo:
.ctte
patrónmasa
adesconocidmasa
adesconocidmasaladenaceleració
patróncuerpodelnaceleració
==
.
0
2
0
1
0
0
ctte
m
m
m
m
m
m
a
a
====
kg
s
m
kg
s
m
a
ma
m
4
1
4
)1(1
2
2
2
00
2 ===

Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos seCuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se
moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual esmoverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual es
equivalente a tener un solo cuerpo de masaequivalente a tener un solo cuerpo de masa
M = mM = m11 + m+ m22 + m+ m33 + ...+ ...
La aceleración se determina mediante:La aceleración se determina mediante:
donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.
P
Equivale a:
PM = m1 + m2 + m3
m1
m2 m3
321 mmm
P
M
P
a
++
==

Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como porSin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por
ejemplo:ejemplo:
donde FR es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
o FUERZA RESULTANTE O NETA, lo que equivale a que sobre el
cuerpo estuviera actuando únicamente esta fuerza
Como son vectores, debemos sumarlos
como vectores
F5
F1
F2
F3
F4
FR
FR
x
y
F1
F2
F3
F5
F4

Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemosPara determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos
descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes rectangularesdescomponer a las fuerzas individuales en sus componentes rectangulares
sobre los ejes, de tal forma que:sobre los ejes, de tal forma que:
Donde:Donde:
Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:
En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos yEn la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y enen
algunos casos mediante la observación del cuerpoalgunos casos mediante la observación del cuerpo, como por ejemplo,, como por ejemplo,
cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje verticalcuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje vertical
es cero (aes cero (ayy = 0).= 0).
( ) ( )22
∑∑ +===
→
yxrr FFFF F
xxxxxx FFFFFF 54321 ++++=∑
yyyyyy FFFFFF 54321 ++++=∑
xx maF =∑
yy maF =∑

Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizarAl resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar
Diagramas de Cuerpo Libre o aisladoDiagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales consideramos al cuerpoen los cuales consideramos al cuerpo
como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahícomo si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahí
todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos quetodas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que
dichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto últimodichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto último
para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes.para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes.
Del ejemplo anterior, elDel ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo LibreDiagrama de Cuerpo Libre es:es:
F5
F1
F2
F3
F4
x+
y +
F1
F2
F3
F5
F4

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Se elije un sistema de referencia con
su convención de signos y las fuerzas
se colocan en él y saliendo del origen

Para determinar las componentesPara determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, teniendo, se procede como en el tema de vectores, teniendo
cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide concuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con
respecto al eje de las y´s, por lo querespecto al eje de las y´s, por lo que laslas funciones trigonométricasfunciones trigonométricas que relacionan aque relacionan a
las componentes con la magnitud del vector y el ángulolas componentes con la magnitud del vector y el ángulo cambiancambian..
Por tal motivoPor tal motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle lasse recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las
funcionesfunciones sensen ,, coscos  yy tantan 
Aplicación de las funciones de acuerdo al ángulo
x+
y +
F2

x+
y +
F2

Fx = │F2│cos 
Fy = │F2│sen 
Fx = │F2│sen 
Fy = │F2│cos 
Fx
Fy
Fy
Fx

TERCERA LEY DE NEWTONTERCERA LEY DE NEWTON
Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacciónTodas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción
mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua,mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua, unauna
fuerza sola o aislada es una imposibilidad físicafuerza sola o aislada es una imposibilidad física,, las fuerzas actúan porlas fuerzas actúan por
parejasparejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y
la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto dela otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto de
aplicaciones, ésta es la que nos interesa).aplicaciones, ésta es la que nos interesa).
A una de ellas (cualquiera) se le llamaA una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de AcciónFuerza de Acción en tanto que a laen tanto que a la
otraotra Fuerza de ReacciónFuerza de Reacción..
AmbasAmbas son de igual magnitud pero en sentido diferenteson de igual magnitud pero en sentido diferente, se encuentran, se encuentran
sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos ysobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de lalo importante de la
tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.
Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamosSi actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamos
que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimientoque ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento
(aceleración).(aceleración).
Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma dePara ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de
la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es lala mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es la
fuerza que elfuerza que el muromuro ejerceejerce sobresobre nosotrosnosotros, la otra fuerza, es la que, la otra fuerza, es la que
nosotrosnosotros ejercemosejercemos sobresobre elel muromuro, si éste no estuviese bien pegado, al, si éste no estuviese bien pegado, al
aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de Newton
Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizandoOtro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizando
nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la puerta ynuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la puerta y
ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerzaésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerza
sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del piesobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie
(reacción).(reacción).
Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemploPara que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo
donde se tiene un bloque de masadonde se tiene un bloque de masa mm colocado sobre un piso horizontalcolocado sobre un piso horizontal
apoyado en ladrillos.apoyado en ladrillos.
En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso,En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso,
hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpohagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo
libre:libre:

Sobre el bloque
x
y
N
W
N = Fuerza que el piso ejerce sobre el
bloque (evita que el bloque se hunda)
W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el
bloque, (lo que llamamos peso)
Sobre el piso
y
x
N´
W
W´
N´ = Fuerza que los ladrillos
ejercen sobre el piso
W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre
El Piso (peso del piso)
piso (peso del piso)
W = Fuerza que el bloque ejerce sobre
el Piso (peso del bloque)
bloque
piso
ladrillo
Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben
de ser iguales a las que apuntan hacia abajo
N = W ; N´ = W´ + W

Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción),Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción),
debemos expresarlas de la siguiente forma:debemos expresarlas de la siguiente forma:
Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surgeSi se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge
inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir losinmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los
subíndices. Por ejemplo:subíndices. Por ejemplo: FFT / bT / b (acción),(acción), FFb / Tb / T (reacción).(reacción).
Acción Reacción
W = FTierra / bloque
Fbloque / Tierra
N = Fpiso / bloque
Fbloque / piso
W´ = FTierra / piso
Fpiso / Tierra
N´ = Fladrillos / piso
Fpiso / ladrillos

Sobre la caja
N
P´´
W
F
Sobre la cuña
N
W
Sobre el hombre
N
P´
W
P
Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña.
Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre
empuja a la Tierra hacia atrás
Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y
es la que nos hace avanzar o caminar
Es la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f
N, W
P
P´
P´´
f
f´
F
f´f
P*
P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´

La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal oLa fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o
perpendicular a las superficies en contacto.perpendicular a las superficies en contacto.
El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.
La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto yLa fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y
siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección delsiempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección del
movimiento).movimiento).

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de Newton
Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:
Hacer el dibujo.Hacer el dibujo.
 Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpoHacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo
como si fuese un punto.como si fuese un punto.
 Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas queColocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo.actúan sobre el cuerpo.
 Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)
 Colocar en el sistema la convención de signos.Colocar en el sistema la convención de signos.
 Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento delTomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del
cuerpo.cuerpo.
 Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes.Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes.
 Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.
 Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe deCuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de
ser paralelo al plano.ser paralelo al plano.
 Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de lasAplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las
componentes de las fuerzas sobre los ejes.componentes de las fuerzas sobre los ejes.
xx maF =∑ yy maF =∑

EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficieEJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie
horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleraciónhorizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración
de la caja.de la caja.
La única fuerza que está actuando sobre el eje de lasLa única fuerza que está actuando sobre el eje de las xx es la Fuerzaes la Fuerza PP
aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Paplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Pxx , por lo tanto:, por lo tanto:
despejando a la aceleración:despejando a la aceleración:
Diagrama de Cuerpo libre
N
P
W
x+
y+
xx maF =∑
xx maP =
2
6.0
50
30
s
m
kg
N
m
P
a ===

En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesarioEn este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario
realizar la suma de fuerzas en el eje de lasrealizar la suma de fuerzas en el eje de las yy a menos que se solicite.a menos que se solicite.
Las fuerzas que actúan sobre el eje de lasLas fuerzas que actúan sobre el eje de las yy son la Normal (positiva haciason la Normal (positiva hacia
arriba) y el peso (negativo hacia abajo).arriba) y el peso (negativo hacia abajo).
Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hayComo no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay
cambios de velocidad). Por lo tanto:cambios de velocidad). Por lo tanto:
ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.
yy maF =∑
ymaWN =−
0=−WN
N
s
m
kgmgWN 5.490)81.9(50 2
====

EJEMPLO.-EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la mismaDel ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma
fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal.fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal.
Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.
donde las componentes rectangulares dedonde las componentes rectangulares de PP se determinan a partir delse determinan a partir del
triángulo que se forma:triángulo que se forma:
Aplicando la suma de fuerzas enAplicando la suma de fuerzas en x:x:
N P
W
x+
y+
200
Px
Py
NNNPx 19.28)9396.0(30)20(cos30cos 0
==== θP
NNsenNsenPy 26.10)342.0(30)20(30 0
==== θP

xx maF =∑
xx maP =
2
5638.0
50
19.28
s
m
kg
N
m
P
a x
x ===
Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima
se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A medida que
aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.

EJEMPLOEJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un
plano inclinado 20plano inclinado 2000
con respecto a la horizontal.con respecto a la horizontal.
N
P
W
x+
y+
200
200
Wy
Wx

Suma de fuerzas en xSuma de fuerzas en x Suma de fuerzas en ySuma de fuerzas en y
xx maF =∑
xx maWP =−
xmasenmgP =− θ
m
mgsenP
ax
θ−
=
kg
sen
s
m
kgN
ax
50
20)81.9(5030 0
2
−
=
kg
nN
ax
50
76.16730 −
=
kg
N
ax
50
76.137−
=
2
75.2
s
m
ax −=
ymaFy =∑
).( ejeesteenmovhaynomaWN yy =−
0cos =− θmgN
θcosmgN =
0
2
20cos)819(50
s
m
kgN −=
NtN 919.460=

Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que laComo se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la
dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que eldirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el
cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo sicuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si
analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el ejeanalizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje xx..
La componente del peso es:La componente del peso es:
y la fuerza aplicaday la fuerza aplicada PP tiene un valor de:tiene un valor de:
P =P = 3030 NtNt..
Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, laComo la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la
dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección.dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección.
Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
Ntsen
s
m
kgsenmgWx 76.167)20)(81.9(50 0
2
=== θ

EJEMPLOEJEMPLO:: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitudDel mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitud
de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el planode la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el plano
inclinado?inclinado?
En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo queEn este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que
la aceleraciónla aceleración
aaxx = 0= 0 yy aayy = 0= 0
cconsecuentemente,onsecuentemente,
P - WP - Wxx = 0= 0
P - mg senP - mg sen  = 0= 0
P = mg senP = mg sen 
P = 167.76P = 167.76 NtNt
EJEMPLOEJEMPLO:: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidadDel mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad
constante, ¿qué fuerza debo aplicar?constante, ¿qué fuerza debo aplicar?
En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidadEn este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad
constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que laconstante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que la
fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.
P = WP = Wxx = 167.76= 167.76 NtNt

EJEMPLO:EJEMPLO: Si deseo subir la cajaSi deseo subir la caja
con una aceleración de 2 m/scon una aceleración de 2 m/s22
¿Qué¿Qué
fuerza debo de aplicar?fuerza debo de aplicar?
EJEMPLO:EJEMPLO: ¿Qué tan grande es esta¿Qué tan grande es esta
fuerza?fuerza?
Para darnos una idea de que tan grandePara darnos una idea de que tan grande
es ésta fuerza, debemos de compararlaes ésta fuerza, debemos de compararla
con algo que nos sea familiar, porcon algo que nos sea familiar, por
ejemplo, para levantar a una personaejemplo, para levantar a una persona
que pesa 80 kg necesito aplicar unaque pesa 80 kg necesito aplicar una
fuerza de:fuerza de:
F = mg = 80 kg (9.81m/sF = mg = 80 kg (9.81m/s22
) = 784.1) = 784.1 NtNt
N
P
W
x+
y+
200
200
Wy
Wx
xx maF =∑
0=∑ xF
xx maWP =−
xx WmaP +=
0
22
20)81.9(50)2(50 sen
s
m
kg
s
m
kgP +=
NtP 76.267=

EJEMPLO:EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud deSi el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud de
25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, ¿Cuál será su25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, ¿Cuál será su
velocidad al llegar a la parte alta del plano?velocidad al llegar a la parte alta del plano?
Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar lasEste ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar las
ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
x = xx = x00 + v+ v00 t +t + ½a t½a t22
puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte delpuesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte del
reposo,reposo,
x =x = ½a t½a t22
despejando el tiempo:despejando el tiempo:
a velocidad se determina a partir de la ecuación:a velocidad se determina a partir de la ecuación:
v = vv = v00 + at+ at
ss
s
m
m
a
x
t 525
2
)25(22 2
2
====
s
m
s
s
m
v 10)5(2 2
==

Dinámica Segunda Parte (Fricción)Dinámica Segunda Parte (Fricción)
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son lasUna de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las
fuerzas de fricción o de rozamiento.fuerzas de fricción o de rozamiento.
Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener oSi no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o
agarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que noagarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que no
sería posible el movimiento.sería posible el movimiento.
Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en elPara darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en el
centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en sucentro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su
superficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa ysuperficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa y
sin rozamiento.sin rozamiento.
¿Considera Usted que puede salir de ahí?¿Considera Usted que puede salir de ahí?
La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que alLa respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al
intentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por nointentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por no
tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien ytener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien y
no ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría queno ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que
hacer es soplar.hacer es soplar.

Fricción estática ( fFricción estática ( fss ))
Donde el subíndiceDonde el subíndice ss proviene de la palabraproviene de la palabra ""staticsstatics"" cuyo significado escuyo significado es
reposo o estático.reposo o estático.
Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas noLas fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no
lubricadas que están en contacto mutuo,lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a las superficiesson paralelas a las superficies enen
contactocontacto yy por lo generalpor lo general se oponen a la dirección de movimiento (nose oponen a la dirección de movimiento (no
siempre ocurre así)siempre ocurre así)..
Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno deSi dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno de
ellos, no hay fuerza de rozamiento.ellos, no hay fuerza de rozamiento.
Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplicanLas fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican
fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamientofuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento
empieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos laempieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la
fuerza aplicada.fuerza aplicada.
Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos unPara ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un
camión y queremos moverlo.camión y queremos moverlo.
Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puedeViene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede
moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza,moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza,
ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camiónésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión
no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igualno se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual
magnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que semagnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que se
está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.

Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambasViene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambas
ejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan con una fuerzaejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan con una fuerza
doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ellodoble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ello
inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerzainferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerza
de fricción.de fricción.
Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. ElViene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. El
camión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve acamión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve a
incrementarse.incrementarse.
Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse,Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse,
primero muy lentamente y después más rápidamente.primero muy lentamente y después más rápidamente.
En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerzaEn la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerza
de rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor corresponde a lade rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor corresponde a la
mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior semínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior se
ilustra en los siguientes dibujos:ilustra en los siguientes dibujos:

ΣF = m ax x
F = m a (forma vectorial)
(forma escalar)
sistema Observación del
sistema
Diagráma de
cuerpo libre
x
y
no hay mov.
Aplicación de la
Segunda ley
F - f = 0a s
F = fa s(a = 0 )x
N
W
sf
no hay mov.no hay mov.
ΣF = m ax x
F´- f´ = 0a s (a = 0 )x
F´= f´
no hay mov.
a s
con F´ = 2 Fa a
F´sf´
N
W
x
y
a
Fa
F´´sf´´
N
W
x
y
a
ΣF = m ax x
F´´- f´´ = 0a s (a = 0 )x
F´´= f´´
no hay mov.
a s
con F´´ = 3 Fa a
F´´´sf´´´
N
W
x
y
a
ΣF = m ax x
F´´´- f´´´ = 0a s
F´´´ = f´´´a
Transicción entre reposo
y mov., la aceleración se
considera nula. En éste
momento, la fuerza de
rozamiento adquiere su
máximo valor, la cual
corresponde a la mínima
fuerza aplicada para ini-
ciar el movimiento.
min. max.s

Fricción cinética ( fFricción cinética ( fkk ))
Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinéticaAl igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinética
también se da entre un par de superficies secas no lubricadas que setambién se da entre un par de superficies secas no lubricadas que se
encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, suencuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su
dirección es opuesta a la dirección del movimiento.dirección es opuesta a la dirección del movimiento.
En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personasEn la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas
empujando el camión con la misma fuerza con la que se inició elempujando el camión con la misma fuerza con la que se inició el
movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimosmovimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos
ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza aejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a
incrementarse paulatinamente, es decir, el camión empieza a acelerarseincrementarse paulatinamente, es decir, el camión empieza a acelerarse
de tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremosde tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremos
corriendo detrás de él.corriendo detrás de él.
La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamientoLa fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento
cinéticocinético ffkk (donde el subíndice(donde el subíndice kk proviene de la palabraproviene de la palabra ""kinematicskinematics"" queque
significa movimiento).significa movimiento).
La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la estática, yaLa experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la estática, ya
que el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida alque el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al
comenzar el movimiento.comenzar el movimiento.

y
W
N
xFá
ΣF = m ax x
F´´´- f = maa k x
xa = 0
a =x
F´´´- fa k
m
= 0
con
Como a es diferente
de cero, implica que
F´´´> fa k
x
F´´´kf
N
x
y
a
4 personas
ΣF = m a´x x
a´ =x
F´´- fa k
m = 0
Con 3 personas, la fuerza
aplicada disminuye por lo
que la aceleración (a´ < a )
pero el camión sigue acele-
rado.
2 personas
F´´
N
W
x
y
a
3 personas
kf
kf
Con 2 personas, la fuerza aplicada
vuelve a disminuir, pero en este caso,
se iguala con la fuerza de rozamiento
por lo que no hay aceleración. Sin
embargo, como el camión está en
movimiento, se seguirá moviendo
pero con velocidad constante.
ΣF = m ax x
F´- f = ma´á k x
a´´ =x m
F´- fa k
= 0
F´ = fa k
1 persona
W
N
xFákf
En este caso,
a´´´ =x m
F - fa k
< 0
Con una persona, la fuerza de
rozamiento será mayor que la
fuerza aplicada, por lo que el
camión comenzará a disminuir
la velocidad (frenarse) hasta
que quede en reposo.
F < fa k
W

Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en queSi empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en que
ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso laésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso la
aceleración será igual a cero.aceleración será igual a cero.
Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo,Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo,
entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimientoentonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimiento
rectilíneo uniforme).rectilíneo uniforme).
De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamientoDe continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento
cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a uncinético será mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado),movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado),
disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo.disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo.
De lo anterior se concluye que:De lo anterior se concluye que:
ffss > f> fkk

Coeficientes de FricciónCoeficientes de Fricción
Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello,Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello,
supongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremossupongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremos
moverlo.moverlo.
Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camión,Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camión,
necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica quenecesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica que
la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso della fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del
camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que:camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que:
La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.
N
W
Ff
N
W
Ff

Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a laSin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la
fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada confuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada con
dicha fuerza normal.dicha fuerza normal.
Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:
a) Camión en piso horizontal.a) Camión en piso horizontal.
b) Camión en piso inclinadob) Camión en piso inclinado
i) de subida.i) de subida.
ii) de bajada.ii) de bajada.

N
W
Ff
N
W
F
θθ
θ
W x
W y
A l desc omp on er el pes o en sus
componen t es rect angul ar es, l a
componen t e en el eje x se suma
a la fuerza normal, por lo que la
Fuerza aplicada tendrá que ser
mayor. Como en el eje vertical
sigue sin haber movimiento, la
componente vertical es igual a
fuerza normal, la cual disminuye
f
N
W
F
f
θ
W y
W x
N uevamente la co mpon ente vertic al
del peso es igual a la Fuerza normal,
per o la compon en t e del pes o en el
eje horizontal le ayuda a la fuerza
aplicada, por lo que se requiere de
una f uerza apl ic ada men or para
mov er el camió n .
θ

Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso,Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso,
decimos que es proporcional a la Fuerza normal.decimos que es proporcional a la Fuerza normal.
La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén enLa constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén en
contacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en una superficiecontacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en una superficie
horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierrahorizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra
que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen comoque de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como
superficies en contactosuperficies en contacto concreto-huleconcreto-hule que cuando se tieneque cuando se tiene tierra-huletierra-hule yy
una fuerza aún mayor cuando las superficies sonuna fuerza aún mayor cuando las superficies son arena-hule.arena-hule.
Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par deConsecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de
superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamossuperficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos
coeficientes de rozamientocoeficientes de rozamiento. Cuando está en reposo es. Cuando está en reposo es estáticoestático (( mmss ) y en) y en
movimiento,movimiento, cinéticocinético (( mmkk ).).
Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que elGeneralmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el
cinético.cinético.
mmss >> mmkk

Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el deExisten dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de
rodamientorodamiento, el otro es el de, el otro es el de deslizamientodeslizamiento, siendo menor el de, siendo menor el de
rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover elrodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el
camión sin freno (rodamiento) que cuando están puestoscamión sin freno (rodamiento) que cuando están puestos
(deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son(deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son
proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichasproporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichas
fuerzas son aproximadamente independientes del área de contacto. Parafuerzas son aproximadamente independientes del área de contacto. Para
ello analicemos los siguientes dibujos:ello analicemos los siguientes dibujos:

El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, siEl bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, si
de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya sonde lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya son
diferentes, el área Adiferentes, el área A11 es mayor que el áreaes mayor que el área A2A2, y ésta a su vez es mayor, y ésta a su vez es mayor
que el área Aque el área A33..
La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse elLa Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse el
bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie sebloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie se
reduce, y al apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre lareduce, y al apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre la
superficie aumenta.superficie aumenta.
Esto hace que el área efectiva de apoyo sea la mismaEsto hace que el área efectiva de apoyo sea la misma
independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estarindependientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar
apoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las superficiesapoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las superficies
no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área menor, si seno son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área menor, si se
afectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectivaafectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectiva
de apoyo.de apoyo.
Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivelLo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel
microscópico.microscópico.

puntos de apoyo
mayor área distribuída en mayor
puntos de apoyo, haciendo una
área efectiva de apoyo A´
menor área distribuída en menor
puntos de apoyo (pero con mayor
área) haciendo una área efectiva
de apoyo A¨

Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a laResumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la
fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son losfuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los
coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuacióncoeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación
matemática se reduce a:matemática se reduce a:
fuerza de rozamiento estática:fuerza de rozamiento estática:
ffss ≤≤ mmss
fuerza de rozamiento cinética:fuerza de rozamiento cinética:
ffkk == mmkk
Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que estaDonde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que esta
fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igualfuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual
( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo
valor, siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar elvalor, siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el
movimiento.movimiento.

Aplicación de FricciónAplicación de Fricción
EJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre unEJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre un
tablón y un ladrillo.tablón y un ladrillo.
Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: UnoPara determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno
de los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para evitar quede los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para evitar que
resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se varesbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va
levantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que ellevantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que el
ladrillo empieza a deslizarse.ladrillo empieza a deslizarse.
Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.
N
w
El sistema se encuentra en reposo
Las únicas Fuerzas que actúan sobre
el ladrillo son la Fuerza normal y el
peso, las cuales por la segunda ley de
Newton son iguales. Aún no se tiene
la fuerza de rozamiento estática.

Al levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el ejeAl levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje
horizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza normalhorizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza normal
sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es verticalsigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es vertical
y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal formay hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma
que en este sistema de referencia tiene una componente en el ejeque en este sistema de referencia tiene una componente en el eje
vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento envertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en
ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve),ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve),
al aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal seal aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal se
equilibra con la componente vertical del peso ( N = Wequilibra con la componente vertical del peso ( N = Wyy ). En el caso de la). En el caso de la
componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos secomponente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos se
deslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, inferimos que existe unadeslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, inferimos que existe una
fuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de rozamientofuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de rozamiento
estática ( festática ( fs = W= Wxx = mg sen= mg sen θθ ))
N
W
fs
El tablón se levanta 5 grados

N
W
f s
θ
Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal seComo sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se
equilibra con la componente vertical del peso. La componenteequilibra con la componente vertical del peso. La componente
horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza dehorizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de
rozamiento estática.rozamiento estática.

Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrilloSe repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo
aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.
WWxx - f- fss = m a= m axx N - WN - Wyy = ma= mayy
((Como no hay movimientoComo no hay movimiento aaxx = 0 ; a= 0 ; ayy = 0 )= 0 )
WWxx - f- fss = 0= 0 N - WN - Wyy = 0= 0
WWxx = f= fss N = WN = Wyy
mg senmg sen  = f= fss N = mg cosN = mg cos 
N
W
f s
∑ = xx maF ∑ = mayFy

Obsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso delObsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso del
cuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del tablón, el cualcuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del tablón, el cual
estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cualestamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual
disminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 < cosdisminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 < cos θθ < 0; cos 0< 0; cos 000
= 1 ,= 1 ,
cos 90cos 9000
= 0).= 0).
Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamosAhora bien, existirá un ángulo al cual denominamos θθss bajo el cual elbajo el cual el
ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantarladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantar
el tablón y con un transportador medimos el ángulo.el tablón y con un transportador medimos el ángulo.
fs
El tablón se levanta gradosθ s
θsθ =
W
θsθ =
N
se inicia el movimiento

WWxx - f- fss = ma= maxx N - WN - Wyy = ma= mayy
(Como apenas se va a inciar el mov. a(Como apenas se va a inciar el mov. axx = 0 ; a= 0 ; ayy = 0 )= 0 )
WWxx - f- fss = 0= 0 N - Wy = 0N - Wy = 0
WWxx = f= fss N = WN = Wyy
mg senmg senθθss = f= fss N = mg cosN = mg cos θθss
PeroPero
F = m N (adquiere el máximo justo cuando se inicia el movimiento)
fs
El tablón se levanta gradosθ s
θ sθ =
W
θsθ =
N
se inicia el movimiento
∑ = xx maF
∑ = yy maF

sustituyendo:sustituyendo:
mg senmg sen θθss == mmssNN
sustituyendo nuevamente:sustituyendo nuevamente:
mg senmg sen θθss == mmssmg cosmg cos θθss
despejando:despejando:
mm ss = tan= tan θθss
Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entrePor lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre
cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra ycualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y
levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulolevantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo
bajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangentebajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangente
y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.
Para el caso delPara el caso del coeficiente de rozamiento cinéticocoeficiente de rozamiento cinético, se procede de igual, se procede de igual
manera, pero resulta problemático debido a quemanera, pero resulta problemático debido a que debemos medir el ángulodebemos medir el ángulo
(( θθ == θθ kk ) bajo el cual el) bajo el cual el cuerpo superior deslizacuerpo superior desliza sobre el inferiorsobre el inferior concon
velocidad constantevelocidad constante..
Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que losTodos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los
problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes deproblemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de
Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nuevaNewton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva
fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).

EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer unaEJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una
persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse haciapersona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia
arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si elarriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el
coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60.coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60.
Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determineUna vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determine
la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es dela aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es de
0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para que el bloque se0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para que el bloque se
deslice hacia arriba con velocidad constante.deslice hacia arriba con velocidad constante.
30 0
N
W
W x
W y
P
f s
30 0
30 0

Para que empiece a moverse:Para que empiece a moverse:
De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemosDe la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos
que:que:
ΣΣ FFxx = ma= maxx
P - fP - fss - W- Wxx = 0= 0 (el cuerpo está en reposo,(el cuerpo está en reposo, aaxx = 0= 0 ))
P = fP = fss + W+ Wxx
P =P = mm ssN + mg senN + mg sen θθ
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerzaDe la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza
normal.normal.
ΣΣ FFyy = ma= mayy
N - WN - Wyy = 0= 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical aayy= 0= 0 ))
N = mg cosN = mg cos θθ

sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzassustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas
en el eje "horizontal" (eje x)en el eje "horizontal" (eje x)
P =P = µµss mg cosmg cos θθ + mg sen+ mg sen θθ
P = mg (P = mg ( µµss coscos θθ + sen+ sen θθ ))
sustituyendo valoressustituyendo valores
P = ( 40kg )( 9.81m/sP = ( 40kg )( 9.81m/s22
)( 0.6 cos 30)( 0.6 cos 3000
+ sen 30+ sen 3000
))
P = 400.09 NtP = 400.09 Nt
El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno deEl cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de
rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N elrozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el
cuerpo se acelera, la aceleración es:cuerpo se acelera, la aceleración es:
P - fP - fkk - W- Wxx = ma= maxx
m
WfP
a xk −−
=
m
mgsenNP
a k θµ −−
=

normal.normal.
ΣΣ FFyy = ma= mayy
N - WN - Wyy = 0= 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical aayy= 0= 0 ))
sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoriasustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria
de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
a = 1.69 m/sa = 1.69 m/s22
Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se sigaAhora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga
moviendo hacia arriba con velocidad constantemoviendo hacia arriba con velocidad constante
P - fP - fkk - W- Wxx = 0= 0
((el cuerpo está moviéndose con velocidad constanteel cuerpo está moviéndose con velocidad constante, a, axx = 0 )= 0 )
P = fP = fkk + W+ Wxx
m
mgsenmgP
a k θθµ −−
=
cos

P =P = mmkk N + mg senN + mg sen 
normal.normal.
ΣΣFFyy = ma= mayy
N - WN - Wyy = 0= 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical a(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ayy = 0 )= 0 )
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzassustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas
en el eje "horizontal" (eje x)en el eje "horizontal" (eje x)
P =P = mmkk N + mg senN + mg sen 
P =P = mmkk mg cosmg cos  + mg sen+ mg sen 
P =P = mgmg (( mmkk coscos  + sen+ sen  ))
P = ( 40 kg )( 9.81m/sP = ( 40 kg )( 9.81m/s22
)( 0.4 cos 30)( 0.4 cos 3000
+ sen 30+ sen 3000
))
P = 332.13 N.P = 332.13 N.

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