FUNCIONES

2. Funciones
• Definición de Función:Es un tipo de relación
(correspondencia) que existe entre dos
variables, con la condición que a cada valor
de la variable independiente (Dominio) le
corresponde un sólo valor de la variable
dependiente ( Rango).

3. Elementos para definir una Función
• Para construir una función es necesario tener dos conjuntos D y
R y una regla de correspondencia, como se ilustra en el
siguiente diagrama.
Dominio Rango
D R
Regla de
correspondencia
Elementos para poder definir
A una función
x y=f(x)
Variable
Independiente
Variable
Dependiente
f

4. A B
B
A B
A B
A

5. Identifiquemos las funciones:
a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos
del conjunto B
b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un
elemento de B
c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el
elemento de B
B B
A A B
b)
a) c)

7. Representación Grafica
Plano Cartesiano
Método de Óvalos
A IR

B IR

 
y f x

x
 
 
;
P x f x

8. Formas de expresar una función:

9. Forma explícita: Cuando tiene la forma
y= f(x)
Ejemplo: y=2x
Forma implícita: Cuando tiene la forma
F(x,y)=0
Ejemplo: 3x+y-5=0
Fórmulas:
Notación de Conjuntos:
Por numeración o extensión
Se enumeran Todos los pares de
valores relacionados por medio de la
función.
Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}
Por Propiedad o Comprensión:
Se indica con una fórmula la propiedad
que cumplen los pares (x,y)
Ejemplo: f={(x,y)/y=2x}
Funciones dadas por tablas:
Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas
y difíciles de manejar

10. Formas Gráficas:
Diagrama de Venn:
Es posible utilizar esta forma de
representación cuando los valores son
pocos
En un sistema de ejes cartesianos:
En el eje horizontal van los valores
posibles de la variable
independiente y en el eje de las
ordenadas va el valor de
y=f(x).Obtenemos un punto en el
plano
Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que
comercializa

11. Características de una función
• Dominio:Conjunto de valores que pueden asignarse a la
variable independiente para los cuales la función existe o
está definida.
• Rango:Conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente en una función.
• Valores positivos y negativos:
• Ceros de la función o intersección con el eje “x”
• Intersección con el eje “y”
• Máximos y mínimos.
• Concavidad ( Hacia arriba o hacia abajo)
• Asíntotas horizontales y verticales.

12. Dominio de f: Dom f
Conjunto de valores que toma la variable independiente
Rango de f: Rgo f
Conjunto de valores que toma la variable dependiente
Ejemplos:
B
A
1
2
3
4
m
n
p
q
Dom f={ 1,2,3,4}
Rgo f={ m,n,p,q}
B
A
s
t
u
r
f
g
Dom f={ s,t,u,}
Rgo f={ r}

13. Clasificación de una función
Algebraica
Irracional
Funciones
Trigonométrica
Trascendente Logarítmica
Exponencial
Polinomial
Racional

14. Función algebraica
• Es aquella que puede expresarse como un número
finito de sumas, diferencias, múltiplos, cocientes y
radicales que contienen .
• Algunos ejemplos son:
n
x
   
   
 
 
  5 2
5
1
2
2
2
4
2
4
)
(
1
3
2
)
(
6
2
)
(
8
5
2
3
)
(

















x
x
x
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
g
x
x
x
f

15. Función Polinomial
• Función polinomial: Las funciones polinomiales
tienen la siguiente notación:
n
grado
de
reales
es
coeficient
con
y
a
con
a
x
a
x
a
x
a
x
f
n
n
n
n
n
0
......
)
( 0
1
1
1





 


16. Función Racional
• Es aquella que puede escribirse como el cociente
de dos polinomios. De modo específico, una
función es racional si tiene la forma:
• y
0
)
(
;
)
(
)
(
)
( 
 x
q
donde
x
q
x
p
x
f
polinomios
son
x
q
x
p )
(
),
(

17. Función Irracional
n x
g
x
f )
(
)
( 

18. Función trascendente
• Son todas aquellas funciones que además de
contener las operaciones aritméticas básicas,
contienen los operadores trigonométricos,
logarítmicos y exponenciales. Por ejemplo:
1
2
2
)
(
)
1
ln(
)
(
4
2
)
(






x
x
h
x
x
g
senx
x
f

19. a) En forma de enunciado:
Por ejemplo: El área de un círculo es igual a pi por su radio al cuadrado.
b) Fórmula o Ecuación:
c) Tabulación:
2
r
A 

radio Área
r1 A1
r2 A2
r3 A3
r4 A4
. .
. .
rn An

20. d) Gráfica o geométrica:

21. e) En forma de conjunto:
Dominio Rango
r1
r2
r3
r4
.
.
.
rn
A1
A2
A3
A4
.
.
.
An
Regla de
correspondencia
Variable
Independiente
Variable
Dependiente

22. • Función lineal: Las funciones lineales representan
gráficamente una recta, y son de la forma f(x)=mx+b,
donde m es la pendiente de la recta y b es el valor de la
ordenada al origen o la intersección con el eje “y”.
1
2
1
2
x
x
y
y
m




25. • Las funciones cuadráticas son aquellas cuya característica
principal es que su grado máximo es 2 y son de la forma:
)
(
)
(
)
(
)
(
:
,
0
0
0
,
,
2
2
2
pura
función
c
ax
x
f
o
mixta
función
bx
ax
x
f
forma
la
tiene
y
incompleta
es
función
la
entonces
c
bien
o
b
si
a
con
reales
números
son
c
b
a
donde
c
bx
ax
f(x)











26. • Las funciones exponenciales generalmente tienen
la forma:
• La definición de función exponencial exige que la
base sea siempre positiva y diferente de uno.
variable
una
es
y
exponente
denomina
y
constante
:
)
(
le
se
x
una
es
y
base
llama
le
se
a
donde
a
x
f x


27. • El dominio de la función exponencial está formado
por el conjunto de los números reales y su rango
esta representado por el conjunto de los números
positivos. Con base en esto observamos las
propiedades:
1. La función existe para cualquier valor de x.
2. En todos los casos la función pasa por un punto fijo
(0,1).
3. Los valores de la función son siempre positivos para
cualquier valor de x.

28. 4. La función siempre es creciente o decreciente ( para
cualquier valor de x) dependiendo de los valores de la
base “a”. La función es creciente si a>1, y es
decreciente si 0<a<1
5. El eje x es una asíntota ( hacia la izquierda si a>1 y
hacia la derecha si a<1
A continuación se presentan algunas gráficas de funciones
exponenciales:

31. Función Logaritmo
• La función logaritmo tiene la forma
• Donde a se llama base y es un número real positivo distinto
de uno.
• La función logaritmo de base se define como la inversa de la
función exponencial, es decir; el logaritmo de base “a” de un
número “x” es el exponente al cual debe elevarse la base “a”
para obtener el mismo número “x”.
x
y a
log

x
a
x
y y
a 

 log

32. • Su dominio son todos los números reales positivos.
• Su rango son todos los números reales
• Son continuas y crecientes en todo su dominio.
• Su gráfica siempre pasa por el punto (1,0) y (a,1).
• El eje “y” es una asíntota vertical
• La función es negativa para valores de “x” menores que 1
• La función es positiva para valores de “x” mayores que 1

33. • Su dominio son todos los números reales positivos.
• Su rango son todos los números reales
• Son continuas y decrecientes en todo su dominio.
• Su gráfica siempre pasa por el punto (1,0) y (a,1).
• El eje “y” es una asíntota vertical
• La función es negativa para valores de “x” mayores que 1
• La función es positiva para valores de “x” menores que 1

34. • Suma de funciones
• Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un
mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa
por f + g, a la función definida por
•
•
• Resta de funciones
• Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define
la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la
función. Para que esto sea posible es necesario que f y g estén
definidas en un mismo intervalo.
•
•

35. • Producto de funciones
• Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un
mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función
definida por
• Cociente de funciones
• Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un
mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función
definida por (La función f/g está definida en todos los puntos en los
que la función g no se anula.)

36. Ejercicios de operaciones con funciones
• Dadas dos funciones
• Encontrar:
• a)
• b)
• c)
• d)
3
)
(
9
)
( 2




x
x
g
x
x
f