función racional, trigonometrica, valor absoluto, exponencial, logaritmica.

1. Una función racional: es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un
polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.
Las funciones racionales son del tipo:
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
.
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

2. Una función trigonométrica: es aquella que da el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo.
Las funciones trigonométricas son: sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x, cosec x
Todas las funciones trigonométricas son periódicas.
Función seno:
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .

3. sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
Transformaciones de la función seno
A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x pueden dibujarse las de:
1) f(x) = - sen x
La función resultante es simétrica respecto al eje X.

4. 2) f(x) = |sen x|
La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.
3) f(x) = k + sen x
La función resultante es una traslación vertical hacía arriba de dos unidades.
4) f(x) = sen (x + k)
La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de dos unidades.
5) f(x) = k·sen x
La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos unidades.

5. 6) f(x) = sen (k·x)
La función resultante contrae a la función original.
Amplitud, periodo y traslación
Amplitud = |2/3| = 2/3

6. Una función de valor absoluto: es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde
que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica.
La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como
Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas parejas ordenadas .
Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos.
Observe que la gráfica es de la forma V.
(1) El vértice de la gráfica es (0, 0).
(2) El eje de simetria ( x = 0 o eje de las y ) es la recta que divide la gráfica en dos mitades congruentes.
(3) El dominio es el conjunto de todos los números reales.
4) El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0. .
(5) La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0.
Cambio Vertical
Para trasladar la función valor absoluto f ( x ) = | x | verticalmente, puede utilizar la función
g ( x ) = f ( x ) + k .
Donde k > 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades hacia arriba.

7. Donde k < 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades hacia abajo.
Cambio Horizontal
Para trasladar la función valor absoluto f ( x ) = | x | horizontalmente, puede utilizar la función
g ( x ) = f ( x + k ).
Donde k > 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades a la izquierda.
Donde k < 0, la gráfica de g ( x ) translated k unidades a la derecha.

8. Las funciones exponenciales: son aquellas en que un número natural distinto de 1, a, es elevado a una incógnita (x). Una de las funciones
exponenciales más utilizadas esta función es tan importante que cuando hablamos de una función exponencial sin especificar la base, se
sobreentiende que se trata de la función exponencial es la función inversa de la logarítmica.
Las funciones exponenciales de base diferente a "e" son las únicas que son iguales a su derivada.
Este es un ejemplo de función exponencial
Propiedades de las funciones exponenciales
Todas las funciones exponenciales tienen por dominio todos los reales.
El recorrido de la función exponencial de base a es el conjunto de los números reales positivos.
Cuando x=0 el resultado siempre es 1
cuando x=1 siempre es igual a la base
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0. + ∞) .
2) Su recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

9. 7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
8) El eje Y es una asíntota vertical.
Si a > 1 :
Cuando x → 0 +
, entonces log a x → - ∞
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 +
, entonces log a x → + ∞
Ejemplo de funciones logarítmicas:
1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .
3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .

10. Las función g(x) es concava ya que 0 < a < 1 .
5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje Y.
6) Tabla de valores:
Resumen de las propiedades de la función logaritmo neperiano
1
La función logarítmica es la inversa de la exponencial:
y = Ln x ⇔ x = ey
2
La función y = Ln x tiene por dominio { x ∈ R | x > 0 } y por
recorrido R .
3
La función y = Ln x es continua, creciente e inyectiva en todo su
dominio.

11. 4
La función y = Ln x es convexa o cóncava hacia abajo en todo su
dominio.
5
La función logaritmo neperiano: f(x) = ln x
La función logaritmo neperiano es la inversa de y = ex
.
Su gráfica es simétrica de y = ex
respecto a y = x .
y = ex
x = ey
Por definición: y = ln x