1. REPASO
EL ESPACIO VECTORIAL
MAGNITUDES VECTORIALES
Son las que para quedar perfectamente definidas son necesarias dar:
- Punto de aplicación
- Dirección
- Sentido
- Módulo o valor del VECTOR
MODULO Y COSENOS DIRECTORES
Módulo de a ax bx cx= + +2 2 2
Los cosenos directores corresponden a las fórmulas:
ESPACIOS VECTORIAL, AFÍN Y EUCLIDEO
Ángulo formado por dos vectores. Sean dos vectores libres a y b equipolentes (mismo módulo,
dirección y sentido) Se designa el ángulo formado por a y b (α) de la siguiente manera:
a) si los vectores son perpendiculares α = 90º
b) si los vectores tienen la misma dirección y sentido α = 0º
c) si los vectores tienen la misma dirección pero sentido distinto α = 180º
2.- DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
se define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos de
cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma
• Consecuencias de esta definición:
1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo
2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)
• Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos
vectores.
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 1
cos
cos
cos
α
β
γ
=
=
=
ax
a
ay
a
az
a
a b a b• = • •cos
α
( )a b x x y y• = • + •1 2 1 2

2. * Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número entero. No
ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector.
Propiedades:
• Conmutativa: a · b = b · a
• Distributiva: a (b+c)= a·b + a·c
• Para cualquier número: (γ·a)·b = γ (a·b)
3.- DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades:
• El punto de aplicación es el mismo
• Módulo de
• La dirección de c es perpendicular a la de a y b
• Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk)
VECTOR UNITARIO
Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores unitarios para
definir representar los ejes:
A partir de a:
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector
sobre él. Demostración:
(a · b) = [a]·[b]· (cosα)
cos
.
α = =
OH
b
C opuesto
Hipotenusa
OH = [b] · cosα ⇔ (a · b)= [a] · OH
NORMA DE UN VECTOR
Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por sí
mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2
= a · a
Consecuencias de esa definición:
• la norma de un vector coincide con su módulo al cuadrado:
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a x b = c
C a b sin= • • α
Vu
a
a
=
(a · b) = [a]·[b] · cosα

3. [a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados los puntos a y b: d(AB) = ( ) ( )x x y y2 1 2 12 2
− + −
Propiedades:
• la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que A = B
• para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +
• Simétrica aunque estén en sentidos contrarios
• Propiedad triangular: la distancia AB es siempre la suma de las distancias entre AC y BC
A
Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos.
B C
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Utilizando la definición de producto escalar podemos calcular el cos (AB) despejando:
PARALELISMO DE RECTAS
Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales o si coinciden sus
pendientes (m).. Su producto escalar es igual a 1.
Para construir una recta paralela a otra se utiliza el mismo vector director y se pone el punto por
donde se desea que pase la nueva recta. Se utiliza la ecuación punto pendiente.
PERPENDICULARIDAD
Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores lo son, es decir, que sean
ortogonales y que su producto escalar sea igual a 0.
Ax2
+ Bx + C = 0
Vd de una ecuación = (-B,A) ⇒ Pendiente (m)=
B
A
(DEL VECTOR DIRECTOR)
Pendiente directamente de la ecuación en forma general: (m)=
A
B−
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dado un punto P(x1,y1) y una recta Ax + Bx + c = 0, se define la distancia entre el punto p y
la recta de la siguiente forma:
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 3
[a]·[a] = [a]2
][•][
•
cos
][•][
•
)•(cos
ba
ba
arco
ba
ba
ba =⇒= α

4. * La distancia desde el punto a la recta es en línea recta y es siempre perpendicular.
ECUACION NORMAL DE LA RECTA
Nos da directamente la distancia de la recta al origen de coordenadas, siendo los coeficientes
de X e Y los cosenos directores.
Ec. Normal:
A
A B
X
B
A B
Y
C
A B2 2 2 2 2 2
+
+
+
+
+
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2
11
)(
),(
BA
CByAx
rpd
+
++
=

5. Unidad 1.
CinemátiCa
1. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FISICAS DEL MOVIMIENTO
MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición de una partícula, interviniendo además
dentro de ese movimiento el tiempo, la trayectoria y la causa que ha producido dicho movimiento.
1.1. Vector Posición. Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t,
elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, y trazamos el vector Ar

, que une el origen del sistema de
referencia con el punto A.
El vector Ar

al estar definido por su módulo r y su direcci6n θ con respecto a los ejes de referencia,
determina la posici6n de una partícula respecto a dichos ejes. Este vector se llama vector posición.
Y
Ar

Trayectoria
θ
0
Matemáticamente el vector posición Ar

se expresa por: jryirxAr

+=
Ejemplo:
1. Una persona se encuentra en un punto de coordenadas {-2,4) Km. con respecto a una montaña.
Determinar el vector posici6n de la persona respecto de la montaña.
y
( )
( )kmjiPr
kmPr
42
4,2
+−=
−=


P
Pr

M x
1.2. Noción de Cinemática. Todas las cosas del mundo físico están en movimiento: desde las más grandes
hasta las más pequeñas. Este fenómeno ha despertado un interés natural en el hombre, desde el inicio,
por entenderlo, predecirlo y controlarlo,
1.3. Definición. La Cinemática analiza el movimiento y lo representa en términos de relaciones
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 5

6. fundamentales. En este estudio no se toman en cuenta las causas que lo generan, sino el movimiento
en sí mismo.
1.4. Partícula. En el estudio del movimiento, un cuerpo es considerado como una partícula si sus
dimensiones son despreciables en relación con las magnitudes de las distancias analizadas. Por ejemplo,
una pelota de fútbol en relación con la cancha, un avión en relación con un vuelo entre dos ciudades, etc.
Geométricamente, una partícula asocia la idea de un punto, por lo que generalmente le denomina punto
material o masa puntual.
1.5. Sistema de referencia. Es un cuerpo {partícula) que, junto a un sistema de coordenadas, permite
determinar la ubicación de otro cuerpo, en un instante dado. La descripción del movimiento depende
del sistema de referencia con respecto al cual se le defina. En cada análisis el sistema de referencia
se considera fijo. De manera general, se hacen los estudios tomando como referencia la tierra, o sea,
para un observador inmóvil en la superficie de la tierra.
1.6. Vector Desplazamiento ( )r∆

. Es la variación que experimenta el vector posición de una
partícula, en un cierto intervalo de tiempo t:
y
P(t0)
r

∆
0r

P(tf)
r

0
rrr
rrr
∆+=
−=∆


0
0
Esta es la ecuación que representa el objetivo del estudio de la Cinemática: Poder determinar cuál es la
posición r

de una partícula en cualquier instante, para lo cual es necesario conocer de donde partió 0r

) y cuál es su desplazamiento r

∆
 Unidades El desplazamiento es una magnitud vectorial, cuyas unidades son las de una
longitud:
En función del vector posición, se puede definir lo que significa el reposo y el movimiento de una
partícula:
1.7. Reposo.- Una partícula esta en reposo durante un cierto intervalo de tiempo, cuando su posición r

permanece constante dentro de un mismo sistema de referencia.
1.8. Movimiento. Una partícula está en movimiento durante un cierto intervalo tiempo, cuando su
posición (r) cambia dentro de un mismo sistema de referencia
1.9. Trayectoria Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupo una partícula al
moverse de un lugar a otro.
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 6

7. y
Trayectoria
Posiciones
x
1.10. Distancia Recorrida (d). Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrida por la partícula al
moverse de una posición a otra. Es conveniente aclarar que la distancia entre dos puntos, si depende de la
trayectoria, a diferencia de lo que sucede con el desplazamiento, que es independiente de esta y solo
depende de la posición inicial y de la posici6n final:
2. VECTOR DE POSICION
El vector posición representa la posición de la partícula en cada momento.
siendo su módulo
• Vector desplazamiento: corresponde a la variación del vector de posición con respecto al
tiempo y viene dado por la fórmula:
∆r r rf= − 0
EJERCICIOS
1.
2.
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 7
r = x + y r x y= +2 2

8. 3. VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTANEA
Velocidad es la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto del
tiempo empleado en esa variación.
Se distinguen dos tipos de Velocidad:
• Velocidad media = la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del tiempo
• Velocidad instantánea: es la derivada del vector de posición respecto al tiempo:
4. ACELERACION
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 8
sm
totf
rorf
t
r
Vmedia /
−
−
=
∆
∆
=
sm
dt
dr
t
r
Vinst /=
∆
∆
=

9. Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. Al igual que en la velocidad existe una
aceleración media y una instantánea:
• Aceleración media: Es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de tiempo
transcurrido
• Aceleración instantánea: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:
Componentes intrínsecas de la aceleración:
Dependen de la misma aceleración:
Aceleración tangencial: At
d v
dt
=
→
Aceleración normal o centrípeta: an
V
r
=
2
La tangencial es la que empuja hacia a fuera y la centrípeta hacia dentro.
*CELERIDAD= Módulo de la aceleración
MOVIMIENTO RECTILINEO, CAIDA LIBRE, TIRO PARABOLICO, MOVIMIENTO
CIRCULAR
1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME:
Se define como aquel movimiento cuya velocidad es constante en módulo, dirección y sentido. Por ello
prescindimos de la notación vectorial, MAGNITUD ESCALAR, indicándose mediante signos + o - para indicar
el sentido.
A partir de la fórmula de la velocidad instantánea v
ds
dt
= obtenemos que ds vdt= por lo que al integrar:
ds v dt s s vt
t
s
s
= ⇔ = +∫∫ 0
0
0
Así obtenemos la fórmula de la posición
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 9
a m
v v
t t
v
t
m s→
→
=
−
−
=
2 1
2 1
2∆
∆
/
2
2
2
/ sm
td
rd
td
vd
a
→→
→
==
* Por lo que a a n a t2 2 2
= +
S= S0+ vt

10. 2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
En el la aceleración es constante, por lo que a partir de la fórmula de la aceleración tangencial:
⇒=⇒=⇒== ∫∫
tv
v
t dtadvdtadv
dt
dv
aa
0
••
0
A partir de ella obtenemos la ecuación desde una posición inicial:
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 10
v = v0 + a·t
s s v t at= + +0 0
21
2

11. 3. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS
Ya Galileo en el siglo XVI enuncio:
• El vector de posición del móvil es la suma vectorial de los vectores de posición.
• Igualmente la velocidad resultante es la suma vectorial de las velocidades de cada movimiento
Cuando se efectúa un tiro vertical hacia arriba el valor de la aceleración es inverso, quiere decir que:
v v gt= −0
Es por ello que un movimiento en el espacio vectorial se puede expresar de las siguientes maneras:
( ) 22
)()(, VyVxOVyVxs +−−−−=
→
EJERCICIOS
ACTIVIDAD
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 11

12. 2.
4.
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 12

13. ACTIVIDAD
1.
Msc. Alberto Pazmiño O. Página 13

14. 2.
3.
4.
5.
6.
6.
Física Vectorial Vallejo - Zambrano Ejercicio 6: (1-6)
Ejercicio 8: (1-30) impares
Física Universitaria Sears Zemansky Pag. 109
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