Tema de algunos Métodos Numéricos para Ingenieros

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Análisis Numérico
Sede Barcelona
Asignación N°1
Profesor: Bachiller:
Pedro Beltrán Julio Morales
Barcelona, Marzo del 2019.-

2. Introducción
Al momento de analizar los diferentes fenómenos de la naturaleza, en
ocasiones es difícil o incluso imposible definirlos, trazarlos o desarrollarlos
mediante ecuaciones exactas de fácil resolución. Es ahí donde entra a
participar los métodos numéricos, permitiendo así dar solución a estos
fenómenos mediante valores muy cercanos a los reales. Es de vital
importancia crear una información que permita reunir varios de estos
métodos, para así poder emplearlos de una manera mas sencilla, practica y
útil a los problemas de la cotidianidad.

3. Desarrollo
Método de Bisección
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de
participación de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda
incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función
cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el
punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto
medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El
proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
El método de bisección sigue los siguientes pasos:
• Paso 1: Elija valores iniciales inferior, Xj, y superior, Xu, que encierren la
raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto
verifica comprobando que f(Xj) . f(Xu) < 0.

4. • Paso 2: Una aproximación de la raíz Xr se determine mediante:
Xr= Xj + Xu / 2
• Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que
subintervalo esta la raíz:
a) Si f(Xj)f(Xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo
inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga Xu = Xr y vuelva al paso 2.
b) Si f(Xj)f(Xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo
superior o derecho. Por lo tanto, haga Xj = Xr y vuelva al paso 2.
c) Si f(Xj)f(Xr) = 0, la raíz es igual a Xr; termina el calculo.
El método de bisección se basa en el teorema de Bolzano, el cual afirma
que si se tiene una función real y= f(X) continua en el intervalo [a,b] donde
el signo de la función en el extremo a es distinto al signo de la función en el
extremo b del intervalo, entonces existe al menos un c € [a,b] tal que f(c) =
0, que es la raíz buscada.
Una de sus ventajas es que funciona para ecuaciones algebraicas y
trascendentes, pero se recomienda utilizarlo después de un análisis grafico.

5. Ejemplo
Aproximar la raíz: 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑙𝑛𝑥
1. Comprobamos si es continua y vemos si cambia de signo para dos
valores x1 y x2:
f es continua en el intervalo (0, +∞). Ahora debemos buscar dos valores
tales que:
𝑓 𝑥1 . 𝑓 𝑥2 < 0
X1= 1-> 𝑓 𝑥1 = 0,3679
X2= 2-> 𝑓 𝑥2 = −0,5578
Nota: Los valores escogidos son aleatorios, se pueden utilizar otros
distintos de 1 y 2, siempre que f(x) cambie de signo.
2. X3=
𝑥1+𝑥2
2
= 1,5 → 𝐸 < 0,5, ya que │1-1,5│= 0,5 y │2-1,5│= 0,5
3. Ahora se escogen los subintervalos, agarramos el x1= 1 que ya tenemos
y el x3= 1,5:

6. a) 𝑓 𝑥 = 0,1823
f(x1)= 0,3679
𝑥4 =
𝑥3+𝑥1
2
= 1,25 €< 0,25
Ya que │1,5-1,25│= 0,25 y │1-1,25│= 0,25
Como vemos el error mas pequeño, podemos hacerlo mejor, pues todavía
no esta cercano a 0. Seguimos haciendo sub-intervalos.
b) 𝑓 𝑥4 = 0.0634
X4= 1,25; 𝑓 𝑥4 = 0,0634
X3= 1,5; 𝑓 𝑥 = −0,1823
x5=
𝑥4+𝑥3
2
= 1,375 €<0,0625
c) 𝑓 𝑥5 = −0,0656
x4=1,25; 𝑓 𝑥4 = 0,0634
x5= 1,375; 𝑓 𝑥5 = −0,0656
x6=
𝑥4+𝑥5
2
= 1,3125 €<0,0625

7. d) 𝑓 𝑥6 = −0,0028
x5= 1,25; 𝑓 𝑥4 = 0,634
x6= 1,3125; 𝑓 𝑥6 = −0,028
x7=
𝑥5+𝑥6
2
= 1,28125 €< 0,03125
f(x7)= 0,0299
Finalmente obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de 𝑓 𝑥 .

8. Interpolación lineal
La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación de newton.
Con el polinomio de interpolación de Newton se lo logra aproximar un valor
de la función 𝑓 𝑥 en un valor desconocido de x. El caso particular, para
que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de
interpolación de grado 1, que se ajusta a los valores en los puntos x1 y x2.
Se denota de la siguiente manera:
𝑓 𝑥 𝑥1; 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 +
𝑓 𝑥2 −𝑓(𝑥1)
(𝑥2−𝑥1)
(𝑥1 − 𝑥2)
En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos.
En ocasiones, nos interesa el valor de la función para un valor de la variable
independiente distinto de los que figuran en la tabla; en este caso, podemos
tomar el mas próximo al buscado o aproximarnos un poco mas por
interpolación. La interpolación casi siempre nos dará un pequeño error
respecto al valor de la función para un valor de la variable independiente
que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.
Por la tabla sabemos que:

9. 𝑦1 = 𝑓 𝑥1 y 𝑦2 = 𝑓 𝑥2 queremos saber pues: 𝑦 = 𝑓 𝑥 siendo 𝑥1 < 𝑥 <
𝑥2
La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por 𝑥1, 𝑦1 y
𝑥2, 𝑦2 , 𝑦 = 𝑟 𝑥 y calcular los valores intermedios según esta recta en
lugar de la función 𝑦 = 𝑓 𝑥
A pesar del interés indudable que tiene este teorema, y de las conclusiones
que extraeremos mas adelante, es necesario precisar que en general no
resulta de mucha utilidad, dado que con mucha frecuencia la función no es
conocida mas que por medio de una tabla de puntos que serán usados en
la interpolación, pero no de manera exacta, con lo que no dispondremos de
información acerca de su derivada segunda.

10. Ejemplo
El numero de bacterias por unidad de volumen existentes en una incubación
después de X horas es presentado en la siguiente tabla. Se desea saber cual
es el volumen de bacterias para el tiempo de 3,5 horas.
Ll
La tabla de referencia no establece un valor que indique la cantidad de
bacterias para un tiempo de 3,5 horas pero si se tienen valores superiores e
inferiores correspondientes a un tiempo de 3 y 4 horas, respectivamente. De
esta forma:
𝑥0 = 3 𝑦0 = 91
𝑥 = 3,5 𝑦 =?
𝑥1 = 4 𝑦1 = 135
Ahora, se aplica la ecuación matemática para encontrar el valor interpolado,
que es la siguiente:
Horas (x) 0 1 2 3 3,5 4
Volumen de
bacterias (y)
30 48 67 91 135

11. 𝑦 = 𝑦0 + 𝑦1 − 𝑦0 ∗ [(𝑥 − 𝑥0) ÷ (𝑥1 − 𝑥0)].
Luego se sustituyen los valores correspondientes:
𝑦 = 91 + 135 − 91 ∗ [(3,5 − 3) ÷ (4 − 3)]
𝑦 = 91 + 44 ∗ [(0,5) ÷ (1)]
𝑦 = 91 + 44 ∗ 0,5
𝑦 = 113.
Asi se obtiene que para un tiempo de 3,5 horas, la cantidad de bacterias es
113, que representa un nivel intermedio entre el volumen de bacterias
existentes en los tiempos de 3 y 4 horas.

12. Método de la secante
Es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa, en
otras palabras el método de la secante es un algoritmo de la raíz de
investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para
aproximar mejor la raíz de una función f.
𝑋𝑖 + 1 = 𝑋𝑖 −
𝑓 𝑋𝑖 (𝑋𝑖 − 1 − 𝑋𝑖)
𝑓 𝑋𝑖 − 1 − (𝑓 𝑋𝑖
La ecuación es la formula para el método de la secante. Observe que el
método requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que
no se necesita que 𝑓 𝑥 cambie de signo entre los valores dados, este
método no se clasifica como un método cerrado.

13. El método de la secante es una variación del método de Newton – Raphson
donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio,
teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la
recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la
iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste
computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado
elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
Este método es mucho mas sencillo que los anteriores, porque tan solo se
tiene que hallar el valor de la función en 2 puntos, sustituyéndolos en la
formula de la secante, se comprueba el error aproximado. Cabe destacar,
que dicha función es la aproximación que se hace a la primera derivada,
ahorrándose el calculo de esta, que si nos damos cuenta, no es nada mas
que la pendiente que une los dos puntos a considerarse.

14. Ejemplo
De la ecuación: 𝑔 𝑥 =
10𝑥+5
𝑥²
se obtiene la derivada:
│𝑔`(𝑥)│= │−
10𝑥+10
𝑥³
│
1era. Iteración
Utilizando el valor inicial 𝑥0 = 1, se tienen los siguientes valores:
𝑥1 =
10𝑋𝑜 + 5
𝑋𝑜²
=
10 1 + 5
(1)²
= 15
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = │𝑋1 − 𝑋0│ = │15 − 1│ = 14
Como el error aun es grande se tendrá que realizar otra iteración.

15. │𝑔` 𝑥1 │ = │ −
10𝑋1+10
𝑋1³
│= │ −
10 15 +10
15 3 = 0,04741 < 1
El resultado del criterio de convergencia es mucho mas pequeño a 1 por lo
que se podría decir que el método converge muy rápido, pero se tendrá que
ver otra iteración.
2da. Iteración
𝑥2 =
10𝑋1 + 5
𝑋1²
=
10 15 + 5
(15)²
= 0,68889
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = │𝑋2 − 𝑋1│ = │0,68889 − 15│ = 14,31111
│𝑔` 𝑥2 │ = │ −
10𝑋2+10
𝑋2³
│=│ −
10 0,68889 +10
(0,68889)³
│= 54,65990 > 1
El criterio de convergencia │𝑔`(𝑥2)│, es muy grande y el error aumento
desde la anterior iteración por lo que se dice que: El método no converge
con la ecuación 𝑔 𝑥 =
10𝑥+5
𝑥²
, y el valor inicial Xo = 1, por lo que no se
podrá obtener un resultado satisfactorio.

16. Método de Newton – Raphson
El método de Newton – Raphson se deduce a partir de esta interpretación
geométrica (un método alternativo basado en la serie de Taylor, se tiene
que la primera derivada de x es equivalente a la pendiente:
𝑓` 𝑋𝑖 =
𝑓 𝑋𝑖 − 0
𝑋𝑖 − 𝑋𝑖 + 1
Que se arregla para obtener: 𝑋𝑖 + 1 = 𝑋𝑖 −
𝑓(𝑋𝑖)
𝑓`(𝑋𝑖)
La cual se conoce
como formula de Newton - Raphson.
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los mas usados y
efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton –
Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que se basa su formula en un
proceso iterativo.

17. Note que el método de Newton – Raphson no trabaja con intervalos donde
asegure que encontremos la raíz, de hecho no tenemos ninguna garantía
de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos
donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el
método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge la raíz lo
hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos
preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que 𝑓` 𝑋𝑖 = 0, el método no se puede
aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta
tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta con el eje X en ningún
punto, a menos que coincida con este, en cuyo caso Xi mismo es una raíz
de 𝑓 𝑋𝑖 !.

18. Aunque en general el método de Newton – Raphson es muy eficiente, hay
situaciones donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo en el
caso especial de raíces múltiples. Sin embargo, también cuando se trata de
raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo:
Determine la raíz positiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1 usuando el método de Newton
– Raphson y un valor inicial 𝑥 = 0,5
La formula en este caso de Newton – Raphson es:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑥𝑖
10
− 1
10𝑥𝑖
9
Que se utiliza para calcular:

19. Iteración X
0 0.5
1 51.65
2 46.485
3 41.8365
4 37.65285
5 33.887565
.
.
.
∞ 1.0000000

20. De esta forma, después de la primera predicción deficiente, la técnica
converge a la raíz verdadera, 1, pero muy lentamente.
Además, a la luz del análisis anterior sobre los problemas potenciales del
método de Newton – Raphson, el programa se podría mejorar incorporando
algunas consideraciones adicionales:
1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa.
2. Al final de los cálculos, se necesitara sustituir siempre la raíz final
calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca
a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos
casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual
puede llevar a valores pequeños de 𝐸 𝑎 mientras que la solución aun
esta muy lejos de una raíz.
3. El programa deberá incluir siempre un limite máximo permito del numero
de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de
lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma
interminable.
4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la
posibilidad de que 𝑓`(𝑥) sea igual a cero en cualquier momento durante
el calculo .

21. Punto fijo
Los métodos abiertos emplean una formula para predecir la raíz. Esta
formula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo
(también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de
un punto fijo), al arreglar la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 de tal modo que x este del
lado izquierdo de la ecuación:
𝑥 = 𝑔 𝑥
Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o
simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original, por ejemplo,
𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0
Se arregla para obtener

22. 𝑥 =
𝑥23
2
Mientras que 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 puede transformarse en la forma de la primera
ecuación. Sumando x a ambos lados para obtener
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥
La utilidad de la primera ecuación es que proporciona una formula para
predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta
manera, dado un valor inicial para la raíz 𝑥𝑖, la primera ecuación se utiliza
para obtener una nueva aproximación 𝑥𝑖+1 , expresada por la formula
iterativa.
𝑥𝑖+1= 𝑔(𝑥𝑖)

23. Como en otras formulas iterativas de esta presentación, el error aproximado
de esta ecuación se calcula usando el error normalizado:
∈ 𝑎= │
𝑥 𝑖+1−𝑥1
𝑥 𝑖+1
│100%
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que
es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que
converja, la derivada (
𝑑𝑔
𝑑𝑥
) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos
para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La
convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x
de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna
pequeña cantidad ∈.

24. Ejemplos
De la siguiente ecuación: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10𝑥 − 5
Despejando x, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma 𝑥 = 𝑔(𝑥)
a) 𝑓 𝑥 =
3
10𝑥 + 5 b) 𝑥 =
10𝑥+5
𝑥2
Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio
│𝑔`(𝑥)│ < 1 y el valor inicial 𝑥0 = 1, en ambos casos, y determinar cual
ecuación converge una raíz de 𝑓 𝑥 .
Solucion:
a) De la ecuación: 𝑔 𝑥 =
3
10𝑥 + 5 se obtiene la derivada:
│𝑔` 𝑥 │ = │
10
3
3
(10𝑥+5)²
│

25. 1era. Iteración
Utilizando el valor inicial 𝑥0 = 1, se tienen los siguientes valores:
𝑥1 = 3
10𝑥0 + 5 =
3
10 1 + 5 = 2.46621
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = │𝑥1 - 𝑥0│= │2.46621 − 1│= 1.46221
Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra
iteración.
│𝑔`(𝑥1)│= │
10
3
(10𝑥1+5)²
│= │
10
3
(10 1 +5)²
│= 1.07682 ≈ 1
El resultado del criterio de convergencia esta muy cercano a 1 por lo que se
puede decir que el método converge a un resultado pero que por el
momento será lentamente.

26. 2da. Iteración
𝑥2 =
3
10𝑥1 + 5 =
3
10 2.46621 + 5 = 3.09552
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = │𝑥2 - 𝑥1│= │3.09552 – 2.46621│= 0.62931
│𝑔`𝑥2│= │
10
3
3
(10𝑥2+5)²
│= │
10
3
3
(10 3.09552 +5)
│= 1.00993 ≈ 1
3era. Iteración
𝑥3 =
3
10𝑥2 + 5 =
3
10 3.09552 + 5 = 3.30056
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = │𝑥3 − 𝑥2│ = │3.30056 – 3.09552│= 0.20503
│𝑔`(𝑥3)│= │
10
3
3
(10𝑥3+5)²
│= │
10
3
3
(10 3.30056 +5)²
│= 0.99143 < 1
Los valores de las próximas iteraciones se muestran en la siente tabla:

27. i 𝒙𝒊 │𝒈`(𝒙𝒊)│ │𝒙𝒊 - 𝒙𝒊−𝟏│
0 1,00000
1 2,46621 1,07682 1,46621
2 3,09552 1,00993 0,62931
3 3,30056 0,99143 0,20503
4 3,36214 0,98613 0,06158
5 3,38020 0,98460 0,01806
6 3,38546 0,98416 0,00526
7 3,38699 0,98403 0,00153
8 3,38744 0,98399 0,00044
9 3,38757 0,98398 0,00013
10 3,38760 0,98398 0,00004

28. Respuesta:
La raíz de la ecuación es la siguiente:
𝑥10 = 3,38760
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4. 10−5

29. Conclusiones
El método de bisección converge muy lentamente lo que da pie a la
propagación del error por la cantidad de iteraciones necesarias para dicha
convergencia.
En el método de Newton – Raphson, en casos donde le punto de inflexión
ocurre en la vecindad de una raíz las iteraciones divergirán
progresivamente generando problemas en el uso de este método. Además,
el método de Newton – Raphson se vuelve lento cuando la derivada se va
haciendo pequeña.
Los métodos abiertos generalmente convergen mas rápidamente que los
métodos cerrados.

30. Bibliografía
Steven C. Chapra (2007) Métodos Numéricos para Ingenieros Quinta
Edición. México, McGraw – Hill Interamericana.