Ibook cynthia

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Arazueta Becerra Cynthia

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CONTENIDO
1.- Introducción a la solución de ecuaciones no lineales.
 Método punto fijo
 Método Newton-Raphson
 Método Cuasi-Newton
 Método Broyden
2.- Interpolación y Aproximación polinomial.
 Formula de Lagrange
 Diferencias Divididas
 Interpolación de Newton
 Método Hermite
 Spline Cubico
 Mínimos Cuadrados
3.- Diferencia e Integración Numérica.
 Método de Diferencias Progresivas, Regresivas y Centradas.
 Derivación de Richardson
 Trapecio
 Regla de Simpson 1/3
 Regla de Simpson 3/8

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Aplicación.
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante los cuales es posible formular problemas
matemáticos, de tal forma que pueden resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen
muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente
requiere de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que se utilicen
herramientas computacionales para el mejoramiento de la solución a los problemas numéricos.
Objetivo.
Aplicar técnicas numéricas para el cálculo de derivadas e integrales definidas, solución de sistemas
de ecuaciones no lineales, así como las técnicas de interpolación y extrapolación para la
aproximación polinomial, mediante la implementación de los algoritmos computacionales
correspondientes.

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*Soluciones de Sistemas de ecuaciones no lineales.
Método del Punto Fijo
Generalizan e integran los métodos para la solución de ecuaciones algebraicas de la forma f(x)=0
con los métodos de solución de sistemas de ecuaciones. Ax=b
𝑓1( 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛) = 0
𝑓2( 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛) = 0
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛) = 0
Donde 𝑓𝑖((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛) = 0 para 1≤ 𝑖 ≤ 𝑛 es una función (lineal o no) las variables independientes
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛.
Definición: Un punto fijo de un sistema n ecuaciones 𝑥𝑖 = 𝑔𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) para i=1,2,3…n, es un
punto (𝑥̅1, 𝑥̅2, … , 𝑥̅ 𝑛) tal que 𝑥̅ 𝑖 𝑘+1=𝑔𝑖(𝑥̅1, 𝑥̅2, … , 𝑥̅ 𝑛).
Definición: Pala las funciones de (1), el método iterativo del punto fijo es: 𝑥̅ 𝑖 𝑘+1 𝑔𝑖 ( 𝑥𝑖̅ 𝑘
, 𝑥2̅̅̅ 𝑘
, … , 𝑥𝑛̅̅̅̅ 𝑘
)
para K= 0,1,2,…,.
TEOREMA.
∑ |
𝝑𝒈𝒊
𝝑𝒙̅𝒋
𝒏
𝒋=𝟏 |≤M≤1
 El método del punto fijo genera una sucesión convergente al punto fijo.
 Si las condiciones anteriores no se cumplen, entonces la iteración podría ser divergente.
 Si el método converge, la hace lineal.

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Ejercicio Punto Fijo
* 𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 9
* 𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 − 1
*𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
Se sacarán sus derivadas parciales
*𝑥 = 𝑔1(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥2+𝑦2+𝑧2−3𝑥−9
−3
*𝑦 = 𝑔2(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
𝑥𝑧
*𝑧 = 𝑔3(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥+𝑦+𝑧2+3𝑧
3
Usando los puntos sobre el plano (2,0,2) y utilizando un error de 0.0001.
Empezamos a iterar con el
Método simultaneo Método Sucesivo
Nos podemos dar cuenta que
este método no converge en
ningún punto como lo hace el
simultaneo y debido a esto se
debe realizar una
modificación que permita
que esté método de sucesión
converja.

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*𝑥 = 𝑔1(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥2+𝑦2+𝑧2−4𝑥−9
−4
*𝑦 = 𝑔2(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
𝑥𝑧
*𝑧 = 𝑔3(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥+𝑦+𝑧2+4𝑧
4
Nos damos cuenta que con la
modificación el método converge en el
punto (2.49,0.24,1.65).

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Método de Newton-Raphson
Un sistema de ecuaciones no lineales puede representarse de la siguiente manera:
f1(x1, x2, …, xn) = 0
f2(x1, x2, …, xn) = 0
fn(x1, x2, …, xn) = 0
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más
ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es 𝑥𝑖, entonces se puede trazar una tangente
desde el punto [𝑥𝑖, 𝑓𝑥𝑖] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x
representa una aproximación mejorando la raíz.
El Método de Newtón- Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica (un método
alternativo basado en la serie de Taylor).
𝑓´′
(𝑥𝑖) =
𝑓(𝑥𝑖) − 0
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
Que se arregla para obtener:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones se requieren algunos conceptos previos. El
primero de estos conceptos es la derivada; cuando se trabaja con funciones de varias variables, se
emplean las derivadas parciales. La generalización de derivada para sistemas de funciones de
varias variables es la matriz Jacobina.
Desventajas
Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se
comporta de manera deficiente. En el caso de raíces múltiples su eficiencia baja.
Ventajas.
Esta formula es la que se
conoce como Newton-Raphson

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El método de Newton tiene la ventaja de converger cuadráticamente, por lo menos si se está cerca
de la raíz.
Ejercicio Newton- Raphson
*f1(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 9
*f2(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥𝑦𝑧 − 1
*f3(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
Como sabemos para este método hay que sacar las derivadas y llenar la matriz Jacobiana y
quedara de la siguiente manera:
𝑓1𝑥 = 2𝑥
𝑓2𝑥 = 𝑦𝑧
𝑓3𝑥 = 1
𝑓1 𝑦 = 2𝑦
𝑓2𝑦 = 𝑥𝑧
𝑓3𝑦 = 1
𝑓1 𝑧 = 2𝑧
𝑓2𝑧 = 𝑥𝑦
𝑓3𝑧 = −2𝑧

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Método Newton Modificado
La dificultad del método de Newton Raphson en el comportamiento de una función con raíces
múltiples obliga a considerar una modificación.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de manera sucesiva y simultanea por medio del
Método de Newton Modificado.
Ejercicio Newton Modificado
*f1(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 9
*f2(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥𝑦𝑧 − 1
*f3(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
Calculamos la derivada de cada una de las ecuaciones y quedan de la siguiente manera:
*
𝑑 𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥
*
𝑑 𝑓2
𝑑𝑦
= 𝑥𝑧
*
3
𝑑𝑧
= −2𝑧
Método Simultáneo.
Dando los valores iniciales (2,0,2) y un
error de 0.0001

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Método Sucesivo
Como es claro el método sucesivo
converge más rápido hacia el punto
aproximado. Donde el resultado es
(2.49,0.24,1.65)

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Método de Broyden
Este método de Newton tiene como principal desventaja que se deben conocer las derivadas parciales
y la inversión de la matriz Jacobiana. Si no llegase a ser práctico o se llegan a tener las derivadas
parciales se pueden usar las aproximaciones por diferencias finitas a dichas derivadas lo que
generaliza el método de la secante a los sistemas de ecuaciones no lineales, y se conoce como el
método de Cuasi Newton o Broyden.
Este método se recomienda para los casos en que la matriz Jacobina no se puede obtener o para
disminuir el número de evaluaciones funcionales por iteración.
Otra desventaja es que, a diferencia del método de Newton, no es autocorregible. El método de Newton
generalmente corregirá el error del redondeo, con iteraciones sucesivas, no así el método de Broyden,
salvo que se incorporen medidas especiales de corrección.
Ejercicio Método Broyden
*𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 4𝑥 + 𝑦2
*𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 𝑥 − 12𝑦
*𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2
− 12𝑥 + 𝑦2
− 3𝑧2
+ 8
Calcularemos y llenaremos la matriz Jacobiana para sacar el valor de A
𝑑 𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 4
𝑑 𝑓2
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 1
𝑑 𝑓3
𝑑𝑥
= 6𝑥 − 12
𝑑 𝑓1
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑 𝑓2
𝑑𝑦
= −12
𝑑 𝑓3
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑 𝑓1
𝑑𝑧
= 0
𝑑 𝑓2
𝑑𝑧
= 0
𝑑 𝑓3
𝑑𝑧
= −6𝑧
Empezaremos con el punto en 𝑥0 = (1,1,1)
Por lo tanto, la matriz Jacobiana queda de la siguiente manera.
-2.000000 2.000000 0.000000
1.000000 -12.000000 0.000000
-6.000000 2.000000 -6.000000
Empezaremos con los valores iniciales de
𝑥0=(1,1,1) y 𝑥0 =(3,1,1) con un error de
0.00005

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*Interpolación y Aproximación Lineal
Método de Lagrange.
Donde y=f(x) y f(x) es una función desconocida, pero se requiere conocer algún valor de Y.
Se obtiene por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones. En general tendrán la
forma.
𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
Constituyen un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (matriz de vandermonde)
𝑷(𝒙) =
(𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟏)
(𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏)
𝒚 𝟎 +
(𝒙 𝟏− 𝒙 𝟎)
(𝒙 𝟏− 𝒙 𝟎)
𝒚 𝟏=𝒚 𝟏
Interpolación
 n+1 puntos.
 Polinomios de grado n.
 Grados elevados = oscilaciones.
 Pasa por los puntos.
 Polinomios Únicos.
 Función conocida solo por una tabla de valores.
 Función Compleja.
Ajuste de Curvas
 Estadística- No pasa por los puntos.
 Graficación.
Sensible al mal planteamiento

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Ejercicio Lagrange
A partir de la tabla de datos obtener una estimación para presión en el soplete con un espesor de
12mm y para la velocidad de corte con un espesor de 28mm.
Valores
recomendados
Espesor Presión Velocidad
5 1.5 20
8 1.5 17
10 1.5 15
15 2 12
20 2.5 11.5
25 2.5 10
30 2.5 9.5
40 3 8.5
50 3.5 7
75 4 5.5
100 4 4.5
Se obtienen los coeficientes de La
grange dados los datos en la tabla para
un polinomio de grado 4.
El ajuste esta
evaluado en
x= 12

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Diferencias Divididas
Es un resultado teórico muy útil porque los polinomios de Lagrange se emplean.
El tratamiento de las tablas de diferencias divididas supone que la función f(x) es conocida para
varios valores de X. Dichos valores no necesariamente están igualmente espaciados u obedecen
algún orden (sin embargo, si están ordenados puede ser ventajoso).
Supóngase que 𝑝 𝑛 es el polinomio de Lagrange de grado n que coincide con la función f en los
números distintos de 𝑥0, 𝑥1, … 𝑥 𝑛.
Las Diferencias Divididas de f con respecto a 𝑥𝑖 con i=1,…,n se pueden derivar demostrando que
𝑝 𝑛(𝑥) tiene la representación:
𝑝 𝑛(𝑥) = 𝑎0(𝑥 𝑛 − 𝑥0)+ 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯ + 𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)
Con constantes apropiadas 𝑎0, 𝑎1 … . 𝑎 𝑛 sustituyendo para 𝑥𝑖 …
Primera diferencia dividida de f respecto a 𝑥𝑖 𝑦 𝑥𝑖+1. Se denota por 𝑓[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1] y está definida como.
𝒇[𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏] =
𝒇[𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏] − 𝒇[𝒙𝒊]
𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊
La tabla de diferencias divididas quedara de la siguiente manera.

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Ejercicio Diferencias Divididas
A partir de la siguiente tabla de datos obtener una estimación para velocidad de corte con un
espesor de 28mm por el método de diferencias divididas.
Hay que desarrollar la tabla de diferencias Divididas hasta 𝑓4
para poder obtener el polinomio de
cuarto grado.
Hay que localizar el valor que más se acerque al polinomio y por eso tomaremos a partir del 15.
Valores
recomendados
Espesor Presión Velocidad
5 1.5 20
8 1.5 17
10 1.5 15
15 2 12
20 2.5 11.5
25 2.5 10
30 2.5 9.5
40 3 8.5
50 3.5 7
75 4 5.5
100 4 4.5
Se puede ver en la tabla de bajo los
errores aproximados para el ajuste de
polinomio.

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Ejercicio de Diferencias Divididas de Newton
En la siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y temperatura (F°) para temopares
formados por Platino y Platino -10% Rodio con juntas refrigeradas a 32°.
Estimar la temperatura para microvoltios de 300,1700,3300,5300 y 5900.
Decidir el grado del polinomio, estimar los errores, graficar y sacar conclusiones.

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Método de Hermite
Un polinomio puede ajustarse también a las derivadas de los puntos. Los polinomios de Hermite se
ajustan a los valores de la función y de sus derivadas. Son una generalización de los polinomios de
Taylor y los polinomios de LaGrange.
Sean x0, x1, …, xn, n+1 números distintos en [a,b], y mi un enterp no-negativo asociado a xi para
i=0,1, ..,n. Sean
El polinomio P de menor grado osculante es el que se aproxima a f
Si son distintos, el único polinomio de menor grado
que coincide con f y f’ en x0, …, 𝑥 𝑛 es un polinomio de grado, a lo más de 2n+1.
Donde
𝐿 𝑛𝑗denota el coeficiente polinomial de LaGrange de grado n.
El término del error:
a< <b

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Ejercicio de Hermite
Hay que obtener un polinomio de grado 2n-1 y calcular la distancia para t=10 por los métodos de
Hermite y Dif. Divididas.
Empezaremos con calcular coeficientes y sus primeras derivadas.
Ahora determinaremos a calcular los valores de Hermite para poder a completar la tabla.

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Como nos podemos dar cuenta el resultado obtenido no es el más apropiado e intentaremos
resolverlo por el método de diferencias divididas.
Ahora si podemos determinar que el valor de la
función en t= 10 es de 742.50283901 y con un
valor cuyo sentido es mejor de 11037.7997.

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Método de Spline Cubico
Formas para aproximar la variable de una función conocida
*Representa de la manera más eficiente.
*Polinomio o un cociente de polinomios.
Obtención de valores en cualquier punto del intervalo.
 Error mínimo.
 Mínimas operaciones aritméticas.
 Un polinomio cúbico es un polinomio de menor grado que satisface las condiciones para el
ajuste de curvas.
 Entonces se construye una sucesión de estos polinomios sobre los intervalos sucesivos de
datos.
 Estos polinomios tendrán la misma pendiente y curvatura en los nodos e que se unen.
 Los intervalos no necesariamente tienen que ser uniformes.
Debe de construirse una tabla que representa los valores con el que se estará trabajando
continuamente.
z yi F(x) hi F(1) si ai bi ci
Los coeficientes para este polinomio están dados por:
𝐹(1) =
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
ℎ𝑖
𝑎𝑖 =
𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖
6ℎ𝑖
𝑏𝑖 =
𝑠𝑖
2
𝑐𝑖 =
ℎ𝑖
−
𝑠𝑖+1 + 2𝑠𝑖
6
ℎ𝑖
ℎ𝑖−1 𝑆𝑖−1 + 2 (ℎ𝑖−1ℎ𝑖)𝑆𝑖 + ℎ𝑖 𝑆𝑖+1 = 6
ℎ𝑖
−
𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1
ℎ𝑖−1

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Ventajas:
 Se aplican principalmente a graficación y suavizamiento de curvas.
 Para n+1 puntos genera un polinomio cúbico g(x) uno por cada par de puntos.
 Los datos no requieren estar igualmente espacioados.
Desventajas:
 Éste lo hace a través de una curva suave, la cual puede ser de varios grados.

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Ejercicio Spline Cubico
Empecemos con ordenar los datos de mayor a menor.
Calcular la distancia entre cada par de puntos de hi ℎ𝑖 = (𝑥𝑖 + 1 − 𝑥𝑖)

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Ahora haremos el sistema de ecuaciones para los nodos internos
*Calcularemos el vector independiente, * Entonces el vector Independiente.
mediante el cálculo de las primeras
diferencias divididas.
*Resolver el sistema tridiagonal

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Ahora calcularemos los puntos cúbicos, con las siguientes formulas.
𝑎𝑖 = (𝑠(𝑖 + 1) − 𝑠𝑖)/(6 ∗ ℎ𝑖)
𝑏𝑖 = 𝑠𝑖/2
𝑐𝑖 = (
𝑌(𝑖 + 1) − 𝑦𝑖
ℎ𝑖
) (
𝑠(𝑖 + 1) + 2 ∗ 𝑠𝑖
6
) ∗ ℎ𝑖
𝑑𝑖 = 𝑦𝑖
Construir el polinomio

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Mínimos Cuadrados
Este método es otra alternativa de ajuste de curvas que de manera general busca encontrar un
polinomio que trace una curva y se adapte a los datos de la tabla.
Hay varias opciones para poder realizar este ajuste:
Sea el i-ésimo valor de la recta de aproximación, y 𝑦𝑖el i-ésimo valor dado para y. El
problema es encontrar los valores de 𝑎0 y 𝑎1 que minimicen.
Este problema se conoce como MINIMAX, el cual le da demasiado valor relativo a un pequeño
elemento de datos que contiene un gran error.
Otra alternativa para encontrar la mejor aproximación lineal implica hallar los valores de 𝑎0 y 𝑎1 que
minimicen
Esta cantidad se llama DESVIACIÓN ABSOLUTA. Para minimizar una función de dos variables se
igualan a cero sus derivadas parciales y se hace un sistema de ecuaciones con las ecuaciones
resultantes.
Para esta alternativa se necesita hallar 𝑎0 y 1 de tal manera que:
Lo malo de este procedimiento es que el valor absoluto no es derivable en cero, y no
necesariamente se pueden obtener las soluciones de este par de ecuaciones. Promedia el error en
varios puntos sin dar suficiente valor relativo a un punto que está muy alejado de la aproximación.
Por consiguiente, este método de MÍNIMOS CUADRADOS requiere determinar la mejor línea de
aproximación, cuando el erro es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de y
en la línea aproximada y de los valores de y dados. Por tanto, hay que encontrar las constantes 𝑎0 Y
𝑎1, que reduzcan al mínimo el error de mínimos cuadrados:

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Concede mayor relativo al punto que está alejado del resto de los datos, pero no permite que ese
punto domine la aproximación.
El método de mínimos cuadrados es el procedimiento más adecuado para determinar las mejores
aproximaciones lineales.
Para eso hay que minimizar el error total
Con respecto a 𝑎0 y 𝑎1
Para que haya un mínimo debemos considerar:
Estas ecuaciones se simplifican en las ecuaciones normales

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Y la solución es

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Ejercicio de Método de Mínimos Cuadrados
Dado el siguiente conjunto de puntos, encuentre el polinomio que mejor ajuste proporcione al método
de mínimos cuadrados.
Procederemos en calcular las primeras columnas de la tabla para poder obtener la matriz.

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Procederemos con sacar los valores del vector de solución y su respectiva matriz.
Ahora si ya podemos generar los valores para los polinomios de ajuste, así como se muestra en la
tabla.

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Método diferencias Progresivas, Regresivas y Centradas.
Fórmulas de dif. Progresivas
𝑝 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥 𝑜) + 𝑆∆𝑓(𝑥0) + 𝑠(𝑠 − 1)
∆2
𝑓(𝑥0)
2!
+ ⋯ + 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) − (𝑠 − 𝑛 − 1)
∆ 𝑛
𝑓(𝑥0)
𝑛!
𝑠 =
𝑥 − 𝑥0
ℎ
ℎ = 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠.
El punto x a interpolar debe ubicarse entre 𝑥0 𝑦 𝑥11 de ahí el nombre progresivo.
Fórmulas de Dif. Progresivas.
La diferencia entre regresiva y progresiva ∇𝑝 𝑛, se define como ∇𝑝 𝑛 = 𝑝 𝑛 − 𝑝 𝑛−1 las diferencias
posteriores se definen recursivamente con ∇ 𝑘
𝑝 𝑛 = ∇ 𝑘−1(∇𝑝 𝑛) para k≥ 2.
𝑝 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥 𝑛) + 𝑆∇𝑓(𝑥 𝑛) + 𝑠(𝑠 + 1)
∇2
𝑓(𝑥 𝑛)
2!
+ ⋯ + 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) … (𝑠 + 𝑛 − 1)
∇ 𝑛
𝑓(𝑥 𝑛)
𝑛!
Diferencias Centradas
Para una sola interpolación, tanto Newton como Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo
similar.
La interpolación por diferencias (∆) de Newton (con intervalos uniformes) es una modalidad
simplificada de las diferencias divididas, disminuyendo el número de iteraciones.

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Ejercicio de Métodos de Diferencias Progresivas, Regresivas y Centradas.
Sea la función 𝑓(𝑥) =
cos(𝑥−3)
√1+𝑥2
Estimar la derivada para x=1.5 con h=0.1,0.05,0.25 empleando las fórmulas de segundo grado
progresivas y centradas.
Estimar la función en el intervalo (0.5,2.3) con intervalos de h=0.1 y estimar la derivada en cada
punto para [0.6,2.2] con diferencias centradas.

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Aquí podemos ver como se aproxima
y se le da solución a este método.

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Método de Newton cotes- Trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8.
La estrategia de desarrollo de fórmulas de integración numérica es similar a las de diferenciación
numérica. Se hace pasar un polinomio a través de puntos definidos. Entonces se integra esta
aproximación polinomial a la función. Nos permite integrar una función conocida sólo como una tabla
de valores. Cuando los valores están igualmente espaciados. Empezamos con las fórmulas
progresivas de newton.
La fórmula de aquí se obtenga puede no ser muy exacta porque el polinomio no es idéntico a f(x). La
expresión del error
Existen varias maneras de emplear la fórmula general. El intervalo de integración a, b puede coincidir
con el rango de ajuste del polinomio, x0, xn. Se obtienen las fórmulas de Newton-Cotes, se trata de
un conjunto de reglas de integración correspondientes a los grados del polinomio de interpolación
(1,2,3).
Si el grado del polinomio es de orden superior, los errores de redondeo e irregularidades locales
pueden causar problemas.
Regla del trapecio
La primera de las fórmulas está basada en aproximar f(x) sobre (x0, xn) mediante una línea recta. El
área bajo la curva en cada subintervalo es aproximada por el trapecio formado al sustituir la curva
por su secante. Los intervalos no tienen que ser igual de anchos, pero la fórmula es más simple si
esto sucede.
Sea h la constante deltax. Dado que el área de un trapecio es el promedio de la altura y las bases,
para cada subintervalo se tiene

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Y para [a,b] subdividiendo en n intervalos de tamaño h
Y un error local, es decir en cada subintervalo
Y un error global
Regla de Simpson 1/3 (basada en un polinomio cuadrático)
La fórmula de segundo grado de Newton-Cotes integra un polinomio cuadrático sobre dos intervalos
del mismo ancho, para cada subintervalo
La cual tiene un error local de O(h5)
La fórmula compuesta se aplica a una subdivisión del intervalo de integración en n paneles (n par)
Y un error global
cambia a O(h4) porque hablamos de un número de subintervalos par.
Este método se puede aplicar a valores tabulados cuando no se conoce la función.

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Regla de Simpson 3/8 (Basada en un polinomio cúbico)
Iniciamos la ecuación con
Se aplica a un conjunto de subintervalos, cuyo valor para n es múltiplo de 3
Con un término del error
Es menos eficiente que Simpson 1/3. Sin embargo, se emplea cuando se tienen una tabla de valores
con n impar, ya que se combinan las dos reglas.

P a g e | 38
Ejercicio de Método Cotes- Trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8.
El cuerpo revolucionario que se muestra en la figura, se obtiene de girar la curva dada
por 𝑦 = 1 + (
𝑥
2
)2
𝑜 ≤ 𝑥 ≤ 2
Entorno al eje x. Calcular el volumen
𝑓(𝑥) = 𝜋(1 + (
𝑥
2
)2
))2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2

P a g e | 39

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Trabajos citados
Ramirez, T. C. (7 de enero de 2016-2017). Obtenido de gauss acatlan:
http://gauss.acatlan.unam.mx/course/view.php?id=21

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