Métodos numéricos para solución de ecuaciones no lineales

1. Raíces de Ecuaciones
No Líneales (Una
variable)
Raíces de Ecuaciones No
Lineales

2. Los métodos que se van a tratar para la solución de ecuaciones en
una variable son: Método de Bisección, Método de la Secante y
Método de Newton Raphson.
Método de Bisección:
Sea f(x) continua en [a, b] y f (a) y f (b) de signos distintos. Entonces,
por el teorema del valor medio, existe a < p < b tal que f(p) = 0.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

3. Método de Bisección:
El Método de la Bisección procede buscando una raíz propuesta en
la mitad del intervalo (a, b). Y repitiendo iterativamente este
procedimiento.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

4. Método de Bisección:
Partimos de un intervalo [xleft, xright] donde f cambia de signo.
Elegimos la tolerancia xtol para el valor de x.
En cada iteración:
o Evaluamos f en xmed = (xleft + xright)/2.
o Nos quedamos con un nuevo intervalo donde hay un cambio de
signo y de longitud, la mitad que el anterior.
o Terminamos cuando el intervalo obtenido tenga longitud menor
que xtol.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

5. Método de Bisección:
Hay distintas maneras de detener el proceso iterativo:
1) |pi − pi−1| ≤ Tol1
2) |pi − pi−1| / |pi| ≤ Tol2
3) |f(pi)| ≤ Tol3
El primer criterio considera el valor absoluto de la diferencia entre dos
iteraciones. Y el segundo su valor relativo. En este último caso la
tolerancia Tol2 es independiente de las unidades y significado físico
de las variables. En cualquiera de estos casos puede ser que la
diferencia sea pequeña pero aún se esté lejos de la solución. El
tercer criterio examina el error en f(p). También, dependiendo de la
función, puede ser que este error sea pequeño, pero aún no se haya
llegado a la solución buscada.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

6. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

7. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

8. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)

9. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Se trata de un método iterativo en el que, en cada paso, se calcula una
aproximación de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.
Se parte de x0 = a y x1 = b y se calcula, iterativamente para cada n ≥ 1, la
intersección de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)) con el
eje de abscisa, obteniéndose la abscisa

10. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Algoritmo del método de la Secante.

11. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Algoritmo del método de la Secante.

12. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de la Secante:
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de:
𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒙) − 𝟐𝒙 + 𝟏
Comenzando con 𝒙𝒐 = 𝟎 y 𝒙𝟏 = 𝟏 hasta que: ∈|𝒂| < 𝟏%
Solución: En este método se utilizan dos puntos como valores
aproximados y se usa la fórmula:
Ahora tenemos que:
𝑓(𝑥𝑜) = arctan(0) − 2.0 + 1 = 1
𝑓(𝑥1) = arctan(1) − 2.1 + 1 = −0,2146018366

13. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de la Secante:
Primera iteración (𝒊 = 𝟏):
𝑥2 = 𝑥1 − [𝑓(𝑥1)(𝑥𝑜 − 𝑥1)] / [𝑓(𝑥𝑜) − 𝑓(𝑥1)]
𝑥2 = 1 − [−0,2146018366 (0 − 1)] / [1 − (−0,2146018366)]
𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟑𝟏𝟓𝟎𝟕𝟑𝟐
El porcentaje de error es:
∈𝑎 = |(𝑥2 − 𝑥1) / 𝑥2|.100
∈𝑎 = |(0,8233150732 − 1) / 0,8233150732|.100 = 𝟐𝟏, 𝟒𝟔%
Segunda iteración (𝒊 = 𝟐):
𝑥3 = 𝑥2 − [𝑓(𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2)] / [𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)]
𝑓(𝑥2) = arctan(0,8233150732) − 2(0,8233150732) + 1 =
0,04216650911
𝒙𝟑 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟐𝟑𝟑𝟎𝟐𝟕𝟗𝟕

14. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de la Secante:
∈𝑎= |(0,8523302797 − 0,8233150732) / 0,8523302797|.100 = 𝟑,𝟒𝟎
𝟒%
Tercera iteración (𝒊 = 𝟑):
𝒙𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟑𝟏𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝟖
∈𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟖%
En esta tercera iteración se cumple que: ∈𝑎 < 1%
Entonces, una aproximación de la raíz de 𝑓(𝑥) = arctan(𝑥) − 2𝑥 + 1,
𝒙𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟑𝟏𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝟖

15. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Se trata de llevar el límite el método de la secante y, por tanto, en cada
iteración n, considerar la recta tangente a f(x) en (xn, f(xn)) y tomar como
siguiente aproximación xn+1 la intersección de dicha tangente con el eje de
abscisas.
El método de Newton busca raíces de f(x), iterando:

16. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Algoritmo del método de Newton Raphson:

17. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Hay distintas maneras de detener el proceso iterativo:
1) |pn − pn−1| ≤ Tol1
2) |pn−pn−1| / |pn| ≤ Tol2
3) |f(pn)| ≤ Tol3
La tolerancia Tol1 es en valor absoluto, mientras que la tolerancia Tol2 es
independiente de las unidades y significado físico de las variables. Según la
función puede ser que algún criterio sea mejor que los otros.

18. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Mediante el método de Newton, encuentre (10)1/2 con una precisión de
cuatro cifras decimales.
Solución: En este caso puede utilizarse la identidad: 101/2 = 10
Ahora procedemos a plantear esta situación en forma de función, es decir,
determinar el valor de 10 es equivalente a encontrar la raíz de la función
cuadrática:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10
La raíz de una función implica que: 𝑓(𝑥) = 0, por lo tanto, nuestro problema
queda así:
0 = 𝑥2 − 10
𝑥2 = 10

19. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
De donde:
𝑥 = 𝟏𝟎
Ahora bien, la fórmula para utilizar el método de Newton es:
Determinamos la derivada de la función y resulta:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
Sustituimos en la fórmula:
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒙𝒏
𝟐 −10
𝟐𝒙𝒏
Para tomar el primer punto, vemos que: 𝟑𝟐
= 9 y 𝟒𝟐
= 16 por lo cual se
observa que: 𝟑 < 𝟏𝟎 < 4, de donde se tiene que: 𝟏𝟎 ∈ [3, 4].

20. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Por otra parte, también vemos que:
𝑓(3) = 32 − 10 = −1 < 0
𝑓(4) = 42 − 10 = 6 > 0
Como 𝑓(𝑥) es continua en todo su dominio, entonces el teorema del valor
medio afirma que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10, tiene por lo menos una raíz en el intervalo
[3, 4]. Entonces, podemos tomar como primer valor aproximado a 𝑥1 = 3 y
sustituimos en la fórmula del método de Newton:
Si 𝒏 = 𝟏:
𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1) /𝑓′(𝑥1)
𝑥2 = 3 − (32 − 10) / 2(3) = 3 − (−1) / 6 = 3 + 1 / 6 = 19 / 6
𝒙𝟐 = 𝟏𝟗 / 𝟔 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟔𝟕

21. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Si 𝒏 = 𝟐:
𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2) / 𝑓′(𝑥2)
𝑥3 = 19/6 − [(19/6)2 − 10]/[2(19/6)] = 19/6 − (361/36 − 10)/(19/3) =
𝑥3 = 19/6 − (1/36)/(19/3) = 19/6 − 1/228
𝒙𝟑 = 𝟕𝟐𝟏 / 𝟐𝟐𝟖 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖
Si 𝒏 = 𝟑:
𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3) / 𝑓′(𝑥3)
𝑥4 = 721/228 − [(721/228)2 − 10]/[2(721/228)] = 721/228 − (1/51984)/(120/19)
𝑥4 = 721/228 − 1/328320
𝒙𝟒 = 𝟏𝟎𝟑𝟖𝟐𝟑𝟗 / 𝟑𝟐𝟖𝟑𝟐𝟎 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐𝟕𝟕𝟔𝟓𝟓9
Finalmente, una aproximación del valor de (10)1/2 con una precisión de
cuatro cifras decimales es: (𝟏𝟎)𝟏/𝟐 = 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐