Álgebra de funciones. Composición de funcione

1. Fundamentos para el
Cálculo
Unidad 2:
FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Sesión 11.1: Álgebra de funciones.
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 1

2. 2
Costo (millones de dólares)
q (cientos)
Cfijo
Cvariable
CTotal
Suponga que los Costos fijos (en millones de dólares) de una
empresa se expresan por la función Cf (q) = 2 y su Costo variable
(en millones de dólares) se expresa por Cv(q) = q/2 (q en cientos
de unidades). ¿Cómo graficaría la función Costo total?
Ahora, si sólo se conocen
las gráficas del Costo fijo, y
del Costo variable, ¿cómo
graficaríamos directamente
el Costo Total?
¡Reflexión!
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

3. Dadas las funciones y .
3
Suma de funciones
( ) 2 1
f x x
  ( ) 2
g x x x
 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 + 𝑥 − 2𝑥 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 − 1
La nueva función suma f + g está definida en los valores de x en
donde AMBAS funciones estén definidas, para que se pueda
efectuar la suma.
dom (f )= R
dom (g)=  

,
0
𝑑𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑑𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝑑𝑜𝑚(𝑔) = 0; ∞
  


 ;
0
)
( g
f
dom
;
1
)
)(
( 

 x
x
g
f
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Regla de correspondencia de la función suma es:

4. 4
Operaciones con funciones
Dadas dos funciones de variable real: f y g, pueden realizarse con
ellas las siguientes operaciones: f+g; f-g; f.g y f/g
Operaciones Notación Dominio
Adición f+g (f+g)(x)= f(x)+g(x) Dom(f+g)=Dom(f )∩Dom(g)
Sustracción f-g (f-g)(x)= f(x)-g(x) Dom(f-g)=Dom(f )∩Dom(g)
Producto f.g (f.g)(x)= f(x) g(x) Dom(f.g)=Dom(f )∩Dom(g)
Cociente f/g (f/g)(x)= f(x)/g(x) Dom(f/g)=Dom(f )∩Dom(g) - {x/g(x)=0}
Observación: La operación entre dos funciones solo puede
realizarse en un dominio común a ambas.
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

5. 5
Ejemplo 1:
Sean f y g definidas por f(x) = 1/x y g(x) = x2 – x
Determine: f – g ; f . g y f / g
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

6. 6
f
g
Determinemos la gráfica de f + g a partir de sus gráficas
f + g
Ejemplo 2:
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

7. 7
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Ejemplo adicional:
Una empresa se dedica a la producción y venta de lavadoras. El
ingreso y el costo total (en dólares) de la empresa por la
producción y venta de q lavadoras, se muestran en la gráfica:
Grafique la función de utilidad a partir de la gráfica mostrada.

8. 8
f
 
Dom f  
Ran f
g
 
Dom g  
Ran g
x
 
g x
f g
 
 
f g x
       
 
Dom fog x / x Dom g g x Dom f
   
Composición de f con g
fog
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

9. Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta de f con
g, denotada por f○g, está definida por
siendo Dom(f○g) = {x / x Dom(g)  g(x) Dom(f)},
es decir, el conjunto de todos los números x del dominio
de g, tales que g(x) está en el dominio de f.
9
))
(
(
)
)(
( x
g
f
x
g
f 

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

10. 10
 
5
;
6
,
3
2
)
( 


 x
x
x
f
, calcule:
Sean las funciones y
Ejemplo 3:
b.
d.
f.
x
x
g 
 4
)
(
)
3
)(
( fof
)
3
)(
( 
gof
)
8
)(
(gof
Resuelva el ejemplo 4 en su casa
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

11. 11
Dadas las gráficas de las funciones f y g, como se
muestra en la figura, calcule:
Ejemplo 5:
          











x
y
g
f
c.
d.
f.
)
2
)(
( 
gof
)
1
)(
( 
fof
)
3
)(
(gof
Resuelva el ejemplo 6 del
libro texto en su casa
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

12. 12
Ejemplo 7: Dadas las funciones 3
2
)
( 
 x
x
f
2
2
)
( x
x
g 

y
a. b.
𝑓𝑜𝑔 𝑔𝑜𝑓
Determine la regla de correspondencia de las siguientes
funciones compuestas:
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Ejemplo 8:
Dadas las funciones f, g y h , cada una con su dominio
respectivo Dom(f) , Dom(g) y Dom(h). Plantee el
dominio de la composición de funciones usando la
definición:
a. b.
)
( f
g
Dom  )
( h
f
Dom 

13. Ejemplo 11: Determine gof a partir de las
funciones dadas:
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥+3 ; 𝑥 ∈ [2; +∞[
𝑔 𝑥 = 𝑥2-2 ; 𝑥 ∈ [1; 8[
13
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Ejemplo 10: Determine fog a partir de las funciones:
y
2
)
( 
 x
x
f 4
2
)
( 
 x
x
g

14. 14
Se tiene las funciones ; .
Determine la regla de correspondencia de
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Ejercicio adicional
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 5𝑥
𝑔𝑜𝑓

15. 15
El ingreso (en dólares), de un vendedor de relojes genéricos
se modela con la función
donde q representa el número de relojes vendidos. El número
de relojes que vende diariamente se modela con la función
, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde
las 8 de la mañana.
a. Determine la regla de correspondencia de la función
que permite calcular el ingreso del vendedor en función
del tiempo.
b. ¿Después de cuántas horas su ingreso será de $480?
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Problema de aplicación
q
q
q
I 50
2
,
0
)
( 2



t
t
q 2
)
( 
𝐼𝑜𝑞