1. Bosquejo Capítulo : F U N C I O N E SF U N C I O N E S
• 2.1 ¿Que es función?
• 2.2 Gráficas de funciones
• 2.3 Funciones crecientes y
decrecientes
• 2.4 Transformaciones de funciones
• 2.5 Funciones cuadráticas
• 2.6 Modelado de funciones
• 2.7 Combinación de funciones
• 2.8 Funciones uno a uno y su inversa
2© copywriter

2. ¿Qué es una función?¿Qué es una función?
• Una función es una regla. Para representar
funciones, ha esta se le asignan letras, f, g, hf, g, h.
• Una función ff,es una que asigna a cada
elemento xx en un conjunto A, exactamente,
llamado f(x)f(x), en conjunto B.
3© copywriter

3. …… funciónfunción
• Cuando se escribe f(2)f(2), se entiende “aplicar la
regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene
f(2) = 2f(2) = 222
= 4= 4.
• De manera similar, f(3)f(3) = 32
= 9.
• Otra forma, f(4)f(4) = 42
= 16.
• En general; f(x) = xf(x) = x22
.
4© copywriter

4. La función
• El área de un círculo es una función de su radio.
• En número de bacterias en un cultivo es una función
del tiempo.
• El peso de un astronauta es una función de su
elevación.
• El precio de un artículo es una función de la
demanda de ese artículo.
• La altura es una función de la edad.
• La temperatura es una función de la fecha.
• El costo de enviar por correo un paquete es una
función del peso. 5© copywriter

5. Ilustración de una función
•
a
x
•
•
•
)(
)(
af
xf
BBAA
ff
Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas.Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas.
Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. LaCada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La
flecha indica que se relacionan.flecha indica que se relacionan.
6© copywriter

6. Función cuadrática
• La función cuadrática asigna a cada número
real xx su cuadrado xx22
..
– Evaluar f(3), f(-2) y .
– Hallar el dominio y el rango de f.
– Trazar el diágrama de máquina para f.
( )xf
7© copywriter

7. Evaluar :Evaluar : Dominio y Rango:Dominio y Rango:
8
5)5()5(
4)2()2(
93(3)
2
2
2
==
=−=−
==
f
f
f El dominio de ff es el conjunto R de todos
los números reales. El rango consiste en
los valores de f(x)f(x), es decir, los números de
la forma x2
. Como x2
≥ 0 para todos los
números reales xx, se puede ver que el
rango de f es:
{ } [ )∞=≥ ,00/ yy
Diágrama de máquina:Diágrama de máquina:
4)2(2
933
2
2
2
→−→−
→→
→ xx
© copywriter

8. Evaluación de una funciónEvaluación de una función
• Sea f(x) = 3x2
+ x – 5. Evalúe cada valor de la
función dado.
9
=−+=− 5(__)(__)3)2() 2
fa -2 -2 5-2 -2 5
=−+= 5(__)(__)3)0() 2
fb 0 0 - 50 0 - 5
=−+= 5(__)(__)3)4() 2
fc 4 4 474 4 47
=−+=





5(__)(__)3
2
1
) 2
fd ½ ½ -15/4½ ½ -15/4
© copywriter

9. Función definida por partesFunción definida por partes
10
Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y
cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una
función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como;
Determine C(100), C(400), C(480).
Solución:



−+
=
)400(2.039
39
)(
x
xC
400
4000
>
≤≤
x
xsi
si
© copywriter

10. • Solución:
Una función es una regla.
Tarifa 1:
Tarifa 2:
Tarifa 3:
11
)400(2.039)100( −+= xC
39)400400(2.039)100( =−+=C
Ya que 100 ≤ 400, se tiene C(100) = 39
)400(2.039)400( −+= xC
Ya que 400 ≤ 400, se tiene C(400) = 39
39)400400(2.039)400( =−+=C
)400(2.039)480( −+= xC
Ya que 480 > 400, se tiene C(480) = 55
55)400480(2.039)480( =−+=C



−+
=
)400(2.039
39
)(
x
xC
400
4000
>
≤≤
x
xsi
si
© copywriter

11. Conclusión
• El plan tiene un cargo mensual de:
• $39.00 por 100 minutos.
• $39.00 por 400 minutos.
• $55.00 por 480 minutos.
12© copywriter

12. EjerciciosEjercicios
13
Sección 2.1Sección 2.1
Página 155Página 155
Ejercicios: 1 – 57Ejercicios: 1 – 57
En el salón: 13, 16, 18, 20, 22,En el salón: 13, 16, 18, 20, 22,
2424
Aplicación: 60, 62 y 64Aplicación: 60, 62 y 64 gráficas
© copywriter

13. 14
2.22.2
Gráfica de FuncionesGráfica de Funciones
© copywriter

14. 2.2 Gráficas de Funciones2.2 Gráficas de Funciones
La gráfica de una funciónLa gráfica de una función
Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es
el conjunto de pares ordenados.
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos
(x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de
la ecuación y = f(x).
15
( ){ }Axxfx ∈/)(,
© copywriter

15. Gráfica de funcionesGráfica de funciones
16
Trace la gráfica de las siguientes funciones.
2
)() xxfa = 3
)() xxgb = xxhc =)()
© copywriter

16. Gráfica de funcionesGráfica de funciones Valor AbsolutoValor Absoluto
17





−
=
x
x
x
0
0
<
≥
x
x
Traze la gráfica de xxf =)(
© copywriter

17. Funciones por parteFunciones por parte
18





+
=
12
)(
2
x
x
xf
1
1
>
≤
x
x
f(x)=2x + 1
x > 1
f(x)=2x + 1
x > 1
f(x)=x2
x 1
f(x)=x2
x 1≤
© copywriter

18. Ecuaciones que definen funcionesEcuaciones que definen funciones
19
2:
2)
2
2
+=
=−
xySolucion
xya
2
22
4:
4)
xySolucion
yxb
−±=
=+
y = 2
y2
= 4
Si es función
NO es función
GRAFICA
© copywriter

19. 20
EjerciciosEjercicios
20
Sección 2.2Sección 2.2
Página 167Página 167
Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50
Aplicación: 84, 86Aplicación: 84, 86
© copywriter

20. 21© copywriter

21. 2.32.3 Funciones crecientes y decrecientes;Funciones crecientes y decrecientes;
tasa de cambio promediotasa de cambio promedio
• Las funciones se emplean con frecuencia para
modelar cantidades cambiantes.
• Es importante saber donde sube y gráfica y
donde baja.
22© copywriter

22. Funciones crecientes y decrecientesFunciones crecientes y decrecientes
23
a b c d
B
A
C
D
)(xfy =
f es CRECIENTE
f es DECRECIENTE
f es CRECIENTE
Solución:
f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
[ ] [ ]dcyba ,,
[ ]cb,
© copywriter

23. Definición
24
f es crecientecreciente en un intervalo l si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es decrecientedecreciente en un intervalo l f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
x1
x2
f
f(x2)
x1
x2
f
f(x2)
f(x1)
f(x1)
crecientecreciente decrecientedecreciente
© copywriter

24. © copywriter 25

25. 26
0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años)
W (lb)
200
150
100
50
Ejemplo:
La siguiente gráfica da el peso WW de una persona de la edad x. Determine los
intervalos en los que la función WW es creciente y en los que es decreciente.
Solución:
f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE:
f es DECRECIENTE en: .
[ ] [ ]40,35,25,0
[ ]50,40
[ ] [ ]80,50,35,25
Esto significa que la persona ganó peso hasta los
25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50.
© copywriter

26. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la
función
a) Traze la gráfica de la función
b) Halle el dominio y el rango de la función.
c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye.
3
2
)( xxf =
Solución:
a) Traze la gráfica de la función:
( )3 23 23
2
)( xxxxf ===
27
-20 20
-1
10
X Y
© copywriter

27. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde
crece y disminuye la función
28
Solución:
b) Halle el dominio y el rango de la función.
c) Encuentre los intervalos en los que f crece y
disminuye.
[ )∝=
ℜ=
,0Rango
Dominio
( ]
[ )∝=
∝−=
,0Crece
0,Decrece
© copywriter

28. Tasa de cambio promedioTasa de cambio promedio
• La tasa de cambio promedio de la función y = f(x)
entre x = a y x = b es:
29
ab
afbf
−
−
==
)()(
en xcambio
yencambio
promediocambiodetasa
© copywriter

29. f(b)
y = f(x)
• La tasa de cambio promedio es la pendiente de la
recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, es
decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)).
30
0 a b
f(b) – f(a)
b – a
f(a)
yy
xx
ab
afbf
−
−
=
)()(
promediocambiodetasa
© copywriter

30. Ejemplo
• La función:
a) x = 1 y x = 3
31
2
)3()( −= xxf
2
2
40
13
)31()33(
13
)1()3(
)()(
22
−=
−
=
−
−−−
=
−
−
=
−
−
ff
ab
afbf
9
16
4
© copywriter

31. 32
Ejemplo
• La función:
b) x = 4 y x = 7
32
2
)3()( −= xxf
5
3
116
47
)34()37(
47
)4()7(
)()(
22
=
−
=
−
−−−
=
−
−
=
−
−
ff
ab
afbf
9
16
4
© copywriter

32. Ejercicio 13; Pág. 179
33
5f(b)4;b
3f(a)1;a
:Datos
==
==
⋅
⋅
)(xfy =
3
2
14
)3()5()()(
=
−
−
=
−
− ff
ab
afbf
© copywriter

33. Práctica 2.3:
• En el salón: 14, 15, 16, 17, 18 y 19
• Asignación: 1 – 30
• Problemas de aplicación: 22, 24, 26, 32, 34,36
(Para Entregar; 35 pts)
34© copywriter

34. 35
2.42.4
Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones
© copywriter

35. 2.42.4 Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones
36
En esta sección se estudia como ciertas
transformaciones de una función afectan una
gráfica. Las transformaciones son desplazamiento,
reflexión y estiramiento.
-20 20
10
2)( 2
−= xxh
2
)( xxf =
3)( 2
+= xxg
Veamos la definición
Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas
Gráfic
a © copywriter

36. Desplazamientos vérticalesDesplazamientos vérticales
37
x
y
cc
y = f(x) + c
y = f(x)
Suponga que c > 0
Para gráficar y = f(x) + c, desplace cc unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x).
Para gráficar y = f(x) – c, desplace cc unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).
x
y
cc
y = f(x)
y = f(x) – c
© copywriter

37. Ejemplo: Desplazamientos vérticalesEjemplo: Desplazamientos vérticales
38
Use la gráfica f(x) = x3
– 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica
de cada función.
a) g(x) = x3
– 9x + 10 b) h(x) = x3
– 9x – 20
f(x) = xf(x) = x33
– 9x– 9x
g(x) = xg(x) = x33
– 9x + 10– 9x + 10
h(x) = xh(x) = x33
– 9x – 20– 9x – 20
-30
30
Hacer gráficas
© copywriter

38. Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales
39
x
y
y = f(x)
y = f(x – c)
x
y
y = f(x + c) y = f(x)
cccc
Suponga que c > 0.
Para gráficar y = f(x – c), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades.
Para gráficar y = f(x + c), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades.
© copywriter

39. Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales
40
g(x) = (x + 4)2
f(x) = x2
h(x) = (x – 2)2
- 4 0 2
Usemos la gráfica de f(x) = x2
para trazar la gráfica de las siguientes funciones.
a) g(x) = (x + 4)2
b) h(x) = (x – 2)2
Hacer gráficas
© copywriter

40. Ejemplo: Combinación de desplazamientosEjemplo: Combinación de desplazamientos
41
Bosqueje la gráfica de: 43)( +−= xxf
0
xy = 3−= xy
43)( +−= xxf
(3, 4)
grafica
© copywriter

41. Reflexión de gráficasReflexión de gráficas
42
x
y
y = f(x)
y = -f(x)
x
y
y = f(-x)
y = f(x)
Para gráficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.
Para gráficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.
© copywriter

42. Ejemplo: Reflexión de gráficasEjemplo: Reflexión de gráficas
43
Trace la gráfica de cada función:
0
2
)(a) xxf −= xxg −=)(b)
xy =
xxg −=)(
2
xy =
2
)( xxf −=
Hacer gráficas
© copywriter

43. Pág. 190; Ejercicio 11
44
f(x) = x2
0 2
g(x) = (x – 2)2
0 2
11)
12)
f(x) = x3
g(x) = x3
+ 3
© copywriter

44. Estiramiento y acortamiento vérticalEstiramiento y acortamiento vértical
45
Para gráficar y = cf(x)y = cf(x)::
Si c>1c>1, alarge verticalmente la gráfica de y = f(x)y = f(x) por un factor de cc.
Si 0 < c < 10 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = f(x)y = f(x) por un factor de cc.
x
y
x
y
y = cf(x)
y = f(x)
y = f(x)
y = cf(x)
c > 1 0 < c < 1
© copywriter

45. Acortamiento y alargamiento horizontalAcortamiento y alargamiento horizontal
46
La gráfica de y = f(cx)y = f(cx):
Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
x
y
x
y
y = f(cx)
y = f(x)
y = f(cx)
y = f(x)
© copywriter

46. f(-x)
f(x)-x
x
47
Funciones par e imparFunciones par e impar
Sea f una función:
f es par si f(-x) = f(x)f(-x) = f(x) para toda xx en el dominio de ff.
f es impar si f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x) para toda xx en el dominio de ff.
x
y
x
y
f(x)f(-x)
-x x
La gráfica de una función par es
simétrica con respecto al eje x.
La gráfica de una función impar es
simétrica con respecto al origen.
© copywriter

47. 48
Ejercicio de práctica:
Pág. 190
Ejercicio 19Ejercicio 19: Se da la gráfica de f.
Bosqueje las gráficas de las siguientes
funciones.
a)a) y = f(x – 2)y = f(x – 2)
b)b) y = f(x) – 2y = f(x) – 2
c)c) y =2 f(x)y =2 f(x)
d)d) y = -f(x) + 3y = -f(x) + 3
e)e) y = f(-x)y = f(-x)
f)f) y = ½ f(x – 1)y = ½ f(x – 1)
Gráfic
a
a) b)
c) d)
© copywriter

48. 49
f)
e)
Cont…
© copywriter

49. 50
Problemas para resolverProblemas para resolver
Pág. 190Pág. 190
1 – 551 – 55
61 – 6861 – 68
© copywriter

50. 2.5 Funciones cuadráticas:2.5 Funciones cuadráticas:
máximos y mínimosmáximos y mínimos
51© copywriter

51. 52
2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos
Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más
grande o más pequeño de la función en un intervalo.
En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo
y mínimo de funciones cuadráticas y otras.
Una función cuadrática es una función f de la forma:
f(x) = axf(x) = ax22
+ bx + c+ bx + c
donde a, b y c son números reales y a ≠ o
© copywriter

52. Forma estándar de una función cuadráticaForma estándar de una función cuadrática
53
Una función cuadrática f(x) = axf(x) = ax22
+ bx + c+ bx + c se puede expresar en la forma estándarforma estándar
f(x) = a(x – h)2
+ k
completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice (h, k); la parábola
se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
0 h x
y
k •
Vértice (h, k)
0 h x
y
k
•
Vértice (h, k)
f(x) = a(x – h)2
+ k, a > 0 f(x) = a(x – h)2
+ k, a < 0
© copywriter

53. 54
Ejemplo:Ejemplo: Forma estándar de una funciónForma estándar de una función
cuadráticacuadrática
Sea f(x) = 2x2
– 12x + 23
a)Exprese f en forma estándar
b)Bosqueje la gráfica
Solución: Como el coeficiente de x2
no es 1, se debe factorizar este.
f(x) = 2x2
– 12x + 23
= 2(x2
– 6x) + 23 Ahora aplica completar al
cuadrado
= 2(x2
– 6x + ___) + 23 – 2(___)
= 2(x – 3)2
+ 5
La forma estándar es f(x) = 2(x – 3)2
+ 5
9 99 9
© copywriter

54. 55
Ejemplo:Ejemplo: Forma estándar de una funciónForma estándar de una función
cuadráticacuadrática
b) Bosqueje la gráfica
0 3 x
y
5 •
Vértice (3, 5)
f(x) = 2(x – 3)2
+ 5
© copywriter

55. 56
Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática
Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h)2
+ k. El valor
máximo o míinimo de f ocurre en x = h.
Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k.
Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k.
0 h x
y
k •
mínimo
0 h x
y
k
•
máximo
f(x) = a(x – h)2
+ k, a > 0 f(x) = a(x – h)2
+ k, a < 0
© copywriter

56. 57
Ejemplo:Ejemplo: Valor mínimo de una funciónValor mínimo de una función
cuadráticacuadrática
f(x) = 5x2
– 30x + 49
Halla:
a)Forma estándar
b)Gráfica
c)Valor mínimo
a) Forma estándar:
f(x) = 5(x2
– 6x) + 49
= 5(x2
– 6x + ____) + 49 – 5(____)
= 5(x – 3)2
+ 4
b) Gráfica
9 99 9
0 3 x
y
4 •
Valor mínimo 4
f(x) = a(x – h)2
+ k, a > 0
c) Valor mínimo
Como el coeficiente de x2
es
positivo, f tiene un valor mínimo.
Valor mínimo es f(3) = 4
GRAFICA
© copywriter

57. 58
Ejemplo:Ejemplo: Valor máximo de una funciónValor máximo de una función
cuadráticacuadrática
f(x) = -x2
+ x + 2
Halla:
a)Forma estándar
b)Gráfica
c)Valor mínimo
a) Forma estándar:
f(x) = -x2
+ x + 2
= -(x2
– x) + 2
= -(x2
– x + ____) + 2 – (-1)(____)
= -(x – ½)2
+ 9/4
b) Gráfica
1/4 1/41/4 1/4
0 1 2 x
y
½
•
Valor máximo es 9/4
f(x) = a(x – h)2
+ k, a < 0
c) Valor mínimo
Como el coeficiente de x2
es
negativo, f tiene un valor máximo.
Valor máximo es f(1/2) = 9/4.
(1/2, 9/4)(1/2, 9/4)
GRAFICA
© copywriter

58. 59
Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax2
+ bx + c ocurre en:
Si a > 0, entonces el valor mínimo es
Si a < 0, entonces el valor máximo es
a
b
x
2
−=






−
a
b
f
2






−
a
b
f
2
© copywriter

59. 60
Ejemplo:Ejemplo: Halla valores máximos y mínimos deHalla valores máximos y mínimos de
funciónes cuadráticasfunciónes cuadráticas
Halla el valor máximo o mínimo de cada función cudrática.
a)f(x) = x2
+ 4x b) g(x) = -2x2
+ 4x – 5
Como a > 0, la función tiene el
valor mínimo: f(-2) = -4
2
)1(2
4
2
−=−=−=
a
b
x 1
)2(2
4
2
=
−
−=−=
a
b
x
Como a < 0, la función tiene e
valor máximo: f(1) = -3
GRAFICA
© copywriter

60. 61
Página 200
Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón)
Ejercicios asignados: 1 – 58
Aplicación: 59
© copywriter

61. 62
2.7 Combinación de Funciones2.7 Combinación de Funciones
© copywriter

62. 63
Combinación de FuncionesCombinación de Funciones
En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construirEn esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir
otras.otras.
SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTESSUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES
Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f – g, f(g)
y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide
números reales. Se define la información f + g por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
© copywriter

63. 64
Algebra de FuncionesAlgebra de Funciones
Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g seSean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se
definen como:definen como:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)(fg)(x) = f(x)g(x)
BADominio ∩
BADominio ∩
BADominio ∩
{ }0g(x)/BAxDominio ≠∩∈
)(
)(
)(
g
f
xg
xf
x =





© copywriter

64. 65
Ejemplo:Ejemplo: Combinación de funciones y sus dominiosCombinación de funciones y sus dominios
xxg
x
xf =
−
= )(;
2
1
)(Sea
dominios.susy,y,,funcioneslasEncuentre)
g
f
fggfgfa −+
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ).4,4g,4,4Encuentre) 





−+
g
f
fgfgfb
SoluciónSolución::
a)a)El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}.El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}.
La intersección de los dominios de f y g es:La intersección de los dominios de f y g es:
{x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞){x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞)
© copywriter

65. 66
x
x
xgxfxgf +
−
=+=+
2
1
)()())((
x
x
xgxfxgf −
−
=−=−
2
1
)()())((
( ) 22
1
)()())((
−
=





−
==
x
x
x
x
xgxfxfg
( ) xxxxxg
xf
x
g
f
2
11
2
1
)(
)(
)(
−
=











−
==





Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Solución:Solución:
En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0.
© copywriter

66. 67
b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cadab) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada
función.función.
( )
( )g( )f( )g)( )(f +
−
=+=+
2
1
( )
( )
2
1
)()())(( −
−
=−=− gfgf
( )
( )( ) ( )
( ) 22
1
)()())((
−
=





−
== gffg
( ) ( ) ( )( ) ( )2
11
2
1
)(
)(
)(
−
=














−
==





g
f
g
f
4 4 4 44 4 4 4
44
Solución:Solución:
4 4 4 44 4 4 4
44
4 4 44 4 4
44
44
44
44
44
44
44 44 44 44 44
2
5
=
2
3
−=
1=
4
1
=
© copywriter

67. 68
Ejemplo:Ejemplo: Determine laDetermine la composicióncomposición de funcionesde funciones
3)(Sea 2
−== xg(x)yxxf
dominios.susyyfuncioneslasEncuentre) fggfa 
( )( ) ( )( ).7y5Halle) fggfb 
© copywriter

68. 69
Solución:Solución:
a) Se tiene;a) Se tiene; 3)(Sea 2
−== xg(x)yxxf
( ) ( )
( )
( )2
=
=
=
f
fxgf 
( ) ( )
( )
=
=
=
g
gxfg 
g(x)g(x) Definición de f compuesta con g.Definición de f compuesta con g.
x – 3x – 3 Definición de g.Definición de g.
x – 3x – 3 Definición de f.Definición de f.
f(x)f(x) Definición de g compuesta con f.Definición de g compuesta con f.
xx22
Definición de f.Definición de f.
xx22
– 3– 3 Definición de g.Definición de g.
© copywriter

69. 70
Solución:Solución:
b) Se tiene:b) Se tiene:
( ) ( ) 42)35()3g(5 22
==−== fx-fgf 
( ) 463493)7()())((7 22
=−=−=== xgxfgfg 
© copywriter

70. 71
EjemploEjemplo Determine la composiciónDetermine la composición
de funcionesde funciones
dominios.susyfuncionessiguienteslas
encuentre,2g(x)yxSi xf(x) −==
ggdfc) ffb) ggfa  ))
( )
4
2
2
2
))(()()
x
x
xf
xgfxgfa
−=
−=
−=
=
El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).
© copywriter

71. 72
( )
x
xfgxfb) g
−=
=
=
2
xg
))(()(
x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o
bien x ≤ 4
x−2 02 ≥− x 2≤x
[ ]0,4cerradointervalounesdominioeltantoloPor fg 
( )
4
x
x
))(()(
x
f
xffxfc) f
=
=
=
= [ )0,esdominioEl ∞ff 
© copywriter

72. 73
( )
x
xg
xggxgd) g
−−=
−=
=
22
2
))(()(
022y02cuandodefineseexpresiónEsta ≥−−≥− xx
[ ]2,2esdedominioelqueasí,22 −≤≤− ggx 
© copywriter

73. 74
Ejemplo: Una composición de tres funcionesEjemplo: Una composición de tres funciones
.3)(y)(,
)1(
)(siEncuentre 10
+==
+
= xxhxxg
x
x
xfhgf 
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) 13
3
3
3
:
10
10
10
++
+
=
+=
+=
=
x
x
xf
xgf
xhgfxhgf
Solución

© copywriter

74. 75
Ejemplo: Cómo reconocer una composición deEjemplo: Cómo reconocer una composición de
funcionesfunciones
.quetalesyfuncioneslasencuentre,94
gfFgfxF(x)Dada =+=
( )( ) ( )( )
( )
F(x)
x
xf
xgfxgf
xf(x)xg(x)
Solución
9
9
9
:
4
4
=
+=
+=
=
=+=

© copywriter

75. 76
2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)
Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:
2
)(,3)()1 xxgxxf =−=
13)(,2)()2 22
−=+= xxgxxxf
xxxf −+= 1)()7
( ) 41
3)()9
−
−= xxh
© copywriter

76. 77
2.7 Ejercicios2.7 Ejercicios
1 – 101 – 10
13 – 5413 – 54
© copywriter

77. 78
2.8 Funciones2.8 Funciones
uno a uno y sus inversasuno a uno y sus inversas
© copywriter

78. 79
La inversainversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y
produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo
que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí
tienen se llaman funciones uno a uno.
A BA B A BA B
•
•
•
•
1
2
3
4
2
4
7
10
•
•
•
•
ff gg
•
•
•
•
1
2
3
4
2
4
10
•
•
•
f es funciónf es función
gg NONO es funciónes función
© copywriter

79. 80
Definición de una función uno a unoDefinición de una función uno a uno
Una función con dominio A se llama función uno a uno si noUna función con dominio A se llama función uno a uno si no
hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, eshay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es
decir,decir,
f(xf(x11) ≠ f(x) ≠ f(x22)) siempre quesiempre que xx11 ≠ x≠ x22
© copywriter

80. 81
Prueba de la recta horizontalPrueba de la recta horizontal
Una función es uno a uno si y sólo si ninguna rectaUna función es uno a uno si y sólo si ninguna recta
horizontal cruza su gráfica de una vez;horizontal cruza su gráfica de una vez;
y = f(x)
f(x1)
f(x2)
x1 x2
La función no es uno a uno porque f(xLa función no es uno a uno porque f(x11) = f(x) = f(x22).).
© copywriter

81. 82
Ejemplo: Decidir si una función es unoEjemplo: Decidir si una función es uno
a unoa uno
¿La función f(x) = x¿La función f(x) = x33
es uno a uno?es uno a uno?
f(x) = xf(x) = x33
Por la prueba horizontalPor la prueba horizontal
es uno a uno.es uno a uno.
© copywriter

82. 83
Ejemplo: Decidir si una función es unoEjemplo: Decidir si una función es uno
a unoa uno
¿La función g(x) = x¿La función g(x) = x22
es uno a uno?es uno a uno?
g(x) = xg(x) = x22
Por la prueba horizontalPor la prueba horizontal
eses NONO uno a uno.uno a uno.
© copywriter

83. 84
Ejemplo: Mostrar si una función esEjemplo: Mostrar si una función es
uno a unouno a uno
Muestre que la funciónMuestre que la función f(x) = 3x + 4f(x) = 3x + 4 es uno a uno.es uno a uno.
Solución:Solución:
Suponga que hay númerosSuponga que hay números xx11 yy xx22 tales quetales que f(xf(x11) = f(x) = f(x22)). Entonces,. Entonces,
33xx11 + 4 =+ 4 = 33xx22 + 4+ 4
33xx11 == 33xx22
xx11 = x= x22
© copywriter

84. 85
Definición de la inversa de una funciónDefinición de la inversa de una función
Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces suSea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversafunción inversa ff -1-1
tiene dominio en B y rango en A y está definida por;tiene dominio en B y rango en A y está definida por;
ff -1-1
(y) = x ↔ f(x) = y(y) = x ↔ f(x) = y
para cualquierpara cualquier yy en B.en B.
A BA B
•x f(x)y =•
ff
ff -1-1
Dominio de fDominio de f -1-1
= rango de f= rango de f
Rango de fRango de f -1-1
= dominio de f= dominio de f
© copywriter

85. 86
Ejemplo: EncuentreEjemplo: Encuentre ff -1-1
para valores específicospara valores específicos
Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1
(5), f-1
(7) y f-1
(-10).
Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1
;
f-1
(5) = 1porque f(1) = 5
f-1
(7) = 3porque f(3) = 7
f-1
(-10) = 8 porque f(8) = -10
11
33
88
55
77
-10-10
11
33
88
55
77
-10-10
AA BB CC DD
En forma de gráficaEn forma de gráfica:
ff ff -1-1
© copywriter

86. 87
Propiedad de la función inversaPropiedad de la función inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La funciónSea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función
inversa finversa f -1-1
satisface las siguientes propiedades de cancelación.satisface las siguientes propiedades de cancelación.
ff -1-1
(f(x)) = x(f(x)) = x para toda x en Apara toda x en A
f(ff(f -1-1
(x)) = x(x)) = x para toda x en Bpara toda x en B
A la inversa, cualquier función fA la inversa, cualquier función f -1-1
que satisface estas ecuacionesque satisface estas ecuaciones
es la inversa de f.es la inversa de f.
© copywriter

87. 88
EjemploEjemplo Verificar que dos funciones son inversasVerificar que dos funciones son inversas
Muestre que f(x) = xMuestre que f(x) = x33
y g(x) = xy g(x) = x1/31/3
son inversas entre sí.son inversas entre sí.
Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.
g(f(x)) = g( ) = ( ) = xg(f(x)) = g( ) = ( ) = x
f(g(x)) = f( ) = ( ) = xf(g(x)) = f( ) = ( ) = x
Por consiguiente, son inversas entre sí.Por consiguiente, son inversas entre sí.
xx33
xx1/31/3
xx33 1/31/3
xx1/31/3 33
Ejercicio 22, página 230:
f(x) = 2x – 5; g(x) =
Solución:
2
5x +
f(g(x)) = f( ) = =
2
5x +
2
5)( +
© copywriter