1. Unidad 1
La problemática
Tema 1.4
Estudio Cualitativo del Cambio no Uniforme
Ejemplo CAE y AC

2. Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto con base de área
900 cm2 y 100 centímetros de altura. Dos llaves actúan en el tanque a
partir de cierto instante (t = 0) de tal manera que el nivel del agua h,
medido en centímetros, cambia con respecto al tiempo transcurrido, 100 cm
medido en minutos. La forma en que actúan las llaves es diferente: h
La primera introduce agua a razón constante de 1800 cm3/minuto. 900 cm2
La segunda desaloja agua a razón de 3600t cm3/minuto.
En este instante (t = 0), sabemos que el nivel del agua es h0 = 15 cm.
a) Determina la ecuación que dé cuenta del nivel del agua cuando haya transcurrido t minutos
b) En que instante se vacía el tanque.
c) Describe lo que sucede con el nivel del agua en el tanque: ¿Crece? ¿Decrece? ¿Lo hace
cada vez más rápido? ¿Cada vez más lento?

3. Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto con base de área
900 cm2 y 100 centímetros de altura. Dos llaves actúan en el tanque a
partir de cierto instante (t = 0) de tal manera que el nivel del agua h,
medido en centímetros, cambia con respecto al tiempo transcurrido, 100 cm
medido en minutos. La forma en que actúan las llaves es diferente: h
La primera introduce agua a razón constante de 1800 cm3/minuto. 900 cm2
La segunda desaloja agua a razón de 3600t cm3/minuto.
En este instante (t = 0), sabemos que el nivel del agua es h0 = 15 cm.
a) Determina la ecuación que dé cuenta del nivel del agua cuando haya transcurrido t minutos
Primero observemos que la magnitud que estamos analizando es el nivel de agua h el cual se
mide en cm. Y la razón de cambio no corresponde con esta magnitud ¿por qué?.
Transformemos nuestras razones de cambio para que correspondan con la magnitud que se
analiza
3 3
cm cm
1800 3600t
r1  mi nuto  2 cm mi nuto  4t cm
2 mi nuto r2  2 mi nuto
900cm 900cm

4. r1 = 2cm/minuto
a) Determina la ecuación que dé cuenta del
nivel del agua cuando haya transcurrido
t minutos 100 cm
h r2 = -4t cm/minuto
El nivel de agua en el depósito está cambiando a una
900 cm2
razón dada por la fórmula:
r t   r1  r2
r t   2  4t
Dado lo anterior la h se comporta de la siguiente forma:
a n 1 b
h t   C  t  t m 1
n 1 m 1
h t   15  2t  2t 2

5. r1 = 2cm/minuto
b) En que instante se vacía el tanque.
100 cm
Decir que el tanque se vacíe indica que el nivel de h r2 = -4t cm/minuto
agua sea 0.
900 cm2
Dado que ya contamos con una ecuación para el nivel h de agua, entonces igualamos esta
ecuación a cero. 2
h t   15  2t  2t
2
0  15  2t  2t
Dicha ecuación la podemos reescribir como:
2
2t  2t  15  0
La cual corresponde a una ecuación cuadrática que se puede resolver con cualquier de los
métodos ya estudiados.
Al resolver la ecuación obtenemos: t = -2.284 y t = 3.284
De donde concluimos que el tanque queda vacío en t = 3.284 minutos.

6. c) Describe lo que sucede con el nivel del agua en r1 = 2cm/minuto
el tanque: ¿Crece? ¿Decrece? ¿Lo hace cada
vez más rápido? ¿Cada vez más lento?
Para describir el comportamiento del nivel de agua, 100 cm
basta con que analicemos la razón de cambio h r2 = -4t cm/minuto
Recordemos que: r t   2  4t 900 cm2
Si graficamos dicha razón obtenemos:
Si observamos la gráfica de la razón de cambio podemos afirmar que:
r En el intervalo de [0 , 0.5] , la razón de cambio es:
Positiva y decreciente
15.5 Lo cual nos indica que en este intervalo la gráfica crece y
es cóncava hacia abajo
15
En el intervalo de 0.5 en adelante, la razón de cambio es:
Negativa y decreciente
2 Lo cual nos indica que en este intervalo la gráfica decrece y
es cóncava hacia abajo
t
?
0.5 De lo anterior podemos concluir que:
3.284
[0 , 0.5] el nivel crece y lo hace cada vez más lento,
igualamos [0.5 , 3.284] el nivel decrece y lo hace cada vez más rápido.
r a cero
Más aún en el tiempo t = 0.5 minutos el nivel alcanza su
máximo valor.

7. Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto como el que se
muestra en la figura. Tres llaves actúan en el tanque a partir de
cierto instante (t = 0) de tal manera que el nivel del agua h, medido 100 cm
h
en centímetros, cambia con respecto al tiempo transcurrido,
medido en minutos. La forma en que actúan las llaves es diferente:
La primera introduce agua a razón de 2 cm/minuto.
La segunda desaloja agua a razón de 4t cm/minuto.
La tercera introduce agua a razón variable de 3t 2 cm/minuto
En el instante t = 0, sabemos que el nivel del agua es h0 = 15 cm.
a) Determina la ecuación que dé cuenta del nivel del agua cuando haya transcurrido t minutos.
b) ¿Existe algún instante en el cual el tanque alcance su máximo nivel?.
c) Describe lo que sucede con el nivel del agua en el tanque: ¿Crece? ¿Decrece? ¿Lo hace cada
vez más rápido? ¿Cada vez más lento?

8. El nivel de agua h (en cm) en un contenedor de altura de 150 cm. está cambiando conforme
transcurre el tiempo t (medido en minutos), la razón a la cual cambia dicho nivel está dada
por la fórmula:
r t    2t 2  17t  8
Si inicialmente (t = 0) el nivel de agua en el contenedor es de 5 cm. contesta lo siguiente:
a) Determina la ecuación que da cuenta del nivel del agua en cualquier instante t .
b) Realiza una gráfica detallada de la razón de cambio del nivel de agua.
c) ¿Existe algún instante en el cual el tanque se llena por completo? Justifica tu respuesta.
d) ¿Existe algún instante de tiempo en el cual el tanque queda completamente vacio? Justifica
tu respuesta.
e) Describe lo que sucede con el nivel de agua en el tanque: ¿Crece? ¿Decrece? ¿Lo hace cada
vez más rápido? ¿Cada vez más lento?

9. Sea:
M x    3x 3  5x 2  x  1
La fórmula para cierta magnitud M. De acuerdo con esto, contesta lo siguiente:
a) Determina si M (x ) alcanza algún valor máximo o mínimo. Justifica respuesta.
b) Calcula el valor de la magnitud para x = 0.25, determina además si en este valor la
magnitud está creciendo o decreciendo.
Sea:
M x    x 4  12x 3  48x 2  80x  51
La fórmula para cierta magnitud M. De acuerdo con esto, contesta lo siguiente:
a) Calcula el valor de la magnitud para x = 6, determina además si en este valor la magnitud
está creciendo o decreciendo.
b) Determina si M (x ) alcanza algún valor máximo o mínimo en x = 2 y x = 5. Justifica
respuesta.