El documento presenta tres ejemplos relacionados con el cálculo de sumas de Riemann y el teorema fundamental del cálculo. El primer ejemplo calcula la cantidad de agua derramada en 2 minutos mediante sumas de Riemann de orden 4 y 10 y luego calcula el valor exacto mediante el límite de una suma de Riemann de orden n e integrales definidas. El segundo ejemplo calcula la cantidad de barriles de combustible que pasan a través de una válvula en 5 minutos mediante integrales definidas. El tercer ejemplo determina la constante a para que

1. Matemática II
Sesión 4

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
Sumas de Riemann

3. Elaborado por Elsa Guédez
Retomando el ejemplo visto en la clase anterior:
“La base de un recipiente que contiene 9 litros de agua,
presenta un orificio con un mecanismo que permite la salida
del liquido a razón de:
Ejemplo 1:
a) Determina cuánta agua se habrá derramado
aproximadamente durante los primeros 2 minutos, mediante el
uso de una suma de Riemann de orden 4 y tomando los puntos
medios de cada subintervalo como los puntos muestra.

4. Elaborado por Elsa Guédez
c) Determina cuánta agua se habrá derramado exactamente
durante los primeros 2 minutos, mediante el uso de una
Suma de Riemann de orden “n”, tomando los puntos medios
de cada subintervalo como los puntos muestra y calculando
el límite para n → ∞ mediante el uso del Teorema
Fundamental del Cálculo (TFC)
b) Determina cuánta agua se habrá derramado
aproximadamente durante los primeros 2 minutos, mediante el
uso de una suma de Riemann de orden 10 y tomando los
puntos medios de cada subintervalo como los puntos muestra
Ejemplo 1:

5. Elaborado por Elsa Guédez
Parte (a)
Solución del Ejemplo 1:
Se considerará:
Partición de “4” subintervalos para
Ancho de cada subintervalo: ∆t = 2/4 = 0,5 min.
Puntos muestra: Extremos derechos de c/subintervalo

6. Elaborado por Elsa Guédez
Se asumirá constante a F(t) en cada subintervalo y dada por
su valor en el punto muestra respectivo de modo que, la
cantidad de agua “V” que se ha derramado en 2 min. es
aproximadamente:
Solución del Ejemplo 1 (a):
Conclusión
La cantidad aproximada de agua que ha escapado, en los
primeros 2 minutos es 7,99018 litros.

7. Elaborado por Elsa Guédez
Se considerará:
Partición de “10” subintervalos para
Ancho de cada subintervalo: ∆t = 2/10 = 0,2 min.
Puntos muestra: Extremos derechos de c/subintervalo
Solución del Ejemplo 1:
Parte (b)

8. Elaborado por Elsa Guédez
Se asumirá constante a F(t) en cada subintervalo y dada por
su valor en el punto muestra respectivo de modo que, la
cantidad de agua “V” que se ha derramado en 2 min. es
aproximadamente:
Solución del Ejemplo 1(b):
Conclusión
La cantidad aproximada de agua que ha escapado, en los
primeros 2 minutos es 8,0747 litros

9. Elaborado por Elsa Guédez
Se considerará:
Partición de “n” subintervalos para
Ancho de cada subintervalo: ∆t = 2/n min.
Puntos muestra: Extremos derechos de c/subintervalo
Solución del Ejemplo 1:
Parte (c)

10. Elaborado por Elsa Guédez
Se asumirá constante a F(t) en cada subintervalo y dada por
su valor en el punto muestra respectivo de modo que, la
cantidad de agua “V” que se ha derramado en 2 min. es
aproximadamente:
Solución del Ejemplo 1(c):
para obtener el valor exacto pedido se considera:

11. Elaborado por Elsa Guédez
Para calcular este límite se utiliza el siguiente teorema:
Solución del Ejemplo 1(c):

12. Elaborado por Elsa Guédez
En vista de la continuidad de la función F(t) dada, es posible
aplicar el T.F.C. para establecer el valor del límite planteado, y
se determina G(t):
Solución del Ejemplo 1(c):
Y por el TFC se tiene:
V = G(2) – G(0) =
Conclusión:
La cantidad exacta de agua derramada en los primeros 2 minutos
es exactamente 8,09 lts.

13. Elaborado por Elsa Guédez
Una de las válvulas reguladoras de un oleoducto,
ha sido calibrada para que permita el paso de
combustible a razón de:
Ejemplo 2:
Se quiere establecer la cantidad de barriles de
combustible que ha atravesado a la válvula en
mención en los primeros 5 minutos de iniciado su
funcionamiento, para lo cual se quiere que procedas
de acuerdo al siguiente esquema:

14. Elaborado por Elsa Guédez
a) Determina ahora la cantidad exacta de combustible,
considerando una partición regular de “n” subintervalos,
tomando los puntos muestra según el criterio antes
descrito, haciendo luego el paso al límite y a la integral
definida. Calcula luego la cantidad de combustible
mediante el teorema fundamental del cálculo.
Ejemplo 2:
b) Calcular el tiempo requerido para que pasen a
través de la válvula 0,05 litros de combustible.

15. Elaborado por Elsa Guédez
Parte (a): Se considerará: t∈ [0, 5]
Solución del Ejemplo 2:
En vista de la continuidad de la función G(t) dada, es posible
aplicar el T.F.C. para establecer el valor del límite planteado, y
se determina la integral indefinida I(t) (primitiva de G):
Se resuelve utilizando el cambio de variable u = -4 t2:
Para obtener:

16. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2(a):
Y por el TFC, al sustituir (2) en (1), se tiene:
V = I(5) – I(0) =
Conclusión:
La cantidad exacta de barriles de combustible que ha
pasado por la válvula en mención, en los primeros 5
minutos de iniciado su funcionamiento es 0,125
barriles.

17. Elaborado por Elsa Guédez
Parte (b):
Se considerará: t∈ [0, k]
Solución del Ejemplo 2:
Sea “k” la cantidad de minutos requeridos para
que pasen a través de la válvula 0,05 litros de
combustible
Se asumirá, de acuerdo a lo hecho en la parte (a), que:
=I(k) – I(0)

18. Elaborado por Elsa Guédez
Resolviendo por TFC, se establece:
Solución del Ejemplo 2(b):
Conclusión:
Serán requeridos 0,35 minutos para que pasen a través de
la válvula 0,05 litros de combustible.
Despejando “k”, se obtiene:

19. Elaborado por Elsa Guédez
Por estar a la intemperie, las vallas publicitarias reciben la acción de diversos
elementos contaminantes que las deterioran rápidamente.
El equipo de mantenimiento de una empresa que instala vallas de gran
formato en nuestra ciudad, ha determinado que: “t” meses después de
instalado uno de estos anuncios publicitarios, los agentes abrasivos se
depositan en la superficie de la valla a razón de:
Ejemplo 3:
Según el criterio de la empresa, la valla deberá ser reemplazada en
cuanto la superficie contaminada alcance los 15 m2. Determina la
constante “a” de modo que a los 2 meses la valla deba ser reemplazada.
Plantea una integral definida para resolver la problemática propuesta.
2
m
mes
2
a - t
F(t) t e


20. Elaborado por Elsa Guédez
Solución :
Se considerará: t∈ [0, 2]
Ejemplo 3:
La integral se escribe como:
Y el planeamiento se puede escribir como:
2
2
0
a - t
15
t e dt 


21. Elaborado por Elsa Guédez
Dada la continuidad de la función integrando para t∈ [0, 2], es
posible la aplicación del Teorema fundamental del Cálculo.
Solución del Ejemplo 3:
Para ello, se sugiere el cambio de variable:
2
2
0
a - t
2 15
t e dt 

Que equivale a:
Cambio de Variable :
2
a t
u
2
t 0 2
1du tdt a a 4
u 0,5a 0,5a 2
2 2

    
  

22. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3:
y se obtiene:
 
0,5a 2
0,5a
u 15
1 du
e




Aplicando T.F.C.:
0,5a 2
0,5a 2 0,5a
0,5a
u
15 15
e e e


 
 
   
 
 

23. Elaborado por Elsa Guédez
Resolviendo, resulta:
Solución del Ejemplo 3:
 
0,5a
0,5a 2 0,5a 2
15 1 15
e e e e e
 
      
-15
0,5a 0,5a
e 17,3477
2 1
e
e   
 
Despejando el valor de “a”, se obtiene:
Conclusión
El valor de “a” de modo que a los 2 meses la valla deba ser
reemplazada será
  0,5a
0,5a
Ln Ln 17,3477 2,8534 a 5,7069
e
      
 
 
a 5,7069
