El documento describe un método modificado de Newton-Raphson para encontrar raíces múltiples de una función. El método define una nueva función u(x) que es el cociente entre la función original f(x) y su derivada f'(x) para evitar divisiones por cero. Luego aplica el método de Newton-Raphson a la nueva función u(x) para iterar hacia la raíz.

1. Prof.: Ing. Boris Chiriboga

3. MÉTODO DE NEWTON
MODIFICADO
• La dificultad del método de Newton Raphson en el
comportamiento de una función con raíces múltiples
obliga a considerar una modificación del método
discutido por Ralston. Como primero se desean
encontrar las raíces de una función f(x). Definimos una
función nueva U(x), dada por:

4. Raíz múltiple
• Una raíz múltiple corresponde a un punto
donde una función es tangencial al eje x. Por
ejemplo, una raíz doble resulta de
)1)(1)(3()( xxxxf
375)(
23
xxxxf
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4

5. • La ecuación tiene una raíz doble
porque un valor de x hace que dos
términos de la ecuación sean
iguales a cero.
• Gráficamente, esto significa que la
curva toca en forma tangencial al
eje x en la raíz doble.
)1)(1)(3()( xxxxf

6. Raíz Doble
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4

7. Raíz Triple
• Una raíz triple corresponde al caso en
que un valor de x hace que tres términos
en una ecuación sean iguales a
cero, como en
)1)(1)(1)(3()( xxxxxf
310126)(
234
xxxxxf

8. Raíz Triple
• Advierta que la representación
gráfica, figura 2, indica otra vez que la
función es tangente al eje en la raíz, pero
que en este caso sí cruza el eje.
)1)(1)(1)(3()( xxxxxf

9. Raíz Triple
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

10. En general;
• La multiplicidad impar de raíces cruza el
eje.
• Mientras que la multiplicidad par no lo
cruza.

11. Dificultades del método
de raíces múltiples
1. El hecho de que la función no cambie de signo
en raíces múltiples pares impide confiarse de
los métodos cerrados.
2. Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la
raíz:
Esto afecta al método de Newton-Raphson, el
cual contiene derivadas en el denominador de
sus fórmulas respectivas.

12. Dificultades del método
de raíces múltiples
Esto provocará una división entre cero
cuando la solución converge muy cerca
de la raíz.
Pero, f(x) siempre alcanzará un valor
cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se
compara f(x) contra cero, dentro del
programa, entonces los cálculos se
pueden terminar antes de que f’(x) llegue
a cero.

13. Newton-modificado
• Consiste en definir una nueva función
u(x), que es el cociente de la función
original entre su derivada:
)('
)(
)(
xf
xf
xu
)('
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
)('
)(
1
i
i
ii
xu
xu
xx

14. Newton-modificado
2
)('
)('')()(')('
)('
xf
xfxfxfxf
xu
)('')()('
)(')(
21
xfxfxf
xfxf
xx
i
ii
ii

15. Inicio
f(x), xo, tol, imax
)('')()('
)(')(
21
xfxfxf
xfxf
xx
i
ii
ii
i=imax
Si
No
Si
No
Xo=x1
Fin