El documento describe diferentes métodos para discretizar funciones de transferencia de sistemas en tiempo continuo para obtener sistemas equivalentes en tiempo discreto. Se explican métodos como el muestreo directo, el muestreo con retenedor de orden cero, primer orden y triangular, y el método de aproximación racional. Finalmente, se muestran ejemplos de aplicación de estos métodos.

1. 27/03/2013
1
DISCRETIZACIÓN DE
FUNCIONES DE
TRANSFERENCIAS
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Se mostrarán distintos procedimientos
para obtener sistemas en tiempo
discreto que se comporten
aproximadamente igual que un sistema
en tiempo continuo dado. Esta
operación suele denominarse
discretización. El problema no tiene
solución exacta en general, aunque las
diferentes técnicas que se describirán
son de frecuente aplicación, si el
período de muestreo es pequeño.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

2. 27/03/2013
2
Están basadas en la idea de reconstruir
la entrada con un retenedor. Resulta
entonces una simulación exacta
(invariante) para aquellas formas de la
entrada que el retenedor reconstruya
exactamente. Para discretizar la función
de transferencia con este método,
después del muestreador se coloca el
retenedor, este puede ser unitario, de
orden cero (ZOH) o primer orden (FOH),
según corresponda.
A continuación se muestra cuatro
procedimientos para obtener la
discretización con estos métodos.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Para discretizar por este método el
retenedor es unitario (Gh(s)=1), o
sea la función de transferencia es
muestreada directamente por los
trenes de impulso del muestreador,
en este caso la respuesta al
impulso permanece invariante.
También, se puede considerar como
discretizador la función de
transferencia con la Transformada Z
de forma directa.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

3. 27/03/2013
3
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Delta de Kronecker o
Función Impulso
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
De la figura
Discretizando, aplicamos la
Transformada Z, y conociendo
que Z[δ0(k)]=1, se obtiene,
Finalizando:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)]([
)(
)(
)( sGZ
zU
zX
zG 

4. 27/03/2013
4
1. G(z) preserva la respuesta al impulso de
G(s).
2. Si G(s) es estable G(z) también lo es.
3. No preserva la respuesta en frecuencia.
4. Las frecuencias transformadas en G(z) que
son múltiplos de la frecuencia de muestreo
pueden ocasionar aliasing.
5. Si G(s) es una función complicada se
requiere de expandir la función en
fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman mediante e Ts
=z . Pero no así los ceros, que dependen de
las fracciones parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Ejemplo: Obtenga la función de
transferencia impulso donde G(s) es:
• Solución : De la tabla de transformada se
puede obtener directamente esta forma:
Por lo tanto
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

5. 27/03/2013
5
Para este método el retenedor empleado es
de orden cero (ZOH); este permite
conservar la respuesta al escalón de su
equivalente analógico.
Para encontrar la discretización se
sustituye el ZOH por su función de
transferencia continua y se discretiza
el conjunto de retenedor - planta. Una
forma alternativa, es igualar la
respuesta ante un escalón del sistema
analógico con la del discreto.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

6. 27/03/2013
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• De la figura anterior:
• Discretizando se aplica la Transformada
Z, y se obtiene
• Finalmente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
 
)(.
)()(
)(
)(.)(
1
)]([)(
1
*
zU
s
sG
Zz
s
sG
ZzX
sUZsG
s
e
ZsXZzX
Ts






























 



1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al
impulso y en frecuencia.
3. Preserva la respuesta al escalón.
4. Si G(s) es estable G(z) también lo
es.
5. Requiere G(s) sea expandida en
fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman
mediante e Ts =z. Pero no así los
ceros, que dependen de las fracciones
parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

7. 27/03/2013
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• Ejemplo: Obtenga la
Transformada Z de:
• Solución:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• En este método el retenedor empleado es el
de primer orden (FOH). Para lograr la
discretización se sustituye el FOH por su
función de transferencia continua y se
discretiza el conjunto de retenedor-planta.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

8. 27/03/2013
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• De la gráfica anterior
• Discretizando aplicando la Transformada Z, se
obtiene,
• Finalmente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al
impulso, escalón ni frecuencia.
3. Si G(s) es estable G(z) también lo
es.
4. Requiere G(s) sea expandida en
fracciones parciales.
5. Los polos en s se transforman
mediante e Ts =z. Pero no así los
ceros, que dependen de las fracciones
parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

9. 27/03/2013
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Este método el retenedor empleado es el
triangular, este permite conservar la
respuesta a la rampa de su equivalente
analógico. Para encontrar la
discretización se iguala la respuesta
ante una rampa del sistema analógico con
la del discreto.
Sea la respuesta ante una rampa de una
planta analógica:
Entonces la respuesta ante una rampa del
sistema digital equivalente sería
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(
1
)( 2
sG
s
sY 
)(
)1(
)( 2
zG
z
Tz
zY 







Igualando la respuesta en el tiempo
en los dos casos anteriores, se
obtiene:
Despejando G(z) obtenemos la función
de transferencia:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(
)1(
)(
1
22
zG
z
Tz
sG
s 
























 

21
21
2
2
)()1()()1(
)(
s
sG
Z
Tz
z
s
sG
Z
Tz
z
zG

10. 27/03/2013
10
1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al
impulso, escalón ni frecuencia.
3. Preserva la respuesta a la rampa.
4. Si G(s) es estable G(z) también lo
es.
5. Requiere G(s) sea expandida en
fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman
mediante e Ts =z. Pero no así los
ceros, que dependen de las fracciones
parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• 1) Obtenga la función de
transferencia impulso donde
G(s) es:
Solución :
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

11. 27/03/2013
11
Continuando
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Este método se basa en sustituir en G(s), la
variable s, por una función racional en z.
Son sencillas y flexibles de aplicar, en casi
cualquier situación.
Los casos analizados serán:
1. Puede verse como una derivación (backward
rule) o como una integración rectangular.
2. Puede verse como una derivación adelantada,
no causal (forward rule) o como una
integración rectangular retrasada.
3. Puede verse como una integración
trapezoidal. Es la transformación bilineal.
Se conoce también como regla de Tustin.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

12. 27/03/2013
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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en atraso, reemplazando
la derivada de una función por:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Tomando la transformada
de Laplace de esta expresión
• Despejando a s:
• Y como z = esT , entonces:
• Por consiguiente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(zG

13. 27/03/2013
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Como se puede
apreciar, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s en
una zona reducida
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
del plano z, lo cual ocasiona que la zona de
altas frecuencias del plano s no sean
mapeadas a la zona de altas frecuencias del
plano z.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
Características de este método:
1. Los sistemas analógicos estables
siempre se convertirán en
equivalentes digitales estables. Si
G(s) es estable G(z) también lo es.
2. De hecho, algunos sistemas
analógicos inestables se
convertirán en digitales estables.
3. No requiere factorización de la
función de transferencia.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

14. 27/03/2013
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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en adelanto o método de
Euler. Esta es una técnica que
aproxima la derivada de una función
de la siguiente forma:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Tomando la transformada de Laplace de
la ecuación anterior se obtiene
Despejando a s se obtiene
Y como z = esT , entonces:
Por consiguiente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
T
z
s
sGzG 1)()( 



15. 27/03/2013
15
Como se puede ver,
esta transformada
traslada el origen
del plano s a z= -
1, lo que ocasiona
que una función
estable en el plano
s, pueda comportarse
como inestable en el
plano z.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Características de este método:
1. Algunos sistemas analógicos estables se
convertirán en sistemas digitales
inestables.
2. Los sistemas analógicos inestables
también serán digitales inestables bajo
esta conversión.
3. Una desventaja es que el contorno de
frecuencia en el plano z no sigue el
círculo unidad. Por lo tanto, la
discretización por medio de diferencias
hacia delante no es la mejor.
4. No requiere factorización de la función
de transferencia.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

16. 27/03/2013
16
Este método aproxima numéricamente las
integrales, a diferencia de los dos
métodos anteriores donde lo que se
aproxima es la derivada. Se determina una
aproximación numérica para,
Debe recordarse que la integral definida de
una función, no es más que el área bajo
la curva
Ing.JhonJairoAnayaDíaz

tf
o
dttxty )()(
Se aproximará el área bajo la curva
mediante una sumatoria de las áreas
individuales de una serie de
trapecios.
Entonces el área del trapecio k-ésimo
será:
De lo anterior, la integral de x(t)
se podría aproximar de la siguiente
forma
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
 

k
n
k
n
TnxnTx
T
nTAkTyty
11
))1(()(
2
)()()(

17. 27/03/2013
17
Ahora haciendo:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)])1(()([
2
))1(()(
))1(()(
2
))1((
)])1(()([
2
))1(()(
2
)(
1
1
1
1
TnxnTx
T
TkykTy
TnxnTx
T
Tky
TnxnTx
T
TnxnTx
T
kTy
k
n
k
n









Como:
Nos queda:
Tomando la transformada de Laplace de
la anterior expresión
Con lo que
Sabiendo que:
igualamos ambas expresiones
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
ssX
sY 1
)(
)(

 )()(
2
)()( 11
zXzzX
T
zYzsY 









 

1
1
1
1
2)(
)(
z
zT
zX
sY

18. 27/03/2013
18
Obteniendo
Despejando a s:
Finalmente se obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz








 

1
1
1
1
2
1
z
zT
s
















 

1
12
1
12
1
1
z
z
Tz
z
T
s










1
12)()(
z
z
T
s
sGzG
Como se puede
apreciar en la
siguiente
figura, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s
dentro del
círculo
unitario del
plano z.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

19. 27/03/2013
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Características de este método:
1. Todos los sistemas analógicos estables
se convertirán en equivalentes digitales
estables.
2. Además, el eje jw del plano s se
convierte en el círculo unidad del plano
z.
3. No requiere factorización de la función
de transferencia.
4. Preserva tanto la respuesta al impulso
como la respuesta en frecuencia.
5. Crea una distorsión en la zona de altas
frecuencias
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
No MÉTODO Ganancia
Simulaciones Invariantes
1.1
Respuesta invariante G(z)=Z[G(s)]
al impulso
Ajustada
1.2
Repuesta invariante 𝐺 𝑧 =
𝑧−1
𝑧
𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠
al escalón
Igual
1.3 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑧2 𝑍
(𝑇𝑠+1)𝐺(𝑠)
𝑇𝑠2
Primer orden
Igual
1.4 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑇𝑧
𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠2
Primer orden
Igual
II Discretización por aproximación
2.1
Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇
hacia adelante
Igual
2.2
Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇𝑧
hacia atrás
Igual
2.3 Transformación Bilinea 𝑠 =
2
𝑇
𝑧−1
𝑧+1
Igual

20. 27/03/2013
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La integral es Igual a:
Al sustituir esT por z se obtiene
Al cambiara la notación de p por la
variable compleja s se obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Si X(s) tiene polos s1, s2…sm ; y
s=sj es un polo simple se halla el
residuo:
• Si el polo s=si es un polo de orden
múltiple con orden ni se halla el
residuo:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

21. 27/03/2013
21
• Ejemplo 1: Obtenga la X(z) empleando
la Integral de convolución en el
semiplano izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 2
polos simples.
Un polo simple en -1 y un simple en -3.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)3)(1(
1
)(


ss
sX
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
TT
TssTss
TssTss
ez
z
ez
z
zX
ez
z
sez
z
s
zX
ez
z
ss
s
ez
z
ss
s
zX
3
31
31
)2(
1
)2(
1
)(
)1(
1
lim
)3(
1
lim)(
)3)(1(
)3(
lim
)3)(1(
)1(
lim)(


















22. 27/03/2013
22
Cuya solución se desarrolla:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz






















))((2
)(
))((
)()(
2
1
)(
3
3
3
3
TT
TT
TT
TT
ezez
eez
zX
ezez
ezzezz
zX
• Ejemplo 2: Obtenga la X(z)
empleando la Integral de
convolución en el semiplano
izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 3
polos.
Un polo simple en -1 y un polo
múltiple de orden 2 en cero.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

23. 27/03/2013
23
La solución de la ecuación es:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(zX
)(zX
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering.
Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.