Unidad 3 c2-control/DISCRETIZACION DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

27/03/2013
1
DISCRETIZACIÓN DE
FUNCIONES DE
TRANSFERENCIAS
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Se mostrarán distintos procedimientos
para obtener sistemas en tiempo
discreto que se comporten
aproximadamente igual que un sistema
en tiempo continuo dado. Esta
operación suele denominarse
discretización. El problema no tiene
solución exacta en general, aunque las
diferentes técnicas que se describirán
son de frecuente aplicación, si el
período de muestreo es pequeño.

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2
Están basadas en la idea de reconstruir
la entrada con un retenedor. Resulta
entonces una simulación exacta
(invariante) para aquellas formas de la
entrada que el retenedor reconstruya
exactamente. Para discretizar la función
de transferencia con este método,
después del muestreador se coloca el
retenedor, este puede ser unitario, de
orden cero (ZOH) o primer orden (FOH),
según corresponda.
A continuación se muestra cuatro
procedimientos para obtener la
discretización con estos métodos.
• Para discretizar por este método el
retenedor es unitario (Gh(s)=1), o
sea la función de transferencia es
muestreada directamente por los
trenes de impulso del muestreador,
en este caso la respuesta al
impulso permanece invariante.
También, se puede considerar como
discretizador la función de
transferencia con la Transformada Z
de forma directa.

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3
Delta de Kronecker o
Función Impulso
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
De la figura
Discretizando, aplicamos la
Transformada Z, y conociendo
que Z[δ0(k)]=1, se obtiene,
Finalizando:
)]([
)(
)(
)( sGZ
zU
zX
zG 

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1. G(z) preserva la respuesta al impulso de
G(s).
2. Si G(s) es estable G(z) también lo es.
3. No preserva la respuesta en frecuencia.
4. Las frecuencias transformadas en G(z) que
son múltiplos de la frecuencia de muestreo
pueden ocasionar aliasing.
5. Si G(s) es una función complicada se
requiere de expandir la función en
fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman mediante e Ts
=z . Pero no así los ceros, que dependen de
las fracciones parciales.
• Ejemplo: Obtenga la función de
transferencia impulso donde G(s) es:
• Solución : De la tabla de transformada se
puede obtener directamente esta forma:
Por lo tanto

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5
Para este método el retenedor empleado es
de orden cero (ZOH); este permite
conservar la respuesta al escalón de su
equivalente analógico.
Para encontrar la discretización se
sustituye el ZOH por su función de
transferencia continua y se discretiza
el conjunto de retenedor - planta. Una
forma alternativa, es igualar la
respuesta ante un escalón del sistema
analógico con la del discreto.

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• De la figura anterior:
• Discretizando se aplica la Transformada
Z, y se obtiene
• Finalmente
 
)(.
)()(
)(
)(.)(
1
)]([)(
1
*
zU
s
sG
Zz
s
sG
ZzX
sUZsG
s
e
ZsXZzX
Ts






























 



1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al
impulso y en frecuencia.
3. Preserva la respuesta al escalón.
4. Si G(s) es estable G(z) también lo
es.
5. Requiere G(s) sea expandida en
6. Los polos en s se transforman
mediante e Ts =z. Pero no así los
ceros, que dependen de las fracciones
parciales.

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• Ejemplo: Obtenga la
Transformada Z de:
• Solución:
• En este método el retenedor empleado es el
de primer orden (FOH). Para lograr la
discretización se sustituye el FOH por su
función de transferencia continua y se
discretiza el conjunto de retenedor-planta.

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• De la gráfica anterior
• Discretizando aplicando la Transformada Z, se
obtiene,
• Finalmente
impulso, escalón ni frecuencia.
es.
parciales.

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Este método el retenedor empleado es el
triangular, este permite conservar la
respuesta a la rampa de su equivalente
analógico. Para encontrar la
discretización se iguala la respuesta
ante una rampa del sistema analógico con
la del discreto.
Sea la respuesta ante una rampa de una
planta analógica:
Entonces la respuesta ante una rampa del
sistema digital equivalente sería
)(
1
)( 2
sG
s
sY 
)(
)1(
)( 2
zG
z
Tz
zY 







Igualando la respuesta en el tiempo
en los dos casos anteriores, se
obtiene:
Despejando G(z) obtenemos la función
de transferencia:
)(
)1(
)(
1
22
zG
z
Tz
sG
s 
























 

21
21
2
2
)()1()()1(
)(
s
sG
Z
Tz
z
s
sG
Z
Tz
z
zG

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impulso, escalón ni frecuencia.
3. Preserva la respuesta a la rampa.
es.
parciales.
• 1) Obtenga la función de
transferencia impulso donde
G(s) es:
Solución :

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Continuando
Este método se basa en sustituir en G(s), la
variable s, por una función racional en z.
Son sencillas y flexibles de aplicar, en casi
cualquier situación.
Los casos analizados serán:
1. Puede verse como una derivación (backward
rule) o como una integración rectangular.
2. Puede verse como una derivación adelantada,
no causal (forward rule) o como una
integración rectangular retrasada.
3. Puede verse como una integración
trapezoidal. Es la transformación bilineal.
Se conoce también como regla de Tustin.

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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en atraso, reemplazando
la derivada de una función por:
Tomando la transformada
de Laplace de esta expresión
• Despejando a s:
• Y como z = esT , entonces:
• Por consiguiente
)(zG

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Como se puede
apreciar, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s en
una zona reducida
del plano z, lo cual ocasiona que la zona de
altas frecuencias del plano s no sean
mapeadas a la zona de altas frecuencias del
plano z.
Características de este método:
1. Los sistemas analógicos estables
siempre se convertirán en
equivalentes digitales estables. Si
G(s) es estable G(z) también lo es.
2. De hecho, algunos sistemas
analógicos inestables se
convertirán en digitales estables.
3. No requiere factorización de la
función de transferencia.

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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en adelanto o método de
Euler. Esta es una técnica que
aproxima la derivada de una función
de la siguiente forma:
Tomando la transformada de Laplace de
la ecuación anterior se obtiene
Despejando a s se obtiene
Y como z = esT , entonces:
Por consiguiente
T
z
s
sGzG 1)()( 



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Como se puede ver,
esta transformada
traslada el origen
del plano s a z= -
1, lo que ocasiona
que una función
estable en el plano
s, pueda comportarse
como inestable en el
plano z.
1. Algunos sistemas analógicos estables se
convertirán en sistemas digitales
inestables.
2. Los sistemas analógicos inestables
también serán digitales inestables bajo
esta conversión.
3. Una desventaja es que el contorno de
frecuencia en el plano z no sigue el
círculo unidad. Por lo tanto, la
discretización por medio de diferencias
hacia delante no es la mejor.
4. No requiere factorización de la función
de transferencia.

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Este método aproxima numéricamente las
integrales, a diferencia de los dos
métodos anteriores donde lo que se
aproxima es la derivada. Se determina una
aproximación numérica para,
Debe recordarse que la integral definida de
una función, no es más que el área bajo
la curva
Ing.JhonJairoAnayaDíaz

tf
o
dttxty )()(
Se aproximará el área bajo la curva
mediante una sumatoria de las áreas
individuales de una serie de
trapecios.
Entonces el área del trapecio k-ésimo
será:
De lo anterior, la integral de x(t)
se podría aproximar de la siguiente
forma
 

k
n
k
n
TnxnTx
T
nTAkTyty
11
))1(()(
2
)()()(

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Ahora haciendo:
)])1(()([
2
))1(()(
))1(()(
2
))1((
)])1(()([
2
))1(()(
2
)(
1
1
1
1
TnxnTx
T
TkykTy
TnxnTx
T
Tky
TnxnTx
T
TnxnTx
T
kTy
k
n
k
n









Como:
Nos queda:
Tomando la transformada de Laplace de
la anterior expresión
Con lo que
Sabiendo que:
igualamos ambas expresiones
ssX
sY 1
)(
)(

 )()(
2
)()( 11
zXzzX
T
zYzsY 









 

1
1
1
1
2)(
)(
z
zT
zX
sY

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Obteniendo
Despejando a s:
Finalmente se obtiene:








 

1
1
1
1
2
1
z
zT
s
















 

1
12
1
12
1
1
z
z
Tz
z
T
s










1
12)()(
z
z
T
s
sGzG
Como se puede
apreciar en la
siguiente
figura, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s
dentro del
círculo
unitario del
plano z.

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1. Todos los sistemas analógicos estables
se convertirán en equivalentes digitales
estables.
2. Además, el eje jw del plano s se
convierte en el círculo unidad del plano
z.
3. No requiere factorización de la función
de transferencia.
4. Preserva tanto la respuesta al impulso
como la respuesta en frecuencia.
5. Crea una distorsión en la zona de altas
frecuencias
No MÉTODO Ganancia
Simulaciones Invariantes
1.1
Respuesta invariante G(z)=Z[G(s)]
al impulso
Ajustada
1.2
Repuesta invariante 𝐺 𝑧 =
𝑧−1
𝑧
𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠
al escalón
Igual
1.3 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑧2 𝑍
(𝑇𝑠+1)𝐺(𝑠)
𝑇𝑠2
Primer orden
Igual
1.4 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑇𝑧
𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠2
Primer orden
Igual
II Discretización por aproximación
2.1
Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇
hacia adelante
Igual
2.2
Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇𝑧
hacia atrás
Igual
2.3 Transformación Bilinea 𝑠 =
2
𝑇
𝑧−1
𝑧+1
Igual

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La integral es Igual a:
Al sustituir esT por z se obtiene
Al cambiara la notación de p por la
variable compleja s se obtiene:
• Si X(s) tiene polos s1, s2…sm ; y
s=sj es un polo simple se halla el
residuo:
• Si el polo s=si es un polo de orden
múltiple con orden ni se halla el
residuo:

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• Ejemplo 1: Obtenga la X(z) empleando
la Integral de convolución en el
semiplano izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 2
polos simples.
Un polo simple en -1 y un simple en -3.
)3)(1(
1
)(


ss
sX
TT
TssTss
TssTss
ez
z
ez
z
zX
ez
z
sez
z
s
zX
ez
z
ss
s
ez
z
ss
s
zX
3
31
31
)2(
1
)2(
1
)(
)1(
1
lim
)3(
1
lim)(
)3)(1(
)3(
lim
)3)(1(
)1(
lim)(


















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Cuya solución se desarrolla:






















))((2
)(
))((
)()(
2
1
)(
3
3
3
3
TT
TT
TT
TT
ezez
eez
zX
ezez
ezzezz
zX
• Ejemplo 2: Obtenga la X(z)
empleando la Integral de
convolución en el semiplano
izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 3
polos.
Un polo simple en -1 y un polo
múltiple de orden 2 en cero.

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La solución de la ecuación es:
)(zX
)(zX
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering.
Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.

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