Fragmento del libro "Outliers: The Story of Success" de Malcolm Gladwell, que pone en evidencia la importancia de la perseverancia en el aprendizaje de las matemáticas: 22 minutos para comprender que la pendiente de una recta vertical es infinita, cuando el estudiante promedio abandona a los 2 minutos.

1. La Historia de Alan Schoenfeld y Renee
(Fragmento del Libro “Outliers: The Story of Success”)
Por Malcolm Gladwell. Páginas 239-247.
Hace algunos años, Alan Schoenfeld, un profesor de matemáticas de Berkeley, grabó en vídeo a una
mujer llamada Renee mientras trataba de resolver un problema de matemáticas. Renee estaba en sus
veintitantos años, con el pelo largo y negro y lentes redondos. En la grabación se observa que ella está
jugando con un programa de software diseñado para enseñar álgebra: la pantalla muestra un eje x y un
eje y. El programa pide al usuario que dé clic en un conjunto de coordenadas, y luego dibuja una línea
en pantalla a partir de dichas coordenadas... En este punto, estoy seguro, vendrán a su mente vagos
recuerdos de sus clases de álgebra de la secundaria. Pero puede estar seguro que no es necesario
recordar nada de eso para comprender el significado del ejemplo de Renee. De hecho, al escuchar
hablar de Renee en los siguientes párrafos, no se centre en lo que dice, sino en lo que está hablando y
por qué lo hace de la manera en que lo hace.
El objetivo de este programa de computadora, creado por Schoenfeld, era enseñar a los estudiantes
cómo calcular la pendiente de una recta. Pendiente, como estoy seguro usted recordará (o más
exactamente, no recuerda, pues yo tampoco lo hice), es el grado de elevación respecto a avance...
Así que ahí está Renee, sentada frente al teclado, tratando de averiguar qué números introducir para
conseguir que la computadora dibuje una línea absolutamente vertical, que se superponga directamente
con el eje y. Ahora bien, aquellos de ustedes que se acuerden de las matemáticas de preparatoria sabrán
que, de hecho, esto imposible. Una línea vertical tiene una pendiente infinita.
Pero Renee no se da cuenta de que lo que está tratando de hacer no es posible. Está en las garras de lo
que Schoenfeld llama un "malentendido glorioso", y la razón por la que le gusta mostrar esta cinta en
particular, es que es una demostración perfecta de cómo se resolvió este error.
Renee era una enfermera. No era una persona que hubiera estado particularmente interesada en las
matemáticas en el pasado. Pero de alguna manera se había posesionado del software y estaba
enganchada.
"Ahora lo que quiero lograr, es dibujar una línea recta con esta fórmula, paralela al eje y", comienza
diciendo. Schoenfeld está sentado a su lado. Ella le mira con ansiedad. "Ya han pasado cinco años
desde que hice esto por última vez." Ella comienza a jugar con el programa, a escribir números.
"Ahora, si puedo cambiar la pendiente de esa manera... menos uno... ahora lo que quiero es hacer que la
línea siga recto." Mientras teclea los números, la línea de la pantalla cambia. "Uy, no va a hacerlo." Ella
mira asombrada. "¿Qué estás tratando de hacer?" le pregunta Schoenfeld.
"Lo que estoy tratando de hacer es hacer una línea recta paralela al eje y. ¿Qué tengo que hacer aquí?
Creo que lo que tengo que hacer es cambiar esto un poco." Ella señala al lugar donde está el número
para el eje y. "Eso fue algo que descubrí, que cuando pasa de 1 a 2, produce un cambio bastante
grande. Entonces, si lo pongo hasta este valor debe seguir cambiando."
Este es el glorioso error de Renee. Ella notó que conforme incrementa el valor del eje y, más inclinada
se vuelve la línea. Así que piensa que la clave para hacer una línea vertical sólo es hacer que el valor
del eje de coordenadas y sea lo suficientemente grande. "Creo que 12 o incluso 13 podrán hacerlo. Tal
vez más, incluso 15."
Frunce el ceño. Ella y Schoenfeld van y vienen. Ella le hace preguntas. Él la empuja suavemente en la
dirección correcta. Ella sigue tratando y tratando, un enfoque tras otro. En un momento teclea 20. La
línea se hace un poco más pronunciada. Teclea 40, y la línea se vuelve aún más pronunciada.

2. "Veo que hay una relación allí. Pero ¿por qué? No tiene sentido para mí ... ¿Qué pasa si tecleo 80? Si
40 me puso a mitad de camino, entonces 80 me debe llevar hasta al final del eje y. Así que vamos a ver
qué pasa." Teclea 80, y la línea se hace más pronunciada, pero todavía no es totalmente vertical.
"¡Ah, es infinito! ¿no es así? Nunca va a llegar allí." Renee está cerca. Pero entonces vuelve a su error
inicial. "¿Entonces qué necesito, 100? Cada vez que duplico el número, quedo a medio camino del eje
y. Pero nunca llego... Estoy más cerca, pero no estoy allí."
Empieza a pensar en voz alta. Es obvio que está a punto de averiguar algo. "Bueno, yo ya sabía esto,
aunque... pero... ya lo sabía. Por cada uno que avanzo, subo muchos más. Todavía estoy un poco
confundida en cuanto al porqué..." Hace una pausa, entrecerrando los ojos frente la pantalla. "Me estoy
confundiendo. Son diez veces la distancia por cada una. Pero yo no quiero que sea..." Y entonces lo ve.
"¡Oh! Es un número cualquiera, y cero de nuevo. ¡Es cualquier número dividido por cero!" Su rostro
se ilumina. "Una línea vertical es algo dividido por cero, y eso es un número infinito. ¡Ah, ok! Ahora lo
veo. La pendiente de una recta vertical es infinita. ¡Ah! Eso significa algo. ¡No me olvidaré de eso!"
A lo largo de su carrera, Schoenfeld ha filmado un sinnúmero de estudiantes mientras trabajaban en
problemas. Pero la cinta Renee es una de sus favoritas por el modo en que ilustra bellamente lo que él
considera como el secreto para aprender matemáticas. Veintidós minutos pasaron desde el momento
en que Renee comienza a ejecutar el programa de computadora hasta que dice: "¡Ah! Eso significa
algo." Es mucho tiempo. "Se trata de matemáticas de octavo grado", dice Schoenfeld. Si pongo al
estudiante promedio de octavo grado en la misma situación que Renee, supongo que después de los
primeros intentos, hubiera dicho: "No lo entiendo. Necesito que me lo explique." Schoenfeld preguntó
una vez a un grupo de estudiantes de secundaria cuánto tiempo intentaban resolver un ejercicio
de tarea, antes de llegar a la conclusión que era demasiado difícil para ellos. Sus respuestas
variaron entre treinta segundos y cinco minutos, siendo la respuesta promedio de dos minutos.
Pero Renee persiste. Experimenta. Vuelve sobre los mismos puntos una y otra vez. Piensa en voz alta.
Sigue adelante. Simplemente no se dará por vencida. Sabe, con cierto nivel de vaguedad, que hay algo
mal con su teoría sobre cómo dibujar una línea vertical, y no se detendrá hasta que esté absolutamente
segura de que tiene razón.
Renee no es una matemática natural. Los conceptos abstractos como "pendiente" y "sin definir"
claramente no son fáciles para ella. Pero Schoenfeld no podría estar más impresionado.
"Hay una voluntad de hallarle sentido que impulsa lo que hace", dice Schoenfeld. "Ella no aceptaría
una respuesta superficial como «Sí, tienes razón, vamos a lo que sigue.» Ella no es así, y eso es
realmente inusual." Rebobina la cinta y señala el momento en el que Renee reacciona con verdadera
sorpresa ante algo en la pantalla.
"Mira", dice "lo piensa dos veces. Muchos estudiantes abandonarían en este instante. Pero en vez de
ello, ella dijo «esto no concuerda con lo que estoy pensando. No lo entiendo. Esto es importante.
Quiero una explicación." Y cuando finalmente llega la explicación, dice, “Sí, esto encaja."
A veces pensamos quer ser buenos en matemáticas es una habilidad innata. O la tienes o no la tienes.
Pero para Schoenfeld, no es tanto la capacidad como la actitud. Usted dominará las matemáticas si
está dispuesto a intentarlo. Eso es lo que Schoenfeld intenta enseñar a sus alumnos. El éxito es una
función de la persistencia, la tenacidad y la voluntad de trabajar duro veintidos minutos hasta
darle sentido a algo a lo que la mayoría de la gente renunciaría después de treinta segundos.
Ponga un puñado de Renees en un salón de clases, deles el espacio y el tiempo para explorar las
matemáticas por sí mismos, y podrán recorrer un largo camino.