que significa que dos figuras geométricas tengan la misma forma?

1. Recorridos de estudio e investigación
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Recorrido de Estudio e
Investigación

2. Recorridos de estudio e investigación
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RECORRIDOS DE ESTUDIO E
INVESTIGACIÓN
Estimado docente,
En los vídeos que verás en este mooc representamos un diálogo que se
estructura en cuestiones y respuestas. Tú como profesor podrás, tal como
indicamos en la introducción, utilizar este diálogo como referencia para
trabajar con tus alumnos en el aula. De esta manera la comunidad de
estudio podrá vivir lo que en el ámbito de la teoría antropológica de lo
didáctico (www.atd-tad.org) denominamos un recorrido de estudio e
investigación (REI).
Hay que tener en cuenta que un REI está generado por una cuestión (que
denominamos cuestión generatriz) y que su desarrollo es relativamente
imprevisible, puesto que depende de las cuestiones que los alumnos (que
habitualmente trabajan en pequeños grupos de 3 ó 4 alumnos) propongan y
de las direcciones de desarrollo que surjan a lo largo del diálogo-debate.
Tu papel como profesor, como director del proceso de estudio, es lanzar el
REI mediante la cuestión generatriz y potenciar las cuestiones con más
poder generador, pero dejando siempre la iniciativa a los grupos de
alumnos, sin cerrar la discusión ni presentarte como el depositario de las
respuestas definitivas.
Como ejemplo, te mostramos el inicio de un REI, donde utilizamos el
diálogo que aparece en el primer vídeo del Módulo 1.
- El profesor propone a los grupos de alumnos la cuestión generatriz:
¿Qué significa que dos figuras geométricas tengan la misma forma? ¿Una
misma figura, como por ejemplo el triángulo, el rectángulo o la
circunferencia, puede tener diferentes formas?
A continuación, los grupos de alumnos empiezan a discutir y es previsible
que surjan las primeras respuestas:
- Algunos grupos proponen que al mover una figura (por ejemplo,
trasladándola) la figura resultante tiene la misma forma que antes de
trasladarla, aunque otros indican que en realidad se trata de la misma
figura.

3. Recorridos de estudio e investigación
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- Un grupo construye un triángulo de papel, lo coloca sobre la mesa y
muestra que, sin levantarlo de la mesa, fijando un punto y girando el
triángulo en torno a dicho punto, sigue teniendo la misma forma.
- Una alumna indica que, en realidad, únicamente están cambiando la
posición de la figura, por lo que se trata siempre de la misma figura.
Aquí surge una discusión sobre lo que puede significar la posición de
una figura y qué relación tiene con la forma de la figura.
- Otro alumno pregunta qué es lo que pasa cuando levantamos el
triángulo de la mesa y le damos la vuelta al papel, ¿hemos cambiado
sólo la posición del triángulo o hemos cambiado algo más?
En este punto, y dependiendo del tipo de alumnos, de sus conocimientos y
del nivel educativo en el que se sitúen, el profesor podría intervenir para
explicar brevemente que existen los movimientos directos, como las
traslaciones y las rotaciones, y los movimientos inversos, como las
simetrías axiales.
El REI podría continuar hacia la problemática del tamaño de una figura.
- Un grupo de alumnos comenta que cuando se hace una ampliación o
una reducción de una figura, la forma de la figura no parece que
cambie.
Este comentario vuelve a introducir la discusión sobre lo que se entiende
por forma de una figura y, después de que los diferentes grupos hayan
discutido suficientemente, el profesor puede intervenir (si lo considera
conveniente) para precisar el significado matemático de esta noción. En
algunos casos puede ser adecuado quedarse con la noción intuitiva de
forma.
Llegados a este punto el profesor puede proponer que los diferentes grupos
expongan por escrito una síntesis de su respuesta provisional y que uno de
sus miembros la exponga públicamente en gran grupo. El encargado será
en cada caso el Secretario del grupo (cargo que será rotatorio a lo largo
del REI).
En este momento surgen respuestas contradictorias. Mientras que algunos
de los grupos afirman que cada figura viene caracterizada, definida, por su
forma, otros muestran contraejemplos a esta afirmación.
- Uno de los grupos dice: No todos los rectángulos tienen la misma
forma.

4. Recorridos de estudio e investigación
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- Por ejemplo existe el cuadrado que es un rectángulo que tiene una
forma diferente a todos los rectángulos que no son cuadrados.
En este punto se arma un gran revuelo. Una de las alumnas exclama:
¡pero un cuadrado no es un rectángulo!
- Aunque un alumno replica que un cuadrado es, efectivamente, un
rectángulo puesto que tiene los cuatro ángulos rectos (y esta es una
posible definición de rectángulo).
- El profesor puede intervenir para indicar que deberían revisarse las
definiciones de las figuras más comunes como, por ejemplo, rectángulo,
cuadrado, rombo, paralelogramo, etc. Es importante ponerse de
acuerdo en estas definiciones.
- Prescindiendo del hecho de que un cuadrado sea o no sea un
rectángulo, uno de los grupos muestra que existen rectángulos con
formas diferentes (más o menos “próximas” a la forma de un cuadrado)
porque mediante ampliaciones o reducciones no pueden superponerse
unas a otras.
- Un alumno replica que, sin embargo, algunas figuras como la
circunferencia o el cuadrado se identifican con una forma concreta.
¡Todas las circunferencias tienen la misma forma!
- El profesor asiente y añade que, precisamente, el hecho que todas las
circunferencias tengan la misma forma permite definir el número pi
como la razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia
cualquiera.
- Uno de los grupos llega a la conclusión de que existen dos tipos de
figuras geométricas: las que quedan definidas por una forma concreta
(como, por ejemplo, la circunferencia, el cuadrado y el triángulo
rectángulo isósceles) y las que admiten infinitas formas diferentes
(como, por ejemplo, el rectángulo, el paralelogramo y el trapecio).
- Etc.
Aquí podríamos añadir muchos más ejemplos para ampliar el diálogo.
El REI continúa y puede enlazar con las cuestiones que surgen en los siguientes vídeos
del Módulo 1 y, posteriormente, con las del Módulo 2.
Es importante subrayar que el trabajo de la comunidad de estudio en un REI debe ser
tranquilo y artesanal, de manera que las cuestiones y respuestas contenidas en cada
sesión de cada módulo (por ejemplo las contenidas en el primer vídeo del Módulo 1)
deberían dar origen a un trabajo en el aula de una duración mínima de una sesión de
una hora que debería prolongarse en un trabajo individual de los alumnos.

5. Recorridos de estudio e investigación
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Dada la articulación entre el contenido de las cuestiones que aparecen a lo largo de cada
módulo (incluidos los Módulos 1 y 2), tú como profesor puedes proponer y vivir con tus
alumnos un REI a largo plazo, llevando a cabo un trabajo sistemático, paciente y
acumulativo (característico de la actividad matemática genuina) muy alejado del que es
posible llevar a cabo basándose en la organización matemática que propone el
currículum actual.
En efecto, los resultados de muchas investigaciones didácticas, y nuestra larga
experiencia como formadores de profesores demuestran claramente que la actual
organización matemática escolar es muy atomizada y rígida y ha perdido en gran
medida su “razón de ser”, lo que provoca enormes dificultades y constituye en muchos
casos un obstáculo insalvable para los alumnos. La clasificación escolar de los
cuadriláteros y la introducción del álgebra elemental constituyen dos ejemplos
paradigmáticos de este hecho.
En consecuencia, es imprescindible empezar la formación del profesorado
construyendo una organización matemática alternativa a la oficial que haga posible que
los profesores lleven a cabo una actividad matemática genuinamente funcional.
Este es el principal objetivo de la formación matemática para el profesorado
sustentada en los diálogos y completada con los ejercicios y los test de autoevaluación
de cada módulo.
Esta experiencia, junto a la metodología que se ejemplifica en el curso, te permitirá
diseñar recorridos de estudio e investigación (REI) para vivir en el aula con tus
alumnos.
De hecho, a partir del contenido de los cuatro módulos que forman este curso, sería
posible diseñar diferentes recorridos dependiendo de los diferentes alumnos que tengas,
de su formación inicial y de los objetivos educativos que se persigan.
Josep Gascón y Alicia Ruiz-Olarría

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