Conceptos, Las fases del aprendizaje para concretar el enfoque didáctico: Inicio, elaboración, desarrollo y cierre. Estrategias Didácticas. Trabajo de prevención en primaria. Aproximaciones didácticas. Conclusiones.

1. DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
EN MATEMÁTICAS PARA TODOS
Instituto APOYO
Mercedes G. de Valenzuela cvalenzuela@trener.edu.pe
Jorge Ferradas jferrada@trener.edu.pe

2. Cuatro preocupaciones centrales
Las características de la etapa del desarrollo humano en que se
encuentra el estudiante.
Los contenidos y las competencias del área a enseñar.
“Cómo” se enseña -es decir el manejo adecuado de las estrategias
didácticas generales y propias del área.
Bolívar (2005), “el modo cómo los alumnos comprenden un tópico
disciplinar, sus posibles malentendidos y grado de dificultad”.

3. ¿Qué es el aprendizaje de las matemáticas?
María Antonia Canals Tolosa en una de las conferencias plenarias del 10º
“Congreso castellano y leonés de educación matemática” dice, citando a
alguien, que:
“Aprender es construir un significado
personal de un contenido científico o
cultural ya existente”

4. En un polo el contenido ya existente, y
en el otro:
“… este camino no se forma como una serie lineal de
puntos, sino más bien como un tejido en forma de
red, con unos nudos que se van creando y
entrelazando de distinto modo para cada persona,
y del cual, como de tantas cosas en las que interviene
nuestro cerebro, todavía nos falta mucho por
conocer.”
María Antonia Canals Tolosa

5. Otra manera de decirlo …
“Aprendizaje significativo es el proceso que se genera en la
mente humana cuando subsume nuevas informaciones de
manera no arbitraria y sustantiva y que requiere como
condiciones: predisposición para aprender y material
potencialmente significativo que, a su vez, implica
significatividad lógica de dicho material y la presencia de
ideas de anclaje en la estructura cognitiva del que
aprende.”
La teoría del aprendizaje significativo
Mª Luz Rodríguez Palmero

6. Competencias matemáticas
1.Desarrolla estrategias matemáticas para resolver problemas.
2.Comprende, relaciona, interpreta y aplica conceptos matemáticos.
3.Interpreta y utiliza el lenguaje matemático para registrar y comunicar.
4.Utiliza efectivamente procedimientos matemáticos.
5.Explora y sustenta enunciados matemáticos.

7. Además …
Manual de docentes MPT
Un buen aprendizaje de las matemáticas inculca hábitos,
actitudes y valores, como:
• La toma de decisiones acertadas
• La capacidad de entender y formular con precisión problemas
• El hábito de trabajar con datos y cifras al analizar alternativas
• La prolijidad, laboriosidad y atención a los detalles
• El amor a la verdad y la confianza en el trabajo
De esta manera contribuye a formar el pensamiento lógico
matemático, imprescindible para entender la realidad y
participar en una sociedad democrática.

8. El enfoque didáctico

9. I Sentido de las matemáticas
Partir de casos concretos y de la vida cotidiana
Recuperar los saberes previos
Integración de diversas áreas intra y extra matemáticas

10. II Construcción del aprendizaje
Acción concreta para descubrir
Interacción para acomodar los nuevos saberes
Verbalización y representación para hacer visible el aprendizaje

11. III Consolidación del aprendizaje
Avance en espiral
Ejercitación no mecánica / juego
Uso del error y de la diversidad de soluciones
Autocorrección y autoevaluación
Retroalimentación y aprendizaje diferenciado

12. Las fases del aprendizaje
Para concretar el enfoque didáctico

13. 1. Inicio
Motivación, recuperación de saberes previos y conflicto cognitivo.
Actividades que realizaremos para encausar y dar claridad a
los alumnos del tema que se revisará (preparan y alertan al
estudiante en relación a qué y cómo va a aprender)

14. Mimate1
Pg. 33

15. MPT 1 (Pág. 62)

16. MPT 2 (Pág. 114)

17. 2. Elaboración o desarrollo
Procesar la información, aplicar lo aprendido, transferir a
situaciones nuevas, reflexionar sobre lo aprendido y aprender
de errores típicos
Aquí es donde aplican estrategias que apoyen la
construcción de significados de parte del estudiante.

18. Procesamiento de la información
Es el momento para, a partir de las situaciones iniciales discutidas,
concluir y formalizar:
Se aclara
Se generaliza
Se formaliza
Aplicación de lo aprendido
Se resuelven casos básicos
Transferencia a situaciones nuevas
Se resuelven casos más complejos
Reflexión sobre lo aprendido y prevención de errores típicos
A lo largo de todo el proceso anterior

19. Mimate2
Pg. 25
Uso del cuerpo para medir ¿y si no es exacto?
Uso del metro o de la regla ¿y si no es exacto?

20. Procesamiento de la información

21. Aplicación de lo aprendido

22. Transferencia a situaciones nuevas

23. Reflexión sobre lo aprendido y prevención de errores típicos
Observar que el factor de
estiramiento multiplica la
longitud de SP y el
resultado es la longitud
SP’. Ambas longitudes se
miden desde S.
En toda homotecia los
puntos S, P y P’ son
colineales. Si S y P son
coincidentes P’ también lo
es,
independientemente
del valor de k.

24. 3. Cierre
Se presenta después del contenido que se
ha de aprender y apoya al alumno a
formar una visión sintética, integradora.
Promueve la sistematización, el resumen y
la metacognición, la autoevaluación.
Permite la retroalimentación.

25. Estrategias didácticas

26. Recuperar
Saberes previos a partir de un caso-preguntas-título.
Conocimientos matemáticos que son prerrequisitos.
(normalmente en la fase de inicio)

27. Hacerlos protagonistas
para construir nociones
Lluvia de ideas, o similares, para construcción de conceptos o
propiedades a partir de una construcción individual.
Promover la discusión en parejas o grupos.
Darles oportunidades para que ellos expliquen y
para que pregunten.
Darles pautas para autocorregir.

28. Usar lo concreto
Material concreto diverso y manipularlo
Simulación y juego
Movimiento
Preguntas ... y repreguntas

30. Usar el cuerpo
Recortar curvas o armar modelos
para entender características de curvas y sólidos.
Plantear el movimiento del propio cuerpo como una
alternativa para entender algunos conceptos como:
Las trayectorias de las curvas (como la circunferencia)
Las transformaciones geométricas (traslación, rotación y
reflexión)
Móviles

31. El cuerpo como manipulable
Problemas de móviles que se
alcanzan y se encuentran
Cuando se alcanzan, ¿cuál es la idea clave?
Cuando se encuentran, ¿cuál es la idea clave?
Dos alumnos o alumnas que se alcanzan o que se
encuentran van a permitir llegar a esas conclusiones.

32. Verbalizar
Nosotros y ellos en la clase ... y en las evaluaciones
Parafrasear
Aclaraciones de vocabulario
Uso de analogías
Exigir una explicación en la forma de “paso por paso”
Escribir comentarios al corregir

33. Representar
Sistematizar con esquemas (de preferencia ir haciéndolos con la clase)
Simbolizar
Graficar
Construir tablas
Usar ilustraciones con colores
Usar diagramas para procedimientos

35. El aprendizaje en espiral
Mismo tema...otra perspectiva
Las microsecuencias en espiral abordan un mismo tema desde
perspectivas cada vez más complejas. Captan conjuntos
complejos en sus rasgos generales y luego se van viendo los
matices, los aspectos más específicos.
(http://www.geocities.com/aulauy/secuenciasdeaprendizaje.htm)

36. Resignificación
En este tipo de secuencia se destaca el carácter de bucle recursivo
con que cada nuevo enfoque permite resignificar los conocimientos
anteriores a la luz de los nuevos saberes adquiridos.
Este elemento es lo que diferencia una secuencia en espiral de un
procedimiento "paso a paso" en el que solamente se acumulan
nuevas destrezas, sin facilitar ese "salto atrás" que permite volver
a mirar con ojos nuevos lo ya conocido.

37. Los manipulables

38. Ejemplos de manipulables
físicos en la fase de inicio:
Manipular,
recuperar saberes,
descubrir,
interactuar,
comprender y
construir el conocimiento.

39. El caso 1 de la Pág. 88 del libro de MPT 2 plantea:
Ejemplo: La desigualdad triangular

40. La desigualdad triangular …
Es una buena práctica plantear el Caso 1 con el libro cerrado y entonces
podemos plantear esta pregunta a la clase:
¿Tres segmentos de cualquier longitud
pueden ser los lados de un solo triángulo?

41. La desigualdad triangular …
Tenemos dos alternativas:
(I) Dejarlos especular simplemente dibujando, lo más probable
es que los alumnos y las alumnas no partan de diferentes
medidas sino que dibujen muchos triángulos y arriben a una
conclusión equivocada: sí se puede.
(II) Darles un manipulable sencillo, que es lo que ustedes
tienen, palitos de diversas longitudes y, entonces, ellos
partirán desde donde esperamos: de “segmentos” de
longitudes variables. La conclusión deviene en evidente: no
se puede.

42. La desigualdad triangular …
Las siguientes preguntas son: ¿por qué no se puede?
¿qué requisitos o condiciones deben cumplir las
longitudes de los segmentos para poder ser lados de un
triángulo?
La explicación está en el libro:
Pero seguirla solo mirando el libro, o la pizarra, es muy
diferente a poder comprobar cada situación “en físico”.

43. La desigualdad triangular …
La formalización de la desigualdad triangular es muy importante pero
hacerla con un mecanismo físico de comprobación facilita su
comprensión y su acomodación al … permitir
construir un significado personal.
Además fomenta el intercambio de ideas entre pares y con el profesor
Se puede aprovechar para insistir en que el contraejemplo basta.

44. Ejemplo de manipulables para
sistematizar:
Elementos de sólidos geométricos
Algunos elementos no se pueden observar en los desarrollos,
por ejemplo la altura de una pirámide o un cono o la diagonal
de un paralelepípedo. Los modelos sobre todo los
transparentes permiten ver estos elementos.
Los modelos, aunque no sean transparentes, permiten
observar las tres dimensiones en magnitudes reales cosa
que la pizarra no permite

45. Prismas y cilindros

46. Pirámides

47. Manipulables virtuales:
algunas aplicaciones concretas

48. Manipulables virtuales para geometría
Permiten trabajar la geometría de un modo experimental, su
característica más importante y su aportación más novedosa es
que nos permiten modificar la construcción inicial, manteniendo
las propiedades o relaciones que hayamos definido. Permiten la
experimentación con el problema, el análisis de casos
particulares y de casos extremos, la búsqueda de pautas o
relaciones, la elaboración de conjeturas, ... son procesos, partes
todos ellos del razonamiento inductivo, que se abordarán de una
forma natural en las actividades desarrolladas con él.
Bagazgoitia, Alberto.
http://dialnet.unirioja.es/servlet/oaiart?codigo=803919(Revista) ISSN 1131-7787

49. El GeoGebra como manipulable virtual para
geometría: el número pi

50. El GeoGebra como manipulable virtual para
geometría: la propiedad de la mediatriz

51. Función potencia
El Graph® como manipulable para
trabajar funciones
Sesión en cómputo:
La sesión se desarrollará en el laboratorio de informática usando el programa Graph.
Actividades:
Tipo
I
Tipo
INICIO: motivación, recuperación de saberes previos y conflicto cognitivo.
Los alumnos y alumnas repasan Lo que has aprendido.
ELABORACIÓN
Tiempo
10’
Tiempo
T
Se explica el uso del Graph: diseño de los ejes; insertar una función; color de la
gráfica.
10’
I
Realizan las tareas señaladas en el Anexo sesión 9-Graph.
50’
Tipo
CIERRE: sistematización, resumen y metacognición.
Tiempo
T
El grado n de la función determina la forma de la curva, para analizar la monotonía
de la función; su simetría; de ser el caso su vértice y sus asíntotas; y, su dominio y
su rango, es necesario analizar los parámetros: a; d y e. Si a = 1; d = 0 y e = 0
tenemos las funciones de la forma f(x) = xn.
10’

52. Graph: cambio de parámetros

53. Descartes: el caso de las rectas
notables
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacti
cos/rectasnotables/rnotables0.htm
Actividades:
Tipo
INICIO: motivación, recuperación de saberes previos y conflicto cognitivo.
1.
2.
T
3.
4.
Tipo
I
Tiempo
En el lab:
Leer bien la introducción y los objetivos.
Realizar las 30 actividades (a excepción de las actividades 21 y 22) y contestar lo que les preguntan
en su cuaderno.
Pedir y resolver, solo para cada recta notable, el nuevo cuestionario en una tabla en su cuaderno (en
la primera columna las preguntas y en cada una de las cuatro columnas siguientes las cuatro rectas
notables).
Preparar un mapa conceptual usando Cmap-tools.
ELABORACIÓN
Cada uno concluye para cada recta notable:
¿Pasa o no pasa por el vértice?
¿Es perpendicular al lado opuesto?
¿Pasa por el punto medio del lado opuesto?
Definición
Construcción
Punto de intersección
Propiedades de dicho punto (si las hubiera)
Ubicación del punto de intersección en los diferentes tipos de triángulos según sus ángulos.
Propiedades de las rectas notables y sus puntos de intersección en los diferentes tipos de triángulos según sus lados.
Lo registran en su cuaderno y realizan un organizador visual usando Cmap-tools.
60’

54. Descartes: el caso de las áreas
sombreadas
http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/materiale
s_didacticos/areas_regiones_sombreadas/areas_intro.htm

55. Lo importante no es el manipulable en sí,
Sino para qué se usa:
- Para descubrir
- Para realizar conjeturas
- Para preguntar y argumentar
- Para analizar opciones
- Para enfrentar el conflicto cognitivo o el error constructivo

56. Utilizar otras alternativas
Proyectos
Aprendizaje basado en problemas (ABP)
Webquests
Trabajos cooperativos

57. Un ejemplo: El álgebra
¿Por qué hemos escogido el álgebra?
Es aparentemente
el más mecánico de los aprendizajes
….

58. ¿Por qué cuesta aprender álgebra?
¿Qué implica dominar el álgebra?
¿Cómo promover el pensamiento
algebraico y cuándo?
¿Por qué es importante?
No solo se trata de adquirir destrezas operativas nuevas.
Se requiere construir el sentido del álgebra: pensamiento para
generalizar, manejar lo desconocido y variable, aplicación de lo
inverso para resolver

59. Dificultades para aprender álgebra
Conceptos nuevos
Convenciones nuevas
Poder describir un proceso no es lo mismo que poder simbolizarlo
Falta de dominio de prerrequisitos
Necesidad de abstracción (para descubrir patrones y generalizar)

60. Idea de variable
Solución no solo como final de un procedimiento
Existencia de restricciones
Simbología nueva (letras) o contradictoria (signos = y – se usan
diferente), que requiere de comprensión de leyes para su uso
(Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis)
Concatenar ya no es sumar como en 2 1/4 sino multiplicar como
en 3xy

61. Trabajo de prevención en primaria
Signo igual no solo para el resultado, no siempre unidireccional
(armar parejas)
Respetar el significado del signo igual y no escribir cadenas de
operaciones para resolver problemas (perdí 15 y luego 23 por
ejemplo):
100-15 = 85-23 = 62
Mejor hacia abajo: 100 – 15 – 23
85 – 23

62. Trabajo de prevención en primaria
No siempre pedir respuestas, sino el procedimiento (
+5 )
Usar sustitución y tanteo para verificar
Simbolizar procedimientos con operaciones combinadas. Conocer
jerarquía y uso de ( )
Dominio de operaciones; inversas y propiedades, familia de
operaciones:
3 + 7 = 10 implica 3 = 10 – 7

63. Construir el sentido
- Modelar la realidad, simbolizar, verificar o buscar soluciones
- Generalizar, establecer patrones
- Comprender la variación (variables y dependencia de variables)

64. Tantos ejercicios y “fórmulas” no ayudan
a construir el sentido
Los alumnos aún están comprendiendo la dinámica del álgebra y se
quiere que mejoren en esto antes que mecanizar procedimientos.
Se prefiere incluir también ejercicios con diferentes perspectivas
para promover el razonamiento (ejercitación inteligente).

65. Aproximaciones didácticas
En esta línea vamos a desarrollar tres vías didácticas para afrontar
situaciones algebraicas de tal manera que las dotemos de sentido.

66. 1.- El uso de la geometría para visualizar y
comprender
Ejemplo: el producto de binomios
La interpretación geométrica como una forma de fomentar la
comprensión y evitar la algoritmización de la práctica
algebraica.

67. La entrada geométrica
Si tenemos un rectángulo de lados a + b y c +d, ¿cuál es su área?
Su área es: (a + b) ( c + d)
La representamos en una hoja de papel:

68. Lo que van a obtener es:
el rectángulo de área (a+b) (c + d)
dividido en cuatro áreas
c
a
b
d
ac
ad
bc
bd
Lo que van a concluir:
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

69. La multiplicación de adiciones por adiciones
en MPT
Este proceso está en el libro de MPT 2 en la Pág. 52:

70. 2.- La entrada funcional
La construcción de la idea de dependencia entre dos magnitudes o
cantidades que pueden ser expresadas mediante letras es una
oportunidad para arribar al concepto de ecuación.
Esta entrada sienta bases para la comprensión del concepto de
función.

71. MPT 2 Pág. 150
La entrada funcional: la solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos variables

72. La entrada funcional: el análisis de la
situación
En primer lugar es importante observar que el análisis de la
situación problemática precede al procedimiento algebraico:
Entonces podemos plantear preguntas como: “si compramos 1
afiche grande, ¿cuántos afiches pequeños podemos comprar?”, “si
compramos 2 …”

73. La entrada funcional: la idea de
dependencia
La idea es que constatar que existe una relación de dependencia
entre las dos variables. Es decir el número de afiches pequeños
depende del número de afiches grandes.
Esta es la situación que vamos a representar.

74. La entrada funcional: la necesidad de
representación y las ecuaciones
Al representar la situación aparece la ecuación que
se puede plantear de diversas maneras:
p= (32 – 8g)/4
(que representa mejor el proceso de solución que
hemos descrito)
o
4p + 8g = 32
(que es la tendencia del que conoce más el álgebra)

75. Los valores que verifican la ecuación
Para establecer los valores se puede hacer una tabla, tomar pares
ordenados, establecer ejes y darle una interpretación gráfica a la
ecuación.
Esto permite la comprensión de por qué dos ecuaciones lineales con dos
variables pueden tener infinitas soluciones en común, exactamente una
solución en común o ninguna solución en común.
Aporta un método gráfico de solución de sistemas de ecuaciones lineales
con dos variables.

76. Algunas conclusiones importantes
Varias ecuaciones reflejan la situación
problemática.
En cada ecuación varios valores de la
variable o variables la verifican.
No todos los valores que verifican la ecuación
solucionan la situación planteada. La
importancia del conjunto de definición.
Se puede establecer la equivalencia de las
ecuaciones. El sentido de la simplificación
procedimiento algebraica

77. La idea de dependencia y la idea de función
Dado que existe una relación entre un valor y otro que depende de
él. Se puede decir que un valor es función del otro.
Si p depende de g. p es función de g
Puede empezarse a notar que el valor de una variable se decide y el
valor de la otra se calcula, una es independiente y la otra
dependiente.

78. 3.- La modelización
Modelizar una situación matemática: otra oportunidad para arribar al
concepto de expresión algebraica.
Esta entrada permite insistir en la idea que un solo modelo puede
representar distintas situaciones y existen varias formas de
modelizar una misma situación.

79. El álgebra como vía de generalización y de
comprobación
Esta entrada considera que la modelización es un proceso que permite
encontrar “características que unifican, reconocer tipos de objetos y
problemas”.
La idea de usar la modelización como vía de entrada al álgebra es pensar
en su uso para expresar situaciones generales y al mismo tiempo como
un mecanismo de validación de conjeturas originadas en reglas de
transformación de textos escritos.

80. La modelización
La producción de fórmulas para contar colecciones como una
primera experiencia con el lenguaje algebraico.

81. Ejemplo: cantidad de rectas
Determinar la cantidad de rectas que pasan por n puntos tales que
ningún trío de ellos sean colineales.
Espero propuestas que me permitan resolver la situación planteada

82. Una primera exploración
Una buena manera de aproximarse es explorar casos particulares:
1) 2 puntos – 1 recta
2) 3 puntos – 3 rectas
3) 4 puntos – 6 rectas
4) 5 puntos – 10 rectas …
para buscar el patrón que permita establecer la fórmula solicitada

83. Dos alternativas
De cada punto se pueda trazar n – 1 rectas.
Hay n puntos
Entonces el número de rectas en n (n-1)
Pero estamos contando dos veces cada recta, entonces:
n(n-1)/2
Otra alternativa: Es el número de lados más el número de
diagonales:
n + n(n-3)/2

84. Algunas conclusiones
Una situación puede ser representada por diversas expresiones.
Las expresiones son equivalentes, lo que puede demostrarse
mediante simplificaciones algebraicas.

85. Algunas notas didácticas
Las mismas estrategias que ya vimos: situaciones concretas, representar,
verbalizar, interactuar, avance en espiral ejercitación razonada…..
Es importante abordar el tema con los alumnos y alumnas pauteando algunas
etapas:
Primera: que los alumnos y alumnas comprendan de qué se trata la situación,
para lo cuál suele ser útil que recurran a estrategias sencillas como el conteo.
Segunda: que los alumnos y alumnas tomen conciencia del límite de ese
procedimiento.
Tercera: trabajo grupal que permita verbalizar, intercambiar ideas, argumentar,
comprobar, valorar diversos puntos de vista.

86. Para terminar….

87. Retroalimentación adecuada para mejorar el
aprendizaje:
Intervención en clase, revisión de cuadernos, resolución de tareas y
otras...
Tiempo para preguntar, aplicar, comparar soluciones….
vamos conociendo qué aprenden y qué no (calificar no es lo único
que importa, ni lo más importante).

88. ¿Qué es una buena retroalimentación?
Es aquella que informa claramente el fondo de las dificultades
que subsisten y las posibles causas.
Puede usarse códigos para la autocorrección u otros.
Recomienda en consecuencia con lo anterior y no solo
generalidades.
Reconoce el progreso (no solamente)
Reconoce el esfuerzo (no solamente)
Volverle a decir a un alumno con déficit de atención que se
distrajo ¿ayuda?
La calificación sola no es motivación. Necesitamos que se
generen sentimientos positivos al respecto, siempre en busca de
la motivación intrínseca.

89. La motivación y el vínculo
"Se da gran importancia a la elección de los mejores métodos para
aprender a leer; se inventan escritorios, mapas; se convierte la
habitación del niño en una imprenta. Locke quiere que aprenda a
leer con dados. Qué ingenioso invento, ¿verdad? ¡Qué lástima! Y
siempre se olvida el medio más seguro de todos, el deseo de
aprender. Dad al niño ese deseo y dejad vuestros escritorios y
vuestros dados; cualquier método será eficaz“
El Emilio, J.J. Rousseau
http://www.youtube.com/watch?v=t5mGeR4AQdM

90. …otras voces
X:AREASMatemáticaPresentacionesAniversario MPTNuevoVideo