(1) El documento describe el concepto de función de utilidad de Von Neumann y Morgenstern y cómo puede usarse para tomar decisiones bajo incertidumbre. (2) Explica cómo representar loterías mediante árboles y presenta un ejemplo. (3) Detalla los pasos para estimar una función de utilidad individual y su relación con la actitud hacia el riesgo.

1. Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Investigación de Operaciones II
“Función de Utilidad”
Colín Barrera Antonio
Díaz Marin Jair
González Pizano Luis Oswaldo

2. Concepto de Von Neumman y
Morgenstern
El concepto de función de conveniencia de Von
Neumann y Morgenstern se puede utilizar como
auxiliar en la toma de decisiones bajo incertidumbre.

3. Se tiene un caso en el que una persona recibirá una recompensa (ri)
con una probabilidad (pi).
Se denomina como lotería (p₁, r₁; p₂ , r₂ ;..., pn , rn).
Con frecuencia se representa una lotería mediante un árbol en el
que cada una de las ramas representan un resultado posible de la
lotería. Así la lotería (¼, $500; ¾, $0) se puede representar
mediante.

4. Ahora...
Supongamos que se nos pide escoger entre dos loterías (L₁ y L₂).
Con seguridad la lotería L₁ produce
$10, 000.
L₂ consiste en lanzar una moneda. Si
es cara se reciben $30, 000 y si sale
cruz $0.
L₁ da una recompensa esperada= $10, 000
L₂ da una recompensa esperada de (½)(30 000) + (½)( 0 ) = $15, 000.
Las personas prefieren L₁ a L₂ porque tiene menos riesgo o incertidumbre.

5. Supongamos que una persona opta por elegir entre L₁ o L₂
● Se escribe L₁pL₂ si prefiere L₁.
● Se escribe L₁iL₂ si la persona no tiene preferencia. En este caso
se dice que son loterías equivalentes.
● Se escribe L₂pL₁ si prefiere L₂.
Suponga que se pide a una persona que toma decisiones para clasificar las
siguientes loterías:

6. 1. Identificar los resultados, el más favorable y el menos
favorable.

7. 2. Se pide a quien toma la decisión que determine la probabilidad pi tal que no
tenga preferencias entre dos loterías.
Suponga que para r₁= $10, 000, quien toma la decisión es indiferente entre
Suponga que para r2= $500, quien toma la decisión es indiferente entre

8. y para r3=$0, es indiferente entre
Usando (1) a (3), quien toma la decisión construye Loterías L1´, L2´, L3´ y L4´ tal
que Li´iLi y cada Li´ solo tiene que ver con el mejor resultado posible ($30, 000) y
el peor (-$10, 000).
De (1), se encuentra que L1iL1´, donde De (3), se encuentra que L2iL2´´,
donde
L₂´´ es una lotería compuesta en la que con probabilidad 0.5 se reciben $30, 000 y con probabilidad 0.5 se
juega una lotería que produce 0.6 de posibilidad en $30, 000 y 0.4 en -$10, 000.

9. Se observa que L2´´ es una lotería que produce:
0.50 + 0.50(0.60)= 0.80 de posibilidad en $30, 000
0.40(0.50)= 0.20 de posibilidad en -$10, 000
Así L2 iL2´´iL2´, donde
De manera similar, usando (3) se
encuentra que L3iL3´, donde
De (2), se encuentra que quien toma la
decisión no tiene preferencia entre
L4iL4´´, donde

10. En realidad, sin embargo, L4´´ da una posibilidad de::
0.98(0.62)= 0.6076 de posibilidad en $30, 000
0.20 + 0.38(0.98)= 0.3924 de posibilidad en -$10, 000
Así L4 iL4´´iL4´, donde
Ahora aplicando la idea de elegir la lotería con el resultado más favorable desde L1´ hasta
L4´sería: L1´pL2´pL4´pL3´ y puesto que Li iLi´, se puede concluir que L1 pL2 pL4 pL3

11. ● Axioma 1: Ordenación Completa
Para dos recompensas r1 y r2, uno de los siguientes enunciados debe ser cierto: la persona que
toma la decisión (1) prefiere r1 a r2, (2) prefiere r2 a r1 o (3) es indiferente entre r1 y r2. En el caso de
que la persona prefiera r1 a r2 y r2 a r3, entonces debe preferir r1 a r3.
Se ocupa este axioma para determinar los resultados más y menos favorables
● Axioma 2: Continuidad
Si la persona que toma la decisión prefiere r1 a r2 y r2 a r3, entonces para alguna c (0 < c < 1), L1iL2,
donde:
Axiomas de Von Neumann-Morgenstern

12. ● Axioma 3: Independencia
Suponga que quien toma la decisión no tiene preferencia entre las recompensas r1 y r2. Sea r3
cualquier otra recompensa. Entonces para cualquier c (0 < c < 1), L1iL2, donde
A partir de esto,el axioma implica que quien toma la decisión ve una probabilidad c en r1 y una
probabilidad c en r2, esto también se cumpliría para c y r3.

13. ● Axioma 4: Probabilidad desigual
Suponiendo que la persona que toma la decisión prefiere r1 en vez de r2, y que las loterias solo tienen
r1 y r2 como resultados posibles, la persona prefiere la lotería con la mayor probabilidad de obtener r1.
Por ejemplo se elegiría L1’ sobre L2’, porque L1’ tiene una probabilidad de .90 en $30 000 y L2’ tiene
una probabilidad solo de .80 en $30 000.
● Axioma 5: Lotería compuesta
Suponga que cuando se consideran todos los resultados posibles, una lotería compuesta L produce
(para i= 1, 2, …, n) una probabilidad pi de recibir una recompensa ri. Entonces LiL’, donde L’ es la lotería
simple.

14. Porque suponer que u(peor resultado) =
0 y u(mejor resultado) = 1
Dada una función de utilidad u(x), se define que para cualquier
a>0 y cualquier b la función v(x) = au(x) + b.
Suponiendo un ejemplo donde el mejor resultado es u($30 000)
= 10 y el peor resultado es u(-$10 000) = -5.
Definiendo las ecuaciones:
u($30 000) = 10a + b = 1 u(-$10 000) = -5a + b = 0

15. De dichas ecuaciones se obtiene: a = 1/15 b = ⅓
Sustituyendo en sus respectivas ecuaciones
● u($30 000) = 10(1/15) + 1/3 = 1
● u(-$10 000) = -5(1/15) + 1/3 = 0
Por lo tanto es correcto suponer que el resultado más favorable es igual
a 1 y el resultado menos favorable es igual a 0

16. Estimación de una función de utilidad
individual
Para realizar la estimación primero nos basamos en el resultado más
favorable y el resultado menos favorable, los igualamos a 1 y 0
respectivamente
Ahora queremos obtener la función de utilidad de un número x½

17. En este caso el número x½ hace que sea indiferente. Por lo que la
operación quedaría:
u(x½ ) = (½)(1) + (½)(0) = ½
Ahora expresamos por ejemplo que x½ = -$3 400, a partir de ese dato
podemos encontrar la función de utilidad de un número x¼
u(x¼ ) = (½)(½ ) + (½)(0) = ¼

19. Relación entre la función de utilidad de un
individuo y su actitud hacia el riesgo
El equivalente de certidumbre de una lotería L, escrito como EC(L),
es el número EC(L) tal que quien toma la decisión es indiferente
entre la lotería L y recibir el cierto pago EC(L)

20. El premio de riesgo de una lotería L, escrito como PR(L) está dado por
PR(L)= VE(L) - EC(L), donde VE(L) es el valor esperado de los resultados
de la lotería.
entonces como VE(L)=(½)($30,000)+(½)(-$10,000)= $10,000.
Ya se había visto que EC(L)=-$3,400. PR(L)=$10,000-(-$3,400), Se
evalúa un L en $13,400, menos de su valor esperado, debido a que no le
gusta el grado mayor de incertidumbre que está asociado a la
recompensa producida por L.

21. Sea una lotería no degenerada en la que puede ocurrir más de un resultado. Con
respecto a la actitud hacia el riesgo, quien toma la decisión es:
1. Adverso al riesgo si y sólo si para cualquier lotería no degenerada L, PR(L) > 0
1. Neutral al riesgo si y sólo si para cualquier lotería no degenerada L, PR(L) = 0
1. Buscador de riesgo si y sólo si para cualquier lotería no degenerada L, PR(L) < 0
La actitud de un individuo hacia el riesgo depende de la concavidad de la función de
utilidad.

22. Se dice que una función u(x) es estrictamente cóncava si para dos puntos
cualquiera en la curva y=u(x), el segmento de línea que une esos dos puntos
queda por completo abajo o arriba de la curva y=u(x).
Si u(x) es diferenciable entonces u(x) es estrictamente cóncava si y sólo si
u’’(x)<0, para toda x y u(x) será estrictamente convexa si y sólo si u’’(x)>0 para
toda x. Es fácil demostrar que quien toma la decisión con una función de
utilidad u(x) es:
1. Adverso al riesgo si y sólo si u(x) es estrictamente cóncava.
1. Neutral al riesgo si y sólo si u(x) es una función lineal.
1. Buscador de riesgo si y sólo si u(x) es estrictamente convexa.

23. Ejemplo Activos de Joan
La función de utilidad de Joan para su posición de activos está dada por u(x)=x^½. En la
actualidad los activos de Joan consisten en 10,000 dólares en efectivo y una casa con valor
de 90,000 dólares. Durante un determinado año, hay una probabilidad de 0.001 de que la
casa de Joan sea destruida por un incendio u otras causas. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar
Joan por una póliza de seguro que le retribuirá a su casa si esta fuera destruida?
Sea x=prima anual del seguro. Luego, Joan debe elegir las siguientes loterías:

24. Joan preferiría L1 a L2 si la utilidad esperada de L1 excede la utilidad esperada de L2.
Así, L1pL2 si y sólo si:
(100,000-x)^½ > 0.001(10,000)^½ + 0.999(100,000)^½
(100,000 - x)^½ >0.10+315.91154
[(100,000 - x)^½]^2 >[316.01154]^2
100,000 - x > [316.01154]^2
x < $136.71
Así Joan pagaría hasta $136.71 por el seguro. Por su puesto si p=$136.71,L1iL2.
Calculamos el riesgo para L2:
VE(L2)= 0.001(10,000)+0.999(100,000)= $99,910
Teniendo una pérdida esperada de 100,000 - 99,910= $90

25. Puesto a que E(U para L2)= 316.01154, se puede encontrar EC(L2) a partir de una
relación u(EC(L2))= 316.01154 o bien [EC(L2)]^½= 316.0115. Así
EC(L2)=(316.01154)^2= $99,863.29, y
PR(L2)= VE(L2)-EC(L2)= 99,910 - 99,863.29= $46.71
Por lo que, Joan está dispuesto a pagar un seguro anual de $46.71, más la pérdida
esperada de $90. Finalmente decimos que Joan muestra una conducta de aversión al
riesgo ya que PR(L2) > 0. Puesto a que
u’’(x)= (-x^-3/2)/4 < 0
u(x) es estrictamente cóncava y PR(L) > 0 se cumpliría para cualquier lotería no
degenerada.

26. Ejemplo función de utilidad con búsqueda de
riesgo y aversión de riesgo
Considere que una persona toma una decisión cuya función de utilidad u(x) para el
cambio en la posición actual del activo se da en la gráfica. Si esta obligada entre:
¿Qué haría esta persona?

27. Encontramos que u(0)= 0.20, u(2,500)= 0.50 y u(-300)=0.18. Así:
E(U para L1)= 0.20, y
E(U para L2)= 0.10(0.50)+0.90(0.18)= 0.212
VE(L2)= 0.10(2,500)+0.9(-300)= -$20
Así L2pL1. Esto significa que L2 tiene equivalente de certidumbre de por lo menos
$0. Puesto a que VE(L2)= -$20, esto implica que:
PR(L2)=VE(L2)-EC(L2) < 0
Quien toma la decisión exhibe comportamiento de búsqueda de riesgo en esta
situación, porque para cambios en la posición de activos entre $0 y $2,500, u(x) es
convexa.

28. Tenemos que:
u(-200)=0.19, u(0)=0.20 y u(-2,000)=0. Así:
E(U para L3)=0.19, y
E(U para L4)=0.80(0)+0.92(0.20)= 0.184
Nos muestra que que EC(L4)< -200
Puesto a que VE(L4)=0.08(-2,000)+0.92(0)= -$160, PR(L4)VE(L4) - EC(L4)> 0, y
quien toma la decisión está exhibiendo una conducta de aversión al riesgo, porque
u(x) es cóncava.
u(x) -2,000 < x < 0 ->cóncava
0 < x < 2,500 -> convexa

29. Utilidad Exponencial
La ventaja de usar una función de utilidad exponencial es que evaluarla es
relativamente fácil. La desventaja radica en que las funciones de utilidad
exponenciales no captan todos los tipos de actitudes hacia el riesgo.
Una función de utilidad exponencial tiene la siguiente forma:
U(x)=1-e^-x/R
Donde:
x: Valor monetario. (pago si x>0, costo si x<0).
R: Tolerancia de riesgo. (R>0)

30. Mientras más grande sea el valor de R, menos aversión tiene al riesgo.
Si una persona tiene un valor grande de R está más dispuesta a tomar riesgos que una
persona con un valor pequeño de R.
Para evaluar una función de utilidad exponencial de una persona, solo es necesario evaluar
el valor de R.
La tolerancia al riesgo es casi igual a la cantidad R en dólares tal que quien toma la
decisión es indiferente entre las siguientes dos opciones:
● Opción 1: Obtener ningún pago en absoluto.
● Opción 2: Obtener un pago de R dólares o una pérdida de R/2 dólares, dependiendo
del lanzamiento de una moneda no cargada.

31. Si no tengo preferencia entre una apuesta donde gano 1,00 dólares o pierdo $500,
con 0.5 de probabilidad en cada opción y no apostar en absoluto, entonces mi R es
aproximadamente de $1,000.
A Partir de este criterio se intuye que una persona rica debe tener un valor grande de
R.
De igual manera, las compañías más grandes y rentables tienden a tener valores más
grandes de R, lo que significa que están más dispuestas a tomar riesgos relacionados
con determinadas cantidades de dólares.

32. Tarea