1. Ejemplos
Bernoulli, Distribución Binomial,
Poisson, Distribución de Probabilidad
Normal, Distribución Gamma.
18/03/2012
Universidad Tecnológica de Torreón
Nancy Leal Ramírez 2”A”

2. Bernoulli
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad
de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un
premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de
sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el
boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se
considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 -
p) = 1 - 0,5 = 0,5.

3. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir,
salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los
requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

4. Distribución Binomial.
EJEMPLO 1

7. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde
declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los
casos la
respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos
monedas, pone
“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay
una cruz. Se
desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.
Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto
k a partir
del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto
k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20

8. p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

9. Poisson
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de
contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7
Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan
algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2

10. X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen
defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar
¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

11. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
NORMAL
1.- Una población normal tiene una media
de 80 una desviación estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z = 0.0367
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70
μ
80

12. 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
–
z = 0.4013
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.4013
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

13. 65000 70000
μ
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3
minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York,
donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de
los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de
probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos
de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.1335
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.3300
–
z = 0.1335
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.5910
0.1335

14. –
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
4.- Las ventas mensuales
de silenciadores en µ = 1,200 el área de
Richmond, σ = 225 Virginia,
tiene una Probabilidad distribución
acumulada.
z
normal, con una media de
5% = .0500
$1,200 y una desviación
estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario
de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las
existencias. ¿Dónde se deben establecer
los niveles de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
– 5% ó 0.0500
z 1.65
X=
µ = 20,082 z
1,571.25
x = σ = 4,500 1,571.25
Probabilidad Valor
acumulada. de z
5.-En 2004 95% = .9500 = y 2005, el
costo medio anual para
asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082.
Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una
distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de
$4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de
¿Qué cantidad?

15. – 95% ó 0.9500
z 1.64
x = 27,462. X=
27,462
75
µ = 20,082
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =

16. DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está
interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson
de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n
ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a=
n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la
duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”.
Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y
fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que
transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta
la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a
p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.
Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor
que 0,1.

17. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.