Volumen 76

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
NN ÚÚ MM EE RR OO SS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
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http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 76, marzo de 2011, página 2
ISSN: 1887-1984
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la
universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el
profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la
investigación…
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y
DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Directores
Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)
Comité editorial
Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel
Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León
(Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa),
María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés
Plasencia (Universidad de La Laguna).
Consejo asesor
José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de
Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y
Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich
(Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic
(Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo),
Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo
(Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos
(Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)
Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Título: Ilusión óptica en la plaza de Valverde en El Hierro
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: administracion@sinewton.org
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera
(Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez Martín
(Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores
insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla
Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de
Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.

Volumen 76, marzo de 2011, páginas 3–4
ISSN: 1887-1984
Índice
Editorial
Alicia Bruno y Antonio Martinón 5
Apertura
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000
7-18
Luis Balbuena Castellano
Monográfico: Martin Gardner
Magia y Matemáticas de la Mano de Martin
19-29
Pedro Alegría Ezquerra
MatemáGicas
31-46
Carlos Vinuesa del Río
Artículos
La fascinante matemática de los nudos
47-54
Rafael Andrés Alemañ Berenguer y Estrella Jornet Gil
Las Tablas y Gráficos Estadísticos como Objetos Culturales
55-67
Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo Cañadas y J. Miguel Contreras
Las actividades matemáticas y su valor competencial. Un instrumento para su
detección 69-82
Lluís Mora Cañellas y Núria Rosich
Dificultades en la interpretación del concepto de variable en profesores de
matemáticas de secundaria: un análisis mediante el modelo 3UV 83-103
José Antonio Juárez López
Matemáticos y Matemáticas solidarios
105-118
Inmaculada Gayte Delgado y Juan Núñez Valdés
La presencia matemática en la isla de La Palma
119-134
José Antonio Martín Corujo

Índice (continuación)
4 NNÚÚMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
Secciones
Experiencias de aula
Coloreando la geografía desde el plano al toroide
135-148
Teresa Braicovich y Raquel Cognigni
Problemas
A propósito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y más de abuelos
149-156
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz
En la red
Los clickers en el aula de matemáticas
157-166
Isabel Marrero
Juegos
La Matemagia en Martin Gardner. (Introducción al uso de la matemagia en la
escuela). Graduación de la dificultad en el Cubo SOMA (II) 167-175
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz
Leer Matemáticas
Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Martin Gardner
177-180
Reseña: José M. Méndez Pérez
Rosquillas anudadas. Martin Gardner
181-185
Reseña: José Rodríguez Expósito
Informaciones 187-188
Normas para los autores 189

Volumen 76, marzo de 2011, página 5
ISSN: 1887-1984
EDITORIAL
Editorial
Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores
Dedicamos este volumen a la figura de Martin Gardner, que falleció el 22 de mayo de
2010. Se trata de una figura polifacética, que destacó como divulgador de las Matemáticas,
contribuyó a difundir los juegos matemáticos, fue un especialista en trucos mágicos,
especialmente con fundamento matemático, adoptó una actitud beligerante frente a la
pseudociencia y también dejó una obra filosófica.
La apertura de este volumen ha sido realizada por Luis Balbuena Castellano, quien se
centra en la faceta de Martín Gardner como difusor de juegos y entretenimientos matemáticos.
Luis Balbuena nos muestra cómo esa difusión ha llegado a muchos rincones del mundo.
Prueba de ello, es la exposición itinerante Matemáticas 2000, realizada en Canarias el año
2000 (Año Mundial de la Matemáticas), en la que se recogen muchos de los juegos planteados
por Martin Gardner.
La afición a la magia matemática de Martín Gardner está representada en diferentes
artículos de este volumen. Pedro Alegría Ezquerra realiza un recorrido por algunas
publicaciones de Martin Gardner dedicadas a la Matemagia y Carlos Vinuesa del Río presenta
cómo algunos principios matemáticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Por su
parte, José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, en las secciones de Juegos y
Problemas utilizan algunos de los planteados por Martin Gardner en sus publicaciones, entre
los que destacan los basados en trucos matemágicos.
La sección Leer Matemática, contribuye a este monográfico con la reseña de dos libros
de Martin Gardner: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (realizada por
José Méndez Pérez) y Rosquillas anudadas (realizada por José Rodríguez Expósito).
El equipo editorial de Números agradece a todos los autores el esfuerzo realizado para
llevar a cabo este reconocimiento a un magnifico divulgador científico, como fue Martin
Gardner.

ISSN: 1887-1984
APERTURA
Artículo solicitado al autor por la revista
Resumen La matemática recreativa estará siempre en deuda con Martin Gardner porque a él se
debe, en gran parte, la difusión de muchos juegos y otros entretenimientos que, en casi
todos los casos habían sido inventados por otros. Pero no solo los difundió sino que
profundizó en ellos y amplió sus posibilidades hasta límites insospechados. Muchas de
esas aportaciones, pasaron del papel a materiales manipulables para formar parte de la
exposición itinerante Expo 2000.
Palabras clave Matemática recreativa, exposición matemática, juegos.
Abstract Recreational Mathematics will always be indebted to Martin Gardner. In fact, in a large
part, the spread of many games and other entertainment that in almost all cases had been
invented by other is due to him. No just spread them, but deepened them and extended
them and their possibilities to unforeseen limits. Many of his contributions went from
paper to manipulable material and are part of our traveling exhibition Expo.
Keywords Recreational Mathematics, Mathematical Exhibition, Games.
1. Introducción
La moraleja es: no hay razón para no disfrutar con los divertimentos
matemáticos si se tiene la mente y el temperamento necesarios, pero no se
debe rebasar la medida. Permitamos que nos sirvan ocasionalmente de
descanso. Dejémosles despertar y estimar nuestro interés por la ciencia y por
las matemáticas. Pero mantengámoslos firmemente bajo control.
Martin Gardner
Martin Gardner, norteamericano nacido en Tulsa (estado de Oklahoma), en 1914, ha dejado una
profunda huella tras su larga vida pues murió en Norma (también en Oklahoma) en 2010. Tras sus
estudios de filosofía, decide dedicarse al periodismo con tan buena suerte para los amantes de las
matemáticas y, en particular, de la matemática recreativa, que a partir del número de diciembre de
1956 empezó a publicar en la prestigiosa revista Scientific American las páginas – no muchas en cada
número – dedicadas a Mathematical Games (Juegos Matemáticos). Y así estuvo mes tras mes hasta
que lo dejó en mayo de 1986. Su trabajo estaba hacia el final de la revista y por eso, sus seguidores,
entre los que me cuento, empezábamos a mirar esta revista de atrás hacia delante en una ávida
búsqueda de su sección. Desconozco el dato de si falló alguna vez pero si no lo hizo fueron nada
menos que 354 trabajos los que llegó a publicar. Los artículos, con buen criterio, empezaron a
aparecer juntos en sucesivas publicaciones que forman parte fundamental de su legado. Sé que trabajó
también en otros aspectos de la ciencia, que fue un enemigo visceral de las pseudociencias hasta el

8 NÚMEROSVol. 76 marzo de 2011
APERTURA
punto que otro gran divulgador como fue Isaac Asimov, le llegó a calificar de “indomable”. Los libros
tienen una ventaja sobre los artículos de la revista y es que en ellos se extiende mucho más de lo que,
seguramente, le permitían las pocas páginas de que disponía en la revista. Por eso deben ser de
obligada lectura y tenencia para los aficionados a la matemática recreativa.
Si se busca información en internet sobre nuestro personaje, se encuentran numerosas
aportaciones sobre su vida y su obra. Por eso me ha resultado complicado orientar mi contribución al
número especial que le quiere dedicar la revista NÚMEROS.
2. La Expo 2000
El 2000, como se recordará, fue el Año Mundial de las Matemáticas. Después de él se han
celebrado, el de la Física en 2005 y el de la Química en 2011… En Canarias se creó un Comité, para
que esa decisión de la UNESCO no pasara desapercibida, en el que participaron las instituciones del
Archipiélago que tienen que ver con esta ciencia y otras que colaboraron puntualmente aunque no se
dediquen a las matemáticas de manera estricta. Allí estuvo la Sociedad Canaria Isaac Newton de
Profesorado de Matemáticas, la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna, los museos
Elder de Las Palmas de Gran Canaria y de la Ciencia y el Cosmos de La Laguna, y la Fundación
Canaria Orotava de Historia de la Ciencia. Hubo un despliegue de actividades que transmitieron a la
sociedad los valores de esta ciencia y su importancia a lo largo de la historia. Por ejemplo, cada
semana durante todo el año, se publicaron suplementos dedicados a la divulgación matemática en dos
periódicos, El Día, de Santa Cruz de Tenerife, y La Provincia, de Las Palmas de Gran Canaria. Todos
estos trabajos fueron recogidos en una publicación que editó la Consejería de Educación del Gobierno
de Canarias (Figura 1).
Figura 1. Portada del libro “La divulgación de las matemáticas en la prensa”.
Entre las iniciativas de ese año está la que llamamos EXPO MATEMÁTICAS 2000. Se trata de
una exposición que nació con vocación de ser itinerante y así permanece desde entonces. Fue posible
gracias a la colaboración de la Consejería de Educación del Gobierno de Canaria que concedió una
comisión de servicios a la Profesora Dolores de la Coba para dedicarse a ese cometido (Figura 2,
Figura 3). Fruto de su trabajo es esa exposición de la que se hicieron dos copias: una quedó en

9Sociedad Canaria Isaac Newton
Vol. 76 marzo de 2011
APERTURA
Canarias recorriendo todas las islas y la otra viajó a la Península moviéndose de un lado para otro:
Galicia, Andalucía, Zamora, Valladolid, Burgos, Villanova y la Geltrú, La Rioja, San Fernando de
Henares, Feria de la ciencia de Madrid, etc.
La exposición está formada por un buen número de actividades que se han ido renovando y
ampliando con el paso de los años así como un conjunto de cuarenta carteles dedicados a variados
temas de divulgación matemática.
3. La Expo 2000 y Martin Gardner
Pues bien, algunas de las actividades que se ofrecen en las mesas están inspiradas en trabajos de
Martin Gardner. En el anexo se incluye uno de los inventarios que se ha hecho de la exposición para
que pueda comprobarse la cantidad y variedad de actividades que se proponen. Todos los materiales
con que están hechos los distintos elementos han superado la prueba del uso continuado y la
manipulación que han realizado con ellos miles de estudiantes. Además se da la favorable
circunstancia de que es muy raro que sea sustraída alguna pieza de las muchas que existen en los
distintos juegos y puzzles.
Figura 2. Tríptico anunciador de la exposición “Matemáticas 2000”.

APERTURA
Figura 3. Exposición Matemáticas 2000.
3.1. Cuadrado mágico de cartas
En el libro Nuevos pasatiempos matemáticos de Alianza Editorial, presenta este juego que
hemos llamado cuadrado mágico con cartas si bien en el libro aparece con las cartas de la baraja
francesa (picas, tréboles, etc.). Consiste en colocar esas 16 cartas de forma tal que no se repitan ni
palos ni figuras en cada fila o columna. Siempre indicamos que esta es como una primera fase. La
segunda es conseguir que eso tampoco ocurra en las diagonales. Señala Gardner que en un libro de
1624 ya se indicaba que posee 72 soluciones fundamentales diferentes sin contar las que se deducen de
las anteriores por rotaciones y simetrías. Sin embargo, cuando Gardner trató este tema en la revista y
dio ese número de soluciones, le escribieron para demostrarle que realmente el problema tiene 144
soluciones.
Figura 4. Solución óptima. No hay repetición en filas, columnas, diagonales ni en las cuatro esquinas.

APERTURA
3.2. Pentaminós y sus posibilidades
En el mismo libro hay un capítulo dedicado a Poliminós y rectángulos sin línea de fractura.
Inserta en él, un artículo de Golomb dedicado a los pentaminós, es decir, a las piezas formadas por
cinco cuadrados. Como es sabido, solo hay doce formas de colocar cinco cuadrados de forma que
tengan un lado común. Son los que están en la figura. Por tanto, entre todas las piezas hay un total de
60 cuadrados. Uno de los entretenimientos más ingeniosos es colocar esos 60 cuadrados formando
rectángulos de distintas dimensiones: 3x20; 4x15; 5x12 y otro de 6x10. Pero además de esas
configuraciones existen otras que tienen formas de camello, de torre, etc. cuya construcción lleva
también un buen tiempo el conseguirla. Recientemente ha aparecido en el mercado un juego conocido
como Katamino que utiliza estas piezas para ir superando pruebas cuyo grado de dificultad crece
gradualmente. Hay, en fin, un reto que se plantea con el tablero de ajedrez. Sabemos que éste tiene 64
cuadros y que los cuadrados de las piezas de los pentaminós son solo 60. Pues bien, el juego consiste
en colocar las doce piezas en los 60 cuadros que quedan en el tablero cuando se eliminan los que se
señalan en la figura 6.
Figura 5. Los doce pentaminós.
Figura 6. Tablero juego

APERTURA
3.3. Tetraexos
En Festival mágico-matemático (Alianza Editorial nº 1023), dedica unas páginas a lo que llama
tetraexos. Se trata de las siete piezas que se pueden conseguir uniendo por un lado cuatro hexágonos.
Que considera un número prudente de piezas para utilizarlas como puzles. Si en lugar de cuatro
hexágonos se unen cinco entonces se tienen 22 pentaexos. Son muchos aunque es un buen
entretenimiento el conseguir dibujarlas todas o al menos llegar al mayor número de ellas. Por eso es
también una buena prueba para un torneo de juegos. En la EXPO se tiene un juego de estas piezas
hechos con tuercas que tienen la forma hexagonal.
Sabemos que el hexágono es uno de los tres polígonos regulares (el triángulo equilátero y el
cuadrado son los otros dos) con los que se puede teselar una superficie plana. Pues bien, en el mismo
libro aparecen unas figuras que deben ser conseguidas con esas piezas pero con un interesante añadido
y es que, según indica Gardner, una de ellas no es posible obtenerla dejando al que lo intente que la
consiga descubrir. Por si lo intenta le diré que es el triángulo.
En este libro dedica también un espacio a los pentaminós proponiendo más actividades con esas
doce figuras.
Figura 7. Una de estas figuras no se puede conseguir con los tetraexos.

APERTURA
3.4. Pentalfa
La famosa estrella de Salomón, también conocida como estrella pitagórica, es la base del juego
que figura en la EXPO con el nombre de pentalfa. Se dispone de nueve fichas que han de ser
colocadas en nueve de los diez agujeros que aparecen en la estrella. Pero no se colocan de cualquier
manera, como es obvio sino que se ha de seguir la siguiente pauta. Se parte de un lugar que esté sin
ficha. Ese sitio es el uno, se dice dos y se pasa a otro punto que puede estar ocupado o libre y a
continuación se dice tres y se pasa a otro hueco que sí debe estar libre para depositar allí la ficha. Un
protocolo bien sencillo. Por supuesto los tres puntos que se tocan han de estar en línea recta. Lo bonito
de este juego es que tiene una estrategia ganadora que no resulta fácil de conseguir. Gardner dedicó
artículos a esta interesante estrella que, como es sabido, está repleta de proporciones áureas entre lados
y diagonales. En el corto de dibujos animados Donald en el país de las matemáticas se pone de
manifiesto esa propiedad de una forma atractiva y clara.
Figura 8. Tablero del pentalfa.
3.5. La Torre de Hanoi
En el libro Diversiones matemáticas (Selector ediciones, México), dedica un espacio a este
juego que, como él mismo indica, fue inventado por Edouard Lucas. En la exposición se tienen hasta
cinco discos. Se aconseja a los que lo intentan resolver que empiecen con tres. Que cuenten los pasos
que dan para trasladar esos tres discos de la clavija de un extremo al otro y, generalmente, lo hacen en
más de los 7 que representan el menor número de movimientos. Una vez que lo consiguen, que pasen
a los cuatro discos y después a los cinco. Cuando la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La
Laguna celebró sus 25 años, se publicó un libro conmemorativo en el que se insertó y artículo mío
sobre este juego. En él presento una serie de posibilidades para la exploración didáctica del juego.

APERTURA
Figura 9. Tablero de juego de las Torres de Hanoi.
3.6. Hex
En el mismo libro citado en el párrafo anterior, Gardner habla del juego de hex. El que se
presenta en la expo 2000 está hecho con tuercas hexagonales pegadas y acopladas en un marco de
madera. Pesa pero es fuerte. Es el que aparece en la figura 10, en la esquina inferior izquierda de la
mesa. Las piezas para insertar en los hexágonos son de plástico. En la figura 11, imagen que aparece
en el libro, se ve el camino de negro a negro que se ha conseguido con las fichas de ese color. Claro
que el que juega con las blancas ha de tratar de evitar que esto lo consiga su contrincante. Dice
Gardner que sus reglas son simples pero que, no obstante, es hex es un juego de una sorprendente
sutileza matemática. Indica que en 1948, John F. Nash, entonces un estudiante graduado en
matemáticas en la Universidad de Princeton, reinventó el juego de forma independiente.
Figura 10. El Hex y otros juegos.

APERTURA
Figura 11. Tablero de juego del Hex.
4. Conclusiones
He querido dejar de manifiesto que, además de lo entretenido que son los libros de Martin
Gardner, representan una fuente de inspiración para proponer actividades a los estudiantes, desde unas
que son muy sencillas a otras realmente complicadas y propias de especialistas. Los libros de Martin
Gardner que ofrezco en la lista están todos en castellano y, aunque lo he intentado, no sé si es
exhaustiva.
Acertijos divertidos y sorprendentes. RBA LIBROS. 2009
Acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones. 1992
¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. Labor
¡Ajá! Inspiración. Labor
Carnaval matemático. Alianza Editorial. 1995
Circo matemático. Alianza (937)
Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos
Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas. Gedisa
Diversiones matemáticas. Selector
El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos. Alianza Editorial (1991)
El idioma de los espías. Zugarto
El universo ambidiestro (I). RBA editores
Festival mágico-matemático. Alianza Editor
Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas. Gedisa
Izquierda y derecha en el cosmos. Salvat Editores. 1973
Juegos y enigmas de otros mundos. Gedisa
Juegos, los mágicos números del Dr. Matrix. Editorial Gedisa. 1987
La nueva era. Alianza (1463)
Los acertijos de Sam Lloyd. Granica
Magia inteligente. Granica
Máquinas y diagramas lógicos. Alianza
Matemática para divertirse. Granica
Mental Games (en español). Selector
Miscelanea matemática. Salvat

APERTURA
Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas. Labor
Nuevos acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones
Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza (391)
Nuevos rompecabezas mentales. Selector
Orden y sorpresa. Alianza
Pasatiempos matemáticos. Alianza
Rompecabezas mentales. Selector
Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Labor
Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Labor
Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Labor
Luis Balbuena Castellano, catedrático de Enseñanza Secundaria, fundador de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas, impulsor de la Federación Española de Sociedades de Profesores
de Matemáticas y de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemáticas de las que
ha sido su primer Secretario General.
Autor de numerosos trabajos sobre Educación así como de divulgación de las matemáticas en prensa,
radio y televisión y libros como Guía Matemática de La Laguna, Palillos aceitunas y refrescos
matemáticos, Cuentos del Cero, El Quijote y las matemáticas, etc.
En la actualidad reparte su trabajo entre el Consejo Escolar del Estado, del que es miembro en el grupo de
personalidades de reconocido prestigio, y sus numerosas actividades en Iberoamérica en pro de la mejora
de las condiciones educativas en general y las matemáticas en particular, dirigiendo cursos de
actualización científica y didáctica para profesores de Paraguay, Chile, México, etc.

APERTURA
Anexo
Relación de materiales de los que constan las mesas de la EXPO MATEMÁTICAS 2000
Juego Materiales
El acertijo del mandarín Tablero de madera con 25 huecos y 24 fichas cuadradas y numeradas
Anamorfosis cilíndrica Un cilindro de metal pulido a espejo. Plantillas con dibujos anamórficos.
Anamorfosis cónica Base de madera con cono pulido a espejo en el centro. Plantillas con dibujos.
Aparato de Galton 1 prueba Estructura con soporte +canicas
Galton n pruebas (curva normal) Estructura de madera y cristal con 1000 bolitas de acero + atril para inclinarlo
Bájense de la Tierra Tablero cuadrado con disco giratorio con figuras de chinos
Cuatro cuatros Calculadora con sólo la tecla del cuatro y las operaciones.
Camino al infinito
Caja de madera con tapa con dos laterales de cristal y dos espejos paralelos en
el interior. Plantilla plastificada pegada en el frente.
Caída a lo largo de cuerdas Tablero vertical circular con cuerdas variables + 2 canicas.
El movimiento y la curva
cicloide
Una rampa con plano inclinado, otra con superficie siguiendo una curva
cicloide y tablillas separadoras. 2 canicas.
Dibujo de la curva cicloide
Base de madera recortada siguiendo dos curvas de cicloide. Disco con punta de
lápiz. Soporte para papel. Lápiz en el extremo de un cordón sujeto al tablero.
Circuito Hamiltoniano
33 cubos transparentes con tubo azul interior uniendo caras. 26 con tramo curvo
y 7 con tramo recto
Círculos de colores
Base de madera + 16 piezas cuadradas con cuartos de círculos pintados de
colores en dos de sus vértices
Colmena coloreada 7 hexágonos de madera con círculos de colores en los lados
Cruz espacial
Cuatro piezas iguales, cada una de ellas está formada por 8 cubitos pegados (4
claros y 4 oscuros)
Cuadrado mágico de colores Tablero de madera dividido en 4x4 cuadraditos. 16 botones de cuatro colores
Cubo de colores 27 cubos de madera con círculos de colores en las caras
Cubo diabólico Cubo de madera cortado en 6 piezas de 2,3,4,5,6 y 7 cubitos respectivamente.
Cubo Soma Cubo cortado en 7 piezas de diversas formas pintadas en colores distintos.
Cubos locos Cuatro cubos con puntos de colores en sus caras en caja de madera con orificios
a2
-b2
=(a+b)(a-b) Puzzle de madera de 3 piezas (2 amarillas iguales y una negra)
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3 Cubo dividido en 8 piezas (1 cubo azul, 1 cubo verde, 3 prismas cuadrados
naranjas y 3 prismas rectangulares amarillos)
33
+43
+53
=63
Puzzle formado por 216 cubitos de madera. Están pegados formando 8 piezas
¿Cómo vencer a la gravedad? Base de madera con plano inclinado + doble cono
Dominó de celosías y calados 28 piezas de domino con fotos de módulos de calados y otro juego con celosías.
Domino transparente Tablero con números grabados en ambas caras y juego de domino transparente
Estrella mágica Tablero con estrella pintada y perforaciones circulares. 12 fichas numeradas.
Estructuro 42 cubos pintados en 3 colores. Carpeta con problemas.
Superficie reglada: Hiperboloide Dos discos de madera sujetos por barra metálica central y elásticos.
Igual área, distinta forma Dos puzzles de colores a dos caras. 4 piezas roja-verde y 5 piezas roja-amarilla.
Ilusión óptica: Si me colocas a la
derecha encojo
Dos láminas iguales con forma de “c”
Juega con cuadrados 10 piezas geométricas de plástico de colores. 5 amarillas y 5 verdes
Juego de los vasos 7 vasos de plástico azules

APERTURA
Juego Materiales
El Juego del Hex Tablero de madera con tuercas y 100 fichas (50 negras y 50 blancas)
Ley de Bode Barra de madera con cinta métrica en placa metálica. 8 discos imantados.
Mosaicos periódicos 41 piezas de plástico iguales (17 rojas y 24 negras)
Mosaicos regulares Polígonos regulares de cartón con dibujos coloreados de diversas formas.
Rompecabezas africano Base de madera con agujero, cuerda y una anilla
Triángulos anudados Tres triángulos de madera con agujeros y cuerda verde
Rompecabezas Victoria Tres piezas de madera (una circular y dos alargadas) y cordón.
El paseo de la mosca caprichosa Base de madera con círculos con forma de euro, tachuelas y elástico.
El Pentalfa Tablero con estrella pentagonal y 9 fichas de madera rojas (fichas de repuesto)
Pentaminos 12 piezas distintas de 5 cubitos pegados. 2 plantillas con problemas.
Pirámide de bolas 7 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera
Pirámide de Piet Hein 6 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera
Pompas de jabón
Dos placas dobles con tirador de metacrilato transparente unidas por tornillos.
Estructuras geométricas metálicas (cubo, tetraedro, círculo cuadrado,...).
Puentes de Konigsberg Tablero con maqueta de Konigsberg, islas, río y puentes de la ciudad.
Rara partida de dominó
Tablero negro de madera con 7 fichas pegadas y 7 dibujadas. Caja con el resto
de las fichas del domino
Real más simétrica
Soporte de madera para espejo de dos caras. Cuatro piezas geométricas iguales,
de plástico cubiertos de vinilo en dos colores. Plantillas con figuras.
Reflecto Reflecto (espejo) y piezas de fieltro de colores
Liberar al prisionero
Caja de madera con tapa conteniendo piezas rectangulares y cuadradas, una de
ellas con el dibujo de un rostro.
La termina caprichosa 27 cubos unidos por un elástico.
Jugando con las simetrías Espejo, plantilla con dibujo y plantillas con partes del dibujo y su simétrico.
Libro de espejos Libro de espejos, plantilla con dibujos y piezas poligonales de plástico.
Solitario de trébol Tablero de madera con dibujo de trébol y perforaciones circulares. 15 fichas.
El Solitario inglés Tablero circular con 33 hendiduras, canicas. Plantillas con problemas sencillos.
El Solitario pirámide Tablero de madera con agujeros y 21 fichas de madera verdes.
El Solitario triangular Tablero de madera con orificios cilíndricos, 25 fichas de plástico rosa.
Superficie reglada hilos-plomos Caja con tapa de madera y elásticos con pesas
Tangram
7 piezas geométricas de plástico negro (5 triángulos, un cuadrado y un
paralelogramo). Fichas con dibujos de figuras variadas para construir.
Pitágoras Tablero de madera con dibujo troquelado y ocho piezas de maderas.
Pitágoras 3 cuadrados blancos y 16 triángulos rectángulos azules de plástico
Tetraexos Dos juegos de 7 piezas, cada una de ellas con cuatro tuercas soldadas
Las Torres de Brahma Base con tres pivotes 13 anillas rojas, 8 negras y 6 blancas
Las Torres de Hanoi Base de madera con tres pivotes y 7 discos de madera de distinto tamaño
Sólo una vez por cada lado Tablero con tres circuitos, tachuelas en los vértices y elástico para el camino.
El vigilante desquiciado Plano de dos casas realizado en madera, tornillos y elástico.

ISSN: 1887-1984
MONOGRÁFICO:MARTINGARDNER
Pedro Alegría Ezquerra (Universidad del País Vasco)
Resumen El pasado mes de mayo falleció, a la edad de 95 años, Martin Gardner, una personalidad
de quien se afirma que ha convertido a miles de matemáticos en magos y a miles de
magos en matemáticos. Su afición por esta ciencia y aquel arte, puesta de manifiesto en su
incansable producción escrita, ha movilizado a los más diversos colectivos tanto en los
últimos años de su vida como después de ella. La admiración y el reconocimiento por su
labor didáctica le han hecho merecedor de multitud de homenajes, uno de los cuales
pretende ser este trabajo que consiste en un recorrido por algunos juegos de magia
basados en propiedades matemáticas que nos enseñó a lo largo de sus publicaciones.
Palabras clave Martin Gardner, magia, matemáticas, didáctica.
Abstract Last May died, at the age of 95 years, Martin Gardner, a personality who has turned in
magicians to thousands of mathematicians and in mathematicians to thousands of
magicians. His passion for this art and that science, as manifested in his many
publications, has mobilized many different groups both in the last years of his life and
after he passed away. The admiration and appreciation for his teaching work has earned
him many honors, one of whom claims to be this work that is a tour through some magic
tricks based on mathematical properties that he teach us throughout their papers.
Keywords Martin Gardner, magic, mathematics, teaching.
1. Introducción
El elemento lúdico que hace recreativa a la matemática recreativa puede
tomar muchas formas: un problema para resolver, un juego competitivo, un
truco de magia, una paradoja, una falacia o simplemente matemática con
alguna vuelta curiosa o divertida. ¿Son estos ejemplos de matemática pura o
aplicada? Es difícil decirlo. En un sentido la matemática recreativa es
matemática pura, incontaminada de utilidad. En otro sentido es matemática
aplicada, ya que responde a la necesidad humana de jugar. Martin Gardner
¿Qué sentimiento puede padecer un matemático profesional que ha dedicado su vida a la
investigación cuando descubre que un aficionado, sin estudios superiores de matemáticas, posee
número de Erdös igual a dos1
? ¿Qué impresión le asalta a un mago profesional colmado de éxitos y
fama internacional cuando se entera que un aficionado, que nunca ha actuado en público de manera
profesional, es considerado uno de los cien magos más influyentes del siglo XX2
? ¿Qué clase de
1
Se puede comprobar en http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html
2
Según la lista publicada por la revista MAGIC Magazine, en junio de 1999.

P. Alegría Ezquerra
20
NNÚÚMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
admiración produce entre sucesivas generaciones de aficionados a la ciencia ficción, a sus personajes
y míticos autores, descubrir que el mismo personaje que ha alcanzado los éxitos anteriores, fue
fundador, junto con Paul Kurtz, Isaac Asimov y Carl Sagan, entre otros, del "Committee for the
Scientific Investigation of Claims of the Paranormal", con el objetivo de promover la investigación
crítica de los fenómenos paranormales, desde un punto de vista científico? ¿Qué méritos ha podido
cosechar este mismo personaje para ser conmemorado cada dos años mediante un congreso en su
homenaje, del que se han celebrado ya nueve ediciones, y que reúne a las personalidades más
representativas del mundo de la matemática recreativa, de la magia y del coleccionismo de juegos de
ingenio3
? ¿Qué tiempo ha quedado libre a este personaje para ejercer su profesión de escritor, para
publicar cerca de cien libros de temática variada, a lo largo de casi 80 años de carrera?
Muchas respuestas se han tratado de ofrecer desde su fallecimiento en mayo de 2010, a la edad
de 95 años, en diferentes medios y desde los foros más diversos. Si fuera posible extraer en una sola
frase el contenido de los obituarios que se han difundido en la prensa e internet, así como de los
reconocimientos y agradecimientos por su labor, podríamos decir que la vida de Martin Gardner ha
despertado la admiración de muy variados colectivos, todos ellos de acuerdo en que su sugerente estilo
a la hora de escribir en diferentes temas ha conseguido atraer la atención y el interés en aspectos poco
reconocidos y explorados hasta entonces.
Es claro entonces que sería imposible hacer un recuento de sus contribuciones a la ciencia y la
cultura del siglo XX. De modo que hemos elegido en este artículo centrarnos en la parte más mágica
de las matemáticas (o la más matemática de la magia): la que él adoptó con el nombre de matemagia.
Haremos un recorrido por sus contribuciones en este campo y señalaremos algunas de las que nos han
parecido más atractivas. Terminaremos con algunos apuntes sobre las ideas que él defendía sobre los
métodos de enseñanza de las matemáticas, tanto a nivel elemental como superior.
Son muchos los escritos que nos ha legado, casi un centenar de libros publicados sobre todos los
campos de conocimiento que él cultivó, desde la literatura hasta la filosofía, pasando por la
divulgación científica, la matemática recreativa y la magia. Debido a la multitud de ediciones,
reimpresiones y traducciones de los libros de Martin Gardner, nos limitaremos en las referencias a la
recopilación en versión digital de sus contribuciones mensuales a la revista Scientific American, que
abarcaron desde 1956 hasta 1981, un CD-ROM publicado en 2005 por The Mathematical Association
of America bajo el título Martin Gardner’s Mathematical Games.
2. La colección de libros recopilatorios
La magia, junto con el ajedrez, ha sido la afición más duradera de las que Gardner cultivó. Así
como el ajedrez se convirtió en una obsesión que no le permitía atender otras ocupaciones, la magia
fue su compañera inseparable hasta sus últimos tiempos. A los quince años publicó su primer juego de
magia en una de las revistas más importantes de la época, The Sphinx. Con 80 años se le puede ver
(figura 1) haciendo flotar una cuchara en el aire con su “fuerza mental”.
Dicha afición le llevó a conocer personalmente a las mentes más brillantes del mundo de la
magia. Pero la magia y las matemáticas están íntimamente ligadas: tanto los magos como los
matemáticos están motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio esencial del mundo.
Los magos ponen de manifiesto hechos sorprendentes y los matemáticos tratan de explicarlos. Por otra
parte, como opinaba Arthur Clarke, el famoso escritor de ciencia ficción, cualquier tecnología
suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. El propio Gardner se consideraba en la
intersección de la magia y las matemáticas, afirmando que “la magia matemática tiene su propio
3
La página oficial de los congresos es http://www.g4g4.com/index.html

21
encanto, pues combina la belleza de las estructuras matemáticas con el valor de entretenimiento de
los trucos de magia”.
Figura 1. Martin Gardner, demostrando sus dotes de “control mental”.
Como muestra de su afirmación, Gardner no perdía oportunidad a lo largo de sus publicaciones
de utilizar los juegos de magia para ilustrar alguna teoría matemática o para describir algún principio
matemático curioso. Este es el objetivo de la sección: recorrer sus artículos de la Scientific American
para encontrar esos juegos mágico-matemáticos que han tenido gran influencia en el entorno docente y
en el mundo mágico.
No hace falta llegar muy lejos en el recorrido de sus artículos. En (Gardner, 1988a, pp. 15-18)
encontramos la primera referencia a los juegos de magia. Bajo el título “Magic with a matrix”,
describe un original juego de adivinación de una suma con números elegidos de forma “arbitraria” por
un espectador, como muestra de las propiedades de los cuadrados mágicos, los cuales aparecen a
menudo en sus artículos. El juego es el siguiente:
Observa el cuadrado de la figura adjunta:
19 8 11 25 7
12 1 4 18 0
16 5 8 22 4
21 10 13 27 9
14 3 6 20 2
Selecciona cualquier número trazando un círculo alrededor de él. Tacha ahora el resto de los
números que están en su misma fila y columna. Repite la misma operación: traza un círculo alrededor
de cualquier número no tachado y tacha todos los números que están en su misma fila y columna. Al
repetir la operación cinco veces, habrá cinco números con un círculo alrededor. Suma todos ellos y
comprueba que el resultado es 57. ¿Cómo puede saberse de antemano?

22
Para comprender la explicación, basta observar que el cuadro anterior es simplemente la tabla
de sumar de ciertos números, donde se han ocultado los sumandos. La tabla completa sería así:
+ 12 1 4 18 0
7 19 8 11 25 7
0 12 1 4 18 0
4 16 5 8 22 4
9 21 10 13 27 9
2 14 3 6 20 2
De este modo, el proceso anterior hace que la suma de los números resultantes sea siempre la
suma de los números que encabezan la tabla.
El capítulo 10 del mismo libro está dedicado íntegramente a juegos de magia con cartas,
elementos que utilizará regularmente en sus artículos, unas veces para plantear problemas de ingenio y
otras veces para motivar el aprendizaje de propiedades matemáticas diversas.
El capítulo 4 del segundo libro de la colección (Gardner, 1987a, pp. 43-48) está dedicado a
explotar, en clave de juego de magia, algunas propiedades de la raíz digital de un número en relación
con la regla de divisibilidad del nueve. Explica otros juegos basados en dicha regla en el noveno libro
de la colección (Gardner, 1992a, pp. 257-259). En el capítulo 7 del mismo libro (Gardner, 1987a, pp.
78-80) presenta algunos efectos mágicos que ilustran algunas características curiosas y sorprendentes
de la topología y la teoría de grupos. Otros trucos topológicos aparecen en el capítulo 17 del cuatro
libro de la colección (Gardner, 1991, pp. 199-201), en el capítulo cinco del octavo libro (Gardner,
1989b, p. 73) y todo el capítulo nueve del octavo libro (Gardner, 1989b, pp. 123-136) está dedicado al
estudio de las propiedades, tanto mágicas como matemáticas, de la banda de Möbius como una forma
sencilla de presentar las superficies no orientables. La figura, aparentemente imposible de construir sin
traspasar la cuarta dimensión, que llama “hypercard” (cuya imagen se muestra en la figura 2) también
merece un tratamiento como juego de magia en (Gardner, 1992b, pp. 125-128).
Figura 2. Imagen del “hypercard”.
Ya el primer capítulo del tercer libro de la colección (Gardner, 1995, pp. 14-19), de título “The
binary system”, contiene diferentes versiones del famoso juego de adivinación de un número a partir

23
de una colección de tarjetas basadas en la representación binaria de los números. El famoso juego de
las 21 cartas (o problema de Gergonne), cuya explicación descansa en el sistema de numeración
ternaria, es tratado en (Gardner, 1984, pp. 109-110). El capítulo 9 (Gardner, 1995, pp. 103-109) está
dedicado íntegramente a describir juegos de magia basados en principios matemáticos, desde el
sorprendente principio de Gilbreath hasta el elemental principio de paridad. El principio de Gilbreath
aparece de nuevo en el octavo libro de la colección (Gardner, 1989b, p. 94). La idea básica de este
principio, descubierto en 1957 por el matemático-mago Norman Gilbreath, es que una mezcla simple
de una baraja ordenada produce dos sucesiones ordenadas de cartas, quizá entremezcladas entre ellas.
Un estudio matemático sencillo de este principio aparece en (Behrends, 1997). También se han
encontrado sorprendentes conexiones de este principio con la teoría de embaldosados no periódicos
(de Bruijn, 1987).
Otro juego basado en el principio de paridad puede encontrarse en (Gardner, 1984, p. 75). En el
capítulo 20 (Gardner, 1995, pp. 234-235) presenta una novedosa adivinación, no de un número sino
¡de una función! utilizando las propiedades del triángulo de Pascal. Utilizando unas cuantas cerillas,
ofrece otro sorprendente truco basado en la paridad en (Gardner, 1992a, pp. 16-17). También explota
el principio de paridad utilizando cuadrados mágicos en (Gardner, 1983, pp. 72-73).
Nuevamente, todo el capítulo 13, titulado “Chicago Magic Convention”, del cuarto libro
(Gardner, 1991, pp. 147-159) está dedicado a la magia matemática. Queremos destacar la versión que
allí se describe del llamado truco de cartas de Cheney en el que se utiliza la teoría de información para
descubrir una carta elegida. Describiremos brevemente el juego, planteándolo como problema de
ingenio.
Con un ayudante vuelto de espaldas, el mago entrega una baraja completa, de 52 cartas a un
espectador, el cual selecciona cinco cartas. El mago, al verlas, vuelve de dorso una de ellas y ordena
adecuadamente las otras cuatro. El espectador nombra en voz alta las cuatro cartas. Al oírlas, el
ayudante es capaz de adivinar la carta que ha quedado de dorso. El problema es pues encontrar la
estrategia que deben utilizar el mago y el ayudante para determinar dicha carta.
Recientemente se ha despertado el interés de la comunidad educativa hacia el problema de
resolver el fundamento matemático de dicho truco, debido a su potencial pedagógico y la riqueza de
aspectos matemáticos involucrados. Un par de ejemplos que confirman lo anterior son los artículos
(Kleber, 2002) y (Holm y Simonson, 2003).
En el mismo capítulo, describe también las propiedades matemáticas de la llamada mezcla
australiana, proceso de eliminación de cartas en una baraja similar al conocido como problema de
Josefo4
.
En el capítulo 3 del quinto libro (Gardner, 1985, pp. 32-34) aparece un ejemplo de paradoja
geométrica muy del gusto de Martin Gardner. Anteriormente ya había dedicado un capítulo al estudio
y propiedades de dichas paradojas en su aclamado libro sobre magia matemática (Gardner, 1956). En
el décimo (Gardner, 1983, pp. 40-42) y duodécimo (Gardner, 1988b, pp. 58-61) libros de la colección,
desarrolla de forma amena y didáctica otros ejemplos de paradojas probabilísticas, basadas en algunos
fenómenos no transitivos. Un poco más adelante (Gardner, 1983, pp. 128-129) describe otras
paradojas visuales muy sorprendentes. Con ingeniosa ironía describe en el capítulo 16 del mismo libro
(Gardner, 1985, pp. 146-157) 26 efectos clásicos de clarividencia y precognición, descubriendo así
algunos de los métodos utilizados por los falsos médiums y pseudovidentes, a quienes siempre trató de
desenmascarar.
4
Se puede encontrar una descripción del problema en http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Flavio_Josefo

24
La numerología también estaba presente en muchos de sus artículos. Como continuación de
(Gardner, 1995, p. 100), en el capítulo 19 describe algunas propiedades mágicas del número cinco. A
modo de ejemplo, describiremos la siguiente.
Sean x1 y x2 dos números reales positivos arbitrarios. A continuación construimos la sucesión
recurrente
,...3,2,
1
1
1 =
+
=
−
+ n
x
x
x
n
n
n
A simple vista, si la sucesión fuera convergente, su límite sería la constante áurea. Sin
embargo, no es convergente ya que, curiosamente, se trata de una sucesión 5-periódica: todos los
valores se repiten cada cinco términos.
En el capítulo 14 del sexto libro (Gardner, 1984, pp. 135-142) hace honor a los libros más
representativos de la magia matemática hasta el momento, como son Mathemagic de Royal V. Heath
(1933) y Mathematical Magic de William Simon (1964).
De nuevo, un capítulo completo del séptimo libro (Gardner, 1989a, pp. 77-88) está dedicado a
descubrir algunos trucos utilizados por los calculistas para realizar operaciones relámpago. Como
ejemplo curioso, muestra el secreto de multiplicar rápidamente dos números de nueve cifras (siempre
que uno de ellos sea 142857143). Así, si queremos multiplicar el número 456887156 por aquél, basta
dividir por siete el número 456887156456887156. La explicación es simple: la multiplicación de 7 por
142857143 es igual a 1000000001. En ese mismo capítulo explica un método sencillo para adivinar el
día de la semana correspondiente a cualquier fecha del siglo XX.
También el capítulo 10 (Gardner, 1989a, pp. 123-138) describe de manera atractiva las
propiedades matemáticas de las mezclas de cartas y su aplicación a gran variedad de juegos de magia.
En particular, define la mezcla faro, también llamada mezcla perfecta, que consiste en lo siguiente:
• Se divide un paquete de cartas exactamente por la mitad.
• Se mezclan las cartas, imbricándolas de modo que se vayan alternando las cartas de
cada montón, una por una y de forma exacta.
Además,
• Si las cartas superior e inferior del paquete inicial mantienen sus posiciones después de
la mezcla, ésta recibe el nombre de faro exterior (Faro-Out).
• Si la carta superior pasa al segundo lugar y la inferior al penúltimo lugar después de la
mezcla, ésta recibe el nombre de faro interior (Faro-In).
Muchas propiedades de dicha mezcla se desarrollan en (Alegría, 2008). Un estudio más
completo, con aplicaciones de la mezcla faro en el diseño de memoria dinámica de ordenadores, se
encuentra en (Morris, 1998). Destacaremos, por su sorprendente elegancia, la siguiente propiedad
obtenida de forma experimental por el mago-informático Alex Elmsley:
Si queremos pasar la carta superior de la baraja a la posición n-ésima, escribimos el número
n–1 en el sistema de numeración binaria y realizamos una sucesión de mezclas faro de acuerdo a las
cifras de dicho número: por cada cifra 0 realizamos una faro exterior (Out) y por cada cifra 1
realizamos una faro interior (In). Por ejemplo, para pasar la primera carta a la posición vigésimo

25
tercera, escribimos el número 22 en base 2, y obtenemos 10110. Así pues realizamos la siguiente
secuencia de mezclas faro: In-Out-In-In-Out.
En el capítulo 15 del mismo libro (Gardner, 1989a, pp. 194-196) describe un juego de cartas
basado en las propiedades del triángulo de Pascal y la regla de divisibilidad del nueve. Este ejemplo
vuelve a ratificar uno de los lemas más característicos de Martin Gardner; en la introducción del libro
afirma que, en un nivel elemental, no es posible motivar a ningún alumno para aprender la teoría de
grupos diciéndole que la encontrará hermosa, estimulante o incluso útil si algún día llega a ser un
físico especializado en partículas.
Otro juego que le gustaba contar para ratificar sus ideas es el siguiente:
Escribe en una calculadora un número de tres cifras, digamos ABC. Escribe a continuación el
mismo número, obteniendo así el número ABCABC. Independientemente de las cifras elegidas, puedo
adivinar que el número es múltiplo de 13. Compruébalo con la calculadora. Divide ahora el cociente
entre 11. ¡También sale exacto! Más aún, divide el resultado entre 7. No sólo el resultado es exacto
sino que ¡el cociente resulta de nuevo el número ABC!
Gardner afirma que no conoce un método mejor de introducir a los estudiantes en la teoría de
números y en las propiedades de los números primos que la explicación de por qué este truco funciona
siempre.
Es indudable que una baraja de cartas ofrece muchas posibilidades para establecer propiedades
combinatorias y probabilísticas, algunas de ellas poco intuitivas. En el capítulo 7 del octavo libro de la
colección (Gardner, 1989b, pp. 97-102) describe algunas de ellas.
El número 142857 ya citado es motivo del capítulo 10 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 97-
102). Dicho número es precisamente el periodo de la expresión decimal del número 1/7 y tiene la
propiedad de que, al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5 ó 6, el resultado contiene las mismas cifras del
número en distinto orden, de ahí que se llame número cíclico. En 1919, Leonard Dickson probó que
todo número cíclico es el periodo de la expresión decimal del inverso de algún número primo.
Recíprocamente, para que el periodo de la expresión decimal del inverso de un número primo p sea
cíclico es suficiente que el número de cifras de dicho periodo sea p – 1. Los únicos nueve números
primos menores que 100 que generan números cíclicos son 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.
Otro curioso juego basado en propiedades de algunos números es el siguiente (Gardner, 1988b,
p. 270):
Escribe en una calculadora el número 98765432 y divídelo por 8. Sorprendentemente, el
resultado es 12345679, donde están todas las cifras en orden creciente, pero ha desaparecido
precisamente el 8. Si quieres que vuelva a aparecer, multiplica el resultado por 72. Verás que el
resultado está formado solamente por ochos.
La famosa sucesión de Fibonacci también se presta a realizar trucos de adivinación. Basta
aplicar algunas propiedades poco conocidas de dicha sucesión para sorprender a públicos profanos.
Varios ejemplos se muestran en el capítulo 13 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 159-165).
Después de efectuar uno de estos trucos, cualquier persona está mejor predispuesta para escuchar y
retener propiedades matemáticas de esta y otras sucesiones definidas por relaciones de recurrencia. En
el décimosegundo libro (Gardner, 1988b, p. 273) describe el siguiente juego, donde aparece la relación
entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo:

26
Escribe en una fila dos números arbitrarios. Debajo de ellos escribe la suma de ambos. Sigue
escribiendo números en fila, cada uno de ellos igual a la suma de los dos inmediatamente superiores a
él, hasta tener alrededor de veinte números. Ahora divide el último entre el penúltimo o el penúltimo
entre el último, como prefieras. Observo que las tres primeras cifras de la parte decimal son 6, 1 y 8.
Es fácil entender la explicación: el límite del cociente de dos términos sucesivos de una
sucesión de Fibonacci es, o bien el número áureo 1,61803… o bien su inverso 0,61803… En cualquier
caso, una buena aproximación al límite la produce el cociente entre dos términos suficientemente
grandes.
El capítulo 19 del décimo libro (Gardner, 1983, pp. 206-213) está dedicado nuevamente a
juegos matemáticos con cartas. Como muy acertadamente señala, los trucos matemáticos suelen ser
aburridos para la mayoría de la gente, debido a la acumulación de tareas repetitivas que conllevan. Sin
embargo, tienen un curioso atractivo entre los matemáticos aficionados o profesionales, por esa misma
razón. En el citado capítulo presenta toda una rutina de juegos con cartas basados en diferentes
principios matemáticos, como el de paridad, el de Hummer y el de Fulves, principios que están
descritos con detalle en (Alegría, 2008).
Otro interesante principio matemático, relacionado con la teoría de la probabilidad, es el
conocido como principio de Kruskal (Gardner, 1997a, pp. 274-276), descubierto por el físico de la
Universidad de Rutgers, recientemente fallecido, Martin Kruskal. El desarrollo del juego es el
siguiente:
Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la mesa.
Se pide a un espectador que piense un número del uno al diez. A continuación, debe realizar las
siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indicación de sus resultados:
• Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el número
pensado.
• Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver a
recorrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho número. En caso
de que se haya detenido en una figura, recorrerá cinco pasos.
• El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre que
haya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo más,
debe fijarse y recordar la última carta del último trayecto.
Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, es posible descubrir el valor de dicha
carta con una probabilidad mayor que 0,8. Esto es debido a que, para casi todas las elecciones de la
primera carta, el camino converge al mismo resultado final. El modelo matemático que mejor se ajusta
a las características de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos
estocásticos, de gran interés en ciertas aplicaciones estadísticas5
.
En el penúltimo libro de la colección dedica un capítulo (Gardner, 1992b, pp. 67-70) al
reconocido filósofo Charles Sanders Peirce y describe con detalle lo que llama “el truco de cartas más
difícil y fantástico jamás inventado”, publicado en los “Collected Papers”de Peirce, con el que
cualquier profesor puede motivar a los estudiantes interesados en la aritmética de congruencias.
También en el último libro de la colección (Gardner, 1997b, pp. 239-240) utiliza la aritmética de
congruencias módulo 13 con el que mostrar un método sencillo para adivinar cualquier carta eliminada
de una baraja completa. En el libro (Gardner, 1987b, pp. 11-12), el tercero de la colección que recopila
5
Una curiosa prueba del origen divino de la Biblia se encuentra en
http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html

27
sus contribuciones a la revista Isaac Asimov' s Science Fiction Magazine durante diez años, explica
con detalle un fantástico juego de cartas basado en la aritmética de congruencias módulo 5.
3. La enseñanza de las matemáticas según Gardner
La variedad de los temas que trató a lo largo de veinticinco años y el estilo directo que
destilaban sus columnas mensuales en la revista Scientific American causaron gran interés entre sus
lectores y tuvieron mucha influencia entre estudiantes de matemáticas, muchos de los cuales serían
docentes en un futuro próximo. No es de extrañar entonces que, a menudo, se dirigiera a este público
mostrando su preocupación por la formación matemática a niveles elementales y sugiriendo algunas
ideas sobre los métodos de enseñanza de las matemáticas que consideraba más efectivos. La siguiente
reflexión ha sido citada en varias ocasiones para resumir sus ideas sobre estos temas: El mejor método
para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante,
un pasatiempo, un truco mágico, una chanza, una paradoja, un trabalenguas o cualquiera de esas mil
cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades.
En la sección anterior hemos citado algunos ejemplos de juegos de magia que él consideraba
que representaban excelentes ocasiones para despertar el interés de los estudiantes por cuestiones
matemáticas de dificultad variable. En muchos otros lugares de su amplia producción escrita se refiere
de manera general a sus conclusiones en torno a la enseñanza de las matemáticas a niveles
elementales. Citaremos dos de dichos pasajes.
En (Gardner, 1992b, pp. 61-75) se muestra seguidor del, entre muchas otras profesiones,
filósofo y matemático Charles Peirce al afirmar que su enfoque recreativo hacia las matemáticas es
más evidente en su visión de cómo las matemáticas deben enseñarse a los niños. En dicho artículo,
afirma:
Al recorrer los manuscritos de sus libros de texto se observa que están repletos de métodos
novedosos de utilización de rompecabezas y juegos con los que introducir conceptos matemáticos.
Así, por ejemplo, la paradoja de Zenón le servía de excusa para llevar la discusión hacia los
conceptos del continuo y del límite, con la geometría proyectiva y las sombras que produce el gira de
una rueda iluminada por una lámpara introducía la idea del infinito. Peirce reconoció, antes de 1900,
el gran valor de la topología elemental para estimular la imaginación matemática de un niño. La
fórmula de Euler para los esqueletos de los poliedros, la teoría de nudos, la teoría de grafos, la
conjetura del mapa de los cuatro colores (que Peirce trató en vano de probar durante varias
décadas), la banda de Möbius, son sólo algunos de los temas topológicos que usó para excitar el
interés de los estudiantes. Le encantaba pedir a los profesores que le dejaran instruir grupos de
jóvenes que detestaban las matemáticas y parecían incapaces de aprenderlas. Para enseñar
aritmética, Peirce recomendaba el uso constante de cuentas, la introducción temprana de la notación
binaria, el uso de tarjetas numeradas y otros dispositivos que son ahora comunes en la instrucción
escolar. También recomendaba usar barajas de cartas. Así contaba en una ocasión a una de sus
personajes: "Si logras hacerte, querida Bárbara, con un mazo completo de naipes, te haré tragar una
leccioncita de matemáticas tan fácilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de
leche."
Recientemente, durante una entrevista a Don Albers (Albers y Gardner, 2005), comenta las
nuevas reformas de la enseñanza de las matemáticas. No se siente conforme con algunas nuevas
tendencias sobre la enseñanza de las matemáticas, las cuales se definen como matemáticas difusas.
Afirma que la idea de esos métodos consiste en organizar a los estudiantes en pequeños grupos que
trabajan en cooperación para descubrir teoremas. Y continúa diciendo:

28
Habría entonces grupos a quienes, en lugar de enseñarles el teorema de Pitágoras, dejaríamos
cortando triángulos para que trataran de descubrirlo por sí mismos. De esta manera, los profesores
no tendrían mucho que hacer, salvo dejar a los estudiantes perder el tiempo tratando de descubrir
teoremas. Lo que ocurre normalmente es que hay en el grupo un estudiante más brillante que hace
todo el trabajo y los demás le siguen. O podrían tardar una semana en descubrir el teorema de
Pitágoras. Pienso que es una gran pérdida de tiempo, a pesar de que la teoría afirma que, en el
mundo real, siempre estamos formando parte de un equipo, de modo que lo realmente necesario sería
aprender a trabajar juntos y resolver los problemas de forma colectiva. Lo importante a estas edades
es lograr la motivación de los estudiantes para aprender los nuevos conceptos.
Para terminar, así como Martin Gardner se consideraba seguidor de las doctrinas y enseñanzas
de grandes maestros de la filosofía y la ciencia, muchos de los que hemos seguido con avidez sus
chanzas, pasatiempos, trucos, problemas, rompecabezas y cuentos, hemos podido aprovechar todo su
conocimiento, sus ideas y maestría narrativa. ¡Gracias!
Bibliografía
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Martin Gardner, The College Mathematics Journal 36 (4), 301–314.
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Morris, S. B. (1998). Magic Tricks, Card Shuffling and Dynamic Computer Memories. Washington:
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Pedro Alegría Ezquerra (Vitoria, marzo de 1957) es profesor titular de Análisis Matemático en el
departamento de Matemáticas de la facultad de Ciencia y Tecnología (Universidad del País Vasco).
Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Zaragoza y doctor en Matemáticas por la Universidad
del País Vasco. Autor de trabajos de investigación en Teoría de Operadores, de divulgación en Magia
Matemática y libros relacionados con la docencia en Análisis Matemático. En la actualidad es
coordinador de la titulación de Matemáticas, responsable del distrito universitario del País Vasco en la
comisión de Olimpiadas de la RSME y presidente de la comisión de divulgación de la RSME.

ISSN: 1887-1984
MatemáGicas1
Carlos Vinuesa del Río (Universidad de Cambridge2
)
Resumen Motivados por la afición de Martin Gardner a la magia matemática, mostramos cómo
algunos principios matemáticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. En
particular nos detenemos en el principio de paridad, el principio de Gilbreath y
coincidencias del estilo de la paradoja de los cumpleaños.
Palabras clave Martin, Gardner, magia, matemagia, paridad, Gilbreath, paradoja, cumpleaños.
Abstract Motivated by Martin Gardner's liking for mathematical magic, we show how some
mathematical principles can be employed in magic tricks. In particular we go over the
parity principle, Gilbreath's principle and coincidences with the flavour of the birthday
paradox.
Keywords Martin, Gardner, magic, mathemagic, parity, Gilbreath, paradox, birthday.
1. Introducción
Antes de nada, una pregunta para ir pensando en algo: ¿Puede un caballo de ajedrez ir de una
esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla exactamente una vez?
Martin Gardner tuvo tantas inquietudes que sería muy difícil resumirlas aquí. Pero para dar una
idea del tipo de cosas que le gustaba hacer, nada mejor que las palabras de Ronald Graham: “Martin
ha transformado a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños”. Escribió más de
70 libros y ha sido posiblemente el divulgador matemático más famoso de la historia. Sus puzles y
problemas favoritos eran aquellos que requerían de una inspiración repentina que a él le gustaba
llamar el momento ¡ajá! Otra cosa que sin duda le apasionaba era la magia matemática; de hecho
podríamos parafrasear la cita anterior y asegurar sin miedo a equivocarnos que Martin interesó a
muchos magos en las matemáticas y a muchos matemáticos en la magia.
En las páginas siguientes trataremos de dar una visión variada y amena de este mundo del que
tantas veces nos habló Martin donde conviven las matemáticas y la magia.
1
Las letras mayúsculas MG son las iniciales de Martin Gardner.
2
El autor agradece a la Fundación Ramón Areces la concesión de la beca postdoctoral de la que disfruta en la
actualidad.

MatemáGicas
C. Vinuesa del Río
2. Paridasd
Todos sabemos que existen números pares e impares. Aparentemente es una idea sencilla. Sin
embargo hay literalmente cientos de excelentes y engañosísimos juegos de magia basados en este
inocente principio.
2.1. Las monedas
Tenemos cuatro monedas3
sobre la mesa. Pedimos a un espectador que, mientras
estamos vueltos de espaldas, realice 7 volteos (un volteo es coger una moneda que está cara
arriba y ponerla cara abajo o viceversa) y después tape una de las monedas con su mano.
Al girarnos, adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Introducimos una nueva moneda. Decimos al espectador que ahora puede realizar
tantos volteos como quiera, con la única condición de decir “vuelta” cada vez que haga
uno, y que tape una moneda al final. Pese a ello y a que hemos estado girados durante los
volteos, adivinamos de nuevo si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Un nuevo espectador entra en juego. Ahora, un espectador realiza un volteo y el otro le
responde con otro volteo, como si estuvieran jugando “una partida”, hasta que finalmente,
tras “mover” el segundo jugador, tapan una moneda. Pese a que no dicen cuántos
movimientos realizan y a que estamos vueltos durante todo el proceso, de nuevo
adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Pese a lo difícil que pueda parecer a simple vista, el juego anterior es muy sencillo de realizar.
La clave para explicárnoslo es la siguiente observación: un volteo altera la paridad del número de
monedas que muestran su cara. Imaginemos que hay unas cuantas monedas sobre la mesa (el número
no es muy importante). Supongamos que el número de monedas cara arriba es par. Si se realiza un
volteo sólo hay dos posibilidades:
• O bien volteamos una moneda que estaba cara arriba, teniendo una cara menos tras el
volteo.
• O bien volteamos una moneda que estaba cara abajo, teniendo una cara más tras el volteo.
Así, en cualquier caso, tras el volteo el número de caras será impar. Y tras un nuevo volteo
volverá a ser par. Y así sucesivamente: impar, par, impar, par, impar, par...
¡Ya sabemos cómo realizar el juego! Para la primera fase basta con que observemos la paridad
del número de monedas cara arriba antes de girarnos. Como el espectador realiza 7 volteos, la paridad
del número de caras cambiará tras los mismos. Así, si había un número par de caras ahora habrá un
número impar y viceversa. Mirando las monedas que han quedado a la vista podremos saber si la que
se oculta bajo la mano del espectador muestra su cara o su dorso.
En cuanto a la segunda fase, como ya sabemos, introducir una nueva moneda no complica las
cosas aunque a ojos del espectador pueda hacerlo más difícil. Basta con que nos fijemos en la paridad
del número de caras antes de girarnos, paridad que irá cambiando con cada “vuelta” que diga el
3
Si realizas este juego para pocas personas que están muy cerca puedes usar monedas cualesquiera. Sin
embargo, si vas a realizar este juego para bastantes espectadores (por ejemplo en una clase) y dado que a cierta
distancia es muy difícil distinguir si una moneda muestra su cara, te recomiendo que construyas pequeños discos
de cartón que por un lado sean de un color y por el contrario de otro.

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C. Vinuesa del Río
espectador. Una sencilla forma de no perdernos a la hora de controlar la paridad consiste en que nos
giremos con el puño cerrado si el número de caras es par o bien con el pulgar extendido (“gesto de
OK”) si es impar. Con cada “vuelta” cambiamos de una posición a otra y al final sólo tenemos que
mirar nuestro dedo...
Por último, la introducción de un nuevo espectador y el hecho de plantear los volteos por pares
(el segundo espectador responde siempre al movimiento del primero) hace que todo sea facilísimo,
pues sabemos que el número de volteos será par y por lo tanto la paridad del número de monedas que
muestran su cara no variará. Pese a que a ojos de los espectadores podría parecer más difícil que la
segunda fase en realidad es mucho más fácil. Dicho sea de paso, esto es algo que ocurre con
frecuencia en magia.
2.2. Los vasos
Este juego de las monedas recuerda a una curiosa apuesta con vasos que nos puede hacer ganar
alguna que otra invitación4
.
Se colocan tres vasos en línea, de manera que quedan alternados boca arriba y boca
abajo. El movimiento permitido es coger dos vasos adyacentes y voltearlos sin cambiarlos
de sitio. Mostramos cómo se pueden dejar los 3 vasos boca arriba y decimos que no es tan
sencillo, retando al espectador a que haga lo mismo. El espectador es incapaz de hacerlo.
El secreto es tan simple que puede incluso que no engañe a nadie y te toque invitar a ti5
. Al
comienzo tú colocas los vasos como muestra la figura de la izquierda: boca abajo, boca arriba y boca
abajo. Por supuesto, pondrías poner todos boca arriba en dos movimientos, pero conviene alargarlo un
poco y no dejar los tres vasos boca arriba hasta que llevemos ya unos cuantos movimientos.
Después colocas los vasos como muestra la figura de la derecha: boca arriba, boca abajo y boca
arriba. Es suficientemente parecido como para que pueda colar que estaban así al principio (aquí
cuentan mucho tus dotes de actor para hacerlo con convencimiento y sin sentirte culpable). Como el
movimiento permitido no cambia la paridad del número de vasos boca arriba (si se voltean dos vasos o
bien habrá dos vasos más boca arriba si los dos estaban boca abajo, o bien dos menos si los dos
estaban boca arriba, o bien los mismos si uno estaba boca abajo y otro boca arriba), el espectador no
conseguirá poner todos los vasos boca arriba.
4
De hecho, si te fijas, tanto el juego anterior de las monedas como la mayoría del resto de los juegos de magia se
pueden presentar también como apuestas. Si decides hacerlo así recuerda mandar siempre un 10% de lo que
ganes a quienquiera que sea el autor del artículo donde lo leíste.
5
En este caso no es necesario que mandes el 10% de la factura a nadie.

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Observa que tanto el hecho de que los vasos que se voltean tengan que ser adyacentes como el
de que no se cambien de sitio son condiciones que no afectan a nada de lo que hemos dicho. Pero el
hecho de poner esas condiciones despista un poco más al primo que pagará la siguiente ronda...
2.3. La mansión embrujada
Colocamos sobre la mesa 9 cartas cara arriba formando un “cuadrado” de 3 x 3 cartas.
Sacamos un sobre, explicando al espectador que dentro del mismo hay una tarjeta con
instrucciones que hemos escrito basándonos en las decisiones que creemos que va a tomar
en un momento. Le pedimos que coloque un vaso (o cualquier otro objeto, pero es bonito
que sea un objeto transparente) sobre la carta que más le guste de todas. Cuando lo hace
(imaginemos que coloca el vaso sobre el 4 como en la figura) le decimos “Ya lo sabía”. Le
decimos que un “movimiento” consiste en desplazar el vaso de una carta a otra contigua
en vertical o en horizontal (¡en diagonal no vale!) y le entregamos la tarjeta con
instrucciones que hay dentro del sobre, donde puede leer:
1. Retira el 3 y mueve 3 veces.
2. Retira el 6 y el 8 y mueve 5 veces.
3. Retira el 7 y el 9 y mueve o bien 7 veces o bien 9 veces.
4. Retira el 2 y mueve tantas veces como el número que prefieras de los que quedan
sobre la mesa.
5. Mueve tantas veces como el número sobre el que te encuentras y retira el 5 y el 1.
Estás sobre el 4.
El nombre de este juego procede de que a veces se presenta diciendo que las nueve cartas son
las estancias de una mansión embrujada en la que las habitaciones desaparecen. Aunque, como estarás
pensando (el título de la sección ayuda bastante), este juego está basando en la paridad, seguro que hay
algo que todavía no te cuadra... ¿Y si hubieras puesto el vaso sobre el 3 en lugar de sobre el 4?
Bueno... digamos que hay una parte del secreto “no tan matemática”... La tarjeta donde están escritas
las instrucciones tiene dos caras y en la otra cara pone:
2. Retira el 7 y el 9 y mueve 8 veces.
4. Retira el 8 y el 2 y mueve tantas veces como el número que prefieras de los que quedan
sobre la mesa.
5. Mueve tantas veces como el número sobre el que te encuentras y retira el 1 y el 3. Estás
sobre el 4.

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Así que si el espectador comienza sobre una carta par sacamos y le ofreceremos la tarjeta
mostrando las otras instrucciones y si comienza sobre una carta impar se la ofreceremos mostrando
estas últimas. ¡Vaya argucias tienen estos magos! Poco más hay que explicar. Como las cartas pares e
impares están alternadas como las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez6
, en cada
movimiento se cambia de paridad. Las instrucciones siempre dicen que se retire una carta de la
paridad contraria a aquella en la que se encuentra el espectador. Además, y esto es lo que utilizamos al
final, si el espectador mueve tantas veces como el número sobre el que se encuentra entonces siempre
terminará en una carta par (par + par = par e impar + impar = par).
En realidad, si cambiamos un poquito el inicio, el juego se presta a que muchos espectadores lo
realicen a la vez, moviéndose “mentalmente” sobre las cartas, lo que hará que el efecto sea distinto y
mucho más fuerte. La primera instrucción podría ser, por ejemplo, que cada espectador se sitúe sobre
la carta que quiera y mueva tantas veces como indica su valor. Así, sabemos que todo el mundo está
sobre una carta par y podemos seguir nuestra lista de instrucciones (ahora sólo hay una lista para todo
el mundo), o bien con las primeras que hemos escrito o bien con otras de nuestra invención, pues
ahora que entendemos el secreto podemos jugar y hacer nuevas versiones del juego. De hecho, para
que veas que se puede hacer, el conocido ilusionista David Copperfield presentó una versión de este
juego por televisión7
, invitando a los espectadores a participar desde sus casas.
2.4. El tapiz del señor Kolo
El siguiente juego está basado en una idea antigua de la que no se conoce al autor original.
Richard Vollmer (Vollmer, 1991, pp. 53 y siguientes) lo llama La tapisserie de Mr. King y en español
(Giobbi, 2004, pp. 77-81) se conoce como El tapiz del señor Kolo. La historia es la siguiente:
Se explica que el millonario señor Kolo mandó realizar un carísimo tapiz de vivos
colores, que se representa con las doce figuras y los cuatro dieces de la baraja (pues son las
cartas con más color), formando un “cuadrado” de 4 x 4 cartas. En la figura de la página
siguiente se muestra el tapiz desde el punto de vista del mago, el público estaría situado en
frente.
Dado el desorbitado precio del tapiz, el señor Kolo decidió que sería buena idea
marcar el mismo con su inicial, la letra K, pues así en caso de robo podría reconocerlo de
nuevo. La marca se realiza volteando algunas de las cartas, como muestra la figura
(recuérdese que la figura muestra el punto de vista del mago, así que los espectadores
verán algo parecido a una letra K mayúscula.
6
Recuerda que todavía tenemos pendiente una pregunta sobre un caballo de ajedrez...
7
Puedes verla aquí: http://www.youtube.com/watch?v=OZ1WTRkTjcA.

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Cierto día, el señor Kolo se fue de viaje y unos ladrones entraron a robar el tapiz. Para
llevárselo tuvieron que doblarlo. El tapiz de cartas se va doblando por las líneas
horizontales o verticales que los espectadores deseen, hasta que ocupa sólo el tamaño de
una carta (todas las cartas terminan en un montón).
Se cuenta cómo el Señor Kolo, tiempo después, creyó reconocer su tapiz en una tienda
de antigüedades. Mandó que lo extendieran y se pudo comprobar que era el suyo, pues su
inicial estaba allí por cuadruplicado: al extender las cartas sobre la mesa, todas están cara
abajo, excepto los cuatro reyes, que están cara arriba.
El juego se basa de nuevo en la paridad, concretamente en el que es conocido como principio de
plegado de Henry Dudeney. Para entenderlo, pensemos en la siguiente situación: si disponemos las
cartas cara arriba y cara abajo alternándolas como si fueran las casillas blancas y negras de un tablero
de ajedrez, cualquier plegado terminará dejando todas las cartas en el mismo sentido (todas cara arriba
si terminan sobre una de las cartas que estaba cara arriba originalmente y todas cara abajo si lo hacen
sobre una de las cartas que estaba cara abajo originalmente). Piénsalo, es muy sencillo.
Una vez entendido eso, si queremos que una carta termine tras el plegado en sentido contrario al
resto, partiendo de la configuración de “tablero de ajedrez”, bastará con que volteemos la carta
deseada. Si lo que queremos es que los cuatro reyes terminen en sentido contrario al resto de las cartas,
bastará con colocar todas las cartas en la configuración de “tablero de ajedrez” y voltear ahora los
cuatro reyes. Coloquemos los reyes (desde nuestra perspectiva) en las dos posiciones situadas más a la
derecha de la fila más cercana al público y en las dos posiciones situadas más a la izquierda y más a la
derecha respectivamente de la segunda fila más cercana a nosotros, como mostraba la primera figura.
Pues bien, si ahora volteamos las cartas necesarias para llegar a la configuración de “tablero de
ajedrez” comenzando por la carta situada más a la izquierda de la fila más cercana al público, y a
continuación cambiamos de sentido los cuatro reyes (independientemente del sentido en que se
hayen), obtendremos la configuración de “K del señor Kolo”. Así, al principio, las posiciones en que
colocamos los reyes son cruciales, pero como las posiciones de todas las cartas restantes no importan
es muy fácil colocar los reyes sin levantar sospechas. Por cierto, si te estás preguntando qué hacer en
caso de que tras el plegado queden todas las cartas cara arriba y los cuatro reyes cara abajo, es muy
sencillo: cuando se termine el plegado del tapiz, coge el montón de cartas (como para mostrarlo) y
voltéalo sin dar más explicaciones. Si no le das importancia, nadie se la dará.
El principio de plegado es muy flexible y podrás crear nuevos juegos basados en él (coloca las
cartas de manera que las que muestran su dorso formen tu dibujo favorito y mira a ver cuántas cartas
tienes que voltear para llegar a la disposición en “tablero de ajedrez”). De hecho, la forma de plegar no
tiene por qué imitar a la de una tela real, podemos coger por ejemplo una sola carta y doblarla hacia el
lado que queramos. Las posibilidades son muchas ¡juega con ellas!

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2.5. El caballo
Para terminar esta sección, retomemos la pregunta del comienzo del artículo: ¿Puede un caballo
de ajedrez ir de una esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla
exactamente una vez? El ataque más directo quizá sería tratar de encontrar uno de esos caminos
(infructuosamente). Sin embargo, podemos dar una respuesta negativa de modo mucho más elegante,
basándonos de nuevo en la paridad.
¡Ajá! Cuando un caballo de ajedrez realiza un movimiento, siempre cambia de color (o bien
pasa de una casilla negra a una blanca como en la figura, o bien al contrario). Es decir, si un caballo
parte de una esquina blanca, los colores de las casillas que pisará serán blanco (B), negro (N), B, N, B,
N, B... Si queremos que el caballo termine en la esquina diagonalmente opuesta, la lista tendrá que
comenzar y terminar en B. Pero el caballo tiene que dar exactamente 63 saltos para pisar las 64
casillas, una cada vez. Y por lo tanto, si empieza en una casilla B, tras los 63 saltos terminará en una
casilla N, lo cual es una contradicción.
3. Orden en el caos
Mezclar la baraja en una partida de cartas es la garantía que tienen los jugadores de que nadie
posee información sobre las cartas que se reparten. ¿Y si pese a la mezcla pudiéramos saber mucho de
las cartas? Bienvenidos al mundo del principio de Gilbreath.
3.1. El principio de Gilbreath
Lo primero que hay que decir es que, pese a la sugerente introducción, es difícil que puedas
sacar provecho de todo lo que sigue en una partida de cartas. Sin embargo sí que podrás realizar
algunos sorprendentes juegos de magia. Por ejemplo:
Entregamos una baraja8
a un espectador que va repartiendo cartas sobre la mesa
hasta que él desea para formar dos montones (el que queda sobre la mesa y el que queda
8
Al igual que en el juego del tapiz del señor Kolo y en todos los demás que aparecerán en el artículo, siempre
que nos refiramos a una baraja será una baraja de póquer sin comodines, es decir las 52 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, J, Q y K de picas, corazones, tréboles y diamantes.

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en su mano). El propio espectador mezcla a la americana9
los dos paquetes formados.
Cogemos la baraja recién mezclada por el espectador y sin mirar ninguna carta la
llevamos a nuestra espalda o debajo de la mesa. Utilizando tan sólo nuestro tacto
podremos encontrar tantos pares de cartas de diferente color como se nos pida.
Como has adivinado, el juego funciona por el principio de Gilbreath. Ahora sólo falta saber qué
es el principio de Gilbreath. Antes de nada coge una baraja y ordena sus cartas de manera que se
alternen las cartas de ambos colores: roja, negra, roja, negra, roja, negra... Reparte en un montón sobre
la mesa cara abajo y de una en una aproximadamente la mitad de la baraja. Mezcla a la americana el
montón que acabas de formar sobre la mesa con el que tienes en tu mano. Comienza a sacar pares de
cartas o bien de arriba o bien de abajo y comprueba que absolutamente todos están formados por una
carta de cada color.
La explicación de por qué sucede lo anterior es sencilla. Si tenemos un montón en el que las
cartas se alternan R, N, R, N, R, N... y otro en el que se alternan N, R, N, R, N, R... y los mezclamos a
la americana, podemos analizar de qué paquete proceden las dos cartas que quedarán como cartas
superiores tras la mezcla. Si cada una procede de un paquete, entonces serán de distinto color y
además, olvidándonos de ellas, tendremos la misma situación (ahora con los colores cambiados de
lado) para continuar este “análisis hacia atrás de la mezcla”. La columna izquierda del siguiente
esquema muestra esto de un modo más gráfico.
Si son las dos del mismo paquete, entonces también serán de distinto color y además,
olvidándonos de ellas, tendremos la misma situación (esta vez exactamente) para continuar nuestro
análisis (ver las otras dos columnas del esquema anterior). Repitiendo este razonamiento, podemos ver
muy fácilmente por qué todas las parejas de cartas estarán formadas por un naipe de cada color. Si te
preocupa qué pasará cuando se llegue a la parte de abajo de los montones, simplemente piensa que
puedes hacer el análisis desde la parte de abajo del mazo, la mezcla es igual vista desde abajo que
desde arriba (eso sí, es importante que la baraja esté completa o, en este caso, que tenga un número par
de cartas).
Pero el principio de Gilbreath10
es mucho más general. Si en lugar de colocar en un montón R,
N, R, N, R, N... y en el otro N, R, N, R, N, R... Colocamos en un montón pica, corazón, trébol,
diamante, pica, corazón, trébol, diamante... y en el otro diamante, trébol, corazón, pica, diamante,
trébol, corazón, pica... tras la mezcla tendremos que en cada grupo de cuatro cartas que cojamos de
arriba o de abajo habrá una de cada palo. El siguiente esquema muestra lo que ocurre en este caso si
9
La mezcla por hojeo en la mesa o mezcla a la americana consiste en, una vez formados los dos paquetes a
mezclar, utilizar los pulgares en el canto de sus respectivos paquetes para ir dejando caer sobre la mesa las cartas
de un montón y otro intercaladas.
10
El principio de Gilbreath y su uso en el juego anterior fueron descritos por primera vez por Norman Gilbreath
en el artículo Magnetic Colors (Gilbreath, 1958, p. 60). Desde entonces han aparecido decenas de ingeniosas
variantes y juegos basados en él.

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las cuatro cartas superiores tras la mezcla provinieran dos de cada montón, tres de uno y una de otro o
las cuatro del mismo montón (las simétricas de las dos últimas posibilidades serían completamente
análogas).
El maestro Juan Tamariz me contó una forma sencilla y visual de ilustrar este principio.
Consiste en colocar nuestras manos frente a nosotros, una con su palma hacia nuestro cuerpo y la otra
con su dorso hacia nuestro cuerpo y emplear nuestros dedos índices, corazones, anulares y meñiques
(a modo de cartas) para realizar una mezcla. Sea cual sea la forma en que la realicemos, siempre habrá
cuatro dedos de nombres distintos arriba y otros cuatro abajo.
No vamos a realizar otro esquema, pero lo mismo funciona para grupos de 13 cartas. Si
colocamos las cartas de un montón A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q,
K y las del otro K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A entonces tras
mezclar ambos montones a la americana tendremos una carta de cada valor en cada uno de los cuatro
cuartos de la baraja.
Observemos (porque dentro de un momento será algo importante) que ninguna de las mezclas
americanas que hemos considerado hasta ahora tiene que ser perfecta o tener regularidad alguna. De
hecho, en el caso extremo, todo lo anterior funciona si primero caen todas las cartas de un paquete y
luego todas las del otro, es decir, si “la mezcla” consiste simplemente en poner un montón sobre el
otro.
3.2. El principio de Fulves
Karl Fulves (Fulves, 1984, pp. 48-49) propone la siguiente variación del principio de Gilbreath
en el juego ESP + MATH.
El espectador mezcla entre sí dos paquetes de cartas. A continuación, toma las tres
cartas superiores, las mira y si se repite algún palo entonces se las entrega al mago que sin
mirarlas adivina el palo repetido y voltea una de las cartas de dicho palo. Si no se repite
ningún palo entonces las tres cartas se desechan. La adivinación del palo repetido y la
localización de una de las cartas de dicho palo se realizan con éxito tantas veces como se
quiera.
En esta interesante variante no sólo sabemos algo sobre las cartas de cada grupo de tres (qué
palo aparece dos veces en caso de aparecer alguno) sino que además sabemos dónde va a estar una de
las cartas cuyo palo se repite. Para realizar el juego, empleamos sólo cartas de tres palos (digamos que
descartamos los diamantes). En un montón colocamos las cartas en la secuencia pica, corazón, trébol,
pica, corazón, trébol... y en el otro en la secuencia pica, trébol, corazón, pica, trébol, corazón... Tras la
mezcla, de haber un palo repetido en el primer trío, será picas. Si no lo hubiera, de haber un palo
repetido en el segundo trío, será picas. Y así sucesivamente hasta que haya un palo repetido. Cuando
lo haya, no sólo sabemos que es picas sino que la carta superior del trío es de picas. Además, ahora

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miraremos el palo que no aparece en esas tres cartas. Ése será el palo que se repita en el próximo trío
en el que haya un palo repetido, siendo la carta superior de dicho palo.
Para convencernos de que esto es así siempre, podemos realizar un análisis inverso de la
mezcla, al igual que hacíamos con el principio de Gilbreath. La primera columna del esquema muestra
que si las tres cartas superiores provienen del mismo paquete entonces no se repite ningún palo en el
primer trío y las restantes cartas quedan en la misma configuración que teníamos (por supuesto, si las
cartas provinieran del montón de la derecha, la figura y el razonamiento serían completamente
análogos). Las otras dos columnas muestran por qué siempre que las cartas provengan de los dos
paquetes se repiten picas y el palo que no aparece en el trío es el próximo que se repetirá, pues la
nueva configuración es análoga a la que había pero con este palo ocupando el lugar de las picas.
Es cierto que es un poco “feo” que cuando ningún palo se repite tenga que ser el espectador
quien nos lo diga. Para que siempre hubiera repetición de palo tendría que cumplirse la condición de
que en cada trío hubiera cartas que provienen de los dos paquetes. Eso exige una mezcla muy regular.
Pensando en estas cosas, se me ocurrió lo siguiente.
Cortamos una baraja por la mitad y el espectador mezcla los dos paquetes de cartas. A
continuación, repartimos las cartas a cuatro personas sin mirarlas por sus caras y les
decimos que lo normal es que algún valor se repita entre sus cartas. Que las pongan en
abanico frente a ellos y que de alguno de los valores que se repiten saquen una carta del
centro (que no sea la de arriba del todo sino una que esté más centrada). Los espectadores
así lo hacen y después nosotros sacamos una carta de cada uno de los cuatro paquetes (sin
mirar las caras de las cartas). Finalmente, se comprueba que las cuatro cartas coinciden en
valor con las cuatro escogidas por los espectadores.
El secreto no es más que una generalización del principio anterior. Si colocamos las cartas de un
paquete repitiendo la secuencia A, B, C, D, …, X, Y, Z y en el otro repitiendo la secuencia A, Z, X, Y,
…, D, C, B entonces tras la mezcla, en el primer grupo que se repita algo se repetirá una A y la carta
superior del grupo será una A. En el siguiente grupo que se repita algo, se repetirá justamente la que
no ha salido en el anterior grupo en el que había repetición.
Si hacemos nuestros grupos de 13 cartas, además, es casi imposible que el espectador mezcle
tan irregularmente como para no incluir cartas de ambos montones en todos los grupos de 13. Es decir,
basta con elegir una ordenación de los valores de la baraja, por ejemplo 8, K, 3, 10, 2, 7, 9, 5, Q, 4, A,
6, J, y colocarla dos veces seguida, para a continuación colocar otras dos veces la ordenación 8, J, 6,
A, 4, Q, 5, 9, 7, 2, 10, 3, K. Cuando vayamos a hacer el juego, cortaremos nosotros mismos por la
mitad exacta (entre la J y el 8) y ofreceremos los dos montones al espectador para que los mezcle a la
americana. Concluida la mezcla, entregaremos las 13 primeras cartas a un espectador, las 13 siguientes
a otro y así sucesivamente. En cada montón habrá un sólo valor repetido que será el de la carta de la
posición superior. El esquema muestra algunos ejemplos de lo que ocurre y por qué en el siguiente
grupo se repetirá la carta que no está en el primero.

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4. ¡Qué coincidencia!
¿Recuerdas aquella vez que conociste a alguien en un viaje y descubristeis que una amiga tuya
conocía a su hermana? Pues no, no fue una gran coincidencia. Por ejemplo, un estudio realizado en los
Estados Unidos, mostraba que la probabilidad de que dos estadounidenses elegidos al azar tuvieran un
amigo en común era algo así como el 1%, mientras que la de que quedaran unidos por una cadena de
dos intermediarios ¡era superior al 99%! (Gardner, 1983, p. 119).
4.1. La paradoja de los cumpleaños
Una deliciosa “paradoja” (no es una contradicción lógica, sino algo contrario a la intuición de la
mayoría de las personas) similar a la anterior es la conocida como “paradoja de los cumpleaños”:
En una reunión de 23 personas la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan
años el mismo día es superior al 50%. Si en la reunión hay más de 60 personas la
probabilidad es mayor que el 99%.
Pese a lo sorprendente de la afirmación anterior, podemos hacer unos sencillos cálculos para
convencernos de la veracidad de la misma. Vamos a calcular la probabilidad aproximada (desechamos
los años bisiestos y asumimos independencia entre los cumpleaños de los asistentes, es decir, no
estamos en una fiesta llena de gemelos, por ejemplo) de que no haya dos personas con el mismo
cumpleaños en la reunión. Ordenemos a las 23 personas en una fila. La probabilidad de que el segundo
no tenga el mismo cumpleaños que el primero es 364/365. La probabilidad de que el tercero no tenga
el mismo cumpleaños que alguno de los otros dos (supuestos ya con distinto cumpleaños) es 363/365.

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