Principales cumbres de Nicaragua

Autor: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

INTRODUCCIÓN
La capacidad de plantear interrogantes ante cualquier suceso de origen ignoto fue un gran
paso dado por la humanidad, porque estaba adquiriendo la primera herramienta
cognoscitiva que lo conduciría posteriormente al establecimiento pleno del método
científico. Si se observa la historia, la matemática comenzó del mismo modo, y la
concreción de este procedimiento ya se dio, desde tiempos milenarios, en la civilización
helénica con el método socrático de interrogar, establecer hipótesis, seguir interrogando,
hasta obtener la verdad a través de un proceso intenso de tamizado para que quede al final
la verdad pura y nítida.
En el presente documento se muestran las soluciones paso a paso a criterio del autor de las
actividades propuestos al final de cada una unidad del libro de texto de matemáticas de
octavo grado.
Para la realización del solucionario se consultaron diversas fuentes bibliográficas, y se
recurrió al uso de software educativo como GeoGebra y Algebrator, para así garantizar
respuestas acertadas.
En caso de dudas o mejorar las respuesta a algún ejercicio pueden contactar al autor en el
correo hclifforjerry@yahoo.com o bien clifforjerryherreracastrillo@gmail.com

ÍNDICE
UNIDAD I. ESTADÍSTICA ............................................................................................................. 1
UNIDAD II. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES......................................................... 37
UNIDAD III. INTRODUCCIÓN A ALGEBRA ......................................................................... 48
UNIDAD IV “OPERACIONES CON POLINOMIOS”............................................................. 63
UNIDAD V: FUNCIONES........................................................................................................... 82
UNIDAD VI. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS........................................ 113
UNIDAD VII. ÁREA Y PERÍMETRO DE REGIONES POLIGONALES ........................... 122

Cliffor Jerry Herrera Castrillo
1
UNIDAD I. ESTADÍSTICA
1. Se pregunta a 40 niñas y niños cuál de los siguientes deportes prefiere practicar;
básquetbol (B), natación (N), fútbol (F), tenis (T), ajedrez (A)
Estos son los resultados:
FFBFF FAFBT
NFFFA BBFFA
BFFFF BFBBT
FTFFB BFTTA
Realice la correspondiente tabla de frecuencias.
Solución
Paso 1. Ordenar los datos
Paso 2. Crear la tabla de frecuencias
Deporte
Frecuencia
Absoluta Fi
Frecuencia
Acumulada Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Frecuencia Porcentual
F%
B 10 10 10/40 = 0,25 0,25 * 100 = 25%
N 1 11 1/40 = 0,025 0,025 * 100 = 2,5 %
F 20 31 20/40 = 0,5 0,5 * 100 = 50 %
T 5 36 5/40 = 0,125 0,125 * 100 = 12,5 %
A 4 40 4/40 = 0,1 0,1 * 100 = 10%
TOTAL 40 1 100%
B B B B B B B B B B N F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T T T T T A A A A
10 1 20 5 4

2
2. Hemos preguntado a un grupo de 30 vecinos del barrio en que vivimos sobre las
actividades realizadas en su tiempo libre. Estas fueron las respuestas obtenidas.
Baile Baile Cine Baile Baile Deportes
Baile Música Música Baile Amigos Idiomas
Baile Amigos Cine Deporte Baile Cine
Baile Amigos Música Música Baile Baile
Deporte Baile Amigos Baile Baile Baile
Elabora: Una tabla de categorías y un diagrama de barras
Solución
Baile Baile Baile Deportes Música Amigos
Baile Baile Baile Deportes Música Cine
Baile Baile Baile Deportes Amigos Cine
Baile Baile Baile Música Amigos Cine
Baile Baile Baile Música Amigos Idiomas
Paso 2: Una tabla de categorías y un diagrama de barras
Deportes Fi
Baile 15
Deportes 3
Música 4
Amigos 4
Cine 3
Idiomas 1
Total 30
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Baile
Deportes
Música
Amigos
Cine
Idiomas

3
3. Encuentre el valor de la media aritmética, la mediana y la moda en las siguientes
situaciones:
a. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente
serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1,
1, 1, 2, 2, 4, 1.
Solución
Ordenamos la serie de números: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Media Aritmética
𝑥 =
6 (1) + 12 (2) + 16 (3) + 4 (4)
38
𝑥 =
6 + 24 + 48 + 16
38
=
94
38
= 2,4
Mediana (Me)
Moda (Mo)
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4
Mo = 3
Término que más se repite.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4
3 + 3
2
=
6
2
= 3

4
b. Las calificaciones de 50 estudiantes en Matemáticas han sido las siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7,
6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Solución
Ordenamos la serie de números: 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,
5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Media Aritmética
𝑥 =
0 + 1 + 2(2) + 3(3) + 4(6) + 5(11) + 6(12) + 7(7) + 8(4) + 9(2) + 10
50
𝑥 =
0 + 1 + 4 + 9 + 24 + 55 + 72 + 49 + 32 + 18 + 10
50
=
274
50
= 5,48
Mediana (Me)
Moda (Mo)
0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7,
7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Mo = 6
Término que más se repite.
6 + 6
2
=
12
2
= 6
0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10

5
4. En un grupo de 30 personas se miden la estatura, en centímetros, de cada una de
ellas, obteniendo los siguientes resultados:
160 163 165 164 162 168 175 167 159 160
161 164 167 168 154 163 164 167 164 165
166 168 165 167 159 164 150 166 147 170
a. Elabore una tabla de frecuencias con cuatro intervalos.
Solución
147 159 160 163 164 164 165 167 167 168
150 159 161 163 164 165 166 167 168 170
154 160 162 164 164 165 166 167 168 175
Paso 2: Elabore una tabla de frecuencias con cuatro intervalos.
a. Calcular el Rango
R = X mayor – X menor
R = 175 – 147 = 28
b. Amplitud
A = Rango / Número de Intervalos
A = 28/4 = 7
c. Tabla de frecuencias
Intervalos
Frecuencia
Absoluta Fi
Frecuencia
Acumulada Fa
147 – 153 2 2
154 – 160 5 7
161 – 167 18 25
168 – 175 5 30
Total 30

6
5. A continuación se presentan las alturas en metros sobre el nivel del mar de las
principales cumbres de Nicaragua.
Altura Nombre Ubicación Altura Nombre Ubicación
2 107 Mogotón Nueva Segovia 1 442 Apante Matagalpa
1 792 Jesús Sierra de Jalapa 1 421 Malacate Nueva Segovia
1 750 Kilambé Jinotega 1 410 Marimacho Nueva Segovia
1 745 Peñas Blancas Matagalpa 1 364 Zinica Jinotega
1 730 Pataste Madriz 1 348 El Fraile Estelí
1 700 Tepesomoto Madriz 1 345 Chagüitillo Matagalpa
1 680 Chimborazo Jinotega 1 338 Quirragua Matagalpa
1 675 Cúspide Jinotega 1 326 Arenales Nueva Segovia
1 652 Sazlaya Jinotega 1 305 Guabule Matagalpa
1 640 El Diablo Jinotega 1 250 Cuscawas Matagalpa
1 367 Quiabú Estelí 1 200 Baba Jinotega
1 550 Tisey Estelí 1 184 Cerro Alegre Matagalpa
1 053 El Variador Chinandega 1 120 Güisisil Managua
1 450 Musún Matagalpa 1 108 Masigüe Boaco
1 445 Tomabú Estelí 1 059 Mombachito Boaco
a. Construye una tabla de frecuencias absolutas, relativas y de porcentajes.
Solución
1 053 1 305 1 410 1 652 1 792
1 059 1 326 1 421 1 675 2 107
1 108 1 338 1 442 1 680
1 120 1 345 1 445 1 700
1 184 1 348 1 450 1 730
1 200 1 364 1 550 1 745
1 250 1 367 1 640 1 750

7
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R = 2 107 – 1 053
R = 1 054
Paso 3: Número de clase
Nc = √N
Nc = √30
Nc = 5,47
Nc = 5
Paso 4: Amplitud
A = R/Nc
A = 1 054 / 5
A = 210,8
A = 211
Paso 5: Elaborar la tabla
Clase Limites Reales
Marca de
Clase
Fr. Absoluta Fr. Relativa Fr. Porcentual Fi Xi
N° Li Ls Xi Fi Fr F% Fi Xi
1 1 053 1 263 1 158 7 0,2333 23,33 %
8 106
2 1 264 1 474 1 369 12 0,4 40 %
16 428
3 1 475 1 685 1 580 5 0,1666 16,66 %
7 900
4 1 686 1 896 1 791 5 0,1666 16,66 %
8 955
5 1 897 2 107 2 002 1 0,0333 3,33 %
2 002
Total 7 900 30 1 100 % 43 391
b. Calcular
Media Aritmética
𝑥 =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑁
𝑥 =
43 391
30
= 1 446,36
Mediana
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 1264 +
[15 − 7]
12
211
𝑀𝑒 = 1 264 + 140,66
𝑀𝑒 = 1 404,66 ≈ 1 405
Moda
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 1264 + [
5
5 + 7
] 211
𝑀0 = 1 264 +
5
12
(211)
𝑀0 = 1 351,9 ≈ 1 352

8
6. Los datos que se dan a continuación corresponden a las alturas en metros sobre el
nivel del mar de los volcanes de Nicaragua.
Altura Volcán Ubicación Altura Volcán Ubicación
859 Cosigüina Chinandega 818 Asososca León
1 105 Chonco Chinandega 1 280 Momotombo León
1 745 San Cristóbal Chinandega 480 Chiltepa Managua
1 405 Casitas Chinandega 632 Masaya Masaya
1 061 Telica León 1 345 Mombacho Granada
834 San Jacinto León 629 Zapatera Granada
675 Cerro Negro León 1 610 Concepción Rivas
836 Rota León 1 394 Maderas Rivas
938 Pilas León 1 050 El Hoyo León
a. Construye una tabla de frecuencias absolutas, relativas y de porcentajes.
Solución
480 1345
629 1394
632 1405
675 1610
818 1745
834
836
859
938
1050
1061
1105
1280

9
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R = 1 745 – 480
R = 1 265
Nc = √N
Nc = √18
Nc = 4,2
Nc = 4
Paso 4: Amplitud
A = R/Nc
A = 1 265 / 4
A = 316,25
A = 316
Clase Limites Reales
Marca de
Clase
Fr. Absoluta Fr. Relativa Fr. Porcentual Fi Xi
N° Li Ls Xi Fi Fr F% Fi Xi
1 480 795 637,5 4 0,22222222 22,22 %
2 550
2 796 1 111 953,5 8 0,44444444 44,44 %
7 628
3 1 112 1 427 1269,5 4 0,22222222 22,22 %
5 078
4 1 428 1745 1586,5 2 0,11111111 11,11 %
3 173
Total 4 447 18 1 100% 18429
b. Calcular
Media Aritmética
𝑥 =
𝑘
𝑖=1
𝑁
𝑥 =
18 429
18
= 1 023,8
Mediana
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 796 +
[9 − 4]
8
316
𝑀𝑒 = 796 + 197,5
𝑀𝑒 = 993,5 ≈ 994
Moda
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 796 + [
4
4 + 4
] 316
𝑀0 = 796 +
4
8
(316)
𝑀0 = 954

10
c. Elabora los gráficos estadísticos siguientes:
 Diagrama de barra
 Gráfico de Sector circular
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
480 - 795
796 - 1111
1112 - 1427
1428 - 1745
Altura de Volcanes sobre el Nivel del mar
22%
45%
22%
11%
Altura de Volcanes sobre el nivel del mar
480 - 795 796 - 1111 1112 - 1427 1428 - 1745

11
7. El gobierno Sandinista desea saber si el número medio de hijos por familia ha
descendido respecto a la década anterior. Para ello ha encuestado 50 familias
respecto al número de hijos y ha obtenido los siguientes datos:
2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4
3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1
a. Construye una tabla de frecuencias a partir de esos datos
Solución
Paso 1: Ordenar de Mayor a Menor
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 6
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R = 6 – 0
R = 6
Nc = √N
Nc = √50
Nc = 7,07
Nc = 7
Paso 4: Amplitud
A = R/Nc
A = 6/7
A = 0,85
A = 1
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Frecuencia
Porcentual
F%
0 2 2 0,04 4
1 4 6 0,08 8
2 21 27 0,42 42

12
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Frecuencia
Porcentual
F%
3 15 42 0,3 30
4 6 48 0,12 12
5 1 49 0,02 2
6 1 50 0,02 2
Total 50 1 100
b. ¿Cuántas familias tienen exactamente tres hijos? ¿Qué porcentaje de familias tienen
exactamente 3 hijos?
15 Familias de las 50 familias encuestadas tienen exactamente tres hijos, lo cual
representa el 30%
c. ¿Qué porcentaje de las familias de la muestra tienen más de dos hijos? ¿y menos de
3?
El 46% de la muestra tiene más de dos hijos y el 54% tiene menos de tres hijos
d. Construye un diagrama de sector circular
8%
44%
31%
13%
2% 2%
1 2 3 4 5 6

13
e. Construye un histograma
0
5
10
15
20
25
1
2
3
4
5
6

14
8. En un hospital se desea hacer un estudio sobre el peso en kilogramos de los recién
nacidos. Para ello, se recogen los datos de 40 bebés y se tiene:
3,2 3,7 4,2 4,6 3,7 3,0 2,9 3,1 3,0 4,5
4,1 3,8 3,9 3,6 3,2 3,5 3,0 2,5 2,7 2,8
3,0 4,0 4,5 3,5 3,5 3,6 2,9 3,2 4,2 4,3
4,1 4,6 4,2 4,5 4,3 3,2 3,7 2,1 3,1 3,5
a. Construir una tabla de frecuencias
Solución
Paso 1: Ordenar los datos
2,1 2,9 3,0 3,2 3,5 3,6 3,7 4,1 4,2 4,5
2,5 2,9 3,0 3,2 3,5 3,6 3,8 4,1 4,3 4,5
2,7 3,0 3,1 3,2 3,5 3,7 3,9 4,2 4,3 4,6
2,8 3,0 3,1 3,2 3,5 3,7 4,0 4,2 4,5 4,6
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R = 4,6 – 2,1
R = 2,5
R = 3
Paso 3: Numero de Clase
Nc = √N
Nc = √40
Nc = 6,32
Nc = 6
Paso 4: Amplitud
A = R/Nc
A = 3/6
A = 0,5

15
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Frecuencia
Porcentual
F%
2,1 – 2,5 2 2 0,05 5
2,6 – 3,0 8 10 0,20 20
3,1 – 3,5 10 20 0,25 25
3,6 – 4,0 8 28 0,20 20
4,1 – 4,5 10 38 0,25 25
4,6 – 5,0 2 40 0,05 5
Total 40 1 100
b. Si sabemos que los bebés que pesan menos de 3 kilogramos nacen prematuramente
¿Qué porcentaje de niños prematuros han nacido entre estos 40?
El 25% de los bebés de la muestra nacieron prematuros, lo cual equivale a 10 bebés
c. Normalmente los niños que pesan más de 3 kilogramos y medio no necesitan estar
en la incubadora ¿Qué porcentaje de niños está en esta situación?
El 50% de los bebés
d. Represente a través de un gráfico estadístico estudiado la información recogida.
0
2
4
6
8
10
12
2,6 – 3,0 3,1 – 3,5 3,6 – 4,0 4,1 – 4,5 4,6 – 5,0

16
9. Los estudiantes del Instituto Nacional de oriente fueron clasificados según sexo
(masculino – femenino) y si usan lentes (si o no). Estas variables forman parte de un
estudio que se realizó entre septiembre y octubre 2 014 y tenía como objetivo
determinar los factores claves asociados con el rendimiento académico a fin de
proponer un plan de mejoras. A continuación la tabla de contingencia que resume
los datos relacionados con las dos variables
Sexo
Usa lentes Total
Si No
Masculino (1) 350 90
Femenino (0) 40
Total 110 500
Una tabla de este tipo se llama de doble entrada o contingencia. La tabla contiene celdas,
totales marginales fila, totales marginales columna y el total general.
 Las dimensiones de una tabla de contingencia se especifican por el número
de filas multiplicadas por el número de columnas. En este caso la tabla es de
2x2 ya que hay dos niveles de la variable “sexo” (filas) y dos niveles de la
variable “usa lentes” (columnas)
Responda:
a. Complete la tabla
Sexo
Usa lentes Total
Si No
Masculino (1) 350 90 440
Femenino (0) 40 20 60
Total 390 110 500

17
b. ¿Cuántos estudiantes son del sexo masculino? ¿Qué porcentaje del total representa
esto?
440 estudiantes son del sexo masculino, lo cual representa 440/500 * 100% = 88%
c. ¿Qué porcentaje de estudiantes usa lentes?
390/500 * 100% = 78%
d. ¿Del total de estudiantes que porcentaje es del sexo femenino y no usa lentes?
20/500 * 100% = 4%
e. ¿De los estudiantes del sexo masculino, que porcentaje usa lentes?
350/440 * 100% = 80%
f. ¿de los estudiantes que usa lentes, que porcentaje es femenino?
40/390 * 100% = 10%
g. Haga un gráfico estadístico que muestre la interacción entre ambas variables.
Describa una conclusión relevante
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Masculino Femenino
si
no

18
10. Los siguientes datos son mediciones de intensidad solar directa (en watt/m2
)
realizados en distintos días en una localidad.
562 869 708 775 775 704 809
856 655 806 878 909 918 558
768 870 918 940 946 661 820
898 935 952 957 693 835 905
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias con 4 frecuencias
Solución
558 693 775 820 870 909 940
562 704 775 835 878 918 946
655 708 806 856 898 918 952
661 768 809 869 905 935 957
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R= 957 – 558
R = 399
Paso 3: Amplitud
A = R/Nc
A = 399/4
A = 99,75
A = 100

19
Paso 4. Construir la Tabla de frecuencias
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Marca de
Clase Xi
Fi Xi
Frecuencia
Porcentual
F%
558 – 657 4 4 0,14285714 607,5 2430 14,2857143
658 – 757 3 7 0,10714286 707,5 2122,5 10,7142857
758 – 857 8 15 0,28571429 807,5 6460 28,5714286
858 – 957 13 28 0,46428571 907,5 11797,5 46,4285714
Total 28 1 3030 22 810 100
b. Elabore un histograma, polígono de frecuencias u ojiva
c. Determine las medidas de tendencia central
Media Aritmética Mediana Moda
𝑥 =
𝑘
𝑖=1
𝑁
𝑥 =
22 810
28
𝑥 = 814,64
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 758 +
[14 − 7]
8
100
𝑀𝑒 = 758 + 87,5
𝑀𝑒 = 845,5 ≈ 846
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 858 + [
5
5 + 13
] 100
𝑀0 = 858 +
5
18
(100)
𝑀0 = 885,77 ≈ 886
0
2
4
6
8
10
12
14
658 – 757 758 – 857 858 – 957

20
11. La gran variedad de factores a considerar en la compra de una vivienda, lugar,
precio, tasa de amortización, tipo de construcción y otros hacen que el tiempo que
un comprador tarda en llegar a su decisión final sea muy variable. Los siguientes
datos representan la duración de la búsqueda (en semanas) de 25 compradores de
viviendas en cierta población.
15 17 7 15 20
5 3 19 10 3
11 10 4 8 13
9 15 6 2 8
12 1 2 13 4
a. Construye un histograma de frecuencias que contenga 3 intervalos.
Solución
Para construir un histograma es necesario tener una tabla de frecuencias absolutas.
1 4 8 11 15
2 4 8 12 15
2 5 9 13 17
3 6 10 13 19
3 7 10 15 20
Paso 2: Amplitud
A = R/Nc
A = (20 – 1) /3
A = 18/3
A = 6,33
A = 6
Para que la tabla
coincida con el
número de intervalos
se trabajara con una
amplitud de 7

21
Paso 3: Construir la tabla de frecuencias
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Frecuencia
Porcentual
F%
1 – 7 10 10 0,4 40
8 – 14 9 19 0,36 36
15 – 21 6 25 0,24 24
Total 25 1 100
Paso 4: Construir el Histograma de tres intervalos
b. ¿A qué conclusión llega con esta descripción gráfica acerca del tiempo de búsqueda
que invierten los compradores de viviendas?
La mayoría de personas tardan de una a siete semanas para elegir una vivienda
0
2
4
6
8
10
12
1,0 - 7,0
8,0 - 14
15 - 21

22
12. Los datos a continuación son el número de bono productivo alimentario aprobado
por el gobierno sandinista en 28 municipios del país.
56 86 70 77 77 70 80
85 65 80 87 90 91 55
76 87 91 94 64 61 82
89 93 95 95 69 83 90
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias con 3 intervalos.
Solución
55 56 61 64 65 69 70 70 76 77 77 80 80
82 83 85 86 87 87 89 90 90 91 91 93
94 95 95
Paso 2: Rango
R = Xmáx – Xmin
R = 95 – 55
R = 40
Paso 3: Amplitud
A = R/Nc
A = 40/3
A = 13,33
A = 13
Para que la tabla coincida con el número con el número de intervalos se trabajará con una
amplitud de 14.

23
Paso 4: Construir la Tabla de frecuencias
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuenci
a Relativa
Fr
Marca de
Clase
Fi Xi
Frecuencia
Porcentual
F%
55 - 68 5 5 0.1785 61.5 307.5 17.85
69 - 82 9 14 0.32142 75.5 679.5 32.14
83 - 96 14 28 0.5 89.5 1253 50
Total 28 1 226.5 2240 100
b. Elabore un histograma
c. Determine las medidas de tendencia central para datos agrupados
𝑥 =
𝑘
𝑖=1
𝑁
𝑥 =
2240
28
𝑥 = 80
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 69 +
[14 − 5]
9
14
𝑀𝑒 = 69 + 14
𝑀𝑒 = 83
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 83 + [
5
5 + 14
] 14
𝑀0 = 83 +
5
19
(14)
𝑀0 = 86,6 ≈ 87
0
2
4
6
8
10
12
14
16
55 - 68
69 - 82
83 - 96

24
13. El responsable de una biblioteca de cierta universidad ordenó un estudio del
tiempo que un estudiante tiene que esperar (en minutos) para que le sea entregado el
libro solicitado para consulta. Los datos fueron tomados durante un día normal a
una muestra de 20 estudiantes:
12 16 11 10 14 3 11 17 9 18 16 4 7 14 15 16 5 6 7 7
Hallar las medidas de tendencia central
 La media aritmética
 La moda
 La mediana
Solución
Ordenamos la serie de números:
3 4 5 6 7 7 7 9 10 11 11 12 14 14 15 16 16 16 17 18
Media Aritmética
𝑥 =
3 + 4 + 5 + 6 + 7(3) + 9 + 10 + 11(2) + 12 + 14(2) + 15 + 16(3) + 17 + 18
20
𝑥 =
218
20
= 10,9
La moda
Mo1 = 7
Mo2 = 16
La mediana
Me = (11 + 11)/2 = 22/2
Me = 11

25
14. La tabla siguiente muestra la distribución por edades del cabeza de familia en el
barrio “Hugo Chávez” de Managua durante el año 2014
Edad fi
[20,25) 2
[25,30) 4
[30,35) 5
[35,40) 10
[40,45) 9
[45,50) 6
[50,55) 4
[55,60) 2
a. Determine la mediana y la moda
Para calcular la mediana y la moda es necesario construir una tabla de distribución de
frecuencias.
Edad
Marca de
Clase Xi
Frecuencia
absoluta Fi
Frecuencia
Acumulada Fa
Frecuencia
Relativa fr
Frecuencia
Porcentual F%
[20,25) 22,5 2 2 0,047619048 4,761904762
[25,30) 27,5 4 6 0,095238095 9,523809524
[30,35) 32,5 5 11 0,119047619 11,9047619
[35,40) 37,5 10 21 0,238095238 23,80952381
[40,45) 42,5 9 30 0,214285714 21,42857143
[45,50) 47,5 6 36 0,142857143 14,28571429
[50,55) 52,5 4 40 0,095238095 9,523809524
[55,60) 57,5 2 42 0,047619048 4,761904762
1 100
Amplitud = 25 – 2 0 = 5

26
Mediana
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 35 +
21 − 11
10
(5)
𝑀𝑒 = 35 +
10
10
(5)
𝑀𝑒 = 35 + 5
𝑀𝑒 = 40
Moda
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 35 + [
5
5 + 1
] 5
𝑀0 = 35 +
5
6
(5)
𝑀0 = 35 +
25
6
𝑀0 = 35 + 4,1
𝑀0 = 39,1
b. ¿Por qué la mediana es una medida más adecuada que la media aritmética en este
caso?
Porque la mediana representa el centro de los datos recolectados.

27
15. En una empresa de transporte se tomaron 40 datos que significan el peso de carga
por viaje (en miles de libras)
60 55 80 72 75 63 48 79 82 72
58 60 74 80 53 61 80 68 76 75
63 65 72 81 64 78 62 83 79 61
63 62 77 76 51 74 78 50 79 55
Conteste:
a. ¿Cuántos camiones llevaron cargas con menos de 60 000 libras?
b. ¿Qué porcentaje de camiones llevaban cargas entre 60 000 y 77000 libras?
c. ¿Cuál es el peso promedio de los vehículos que cargaron entre 78 000 y 83 000
libras?
Para lograr responder estas interrogantes es necesario construir una tabla de distribución de
frecuencias.
Solución
Ordenar los datos1
48 50 51 53 55 55 58 60 60 61 61 62 62
63 63 63 64 65 68 72 72 72 74 74 75
75 76 76 77 78 78 79 79 79 80 80 80
81 82 83
Rango
R = 83 – 48 = 35
Número de Clase
Nc = √40 = 6,32 = 6
1
Ordenados Online en la página: http://pinetools.com/es/ordenar-numeros

28
Amplitud
A= 35/6 = 5,8 = 6
Tabla:
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Marca de
Clase Xi
Fi Xi
Frecuencia
Porcentual
F%
48 - 53 4 4 0,1 50,5 202 10
54 - 59 3 7 0,075 56,5 169,5 7,5
60 - 65 11 18 0,275 62,5 687,5 27,5
66 - 71 1 19 0,025 68,5 68,5 2,5
72 - 77 10 29 0,25 74,5 745 25
78 - 83 11 40 0,275 80,5 885,5 27,5
Total 40 1 393 2758 100
Conteste:
a. ¿Cuántos camiones llevaron cargas con menos de 60 000 libras?
33 camiones
b. ¿Qué porcentaje de camiones llevaban cargas entre 60 000 y 77000 libras?
55%, lo que equivale a 22 camiones
c. ¿Cuál es el peso promedio de los vehículos que cargaron entre 78 000 y 83 000
libras?
𝑥 =
885,5
11
𝑥 = 80,5

29
16. Las siguientes son cantidades de óxido de azufre (en toneladas) emitida por una
planta industrial en 60 días:
15 26 17 11 23 24 18 13 9 13
22 9 6 14 17 26 12 28 17 23
26 22 18 20 11 20 15 19 16 10
19 15 22 26 20 21 19 21 16 19
18 23 24 20 16 18 7 13 23 14
14 29 19 17 20 24 22 24 18 18
Elabore una tabla de frecuencias de 5 intervalos.
Solución
Ordenar los datos2
6 7 9 9 10 11 11 12 13 13 13 14 14
14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 17 18
18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20
20 20 20 21 21 22 22 22 22 23 23 23
23 24 24 24 24 26 26 26 26 28 29
Rango Amplitud
R = 29 – 6
R = 23
A = 23/5
A = 4,6 = 5
Tabla:
Intervalos Fi Fa Fr F%
6 – 10 5 5 0,083333333 8,333333333
11 – 15 12 17 0,2 20
16 – 20 23 40 0,383333333 38,33333333
21 – 25 14 54 0,233333333 23,33333333
26 – 30 6 60 0,1 10
Total 60 1 100
2
Ordenados Online en la página: http://pinetools.com/es/ordenar-numeros

30
17. Las notas finales en la asignatura de matemáticas de 50 estudiantes de octavo
grado en el Colegio Carmena Noguera de la ciudad de Granada fueron los
siguientes:
58 68 73 61 66 96 79 65 86 93
43 67 80 62 78 78 65 79 84 33
90 75 88 75 82 89 67 73 73 55
66 81 67 97 61 75 87 73 82 61
92 68 60 74 94 75 78 88 72 82
Conteste
a. ¿Cuál es el promedio de las notas menores a 70?
b. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que tienen notas mayores o iguales a 70?
c. Elabore un gráfico estadístico apropiado a estos datos
Para responder a las interrogantes es necesario construir una tabla de frecuencias
Solución
Ordenar los datos
33 43 55 58 60 61 61 61 62 65 65 66 66
67 67 67 68 68 72 73 73 73 73 74 75
75 75 75 78 78 78 79 79 80 81 82 82
82 84 86 87 88 88 89 90 92 93 94 96
97
Rango
R = 97 – 33
R = 64
Número de Clase
Nc = √50 = 7
Amplitud
A = 64/7
A = 9,14
A = 9

31
Tabla
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Marca de
Clase Xi
Fi Xi
Frecuencia
Porcentual
F%
33 – 41 1 1 0,02 37 37 2
42 – 50 1 2 0,02 46 46 2
51 – 59 2 4 0,04 55 110 4
60 – 68 14 18 0,28 64 896 28
69 – 77 10 28 0,2 73 730 20
78 – 86 12 40 0,24 82 984 24
87 – 97 10 50 0,2 92 920 20
Total 50 1 449 3723 100
Conteste
a. ¿Cuál es el promedio de las notas menores a 70?
60,72
b. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que tienen notas mayores o iguales a 70?
64%
c. Elabore un gráfico estadístico apropiado a estos datos
2% 4%
29%
20%
25%
20%
42 – 50 51 – 59 60 – 68 69 – 77 78 – 86 87 – 97

32
18. A continuación se da la tabla de frecuencias correspondiente a las notas finales de
un curso de ciencias naturales, expresadas en la escala de 1 al 10:
Intervalo Frecuencia
1 – 2 8
3 – 4 15
5 – 6 7
7 – 8 13
9 – 10 7
Total 50
Elabore un histograma correspondiente a estos datos.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 – 2
3 – 4
5 – 6
7 – 8
9 – 10

33
19. Las siguientes cantidades reflejan el pago de 55 abonados de Enacal que
cancelaron sus recibos el día de hoy, correspondientes al mes de marzo de 2 014.
111 97 114 109 118
94 105 91 114 138
115 88 132 141 99
89 103 110 116 105
82 114 113 108 112
141 125 102 102 94
92 108 146 101 96
132 107 95 124 132
112 118 101 98 118
97 114 115 140 123
135 129 104 107 108
Elabore una tabla de frecuencias con 4 intervalos y un histograma
Solución
Ordenar los datos
82 88 89 91 92 94 94 95 96 97 97 98 99
101 101 102 102 103 104 105 105 107 107 108 108
108 109 110 111 112 112 113 114 114 114 114 115
115 116 118 118 118 123 124 125 129 132 132 132
135 138 140 141 141 146
Rango
R = 146 – 82
R = 64
Amplitud
A = 64/4 = 16

34
Tabla de frecuencias
Intervalos
Frecuencia
Absoluta
Fi
Frecuencia
Acumulada
Fa
Frecuencia
Relativa Fr
Marca de
Clase Xi
Fi Xi
Frecuencia
Porcentual
F%
82 – 97 11 11 0,2 89,5 984,5 20
98 – 113 21 32 0,38181818 105,5 2215,5 381,818,182
114 – 129 14 46 0,25454545 121,5 1701 254,545,455
130 – 146 9 55 0,16363636 138 1242 163,636,364
Total 55 1 454,5 6143 100
Histograma
Determine las medidas de tendencia central
𝑥 =
𝑘
𝑖=1
𝑁
𝑥 =
6143
55
𝑥 = 111,69
[
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1]
𝐹𝑖
A
𝑀𝑒 = 98 +
[27,5 − 11]
21
16
𝑀𝑒 = 98 + 12,57
𝑀𝑒 = 110,5 ≈ 111
𝑀0 = 𝐿𝑖 + [
∆1
∆1 + ∆2
] 𝐴
𝑀0 = 98 + [
10
10 + 7
] 16
𝑀0 = 98 +
10
17
(16)
𝑀0 = 107,4 ≈ 107
0
5
10
15
20
25
82 - 97
98 - 113
114 - 129
130 - 146
131 - 146

35
20. El Ministerio de la Familia visitó la penitenciaria de Estelí, con el objetivo de
hacer un estudio sobre las edades de los jóvenes comprendida entre los 15 y 17 años
y que han tenido problemas relacionados con el consumo de drogas. Estas edades
fueron las siguientes:
15 15 15 16 17 17 16 15 16 17
16 16 15 15 15 15 15 15 17 16
16 16 16 15 17 16 15 16 17 15
15 15 15 16 16 15 16 17 15 16
Determine las medidas de tendencia central
Solución
Ordenar los datos
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16
16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17
17 17 17
Media Aritmética
𝑥 =
15(18) + 16(15) + 17(7)
40
𝑥 =
270 + 240 + 119
40
𝑥 =
629
40
= 15,7
Moda
Mo = 15
Mediana = 16

36
Actividades propuestas Resueltas

37
UNIDAD II. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas?
a. El reciproco de un número entero distinto de cero es un número entero. F
b. El opuesto de un número entero es un número entero. V
c. Existe un número entero que no tiene reciproco. V (El número cero)
d. Existe un número entero cuyo reciproco es un número entero. V (El número 1)
2. Dé un ejemplo de dos números irracionales cuya suma sea un número racional
√2 𝑦 5 − √2 ⇒ √2 + 5 − √2 = 5
3. Dé un ejemplo de dos números irracionales cuyo producto sea un número racional.
√11 × √99 = √1089 = 33
4. Dé un ejemplo de dos números irracionales cuyo cociente sea un número racional.
√3
2
÷
√3
4
=
√3
2
×
4
√3
=
4
2
=
2
1
5. Ordene los siguientes números reales de menor a mayor
3 ; −5 ;
1
2
; −7 ; √6 ; −√6 ;
4
3
; √2
−7 ; −5 ; −√6 ;
1
2
;
4
3
; √2 ; √6 ; 3

38
6. Resuelva considerando las raíces cuadradas positivas y luego las negativas.
a. (+5)(−4) + √64 − {(3)(−2) + (−40) ÷ (−8)}
−20 + 8 − {−6 + 5}
−12 − (−1)
−12 + 1
−11
b.
√16÷81+ √−27
3
−√(
4
3
)
4
1
2
+
2
3
4
9
− 3 − (
4
3
)
2
3 + 4
6
=
4
9
− 3 −
16
9
7
6
=
−12
9
− 3
7
6
=
−
4
3
− 3
7
6
=
−4 − 9
3
7
6
= −
13
3
7
6
= −
78
21
= −
26
7
c. 4(3)2
÷ 6 − 3√4 + [5(7) − 15(3)]4 ÷ 12 − 9
4 × 9 ÷ 6 − 3(2) + [35 − 45]4 ÷ 12 − 9
6 − 6 + [−10]
1
3
− 9 = −
10
3
− 9 =
−10 − 27
3
= −
37
3

39
d. [(9 − 4) + (−10 + 3)] + [(6)(−5)] ÷ [(−12 + 8)(6 − 9)(95 − 90)]
[−5 − 7] + [−30] ÷ [(−4)(−3)(5)]
−12 − 30 ÷ 60
−12 −
1
2
=
−24 − 1
2
= −
25
2
7. El m.c.m de dos números m y n es 360 y el m.c.d es 2 ¿Cuáles son los números?
Vamos a suponer que los números son x e y
m.c.d (x, y) = 2 = 2 * 1 = 2 (Comunes con menor exponente)
m.c.m (x, y) = 360 comunes y no comunes con el mayor exponente:
Si dividimos 360 entre el producto de los comunes con menor exponente que es 2,
obtenemos 180 que es el producto de los no comunes
180 = 2² * 3² * 5
{x= 2*2²= 8; y = 2*3²*5 = 90

40
8. Al calcular el producto L. H, sabiendo que L = a + b + c y H = d + c = f + g,
sabiendo que a, b, c, d, e, f, g son números naturales
 b. f = 91
 a. d = 18
 c. d = 16
 b. g = 39
La respuesta es:
a) 310
b) 250
c) 300
d) 100
Si b. f = 91. Entonces b = 13 y f = 7
Si a. d = 18. Entonces a = 9 y d = 2
Si c. d = 16. Entonces c = 8 y d = 2
Si b. g = 39. Entonces b = 13 y g = 3
Por lo cual
a = 9
b = 13
c = 8
d = 2
f = 7
g = 3
Comprobando “H”
H = d + c = f + g
H = 2 + 8 = 7 + 3
H = 10 = 10
Solución
L. H
(a + b + c). (b + c)
(9 + 13 + 8). (2 + 8)
(30). (10)
300

41
9. Complete la siguiente tabla con los símbolos ∈ o ∉ según corresponda a cada caso.
ℕ ℤ ℚ ℚ′
9,3 ∉ ∉ ∈ ∉
√24 ∉ ∉ ∉ ∈
1,3333 … ∉ ∉ ∈ ∉
2,101001000 … ∉ ∉ ∉ ∈
𝑒 ∉ ∉ ∉ ∈
𝜋 ∉ ∉ ∉ ∈
1 + √5
2
∉ ∉ ∉ ∈
−1/6 ∉ ∉ ∈ ∉
1000 ∈ ∈ ∈ ∉
0 ∉ ∈ ∉ ∉
−43 ∉ ∈ ∈ ∉
6 ∈ ∈ ∈ ∉

42
10. Sume 8 números de tal manera que la suma de cómo resultado 1000.
8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000
11. A partir de la unidad fraccionaria
1
3
, represente en la recta real
1
3
,
4
3
,
6
3
, −
2
3
12. Clasifique los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica
la razón:
a) 0,55555555...
b) 0,125689312...
c) 1,3525252...
d) 0,75
Solución:
a) 0,55555555... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria
b) 0,125689312... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
c) 1,3525252... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar
en forma fraccionaria
d) 0,75 RACIONAL porque es un número decimal exacto.
13. Clasifique los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explique
la razón:
a) 1,3030030003...
b) 2,1245124512...
c) 4,18325183251...
d) 6,1452453454...

43
Solución:
a) 1,3030030003... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
b) 2,1245124512... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 1245
c) 4,18325183251... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 18325
d) 6,1452453454... IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
14. Represente los siguientes números en un recta real (utilice la calculadora para
realizar cálculos aproximados)3
a.
√2
2
b. √3
c.
√3
3
15. Exprese en forma de una potencia que tenga como base un número primo:
a. 5. 5. 5. 5 = 54
b. (-3) (-3) (-3) = -33
c.
1
2 .2.2.2 .2
= (
1
2
)
5
d. 81 = 34
e. 27 = 33
3
Se utilizó GeoGebra para realizar el gráfico

44
16. En las siguientes operaciones, aplique la propiedad correspondiente y expresa el
resultado como una potencia única.
a. (63
. 62)2
÷ (64)−2
(65)2
6−8
=
610
6−8
= 610−(−8)
= 610+8
= 618
b. [(−5)2]3
. (−5)5
÷ (−5)4
(−5)6
. (−5)1
= (−5)7
17. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente
operación como una potencia única.
42
. 8−5
32−1. 162
=
24
.
1
85
1
32
. 28
=
24
.
1
215
1
25 . 28
=
24
215
28
25
=
2−11
23
= 2−14
18. Investigue y escriba las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y
simplifique cuando se pueda:
a. √3105
= 3
10
5 = 32
b. √2147
= 2
14
7 = 22
c. √76 = 7
6
2 = 73
19. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas?
a. El conjunto de los números irracionales es subconjunto de los números
racionales.
b. El conjunto de los números enteros es subconjunto de los números irracionales.
c. El conjunto de los números enteros es subconjunto de los números racionales.
d. En el conjunto de los números enteros siempre hay un número anterior.
e. El conjunto de los números racionales está dentro de los números naturales.
f. Dado un número real, no se puede encontrar ni su anterior ni su sucesor.
g. El conjunto de los números reales es infinito y tiene un orden.
En rojo están las afirmaciones falsas y en azul las verdaderas

45
20. Exprese como radical; Escriba dos ejemplos que contradigan las siguientes
afirmaciones:
a. La potencia de un racional es un irracional.
(√5)
2
= 5 ; (√4)
5
= 25
= 32
b. El producto de irracionales es un irracional
√5 × √20 = √100 = 10 ; √11 × √99 = √1089 = 33
c. El cociente de irracionales es un irracional
2√7 ÷ √7 = 2 ;
√3
2
÷
√3
4
=
√3
2
÷
4
√3
=
4√3
2√3
= 2
d. La adición de racionales no es un irracional.
7
17
+
6
17
=
13
17
= 0,7647058823 … ;
30
19
+
7
19
=
37
19
= 1,9473684211 …
e. La sustracción de irracionales no es un irracional
7
17
−
6
2
=
14 − 102
34
= −
88
34
= 2,5882352941 … ;
7
17
−
6
17
=
1
17
= 0,05882
21. Realice las siguientes operaciones
a. 3√2
4
−
1
5
√2
4
3 −
1
5
(√2
4
) =
15 − 1
5
√2
4
=
14
5
√2
4
b. 3√3 −
2
5
√3 − 5√3
3 −
2
5
− 5 (√3) = −2 −
2
5
(√3) =
−10 − 2
5
√3 = −
12
5
√3
c.
4
5
√5 + 7√5 − 3√5
4
5
+ 7 − 3(√5) =
4
5
+ 4 (√5) =
4 + 20
5
√5 =
24
5
√5
d. 11√81
3
− 12√24
2
11√33. 3
3
− 12√23. 3
3
= 33√3
3
− 24√3
3
= 9√3
3
e. 3√50
4
−
1
5
√18
4
3√2 . 524
−
1
5
√2 . 324
= 3√2
4
√5
2
−
1
5
√2
4
√3
2

46
f. 3√3 −
2
5
√7 − 5√3 + 2√7
3√3 − 5√3 −
2
5
√7 + 2√7 = −2√3 −
2 + 10
5
√7 = −2√3 +
8
5
√7
g. −2√10
4
−
3
4
√10
4
+ √10
4
−2 −
3
4
+ 1(√10
4
) = −1 −
3
4
(√10
4
) =
−4 − 3
4
√10
4
= −
7
4
√10
4
h. 3√5 −
7
5
√7 − 8√5 + 4√5
3 − 8 + 4(√5) −
7
5
√7 = −√5 −
7
5
√7
i. (√3)(√2)
= √6
j. (−√5)(√3)
= −√15
k. −64 ÷
32
5
−64 ×
5
32
=
320
32
= 10
l. 0,5 ÷
1
5
1
2
÷
1
5
=
1
2
×
5
1
=
5
2
22. Calcule la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes),
según corresponda:
a. 9,2777 …
b. 14,371717 …
c.
63
22
d.
28
160
927 − 92
90
b. 9,2777 …
Parte entera 9,
anteperiodo 2, periodo 7
14371 − 143
9900
a. 14,371717 …
Parte entera 14,
c.
63
22
2,863636… Parte entera 2,
d.
28
160
0,175 No es un número
periódico

47
23. Calcule las siguientes operaciones:
a. |−3| . |−2| ÷ (−6) + |2 − (−3) + 24
− 10 ÷ (−2)|
6 ÷ (−6) + |2 + 3 + 16 + 5| = −1 + 26 = 25
b. (−100) ÷ (−4) . (−3) + 3
25 . (−3) + 3 = −75 + 3 = −72
c. 2 . (−3) . 4 . (−5) ÷ (−6) + 22
120 ÷ 10 = 12
24. Realice las siguientes operaciones:
a.
1
2
+
1
4
−
2
6
−
3
8
=
2+1
4
+
−8−9
24
=
3
4
−
17
24
=
18−17
24
=
1
24
b.
2
5
.
3
4
−
1
2
.
1
5
=
6
20
−
1
10
=
3
10
−
1
10
=
2
10
=
1
5
c.
4
3
÷ (
1
3
+
2
6
) −
3
4
=
4
3
÷ (
1
3
+
1
3
) −
3
4
=
4
3
÷
2
3
−
3
4
=
12
6
−
3
4
= 2 −
3
4
=
8−3
4
=
5
4
25. Realice las siguientes operaciones
a.
3
2
+ (
3
4
.
1
3
) − √
9
16
3
2
+
3
12
−
3
4
=
3
2
+
1
4
−
3
4
=
3
2
−
2
4
=
3
2
−
1
2
=
2
2
= 1
b.
6
10
÷
2
3
− [(
4
5
.
4
3
) +
1
3
] −
3
4
÷
3
7
3
5
÷
2
3
− [
16
15
+
1
3
] −
21
12
=
9
10
−
16 + 5
15
−
7
4
=
9
10
−
7
5
−
7
4
=
18 − 28 − 35
20
= −
45
20
= −
9
4
26. Realice las siguientes operaciones:
a.
4
10
÷
2
3
− (
4
5
+
5
3
−
1
4
) ÷
3
5
2
5
÷
2
3
−
48 + 100 − 15
60
÷
3
5
=
6
10
−
133
60
÷
3
5
=
3
5
−
665
180
=
108 − 665
180
= −
557
180
b. (
2
3
−
7
2
−
5
6
+
1
4
) + (−
4
3
+
2
3
− √
1
62
)
2
16 − 84 − 20 + 6
24
+ (−
2
3
−
1
6
)
2
= −
82
24
+ (
−4 − 1
6
)
2
= −
41
12
+ (−
5
6
)
2
−
41
12
+
25
36
=
−123 + 25
36
= −
98
36
= −
49
18

48

49
UNIDAD III. INTRODUCCIÓN A ALGEBRA
1. Traduzca al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a. El triple de un número entero 𝑎
3𝑎
b. La raíz cuadrada del producto de tres números naturales 𝑎, 𝑏 y 𝑐
√𝑎𝑏𝑐
c. La diferencia de los cuadrados de dos números reales 𝑎 y 𝑏
𝑎2
− 𝑏2
d. La suma de dos números reales 𝑎 y 𝑏 elevada al cuadrado
(𝑎 + 𝑏)2
e. Cinco veces el cuadro de un número real 𝑎 menos cuatro veces el cuadrado de
un número real 𝑏
5𝑎2
− 4𝑏2
f. La suma de los cubos de tres números enteros positivos 𝑚, 𝑛 y ñ
𝑚3
+ 𝑛3
+ ñ3
g. La mitad de un número real 𝑚, más un tercio de un número real 𝑛, menos la
cuarta parte de un número real 𝑝.
1
2
𝑚 +
1
3
𝑛 −
1
4
𝑝
h. La mitad de la suma de cuatro números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 y 𝑣
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑣
2
i. La mitad de la suma de los cuadrados de tres números reales 𝑎, 𝑏 y 𝑐
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
2
j. La suma de tres números enteros pares consecutivos
2𝑥 + 2(𝑥 + 1) + 2(𝑥 + 2)
k. La suma de tres números enteros consecutivos
𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2)
l. La suma de tres números enteros impares consecutivos
𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4)
m. El triple de un número real 𝑎 disminuido en dos. 3𝑎 − 2

50
2. Complete la siguiente tabla
Expresión algebraica Variables Coeficientes Términos
−𝑎2
𝑏𝑐2
𝑎, 𝑏. 𝑐 1 1
𝑚2
− 2𝑚𝑛 𝑚, 𝑛 1 , −2 2
5 − 𝑥𝑦2
+ 𝑥𝑦 − 𝑥5 𝑥, 𝑦 5, −1, 1, −1 4
2
3
𝑚𝑛2
+ 𝑚𝑛 − 𝑛5 𝑚, 𝑛 2
3
, 1 , −1
3
𝑥4
𝑦2
− √3𝑥𝑦 − √5𝑥5 𝑥, 𝑦 1 , −√3, −√5 3
3. Escriba una V si la afirmación es verdadera una F si es falsa.
a. El grado absoluto de un polinomio es el grado absoluto del término de mayor
grado. V
b. El grado relativo de un polinomio respecto a una variable, es el menor
exponente de la variable. F
c. El término independiente de un polinomio es el que tiene grado cero. V
d. El grado relativo de un polinomio respecto a una variable es el mayor exponente
de la variable. V
e. El monomio 𝑎2
𝑏𝑐, no tiene coeficiente numérico. F
f. El grado absoluto del monomio 2𝑥𝑦𝑧3
es 6. F
g. El monomio √4 𝑚𝑛, tiene coeficiente racional. F
h. El monomio
3
5
𝑥2
𝑦3
𝑧6
, tiene tres variables, coeficiente racional positivo y grado
absoluto 12. F
i. Existen polinomios con grado absoluto igual a 1. V
j. Existen binomios con grado absoluto igual a cero. F

51
4. Complete la siguiente tabla
Expresión algebraica
Tipo de
Polinomio
Grado
absoluto
Grado relativo
respecto a:
−𝑎2
𝑏𝑐2 Monomio 5 𝑏 = 1
𝑚2
+ 2𝑚𝑛 Binomio 2 𝑚 = 2
5 − 𝑥𝑦2
+ 𝑥𝑦 − 𝑥5 Polinomio 5 𝑥 = 5
2
3
𝑚𝑛2
+ 𝑚𝑛 − 𝑛5 Trinomio 5 𝑛 = 5
𝑥4
𝑦2
− √3𝑥𝑦 − √5𝑥5 Trinomio 5 𝑦 = 2
5. Clasifique los coeficientes (ℕ, ℤ, ℚ, ℚ′) de los siguientes monomios
a. 2𝜋𝑥2
b.
3
4
𝑥𝑦2
c. 2𝑚𝑛2
d. −4𝑎3
𝑏2
𝑐 e.
1
√2
𝑥2
𝑦3
𝑧
ℕ ℤ ℚ ℚ′
c. 2𝑚𝑛2
d. −4𝑎3
𝑏2
𝑐 b.
3
4
𝑥𝑦2 a. 2𝜋𝑥2
e.
1
√2
𝑥2
𝑦3
𝑧
6. Ordene los siguientes polinomios según las indicaciones.
a. 𝑥2
𝑦3
− 3𝑥3
𝑦 + 6𝑥𝑦2
. En forma ascendente respecto a 𝑥.
6𝑥𝑦2
+ 𝑥2
𝑦3
− 3𝑥3
𝑦
b. 𝑚2
𝑛3
− 3𝑚3
𝑛 + 6𝑚𝑛2
. En forma ascendente respecto a 𝑛.
−3𝑚3
𝑛 + 6𝑚𝑛2
+ 𝑚2
𝑛3
c. 𝑎𝑏 + 2𝑎3
𝑏3
− 6𝑎2
𝑏2
− 1. En forma descendente respecto a 𝑎.
2𝑎3
𝑏3
− 6𝑎2
𝑏2
+ 𝑎𝑏 − 1
d. 𝑥𝑦 + 2𝑥3
𝑦3
− 6𝑥2
𝑦2
− 1. En forma descendente respecto a 𝑦.
2𝑥3
𝑦3
− 6𝑥2
𝑦2
+ 𝑥𝑦 − 1
e. 2𝑥2
+ 2𝑥 − 3𝑥3
+ 5𝑥4
+ 4𝑥5
− 3. En forma descendente
4𝑥5
+ 5𝑥4
− 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 2𝑥 − 3
f. 2𝑥2
+ 2𝑥 − 3𝑥3
+ 5𝑥4
+ 4𝑥5
− 3. En forma ascendente
−3 + 2𝑥 + 2𝑥2
− 3𝑥3
+ 5𝑥4
+ 4𝑥5

52
7. ¿Cuál de los siguientes polinomios está ordenado en forma descendente con
respecto a la variable 𝑥?
a. 2𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦2
− 3𝑥3
𝑦3
+ 5𝑥4
𝑦4
+ 4𝑥5
𝑦5
− 3
b. 2𝑥5
𝑦 + 2𝑥4
𝑦2
− 3𝑥3
𝑦3
+ 5𝑥2
𝑦4
+ 4𝑥𝑦5
− 3
8. Escriba una expresión algebraica para expresar el área de cada una de las regiones
presentadas a continuación:
9. Escriba una expresión para el área de la región sombreada.
10. Escriba una expresión algebraica para el volumen de la figura. Los cubos tienen
aristas de medida 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝐴 =
𝑏ℎ
2 𝐴 = 2𝑧𝑦 + 𝑥2
𝐴 = 𝑦𝑧 − 4𝑥2
𝐴 = 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3

53
11. Escribir los términos que faltan en los polinomios ordenados siguientes.
Sugerencia: Puede utilizar cualquier coeficiente numérico.
a. 3𝑚4
− 5𝑚3
+ 𝑚2
− 2𝑚 + 1
b. 𝑥5
− 6𝑥4
+ 8𝑥3
− 4𝑥2
− 𝑥 + 7
c. 7𝑏 − 6𝑏2
+ 4𝑏3
− 7𝑏4
− 12𝑏5
d. 5𝑚2
+ 𝑚3
+ 7𝑚4
− 7𝑚5
− 2𝑚6
12. Escriba una expresión algebraica para cada una de las situaciones descritas a
continuación:
a. Usted realiza en el mercado las siguientes compras: 10 libras de azúcar, 8 libras
de arroz, 6 libras de frijoles, 4 libras de papas y 3 litros de aceite. Si el precio de
la libra de azúcar es 𝑥, el de la libra de arroz es 𝑦, el de la libra de frijoles es 𝑧,
el de la libra de papas es 𝑣 y el litro de aceite 𝑤. Escriba una expresión
algebraica que indique el costo total de las compras.
10𝑥 + 8𝑦 + 6𝑧 + 4𝑣 + 3𝑤
b. Usted quiere pintar el interior y el exterior de su casa. El precio del galón de
pintura para interiores es 𝑥 y el precio del galón de pintura para exteriores es 𝑦.
Si se necesitan 3 galones de pintura para el exterior y 4 galones de pintura para
el interior, escriba una expresión algebraica para el costo total de la pintura
necesaria para pintar la casa.
4𝑥 + 3𝑦
13. Ordenar los polinomios en forma ascendente:
a. 3𝑎2
𝑏 − 5𝑎𝑏2
+ 6𝑎3
𝑏 − 3𝑎5
𝑏4
 Con relación a 𝑎
−5𝑎𝑏2
+ 3𝑎2
𝑏 + 6𝑎3
𝑏 − 3𝑎5
𝑏4
 Con relación a 𝑏
3𝑎2
𝑏 + 6𝑎3
𝑏 − 5𝑎𝑏2
− 3𝑎5
𝑏4
b. 𝑚2
𝑛2
+ 6𝑚3
𝑛 − 5𝑚𝑛3
+ 11𝑚5
𝑛
 Con relación a 𝑚
−5𝑚𝑛3
+ 𝑚2
𝑛2
+ 6𝑚3
𝑛 + 11𝑚5
𝑛
 Con relación a 𝑛: 6𝑚3
𝑛 + 11𝑚5
𝑛 + 𝑚2
𝑛2
− 5𝑚𝑛3

54
14. Escriba una expresión algebraica para cada una de las situaciones descritas a
continuación:
a. La ventana de una casa está diseñada como se muestra en la figura. Encuentre una
expresión algebraica para el área total de la región correspondiente.
b. El volumen de un cilindro circular recto está dado por la expresión 𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ,
donde 𝑟 es el radio de la base y ℎ es la altura. El volumen de un cono circular recto
está dado por la expresión
1
2
𝜋𝑟2
ℎ, donde 𝑟 es el radio de la base y ℎ es su altura.
Encuentre una expresión para el volumen total de la figura.
15. Determine el perímetro de cada figura:
𝐴 = 𝑎𝑏
𝐴 =
𝑎𝑐
2
El área del rectángulo
El área del triángulo
𝐴 𝑡 = 𝑎𝑏 +
𝑎𝑐
2
Área Total
𝑉 = 𝜋𝑟ℎ2
𝑉 =
𝜋𝑟ℎ1
2
Volumen del cilindro
Volumen del cono
𝑉𝑡 = 𝜋𝑟ℎ2 +
𝜋𝑟ℎ1
2
Volumen Total
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑚 + 𝑝 𝑃 = 4𝑥 𝑃 = 4𝑎 + 2𝑏

55
16. Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:
a. 2𝑥2
𝑦3
𝑧, para 𝑥 = 1 ; 𝑦 = −1 ; 𝑧 = 2
2(1)2(−1)3(2) = 2(1)(−1)(2) = −4
b.
2
3
𝑚𝑛2
+ 𝑚2
𝑛, para 𝑚 =
1
2
; 𝑛 = −2
2
3
(
1
2
) (−2)2
+ (
1
2
)
2
(−2) =
2
6
(4) +
1
4
(−2) =
8
6
−
2
4
=
4
3
−
1
2
=
8 − 3
6
=
5
6
c. −3𝑎3
𝑏2
+ 2𝑎2
𝑏 − 5𝑎, para 𝑎 = −1 ; 𝑏 = 2
−3(−1)3(2)2
+ 2(−1)2(2) − 5(−1) = −3(−1)(4) + 4 + 5 = 12 + 9 = 21
d. 2𝑥4
− 3𝑥3
+ 𝑥2
− 1, para 𝑥 = 1
2(1)4
− 3(1)3
+ (1)2
− 1 = 2 − 3 + 1 − 1 = −1
17. Hallar el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes si 𝑥 = 1 ; 𝑦 =
−2 ; 𝑧 = −3
a. −3𝑥2
𝑦 + 4𝑥𝑦2
−3(1)2(−2) + 4(1)(−2)2
−3(1)(−2) + 4(1)(4)
6 + 16 = 22
b. 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 1
2(1)3
+ 4(1) + 1
2 + 4 + 1 = 7
c. −𝑥2
𝑦2
𝑧 + 4𝑥𝑦𝑧2
−(1)2(−2)2(−3) + 4(1)(−2)(−3)2
−(1)(4)(−3) + 4(−2)(9)
12 − 72 = −60
d. 𝑥2
+ 𝑦 − 𝑧
(1)2
+ (−2) − (−3)
1 − 2 + 3 = 2
18. La expresión algebraica correspondiente al cálculo del IMC ya estudiado es:
𝐼𝑀𝐶 =
𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
(𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)2
Verifique el IMC de los miembros de su hogar.
𝐼𝑀𝐶 =
100 𝑘𝑔
(1,90 𝑚)2
= 27,70
𝑘𝑔
𝑚2
𝐼𝑀𝐶 =
90 𝑘𝑔
(1,90 𝑚)2
= 47,3
𝑘𝑔
𝑚2

56
19. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas
a. 3𝑥2
− 𝑥 + 1, Trinomio
b. 3𝑥𝑦 − 4, Binomio
c. −2𝑥5
+
1
5
𝑥 −
1
7
, Trinomio
d. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑑, Polinomio
e. −5𝑥2
𝑦𝑧, Monomio
20. Determine el grado de los siguientes polinomios
a. 4𝑥3
𝑦 − 5𝑥2
𝑦5
+ 3𝑦, Séptimo grado
b. 3𝑥𝑦 − 5𝑦4
+ 𝑦7
, Séptimo grado
c. 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
, Segundo grado
21. Ordenar en sentido descendente, respecto a la variable 𝑥
a. 2𝑥𝑦3
− 7𝑥2
𝑦 + 4𝑥3
− 1
4𝑥3
− 7𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦3
− 1
b. 2𝑥 − 6𝑥𝑦 + 𝑥2
− 𝑥3
+ 2𝑥5
2𝑥5
− 𝑥3
+ 𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 2𝑥
c. 𝑥3
+ 3𝑦2
𝑥 + 𝑦3
+ 3𝑥2
𝑦
𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑦2
𝑥 + 𝑦3
22. Asocie a cada uno de los enunciados la expresión algebraica correspondiente.
a. A un número se le quita siete
b. El doble de un número más su
cuadrado
c. Un múltiplo de 3 menos 1.
d. El 20% de un número
e. Cuatro veces un número menos
sus dos tercios.
f. El precio de un pantalón
aumentado en un 10%
g. Un número impar
0,2𝑥
2𝑥 + 1
2𝑥 + 𝑥2
1,1𝑥
4𝑥 −
2
3
𝑥
3𝑥 − 1
𝑥 − 7

57
23. Según la figura, exprese como un monomio
a. Perímetro
𝑃 = 6(4𝑥) = 24𝑥
b. Área
𝐴 = 6𝑥2
c. Volumen
𝑉 = 6𝑥3
24. Traduce usando lenguaje algebraico.
 La suma de dos números
𝑎 + 𝑏
 10 más 𝑛
10 + 𝑛
 Un número aumentado en tres
𝑚 + 3
 Un número disminuido en dos.
𝑐 − 2
 El producto de dos números
𝑚𝑛

58
 Uno restando a un número
1 − 𝑚
 3 veces la diferencia de dos números
3(𝑎 − 𝑏)
 La diferencia de dos números
𝑣 − 𝑤
25. Traduce al lenguaje algebraico, utilizando solamente una variable.
a. Los tres quintos de un número menos uno.
3
5
𝑥 − 1
b. La suma de tres números consecutivos
𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)
c. Un múltiplo de tres más su doble
3𝑥 + 6𝑥
d. La suma de un número más su cuadrado
𝑥 + 𝑥2
e. El producto de dos números consecutivos
𝑥(𝑥 + 1)
26. Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos variables.
 Un número más la mitad de otro
𝑎 +
𝑏
2
 El cuadrado de la suma de dos números distintos
(𝑎 + 𝑏)2
 La diferencia de los cuadrados de dos números distintos
𝑎2
− 𝑏2
 El doble del producto de dos números distintos
2(𝑎𝑏)

59
27. Traducir cada enunciado utilizando símbolos
Lenguaje ordinario
Lenguaje matemático
(Expresión algebraica)
1 La suma de dos lápices y una cantidad de lápices
❶ + ❶ 𝑦 ❶❷
2 Tres camisas más un número de camisas
≛≛≛ +𝑛
3 La diferencia entre un número de años y otro
⌚ − ⌛
4 Cuatro unidades menos que n unidades
4𝑢 − 𝑛
5 Un número aumentado en otro
𝑛 + 𝑣
6 Un número disminuido en diez
ℎ − 10
7 El producto de dos números
𝑚𝑛
8 Dos veces la suma de dos edades
2(⌛ − ⌚)
9 Dos veces un número sumando a otro
2𝑚 + 𝑘
10 Cinco veces el costo de la canasta básica
5⌂
11 El cociente de dos números 𝑐
𝑑

60
28. Resolver e interpretar los resultados obtenidos
a. Traduzca al lenguaje algebraico la siguiente conversación entre dos personas: “Un
novio le pregunta la edad a su novia y esta le contesta: tengo el doble de la edad que
tu tenías, cuando tu tenías la que yo tengo. Sabiendo que cuando tu tengas la que yo
tengo, nuestras edades sumaran 63 años”.
Ordenar la información
Pasado Presente
Novia 𝑦 2𝑥
Novio 𝑥 𝑦
Se tiene una relación fundamental y es que la suma de las edades es 63, lo cual sería:
2𝑥 + 𝑦 = 63
Pero se necesita una relación más, debido a que con la condición anterior no es suficiente,
la otra condición es que no importa cuántos años transcurran, siempre difieren en la misma
cantidad de años.
Entonces
𝑦 − 𝑥 = 2𝑥 − 𝑦
Siendo que
2𝑥 + 𝑦 = 63 ⟹ 𝑦 = 63 − 2𝑥
Sustituyendo ese valor en la ecuación anterior
𝑦 − 𝑥 = 2𝑥 − 𝑦
63 − 2𝑥 − 𝑥 = 2𝑥 − (63 − 2𝑥)
63 − 3𝑥 = 2𝑥 − 63 + 2𝑥
−3𝑥 − 4𝑥 = −63 − 63
−7𝑥 = 126
𝑥 = −
126
−6
= 18
𝑦 = 63 − 2(18)
𝑦 = 63 − 36 = 27
2(18) = 36
La novia tiene 36 años y el
novio 27 años

61
b. En un movimiento uniformemente acelerado, con una velocidad inicial nula, el
espacio recorrido viene dado por la expresión 𝑒 =
1
2
𝑎𝑡2
. Calcular su valor,
considerando 𝑎 = 4,92 𝑚/𝑠2
y 𝑡 = 5 𝑠
𝑒 =
1
2
(4,92
𝑚
𝑠2
) (5 𝑠)2
=
(4,92
𝑚
𝑠2) (25 𝑠2)
2
=
123
2
𝑚 = 6,5 𝑚
c. Una empresa constructora diseña piscinas tipo A y B. cuyas formas suponen tendrán
muchas. Discuta a cerca de una fórmula para determinar la superficie de cada una,
según el largo, ancho y radios de las semicircunferencias.
29. Escribe usando signos de operación y simplifica el resultado.
a. La suma de 24 y 19
24 + 19 = 43
b. 19 más que 33
19 + 33 = 52
c. Dos veces la diferencia de 9 y 4
2(9 − 4) = 2(5) = 10
d. El producto de 6 y 16
6 . 16 = 96
e. 3 veces la diferencia de 27 y 21
3(27 − 21) = 3(6) = 18
f. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado.
92
− 42
= 81 − 16 = 65
g. El cociente de 3 al cubo y 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12
33
123
÷ 8 . 12 =
9
24
÷ 96 =
9
24
.
1
96
=
9
2304
=
3
768
=
1
256
𝐴 = 𝑏. ℎ +
𝜋𝑟2
2
Tipo A
𝐴 = 𝑏. ℎ +
𝜋𝑟1
2
2
+
𝜋𝑟2
2
2
Tipo B

62

63
UNIDAD IV “OPERACIONES CON POLINOMIOS”
I. Efectúa las divisiones usando el método de Ruffini4
1. 𝑥3
+ 3 ÷ 𝑥 + 1
4
Se utilizó el software Algebrator
2. 2𝑥4
+ 3𝑥2
− 5 ÷ 𝑥 − 2
3. 2𝑥3
− 18𝑥2
+ 22𝑥 + 42 ÷ 𝑥 − 7 4. 2𝑥3
+ 6𝑥2
− 3𝑥 + 1 ÷ 𝑥 + 1
5. 5𝑥3
+ 6𝑥2
− 3𝑥 + 1 ÷ 𝑥 + 1 6. 3𝑥3
+ 15𝑥2
− 3𝑥 + 15 ÷ 𝑥 + 5

64
II. Dados los polinomios 𝑝(𝑥) = 3𝑥2
+ 5𝑥 − 6; 𝑞(𝑥) = 5𝑥2
+ 8𝑥 − 9; 𝑟(𝑥) =
3𝑥 + 4 calcule:
1. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)
3𝑥2
+ 5𝑥 − 6 + 5𝑥2
+ 8𝑥 − 9
3𝑥2
+ 5𝑥2
+ 5𝑥 + 8𝑥 − 6 − 9
7𝑥2
+ 13𝑥 − 15
2. 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)
3𝑥2
+ 5𝑥 − 6 − (5𝑥2
+ 8𝑥 − 9)
3𝑥2
+ 5𝑥 − 6 − 5𝑥2
− 8𝑥 + 9
3𝑥2
− 5𝑥2
+ 5𝑥 − 8𝑥 − 6 + 9
−2𝑥2
− 3𝑥 + 3
7. 𝑥4
+ 𝑥2
+ 1 ÷ 𝑥 − 1 8. 3𝑥4
+ 15 ÷ 𝑥 + 3
9. 𝑥3
− 9𝑥 + 10 ÷ 𝑥 − 3

65
3. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) − 𝑟(𝑥)
3𝑥2
+ 5𝑥 − 6 + 5𝑥2
+ 8𝑥 − 9 − (3𝑥 + 4 )
7𝑥2
+ 13𝑥 − 15 − 3𝑥 − 4
7𝑥2
+ 10𝑥 − 19
4. 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) − 𝑟(𝑥)
3𝑥2
+ 5𝑥 − 6 − (5𝑥2
+ 8𝑥 − 9) − (3𝑥 + 4)
−2𝑥2
− 3𝑥 + 3 − 3𝑥 − 4
−2𝑥2
− 6𝑥 − 1
III. Dados los polinomios 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 5𝑥2
+ 7; 𝑞(𝑥) = 2𝑥3
− 7𝑥 + 6𝑥 − 3𝑥 + 1
calcule:
1. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)
𝑥3
− 5𝑥2
+ 7 + 2𝑥3
− 7𝑥 + 6𝑥 − 3𝑥 + 1
𝑥3
− 5𝑥2
+ 7 + 2𝑥3
− 4𝑥 + 1
𝑥3
+ 2𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 7 + 1
3𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 8
2. 𝑞(𝑥) − 𝑝(𝑥)
2𝑥3
− 4𝑥 + 1 − (𝑥3
− 5𝑥2
+ 7)
2𝑥3
− 𝑥3
+ 5𝑥2
− 4𝑥 + 1 − 7
𝑥3
+ 5𝑥2
− 4𝑥 − 6
3. 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)5
(𝑥3
− 5𝑥2
+ 7)(2𝑥3
− 4𝑥 + 1)
5
Realizado con Algebrator

66
IV. Dados los polinomios 𝑝(𝑥) = 4𝑥2
− 13𝑥 + 20; 𝑞(𝑥) = 10𝑥2
− 7𝑥 +
8; 𝑟(𝑥) = 5𝑥 − 1 calcule:
1. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)
4𝑥2
− 13𝑥 + 20 + 10𝑥2
− 7𝑥 + 8
4𝑥2
+ 10𝑥2
− 13𝑥 − 7𝑥 + 20 + 8
14𝑥2
− 20𝑥 + 28
2. 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)
4𝑥2
− 13𝑥 + 20 − (10𝑥2
− 7𝑥 + 8)
4𝑥2
− 13𝑥 + 20 − 10𝑥2
+ 7𝑥 − 8
4𝑥2
− 10𝑥2
− 13𝑥 + 7𝑥 + 20 − 8
−6𝑥2
− 6𝑥 + 12
3. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) − 𝑟(𝑥)
14𝑥2
− 20𝑥 + 28 − (5𝑥 − 1)
14𝑥2
− 20𝑥 + 28 − 5𝑥 + 1
14𝑥2
− 25𝑥 + 29
4. 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) − 𝑟(𝑥)
4𝑥2
− 13𝑥 + 20 − (10𝑥2
− 7𝑥 + 8) − (5𝑥 − 1)
4𝑥2
− 10𝑥2
− 13𝑥 + 7𝑥 − 5𝑥 + 20 − 8 + 1
−6𝑥2
− 11𝑥 + 13
V. Calcula los productos indicados:
1. (𝑎 − 2𝑏)3
(𝑎)3
− 3(𝑎)2(2𝑏) + 3(𝑎)(2𝑏)2
− (2𝑏)3
𝑎3
− 6𝑎2
𝑏 + 12𝑎𝑏2
− 8𝑏3
2. (3𝑥 + 2𝑦)3
(3𝑥)3
+ 3(3𝑥)2(2𝑦) + 3(3𝑥)(2𝑦)2
+ (2𝑦)3
27𝑥3
+ 54𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦2
+ 8𝑦3
3. (−1 + 4ℎ)3
→ (4ℎ − 1)3
(4ℎ)3
− 3(4ℎ)2(1) + 3(4ℎ)(1)2
− (1)3
64ℎ3
− 48ℎ2
+ 12ℎ − 1

67
4. (7𝑥 + 2𝑦)(7𝑥 − 2𝑦)
49𝑥2
− 4𝑦2
5. (−𝑎 + 5𝑏)(𝑎 + 5𝑏) → (5𝑏 − 𝑎)(5𝑏 + 𝑎)
25𝑏2
− 𝑎2
6. (4𝑎 − 6𝑏)2
(4𝑎)2
− 2(4𝑎)(6𝑏) + (6𝑏)2
16𝑎2
− 48𝑎𝑏 + 36𝑏2
7. (5𝑥 + 8)(5𝑥 − 8)
25𝑥2
− 64
8. (2 + 8ℎ)2
4 + 32ℎ + 64ℎ2
9. (−3𝑥 − 4𝑦)2
(3𝑥)2
+ 2(3𝑥)(4𝑦) + (4𝑦)2
9𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 16𝑦2
10. (𝑥 + 2𝑦)2
𝑥2
+ 4𝑥𝑦 + 4𝑦2
11. (4𝑥 − 5𝑦)3
(4𝑥)3
− 3(4𝑥)2(5𝑦) + 3(4𝑥)(5𝑦)2
− (5𝑦)3
64𝑥3
− 240𝑥2
𝑦 + 300𝑥𝑦2
− 125𝑦3
12. (1 − 𝑥𝑦)3
(1)3
− 3(1)2(𝑥𝑦) + 3(1)(𝑥𝑦)2
− (𝑥𝑦)3
1 − 3𝑥𝑦 + 3𝑥2
𝑦2
− 𝑥3
𝑦3
VI. Calcule el cuadrado del siguiente trinomio utilizando los productos notables y
con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)2
(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)
= 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 𝑥𝑦 + 𝑦2
− 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 + 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 − 𝑦𝑧
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧

68
VII. Calcule las siguientes potencias de polinomios utilizando productos notables
1. (3𝑥 − 𝑦)4
(3𝑥 − 𝑦)2(3𝑥 − 𝑦)2
(9𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 𝑦2)(9𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 𝑦2)
81𝑥4
− 54𝑥3
𝑦 + 9𝑥2
𝑦2
− 54𝑥3
𝑦 + 36𝑥2
𝑦2
− 6𝑥𝑦3
+ 9𝑥2
𝑦2
− 6𝑥𝑦3
+ 𝑦4
81𝑥4
− 54𝑥3
𝑦 − 54𝑥3
𝑦 + 9𝑥2
𝑦2
+ 36𝑥2
𝑦2
+ 9𝑥2
𝑦2
− 6𝑥𝑦3
− 6𝑥𝑦3
+ 𝑦4
81𝑥4
− 108𝑥3
𝑦 + 54𝑥2
𝑦2
− 12𝑥𝑦3
+ 𝑦4
2. (−𝑥 + 5𝑦)4
→ (5𝑦 − 𝑥)4
(5𝑦 − 𝑥)2(5𝑦 − 𝑥)2
(25𝑦2
− 10𝑥𝑦 + 𝑥2)(25𝑦2
− 10𝑥𝑦 + 𝑥2)
625𝑦4
− 250𝑥𝑦3
+ 25𝑥2
𝑦2
− 250𝑥𝑦3
+ 100𝑥2
𝑦2
− 10𝑥3
𝑦 + 25𝑥2
𝑦2
− 10𝑥3
𝑦 + 𝑥4
625𝑦4
− 250𝑥𝑦3
− 250𝑥𝑦3
+ 25𝑥2
𝑦2
+ 100𝑥2
𝑦2
+ 25𝑥2
𝑦2
− 10𝑥3
𝑦 − 10𝑥3
𝑦 + 𝑥4
625𝑦4
− 500𝑥𝑦3
+ 150𝑥2
𝑦2
− 20𝑥3
𝑦 + 𝑥4
VIII. Aplica productos notables y simplifica
(2𝑥2
− 𝑦 + 𝑧 − 𝑡)2
+(3𝑥 − 𝑦)2
(2𝑥2
− 𝑦 + 𝑧 − 𝑡)(2𝑥2
− 𝑦 + 𝑧 − 𝑡) + (9𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 𝑦2)
(4𝑥4
− 4𝑥2
𝑦 + 4𝑥2
𝑧 − 4𝑥2
𝑡 + 𝑦2
− 2𝑦𝑧 + 2𝑦𝑡 + 𝑧2
− 2𝑧𝑡 + 𝑡2) + (9𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 𝑦2)
4𝑥4
− 4𝑥2
𝑦 + 9𝑥2
+ 4𝑥2
𝑧 − 4𝑥2
𝑡 + 𝑦2
+ 𝑦2
− 6𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 + 2𝑦𝑡 + 𝑧2
− 2𝑧𝑡 + 𝑡2
4𝑥4
− 4𝑥2
𝑦 + 9𝑥2
+ 4𝑥2
𝑧 − 4𝑥2
𝑡 + 2𝑦2
− 6𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 + 2𝑦𝑡 + 𝑧2
− 2𝑧𝑡 + 𝑡2
IX. Identifique el producto notable proveniente de cada expresión
1. 6𝑥 − 12 = 6(𝑥 − 2)
2. 12𝑎(2 + 𝑏) = 24𝑎 + 12𝑎𝑏
3. 4𝑥 − 8𝑦 = 4(𝑥 − 2𝑦)
4. 5𝑥(2 − 3𝑥) = 10𝑥 − 15𝑥2

69
5. 7𝑚𝑛(2𝑚 + 1) = 14𝑚2
+ 7𝑚𝑛
6. 6𝑥4
− 30𝑥3
+ 2𝑥2
= 2𝑥2(3𝑥2
− 15𝑥 + 1)
7. 4𝑚2
+ 20𝑎𝑚 = 4𝑚(𝑚 + 5𝑎)
8. 4𝑎3
𝑏𝑥 + 4𝑏𝑥 = 4𝑏𝑥(𝑎3
+ 1)
9. (𝑚 − 1)2
= 𝑚2
− 2𝑚 + 1
10. 𝑥2
+ 26𝑥 + 25 = (𝑥 + 25)(𝑥 + 1)
11. (𝑦 − 5)2
= 𝑦2
− 10𝑦 + 25
12. 4𝑐2
− 20𝑐𝑑 + 25𝑑2
= (2𝑐 − 5𝑑)2
13. (𝑦 + 3)2
= 𝑦2
+ 6𝑦 + 9
14. (ℎ + 2)2
= ℎ2
+ 4ℎ + 4
15. (3𝑎 − 2𝑏)2
= 9𝑎2
− 12𝑎𝑏 + 4𝑏2
16. (7𝑥 − 1)2
= 49𝑥2
− 14𝑥 + 1
17. (2𝑥 − 5𝑦)2
= 4𝑥2
− 20𝑥𝑦 + 25𝑦2
18. 16𝑚2
− 40𝑚𝑛 + 25𝑛2
= (4𝑚 − 5𝑛)2
19. (𝑦 − 2)(𝑦 + 2) = 𝑦2
− 4
20. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) = 4𝑥2
− 9
21. (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 𝑎2
− 1
22. (𝑚 − 5)(𝑚 + 5) = 𝑚2
− 25
23. 49𝑥2
− 36𝑦2
= (7𝑥 − 6𝑦)(7𝑥 + 6𝑦)
24. (11𝑝 + 20𝑞)(11𝑝 − 20𝑞) = 121𝑝2
− 400𝑞2
25. (4𝑎𝑏 − 7)(4𝑎𝑏 + 7) = 16𝑎2
𝑏2
− 49
26. (𝑚𝑛2
− 𝑥4)(𝑚𝑛2
+ 𝑥4) = 𝑚2
𝑛4
− 𝑥8
27. (
1
2
− 𝑥2
) (
1
2
+ 𝑥2
) =
1
4
− 𝑥4
28. (
𝑛
𝑦
−
2𝑎
3𝑥
) (
𝑛
𝑦
+
2𝑎
3𝑥
) =
𝑛2
𝑦2 −
4𝑎2
9𝑥2
29. 2𝑎𝑏(1 + 2𝑎 − 3𝑏) = 2𝑎𝑏 + 4𝑎2
𝑏 − 6𝑎𝑏2
30. (𝑏 − 7)(𝑏 + 4) = 𝑏2
− 3𝑏 − 28
31. 5𝑥𝑦(4𝑦 − 1 + 2𝑥 − 𝑥𝑦)
32. (𝑧 + 4)(𝑧 + 2) = 𝑧2
+ 6𝑧 + 8
33. 5𝑎(1 + 5𝑏) = 5𝑎 + 25𝑎𝑏

70
X. Dados los siguientes polinomios:
1. Determine el grado absoluto de cada uno de ellos.
2. Expresarlos en forma ordenada: ascendente y descendente
 𝐴(𝑥) = −3 + 2𝑥5
−
3
2
𝑥2
 Grado Absoluto: 5
 Orden forma ascendente
𝐴(𝑥) = −3 −
3
2
𝑥2
+ 2𝑥5
 Orden en forma descendente
𝐴(𝑥) = 2𝑥5
−
3
2
𝑥2
= −3
 𝐵(𝑥) =
5
3
𝑥2
+
3
2
𝑥 − 7𝑥3
− 4
 Orden en forma ascendente
𝐵(𝑥) = −4 +
3
2
𝑥 +
5
3
𝑥2
− 7𝑥3
𝐵(𝑥) = −7𝑥3
+
5
3
𝑥2
+
3
2
𝑥 − 4
 𝐶(𝑥) =
2
5
𝑥 − 6𝑥3
− 2𝑥2
+ 14
𝐶(𝑥) = 14 +
2
5
𝑥 − 2𝑥2
− 6𝑥3
𝐶(𝑥) = −6𝑥3
− 2𝑥2
+
2
5
𝑥 + 14
 𝐷(𝑥) =
5
4
𝑥3
− 3𝑥4
− 5 − 𝑥2
𝐷(𝑥) = −5 − 𝑥2
+
5
4
𝑥3
− 3𝑥4

71
𝐷(𝑥) = −3𝑥4
+
5
4
𝑥3
− 𝑥2
− 5
XI. Ordenar e forma descendente los siguientes polinomios:
1. 4𝑥3
+ 1 + 3𝑥2
4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 1
2.
1
2
𝑥5
+ 𝑥6
𝑥6
+
1
2
𝑥5
3. −2𝑥 + 3𝑥3
−
2
3
𝑥2
3𝑥3
−
2
3
𝑥2
− 2𝑥
XII. Realizar las siguientes multiplicaciones con monomios
1. (3𝑥𝑦3) (
7
5
𝑥3
𝑦2
)
21
5
𝑥4
𝑦5
2. (−9) (
7
3
𝑥3
) (
1
2
𝑥) (
2
3
𝑥4
)
−
126
18
𝑥8
= −7𝑥8
3. (5𝑎𝑏2
𝑦3)(−3𝑎3
𝑥3
𝑦2) (
1
6
𝑎2
𝑏3
𝑥𝑦)
−
15
6
𝑎6
𝑏5
𝑥4
𝑦6
= −
5
2
𝑎6
𝑏5
𝑥4
𝑦6
4. (
9
2
𝑥) (
2
3
𝑥2
) + (−3)(5𝑥3)
18
6
𝑥3
− 15𝑥3
= 3𝑥3
− 15𝑥3
= −12𝑥3
XIII. Sumar los siguientes polinomios
1. 𝑃(𝑥) = 0,1𝑥 + 0,05𝑥2
+ 0,7 y 𝑄(𝑥) = 0,3𝑥 + 1 − 𝑥2
(𝑃 + 𝑄)(𝑥) = 0,05𝑥2
− 𝑥2
+ 0,1𝑥 + 0,3𝑥 + 0,7 + 1
(𝑃 + 𝑄)(𝑥) = −0,95𝑥2
+ 0,4𝑥 + 1,7

72
2. 𝑉(𝑥) = 0,1𝑥 + 0,05𝑥2
+ 0,7 y 𝑀(𝑥) = 0,3𝑥 + 1 − 𝑥2
(𝑉 + 𝑀)(𝑥) = 0,05𝑥2
− 𝑥2
+ 0,1𝑥 + 0,3𝑥 + 0,7 + 1
(𝑉 + 𝑀)(𝑥) = −0,95𝑥2
+ 0,4𝑥 + 1,7
XIV. Realice los ejercicios indicados
a. De 𝑥4
− 𝑥3
− 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 restar 2𝑥2
+ 3𝑥3
+ 4𝑥4
− 5𝑥 + 5
𝑥4
− 𝑥3
− 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 − (2𝑥2
+ 3𝑥3
+ 4𝑥4
− 5𝑥 + 5)
𝑥4
− 𝑥3
− 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 − 2𝑥2
− 3𝑥3
− 4𝑥4
+ 5𝑥 − 5
𝑥4
− 4𝑥4
− 𝑥3
− 3𝑥3
− 𝑥2
− 2𝑥2
+ 2𝑥 + 5𝑥 + 2 − 5
−3𝑥4
− 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 7𝑥 − 3
b. Restar 0,1𝑥 − 0,05𝑥2
+ 0,7 de 0,3𝑥 + 1 − 𝑥2
−(0,1𝑥 − 0,05𝑥2
+ 0,7) + 0,3𝑥 + 1 − 𝑥2
−0,1𝑥 + 0,05𝑥2
− 0,7 + 0,3𝑥 + 1 − 𝑥2
0,05𝑥2
− 𝑥2
− 0,1𝑥 + 0,3𝑥 − 0,7 + 1
−0,95𝑥2
+ 0,2𝑥 + 0,3
c. Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑥) =
𝑥
2
− 3𝑥 + 4𝑥2
− 5𝑥3
−
2𝑥4
3
+
5
4
para
los siguientes valores:
1. 𝑥 = 1
𝑃(1) =
(1)
2
− 3(1) + 4(1)2
− 5(1)3
−
2(1)4
3
+
5
4
𝑃(1) =
1
2
− 3 + 4 − 5 −
2
3
+
5
4
𝑃(1) =
1
2
− 4 −
2
3
+
5
4
𝑃(1) =
6 − 48 − 8 + 15
12
𝑃(1) = −
35
12

73
2. 𝑥 = −1
𝑃(−1) =
(−1)
2
− 3(−1) + 4(−1)2
− 5(−1)3
−
2(−1)4
3
+
5
4
𝑃(−1) = −
1
2
− 3(−1) + 4(1) − 5(−1) −
2(1)
3
+
5
4
𝑃(−1) = −
1
2
+ 3 + 4 + 5 −
2
3
+
5
4
𝑃(−1) = −
1
2
+ 12 −
2
3
+
5
4
𝑃(−1) =
−6 + 144 − 8 + 15
12
𝑃(−1) =
145
12
3. 𝑥 =
2
3
𝑃 (
2
3
) =
(
2
3
)
2
− 3 (
2
3
) + 4 (
2
3
)
2
− 5 (
2
3
)
3
−
2 (
2
3
)
4
3
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
2
6
−
6
3
+ 4 (
4
6
) − 5 (
8
27
) −
2 (
16
81
)
3
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
1
3
− 2 +
16
6
−
40
27
−
32
81
3
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
1
3
− 2 +
8
3
−
40
27
−
32
243
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
1 − 6 + 8
3
+
−360 − 32
243
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
3
3
−
392
243
+
5
4
𝑃 (
2
3
) = 1 −
392
243
+
5
4
𝑃 (
2
3
) =
619
972

74
4. 𝑥 = −3
𝑃(−3) =
(−3)
2
− 3(−3) + 4(−3)2
− 5(−3)3
−
2(−3)4
3
+
5
4
𝑃(−3) = −
3
2
+ 9 + 4(9) − 5(−27) −
2(81)
3
+
5
4
𝑃(−3) = −
3
2
+ 9 + 36 + 135 −
162
3
+
5
4
𝑃(−3) = −
3
2
+ 180 − 54 +
5
4
𝑃(−3) = −
3
2
+ 126 +
5
4
𝑃(−3) =
−6 + 504 + 5
4
𝑃(−3) =
503
4
d. Dados los polinomios: 𝑃(𝑥) = 4𝑥2
− 𝑥 + 2; 𝑄(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥 − 1; 𝑅(𝑥) =
2𝑥 − 1 hallar:
1. 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)
(𝑃 + 𝑄)(𝑥) = 4𝑥2
− 𝑥 + 2 + 𝑥3
+ 𝑥 − 1
(𝑃 + 𝑄)(𝑥) = 𝑥3
+ 4𝑥2
− 𝑥 + 𝑥 + 2 − 1
(𝑃 + 𝑄)(𝑥) = 𝑥3
+ 4𝑥2
+ 1
2. 𝑃(𝑥) + 𝑅(𝑥)
(𝑃 + 𝑅)(𝑥) = 4𝑥2
− 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1
(𝑃 + 𝑅)(𝑥) = 4𝑥2
− 𝑥 + 2𝑥 + 2 − 1
(𝑃 + 𝑅)(𝑥) = 4𝑥2
+ 𝑥 + 1
3. 𝑄(𝑥) ∙ 𝑅(𝑥)
(𝑄𝑅)(𝑥) = (𝑥3
+ 𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)
(𝑄𝑅)(𝑥) = 2𝑥4
− 𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑥 + 1
(𝑄𝑅)(𝑥) = 2𝑥4
− 𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 + 1
4. 𝑃(𝑥) ∙ 𝑅(𝑥)
(𝑃𝑅)(𝑥) = (4𝑥2
− 𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)
(𝑃𝑅)(𝑥) = 8𝑥3
− 4𝑥2
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 4𝑥 − 2
(𝑃𝑅)(𝑥) = 8𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 − 2

75
5. 𝑃(𝑥) ÷ 𝑅(𝑥)
e. Dividir por el método de Ruffini los siguientes polinomios6
1. 𝑃(𝑥) = 3𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 1 ; 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
6
Se utilizó Algebrator
(𝑃 ÷ 𝑅)(𝑥) = 4𝑥2
− 𝑥 + 2 ÷ 2𝑥 − 1
4𝑥2
− 𝑥 + 2 2𝑥 − 1
−4𝑥2
+ 2𝑥 2𝑥 +
1
2
𝑥 + 2
−𝑥 +
1
2
5
2
6. 𝑄(𝑥) ÷ 𝑅(𝑥)
(𝑄 ÷ 𝑅)(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥 − 1 ÷ 2𝑥 − 1
𝑥3
+ 0𝑥2
+ 𝑥 − 1 2𝑥 − 1
−𝑥3
+
1
2
𝑥2
1
2
𝑥2
+
1
4
𝑥 +
5
8
1
2
𝑥2
+ 𝑥
−
1
2
𝑥2
+
1
4
𝑥
5
4
𝑥 − 1
−
5
4
𝑥 +
5
8
−3/8

76
2. 𝑃(𝑥) = 𝑥7
+ 𝑥5
− 𝑥3
− 𝑥 ; 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1
3. 𝑃(𝑥) = 64𝑥6
+ 64 ; 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
f. Determine si:
1. 𝑃(𝑥) = 2𝑥2
− 𝑥 − 1 es divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2

77
2. 𝑃(𝑧) = 2𝑧2
− 𝑧 − 1 es divisible por 𝑄(𝑧) = 𝑧 − 1
XV. Desarrolle las siguientes expresiones y compruebe los resultados para 𝑥 = 1
1. 5(𝑥 + 4)2
5(𝑥2
+ 8𝑥 + 16)
5𝑥2
+ 8(5)𝑥 + 16(5)
5𝑥2
+ 40𝑥 + 80
5(1)2
+ 40(1) + 80
5 + 40 + 80
125
2. (𝑥 + 5)2
𝑥2
+ 10𝑥 + 25
(1)2
+ 10(1) + 25
1 + 10 + 25
36
3. (𝑥 − 4)2
𝑥2
− 8𝑥 + 16
(1)2
− 8(1) + 16
1 − 8 + 16
9

78
4. (𝑥 + 3)3
𝑥3
+ 9𝑥2
+ 27𝑥 + 27
(1)3
+ 3(1)2
+ 27(1) + 27
1 + 3 + 27 + 27
58
5. (𝑥 + 1)2
𝑥2
+ 2𝑥 + 1
(1)2
+ 2(1) + 1
1 + 2 + 1
4
6. (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥2
− 1
(1)2
− 1
1 − 1
0
XVI. Sin realizar multiplicaciones respectivas, obtenga los siguientes productos:
1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6
2. (𝑚 + 6)(𝑚 + 4)
𝑚2
+ 10𝑚 + 24
3. (𝑦 + 1)(𝑥 + 5)
𝑥𝑦 + 5𝑦 + 𝑥 + 5
4. (𝑛 + 2)(𝑛 − 2)
𝑛2
− 4
5. (𝑘 + 5)(𝑘 + 5)
(𝑘 + 5)2
= 𝑘2
+ 10𝑘 + 25
6. (𝑧 − 1)(𝑧 − 1)
(𝑧 − 1)2
= 𝑧2
− 2𝑧 + 1

79
XVII. Complete los espacios vacíos en el desarrollo (𝑥 ± 𝑦)2
1. (𝑥 + ___)2
= ___ + 4𝑥𝑦 + ___
(𝑥 + 2𝑦)2
= 𝑥2
+ 4𝑥𝑦 + 4𝑦2
2. (____ − ___)2
= 9𝑥2
− ____ + ____
(3𝑥 − 𝑦)2
= 9𝑥2
− 6𝑥𝑦 + 𝑦2
3. (____ − ___)2
= 𝑥4
− 16𝑥2
+ ____
(𝑥2
− 8)2
= 𝑥4
− 16𝑥2
+ 64
4. (6 − ___)5
= ____ − 12𝑥 + 𝑥2
(6 − 𝑥)2
= 36 − 12𝑥 + 𝑥2
XVIII. Complete los espacios que faltan en el desarrollo de (𝑥 ± 𝑎)(𝑥 ± 𝑏)
1. (𝑥 + 5)(___ + 2) = ___ + 7𝑥 + ____
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2
+ 7𝑥 + 10
2. (___ + ___)(___ + ___) = 𝑥2
+ 11𝑥 + 24
(𝑥 + 8)(𝑥 + 3) = 𝑥2
+ 11𝑥 + 24
3. (𝑥 + ___)(𝑥 + ___) = ___ + 8𝑥 + 15
(𝑥 + 5)(𝑥 + 3) = 𝑥2
+ 8𝑥 + 15
4. (𝑥 − ___)(𝑥 + 9) = ___ − 2𝑥 − 99
(𝑥 − 11)(𝑥 + 9) = 𝑥2
− 2𝑥 − 99
5. (𝑥 − 7)(𝑥 − ___) = ___ − 12𝑥 + ___
(𝑥 − 7)(𝑥 − 5) = 𝑥2
− 12𝑥 + 35
6. (___ + ___)(___ + ___) = 𝑚2
+ 14𝑚 + 33
(𝑚 + 11)(𝑚 + 3) = 𝑚2
+ 14𝑚 + 33
XIX. Obtener el término indicado en los siguientes productos notables:
1. Primero y último término (1 + √𝑘
3
)
3
(1)3
+ 3(1)2
(√𝑘
3
) + 3(1)(√𝑘
3
)
2
+ (√𝑘
3
)
3
1 + 3√𝑘
3
+ 3√ 𝑘23
+ 𝑘
Primer término: 1
Último término: k

80
2. Tercer término de (3𝑚 +
1
𝑛
)
2
(3𝑚)2
+ 2(3𝑚) (
1
𝑛
) + (
1
𝑛
)
2
9𝑚2
+
6𝑚
𝑛
+
1
𝑛2
Tercer término:
1
𝑛2
3. Penúltimo término de (𝑎2
− 3𝑏
1
2)
3
(𝑎2)3
− 3(𝑎2)2
(3𝑏
1
2) + 3(𝑎2) (3𝑏
1
2)
2
− (3𝑏
1
2)
3
𝑎6
− 9𝑎4
𝑏
1
2 + 27𝑎2
𝑏 − 27𝑏
3
2
Penúltimo término: 27𝑎2
𝑏
4. Encuentra el término que no contiene a 𝑥 en el desarrollo de: (6𝑥 −
1
2𝑥
)
2
(6𝑥)2
− 2(6𝑥) (
1
2𝑥
) + (
1
2𝑥
)
2
36𝑥2
−
12𝑥
6𝑥
+
1
4𝑥2
36𝑥2
− 2 +
1
4𝑥2
El término que no contiene a 𝑥 es −2

81

82
UNIDAD V: FUNCIONES
I. Resuelva los siguientes problemas:
1. El área de una región rectangular que tiene 10 cm de largo y 𝑥 de ancho es
de 120 cm2
. Encuentre el valor de 𝑥
𝐴 = 𝑏ℎ
120 𝑐𝑚2
= (10 cm)(𝑥)
120 𝑐𝑚2
= 10𝑥 𝑐𝑚
10𝑥 𝑐𝑚 = 120 𝑐𝑚2
𝑥 =
120 𝑐𝑚2
10 𝑐𝑚
𝑥 = 12𝑐𝑚
2. La suma de dos números enteros positivos consecutivos es igual a 45.
Encuentre esos números.
𝑥 + (𝑥 + 1) = 45
𝑥 + 𝑥 + 1 = 45
2𝑥 = 45 − 1
2𝑥 = 44
𝑥 =
44
2
𝑥 = 22
Los números son 22 y 23
3. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 70. Encuentre los
números.
2𝑥 + 2(𝑥 + 1) = 70
2𝑥 + 2𝑥 + 2 = 70
4𝑥 = 70 − 2
4𝑥 = 68
𝑥 =
68
4
= 17
Primer Número: 2𝑥 = 2(17) = 34
Segundo Número: 2(𝑥 + 1) = 2(17 + 1) = 2(18) = 36

83
16
ℎ + 4
ℎ
4. Un triángulo tiene sus tres lados de diferente medida. El primer lado tiene
una longitud igual a 16u. sabiendo que la longitud del tercer lado es 4u,
mayor que la longitud del segundo lado, encuentre las longitudes del
segundo y tercer lado, sabiendo que el perímetro es 48.
Como el perímetro es la sumatoria de todos los lados entonces
la ecuación resulta:
5. Francisco se prepara para entrar al colegio. Visita una librería para realizar
las siguientes compras: 5 cuadernos, tres lapiceros, un lápiz y un borrador de
leche. El costo total de lo comprado es de C$ 159 córdobas. Sabiendo que el
precio de un lapicero es 15 veces menor que el de un cuaderno, que el precio
de un lápiz es dos veces menor que el de un lapicero y el precio de un
borrador de leche es 2 veces mayor que un lápiz, encuentre el precio de cada
artículo.
𝑎: Cuadernos 𝑏: lapiceros 𝑐: lápiz 𝑑: borrador
El precio de un lapicero es 15 veces menor que el de un cuaderno
𝑏 =
𝑎
15
El precio de un lápiz es dos veces menor que el de un lapicero
𝑐 =
𝑏
2
El precio de un borrador de leche es 2 veces mayor que un lápiz
𝑑 = 2𝑐
16 + (ℎ + 4) + ℎ = 48
2ℎ + 20 = 48
2ℎ = 48 – 20
ℎ = 28/2
ℎ = 14
Entonces el tercer lado
mide 14u, por lo que
el segundo lado mide
14u + 4u = 18 u
Las longitudes del
triángulo son:
Primer lado: 16u
Segundo lado: 18u
Tercer lado: 14u

84
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 159
5𝑎 + 3 (
𝑎
15
) +
𝑏
2
+ 2𝑐 = 159
5𝑎 +
3
15
𝑎 +
𝑎
15
2
1
+ 2 (
𝑏
2
) = 159
5𝑎 +
1
5
𝑎 +
𝑎
30
+ 𝑏 = 159
5𝑎 +
1
5
𝑎 +
1
30
𝑎 +
1
15
𝑎 = 159
150 + 6 + 1 + 2
30
𝑎 = 159
159
30
𝑎 = 159
𝑎 = 159 (
30
159
)
𝑎 = 30
Encontrar el valor de los lapiceros
𝑏 =
𝑎
15
=
30
15
= 2
El valor de cada lápiz
𝑐 =
𝑏
2
=
2
2
= 1
El valor de cada borrador
𝑑 = 2𝑐 = 2(1) = 2

85
6. La edad de Enrique es el triple de la edad de Roberto. La edad que tenía
Enrique hace 7 años era el doble de la edad que tendrá Roberto dentro de 6
años ¿Qué edad tienen Enrique y Roberto?
𝑒: Edad de Enrique
𝑟: E edad de Enrique
La edad de Enrique es el triple de la edad de Roberto
𝑒 = 3𝑟
Enrique hace 7 años era el doble de la edad que tendrá Roberto dentro de 6 años
𝑒 − 7 = 2(𝑟 + 6)
3𝑟 − 7 = 2𝑟 + 12
3𝑟 − 2𝑟 = 12 + 7
𝑟 = 19
La edad de Enrique
𝑒 = 3𝑟
𝑒 = 3(19)
𝑒 = 57
Enrique tiene 57 años y Roberto 19.
Esto se puede comprobar de la siguiente manera:
La edad que tenía Enrique hace 7 años era el doble de la edad que tendrá Roberto dentro de
6 años
Enrique: 57 – 7 = 50
Roberto: 19 + 6 = 25 * 2 = 50

86
7. La edad de Humberto es cuatro veces mayor que la de su hija María. Si la
suma de sus edades es 65. ¿Qué edad tiene Humberto y su hija?
𝑎: Edad de Humberto
𝑏: Edad de María
La edad de Humberto es cuatro veces mayor que la de su hija María
𝑎 = 4𝑏
La suma de sus edades es 65
𝑎 + 𝑏 = 65
4𝑏 + 𝑏 = 65
5𝑏 = 65
𝑏 =
65
5
𝑏 = 13
La edad del padre
𝑎 = 4𝑏
𝑎 = 4(13)
𝑎 = 52
La edad del padre es de 52 años y su hija tiene 13 años.
8. Miguel sale en su vehículo de Managua hacia Estelí a las 8:00 am., a una
velocidad de 80 km/h. José sale en su vehículo de Estelí hacia Managua a la
misma hora, a una velocidad de 70 km/h. Si la distancia entre Managua y
Estelí es de 150 km, ¿En qué kilómetro se encontraran y a qué hora?
Tiempo1 (Vehículo de Miguel) = T1 = x/80
Tiempo2 (Vehículo de José) T2 = (150 – x)/70
T1 = T2
x/80 = (150 – x)/70
70 x = 12 000 – 80 x Entonces x= 80 km
T= 80/80 = 1 = 1 hora
Respuesta: Se encuentran a los 80 km al haber
transcurrido una hora es decir a las 9 am

87
9. En un mercado de Managua, María compra frijoles y azúcar para una
semana. Si compra 5 libras de frijoles 7 libras de azúcar en C$ 132
Córdobas, y sabiendo que el precio de la libra de frijoles es tres veces mayor
que el precio de la libra de azúcar. ¿Cuál es el precio de la libra de frijoles y
el de la libra de azúcar?
𝑎: Libra de azúcar
𝑓: Libra de frijoles
7𝑎 + 5𝑓 = 132
Sabiendo que el precio de la libra de frijoles es tres veces mayor que el precio de la libra de
azúcar.
𝑓 = 3𝑎
Entonces:
7𝑎 + 5𝑓 = 132
7𝑎 + 5(3𝑎) = 132
7𝑎 + 15𝑎 = 132
22𝑎 = 132
𝑎 =
132
22
𝑎 = 6
Encontrando el valor de la libra de frijoles:
𝑓 = 3𝑎
𝑓 = 3(6)
𝑓 = 18
La libra de azúcar vale C$ 6 y la libra de frijoles C$ 18

88
10. Un estudiante de un curso de Algebra obtiene notas de: 75, 82, 71 y 84 en
los exámenes. ¿Qué calificación en la siguiente prueba elevará su promedio
a 80?
75 + 82 + 71 + 84 + 𝑥
5
= 80
75 + 82 + 71 + 84 + 𝑥 = 80(5)
312 + 𝑥 = 400
𝑥 = 400 − 312
𝑥 = 88
Necesita una calificación de 88 puntos para obtener un promedio de 80.
11. En una cierta prueba médica diseñada para medir la tolerancia a los
carbohidratos, un adulto ingiere 7 onzas (oz) de una solución glucosa al
30%; cuando la prueba se aplica a un niño, la concentración de glucosa debe
disminuir al 20% ¿Cuánta solución de glucosa al 30% y cuánta agua se
necesita a fin de preparar 7 oz de una solución glucosa al 20%?
𝑥 Representa la cantidad de onzas de agua que se usará para preparar la solución. Como
hay que preparar 7 oz, la diferencia 7 − 𝑥 representa las onzas de la solución al 30% de
glucosa a añadirse. La cantidad de glucosa en la solución de glucosa al 30% es 0,30 (7-x)
onzas.
Como se añade agua, esta tiene una concentración del 0% de glucosa y por lo tanto la
cantidad de glucosa que aporta el agua es de 0 onzas. Las onzas de glucosa en la solución
final son 0,20 (7) = 1,4 onzas. Organizando esta información en una tabla resulta:
Cantidad (Onzas) Por ciento Onzas de Glucosa
Solución de glucosas al 30% 7 − 𝑥 0,30 30(7 − 𝑥)
Agua 𝑥 0 0𝑥 = 0
Solución de glucosa al 20% 7 0,20 0,20(7) = 1,40

89
La suma de las onzas de glucosa en la solución al 30% y las del agua deben ser iguales a las
onzas en la solución al 20%. Luego
0,30(7 − 𝑥) + 0 = 1,40
0,30(7 − 𝑥) = 1,40
2,1 − 0,30𝑥 = 1,40
−0,30 𝑥 = 1,40 − 2,1
−0,30𝑥 = −0,7
𝑥 =
−0,7
−0,30
𝑥 = 2,33
12. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor
de éste es 147. Hallar el número.
2𝑥 + 3(𝑥 + 1) + 2(𝑥 + 2) = 147
2𝑥 + 3𝑥 + 3 + 2𝑥 + 4 = 147
7𝑥 + 7 = 147
7𝑥 = 147 − 7
7𝑥 = 140
𝑥 =
140
7
𝑥 = 20
13. El digito de las unidades de un número de 2 dígitos es 5 más que el digito de
las decenas. Si el número original se divide por el número con los dígitos
invertidos, el resultado es 3/8 Encuentre el número original
Se toma 3/8, luego se multiplica por 9, tanto el numerador como el denominador, lo cual da
27/72, el cual es invertido y cinco de diferencia entre cada uno, al simplificar 3/8.

90
14. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de
Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el
siguiente problema Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la
mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente, para el
segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la
mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto
se vacío. ¿Puedes calcularlo tú?
𝑥 −
𝑥
2
− 1 =
𝑥
2
− 1
𝑥
2
− 1 −
(
𝑥
2
− 1)
2
− 1 =
𝑥
2
− 2 −
𝑥
4
+
1
2
=
𝑥
4
−
3
2
𝑥
4
−
3
2
− (
𝑥
8
−
3
4
) − 3 = 0
𝑥
4
−
3
2
−
𝑥
8
+
3
4
− 3 = 0
𝑥
4
−
𝑥
8
−
3
2
+
3
4
− 3 = 0
2𝑥 − 𝑥
8
+
(−6 + 3 − 12)
4
= 0
𝑥
8
−
15
4
= 0
𝑥
8
=
15
4
𝑥 =
15
4
(8)
𝑥 =
120
4
𝑥 = 30
Contiene 30 ciruelas.

91
15. El agua cubre el 70,8 % de la superficie terrestre, es decir cerca de 3,61 x
106
km2
. Calcula aproximadamente la superficie total de la tierra.
𝑥 =
100(3,61 x 106
𝑘𝑚2)
70,8
𝑥 =
3,61 x 108
𝑘𝑚2
70,8
𝑥 = 5 098 870,056 𝑘𝑚2
La superficie aproximada de la tierra es de 𝑥 = 5 098 870,056 𝑘𝑚2
16. Seiscientas personas asisten a presenciar el estreno de una película, los
boletos para adulto cuestan C$ 50 y los de niños C$ 20. Si la taquilla recibió
un total de C$ 24 000 ¿Cuántos niños asistieron al estreno?
𝑥: Niños
𝑦: Adultos
Los boletos para adulto cuestan C$ 50 y los de niños C$ 20 Si la taquilla
recibió un total de C$ 24 000
20𝑥 + 50𝑦 = 24000
Seiscientas personas asisten a presenciar el estreno de una película
𝑥 + 𝑦 = 600
𝑦 = 600 − 𝑥
Entonces
20𝑥 + 50𝑦 = 24000
20𝑥 + 50(600 − 𝑥) = 24 000
20𝑥 + 30 000 − 50𝑥 = 24 000
20𝑥 − 50𝑥 = 24 000 − 30 000
−30𝑥 = −6000
𝑥 =
−6000
−30
𝑥 = 200
Asistieron al estreno 200 niños.

92
17. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y
la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen
actualmente?
𝑎: Edad del novio
𝑏: Edad de la novia
Las edades de un matrimonio suman 62 años
𝑎 + 𝑏 = 62
La edad del novio estaría dada por la ecuación:
𝑎 = 62 − 𝑏
Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio
𝑎 − 10 =
𝑏 − 10
3/4
3
4
(𝑎 − 10) = 𝑏 − 10
3
4
(62 − 𝑏 − 10) = 𝑏 − 10
3
4
(−𝑏 + 52) = 𝑏 − 10
−
3
4
𝑏 + 39 = 𝑏 − 10
−
3
4
𝑏 − 𝑏 = −10 − 39
−3𝑏 − 4𝑏
4
= −49
−
7
4
𝑏 = −49
𝑏 = −49 (−
4
7
)
𝑏 =
196
7
= 28
Encontrar la edad del novio
𝑎 = 62 − 𝑏
𝑎 = 62 − 28 = 34
El novio tiene 34 años y la novia 28 años.

93
18. Miguel tiene el doble de dinero que Marlene y el triple que Meyling. Si
Miguel regalara C$ 14 a Marlene y C$ 35 a Meyling, los tres quedarían con
igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
𝑚: Miguel
𝑛: Marlene
ñ: Meyling
Miguel tiene:
𝑚 = 2𝑛
𝑚 = 3ñ
Si Miguel regalara C$ 14 a Marlene y C$ 35 a Meyling
𝑛 + 14
ñ + 35
𝑚 − 49 = 𝑛 + 14 = ñ + 35
Encontrando lo que tenía Meyling
3ñ − 49 = ñ + 35
3ñ − ñ = 35 + 49
2ñ = 84
ñ =
84
2
ñ = 42
Si ñ es igual a 42, entonces 𝑚 será igual a:
𝑚 = 3ñ
𝑚 = 3(42)

94
𝑚 = 126
Si 𝑚 vale 126, entones 𝑛 equivale a:
𝑛 =
126
2
= 63
Miguel tiene C$ 126, Marlene C$ 63 y Meyling C$ 42, al darle a Marlene C$14 y a
Meyling C$ 35 Cada uno queda con C$ 77
𝑚 = 126 − 49 = 77
𝑛 = 63 + 14 = 77
ñ = 42 + 35 = 77
19. Una persona puede pintar un muro en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una
tercera persona tarda 12 horas en pintar el mismo muro. ¿Cuánto tardarían si
la pintaran entre las tres personas?
𝑥: Horas
𝑥 =
1
5
+
1
6
+
1
12
= 1
𝑥 =
12 + 10 + 5
60
= 1
𝑥 = (
27
60
)
−1
𝑥 =
60
27
𝑥 =
20
9
𝑥 = 2,22
Tardarían dos horas con 22 minutos

95
20. Una persona percibe C$ 4 920 de salario después de restar las deducciones,
las cuales corresponden al 40% del sueldo bruto. ¿Cuál es el sueldo bruto?
𝑥 −
40
100
𝑥 = 4920
𝑥 −
4
10
𝑥 = 4920
10𝑥 − 4𝑥
10
= 4920
6𝑥
10
= 4920
3
5
𝑥 = 4920
3𝑥 = 4920(5)
3𝑥 = 24600
𝑥 =
24600
3
𝑥 = 8600
El sueldo bruto es de C$ 8 600
21. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194
2𝑥 + 2(𝑥 + 1) = 194
2𝑥 + 2𝑥 + 2 = 194
4𝑥 = 194 − 2
4𝑥 = 192
𝑥 =
192
4
𝑥 = 48
Primer número: 2𝑥 = 2(48) = 96
Segundo número: 2(𝑥 + 1) = 2(48 + 1) = 2(49) = 98

96
22. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un
cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4,6 kg ¿Cuánto pesa el pez?
Peso total de pez: 𝑥
Cabeza:
1
3
𝑥
Cola:
1
4
𝑥
Cuerpo: 4,6 𝑘𝑔
𝑥 =
1
3
𝑥 +
1
4
𝑥 + 4,6
𝑥 −
1
3
𝑥 −
1
4
𝑥 = 4,6
12 − 4 − 3
12
𝑥 = 4,6
5
12
𝑥 = 4,6
5𝑥 = 4,6(12)
5𝑥 = 55,2
𝑥 =
55,5
5
𝑥 = 11,04
El peso total del pez es de 11,04 kg
23. Un farmacéutico debe preparar 15 mililitros de gotas oftálmicas para un
paciente con glaucoma. La solución ha de tener un ingrediente activo de 2%,
pero el farmacéutico sólo tiene en existencia soluciones al 10% y 1%
¿Cuánto de cada tipo de solución requiere la elaboración de la receta?
𝑥: Cantidad de solución con una concentración del 10%, en mililitros
15 − 𝑥: Cantidad de solución con una concentración del 1%, en miligramos
10%𝑥 = 10 .
1
100
𝑥 =
1
10
𝑥
1%(15 − 𝑥) =
15 − 𝑥
100

97
2%15 = 2 .
1
100
. 15 =
30
100
=
3
10
De tal manera
1
10
𝑥 +
15 − 𝑥
100
=
3
10
1
10
𝑥 +
15
100
−
𝑥
100
=
3
10
1
10
𝑥 −
1
100
𝑥 =
3
10
−
15
100
10 − 1
100
𝑥 =
30 − 15
100
9
100
𝑥 =
15
100
9𝑥 =
15
100
(100)
9𝑥 = 15
𝑥 =
15
9
=
5
3
15 − 𝑥 = 15 −
5
3
=
45 − 5
3
=
40
3
Para preparar las gotas, se debe mezclar 5/3 mililitros de la solución del 10% y 40/3 de
solución del 1%.

98
24. Un preso dice a su carcelero: Hoy es mi cumpleaños y ni siquiera sé cuánto
me queda de mi condena. ¡Qué casualidad! También hoy es mi cumpleaños.
¿Cuántos años cumples? Veinticinco. Yo cincuenta y cuatro. Saldrás de la
cárcel el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú. ¿Cuántos años
de condena le quedan al preso?
54 + 𝑥 = 2(25 + 𝑥)
54 + 𝑥 = 50 + 2𝑥
𝑥 − 2𝑥 = 50 − 54
−𝑥 = −4
𝑥 = 4
Le quedan 4 años de condena al preso.
II. Encierre en un círculo la respuesta correcta:
1. Antonio e Iveth limpiaron una huerta en cierto tiempo, si cada uno hubiera
limpiado la mitad, Antonio habría trabajado cinco días menos, mientras
Iveth hubiera trabajado siete días más. ¿En cuánto tiempo limpiaron la
huerta Antonio e Iveth?
a. 7 días
b. 35 días
c. 12 días
d. 4 días
e. 10 días
1
2 (𝑥 − 5)
+
1
2 (𝑥 + 7)
=
1
𝑥
𝑥 + 7 + 𝑥 − 5
2(𝑥 − 5)(𝑥 + 7)
=
1
𝑥
→
2𝑥 + 2
2(𝑥 − 5)(𝑥 + 7)
=
1
𝑥
→
2(𝑥 + 1)
2(𝑥 − 5)(𝑥 + 7)
=
1
𝑥
𝑥(𝑥 + 1) = (𝑥 + 7)(𝑥 − 5) → 𝑥2
+ 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 35
𝑥 − 2𝑥 = −35 → −𝑥 = −35 → 𝑥 = 35

99
2. La ruta 119 de transporte urbano colectivo de Managua, comienza su
trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden
1/3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden ½ de los
pasajeros que quedaron y subieron 2. En ese momento el bus lleva la mitad
de pasajeros de los que llevaba al inicio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros
había al principio del trayecto?
a. 100
b. 50
c. 36
d. 18
e. 20
Sea 𝑥 el total de pasajeros al inicio
En la primera parada descienden
1
3
𝑥 y suben 8
Es decir quedan:
𝑥 −
1
3
𝑥 + 8 ⇒
2
3
𝑥 + 8
En la segunda parada descienden
1
2
𝑥 de los pasajeros que quedaron y subieron 2. Y al final
queda la mitad del número de pasajeros inicial.
Es decir:
1
2
(
2
3
𝑥 + 8) + 2 =
1
2
𝑥
1
3
𝑥 + 4 + 2 =
1
2
𝑥
1
3
𝑥 −
1
2
𝑥 = −6
−1
6
𝑥 = −6 ⇒ 𝑥 = −6 (−
6
1
) ⇒ 𝑥 = 36

100
3. El latón es una aleación de cobre y zinc; el bronce es una aleación de Cu, Zn
y Sn, el bronce es una aleación que contiene el 80% de cobre, 4% de zinc y
16% de estaño. Analizando una masa fundida de latón y bronce vemos que
contiene 74% de cobre, 16% zinc y 10% de estaño. Hallar la razón del cobre
al zinc en la composición del latón.
a.
9
16
b.
9
4
c.
16
9
d.
4
9
e.
9
14
Cobre Zinc Estaño
Bronce 80% 0,80 4/5 4% 0,04 1/25 16% 0,16 4/25
Latón y bronce 74% 0,74 37/50 16% 0,16 4/25 10% 0,10 1/10
En el cobre hay una diferencia de 6% = 0,06 = 3/50
En el Zinc hay una diferencia de 12% = 0,12 = 3/25
Razón del cobre al zinc en la composición del latón seria de 4/9

101
4. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40m. calcular la
medida del lado del cuadrado.
a. 100
b. 20
c. 40
d. 10
e. 25
Lado cuadrado:
𝑥
El perímetro del cuadrado se sabe que es 4 veces el lado, entonces:
Perímetro inicial:
4𝑥
Perímetro nuevo:
4 . 2𝑥
4 . 2𝑥 = 4𝑥 + 40
8𝑥 = 4𝑥 + 40
8𝑥 − 4𝑥 = 40
4𝑥 = 40
𝑥 =
40
4
𝑥 = 10

102
5. ¿Cuántos litros de alcohol al 90% habrá que mezclarlos con alcohol al 70%
para obtener 10 litros de solución de alcohol al 85%?
a. 7 litros
b. 7,5 litros
c. 6 litros
d. 6,5 litros
e. 9 litros
Sea:
𝐿1: Litros de alcohol al 90%
𝐿2: Litros de alcohol al 70%
𝐿1 + 𝐿2 = 10
𝐿1 = 10 − 𝐿2
Sustituyendo
90𝐿1 + 70𝐿2 = 85(10)
90(10 − 𝐿2) + 70𝐿2 = 850
900 − 90𝐿2 + 70𝐿2 = 850
−20𝐿2 = 850 − 900
𝐿2 =
−50
−20
= 2,5
𝐿1 = 10 − 2,5
𝐿1 = 7,5
Si mezclas 7,5 litros de alcohol al 90% con 2,5 litros de alcohol al 70% obtendrás 10 litros
de alcohol al 85%

103
III. Los diagramas que se presentan a continuación, diga cuales representan una
función.
Una función es una relación en la cual a cada
elemento del dominio le corresponde un único
elemento del recorrido o imagen.
Los ejemplos 1, 2, 4, 5 son funciones
IV. Sean los conjuntos 𝐴 = {2, 4, 6} y 𝐵 = {3, 5}
1. Realizar el producto cartesiano
𝐴 × 𝐵 = {2,3 ; 2,5 ; 4,3 ; 4,5 ; 6,3 ; 6,5}
2. Definir el dominio de la relación obtenida
𝐷 = {2, 4, 6} → 𝐷 ∈ ℝ
3. Definir el rango de la relación obtenida
𝐼 = {3, 5} → 𝐼 ∈ ℝ
4. Representar la pareja de pares ordenados en un plano cartesiano7
7
Se utilizó GeoGebra

104
V. Para 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 5𝑥 + 2; y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥, obtener:
1. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥2
+ 5𝑥 + 2 + 𝑥2
+ 𝑥
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥2
+ 𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑥 + 2
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 4𝑥2
+ 6𝑥 + 2
2. (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥2
+ 5𝑥 + 2 − (𝑥2
+ 𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥2
+ 5𝑥 − 𝑥 + 2
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2
+ 4𝑥 + 2
3. (𝑓. 𝑔)(𝑥) =
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = (3𝑥2
+ 5𝑥 + 2)(𝑥2
+ 𝑥)
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 3𝑥4
+ 3𝑥3
+ 5𝑥3
+ 5𝑥2
+ 2𝑥2
+ 2𝑥
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 3𝑥4
+ 8𝑥3
+ 7𝑥2
+ 2𝑥
4.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
3𝑥2
+ 5𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥
=
(𝑥 + 1)(3𝑥 + 2)
𝑥(𝑥 + 1)
=
3𝑥 + 2
𝑥
VI. Para 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−1
; y 𝑔(𝑥) = √1 + 𝑥2, encuentre:
a. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
𝑥
𝑥 − 1
+ √1 + 𝑥2
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
𝑥 + (𝑥 − 1)(√1 + 𝑥2)
𝑥 − 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
𝑥 + 𝑥√1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥2
𝑥 − 1
b. (
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
𝑥
𝑥 − 1
√1 + 𝑥2
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
𝑥
(𝑥 − 1)(√1 + 𝑥2)
=
𝑥
√1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥2

105
c. (𝑓. 𝑔)(𝑥) =
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = (
𝑥
𝑥 − 1
) (√1 + 𝑥2)
(𝑓. 𝑔)(𝑥) =
𝑥√1 + 𝑥2
𝑥 − 1
VII. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
, calcule:
a. 𝑓[𝑔(𝑥)] y 𝑔[𝑓(𝑥)]
𝑓[𝑔(𝑥)] = (𝑥2)2
− 5(𝑥2) + 3
𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑥4
− 5𝑥2
+ 3
𝑔[𝑓(𝑥)] = (𝑥2
− 5𝑥 + 3)2
Para este caso se utilizará una regla matemática, la cual es el de un trinomio al cuadrado.
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
𝑔[𝑓(𝑥)] = (𝑥2
− 5𝑥 + 3)2
𝑔[𝑓(𝑥)] = (𝑥2)2
+ (5𝑥)2
+ (3)2
− 2(𝑥2)(5𝑥) + 2(𝑥2)(3) − 2(5𝑥)(3)
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥4
+ 25𝑥2
+ 9 − 10𝑥3
+ 6𝑥2
− 30𝑥
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥4
+ 31𝑥2
+ 9 − 10𝑥3
− 30𝑥
b. Calcula:
 𝑓[𝑔(4)]
𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑥4
− 5𝑥2
+ 3
𝑓[𝑔(4)] = (4)4
− 5(4)2
+ 3
𝑓[𝑔(4)] = 256 − 80 + 3
𝑓[𝑔(4)] = 179
 𝑔[𝑓(4)]
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥4
+ 31𝑥2
+ 9 − 10𝑥3
− 30𝑥
𝑔[𝑓(4)] = (4)4
+ 31(4)2
+ 9 − 10(4)3
− 30(4)
𝑔[𝑓(4)] = 256 + 31(16) + 9 − 10(64) − 120
𝑔[𝑓(4)] = 256 + 496 + 9 − 640 − 120 = 1

106
 𝑔[𝑓(−2)]
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥4
+ 31𝑥2
+ 9 − 10𝑥3
− 30𝑥
𝑔[𝑓(−2)] = (−2)4
+ 31(−2)2
+ 9 − 10(−2)3
− 30(−2)
𝑔[𝑓(−2)] = 16 + 31(4) + 9 + 80 + 60
𝑔[𝑓(−2)] = 16 + 124 + 9 + 140
𝑔[𝑓(−2)] = 140 + 9 + 140
𝑔[𝑓(−2)] = 280 + 9
𝑔[𝑓(−2)] = 289
 𝑓[𝑔(−2)]
𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑥4
− 5𝑥2
+ 3
𝑓[𝑔(−2)] = (−2)4
− 5(−2)2
+ 3
𝑓[𝑔(𝑥)] = 16 − 5(4) + 3
𝑓[𝑔(𝑥)] = 16 − 20 + 3
𝑓[𝑔(𝑥)] = −4 + 3
𝑓[𝑔(𝑥)] = −1
 (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑥)
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑓[𝑓(𝑥)]
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 3
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥2
− 5𝑥 + 3)2
− 5(𝑥2
− 5𝑥 + 3) + 3
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4
+ 31𝑥2
+ 9 − 10𝑥3
− 30𝑥 − 5𝑥2
+ 25𝑥 − 15 + 3
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4
− 10𝑥3
+ 31𝑥2
− 5𝑥2
− 30𝑥 + 25𝑥 + 9 − 15 + 3
(𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4
− 10𝑥3
+ 26𝑥2
− 5𝑥 − 3
 (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥)
( 𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑔[𝑔(𝑥)]
( 𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑥2
( 𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = (𝑥2)2
( 𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑥4

107
VIII. Represente gráficamente las funciones8
:
a. 𝑦 = 3𝑥 + 6
b. 𝑦 = −2𝑥 − 4
c. 𝑦 = 4𝑥 + 5
8
d. 𝑦 = 8 − 3𝑥
e. 𝑦 = −3𝑥

108
IX. Represente las funciones lineales sabiendo que 𝑦 es la variable dependiente9
:
a. 2𝑥 = 3𝑦
𝑦 =
2
3
𝑥
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦
−
4
3
−
2
3
0 2
3
4
3
b. 3𝑦 = 4𝑥 + 5
𝑦 =
4
3
𝑥 +
5
3
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 −1 1
3
5
3
3 13
3
c. 2𝑥 = 𝑦 − 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 −3 −1 1 3 5
d. 8𝑥 + 2𝑦 = 16
𝑦 = −4𝑥 + 8
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 16 12 8 4 0
9

109
e. 6𝑥 − 𝑦 = 2
𝑦 = 6𝑥 − 2
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 −14 −8 −2 4 10
f. 2𝑥 + 1 = 5𝑦
𝑦 =
2
5
𝑥 +
1
5
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦
−
3
5
−
1
5
1
5
3
5
1
g. 𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 − 3
𝑦 = 3𝑥 − 3
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 −9 −6 −3 0 3
h.
1
2
𝑥 + 7 = 𝑦 − 10
𝑦 =
1
2
𝑥 + 17
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 16 33
2
17 35
2
18

110
i. 8𝑥 + 6 = 2 − 3𝑦
𝑦 = −
8
3
𝑥 −
4
3
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 4 4
3
−
4
3
−4
−
20
3
j. 6𝑦 − 𝑥 = 0
𝑦 =
1
6
𝑥
𝑥 −12 −6 0 6 12
𝑦 −2 −1 0 1 2
X. Sean 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} y 𝐵 = {1,3,5,7,9}
Calcule:
a. 𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
= {
1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1; 2,3; 2,5; 2,7; 2,9; 3,1; 3,3; 3,5; 3,7; 3,9; 4,1; 4,3; 4,5; 4,7; 4,9;
5,1; 5,3; 5,5; 5,7; 5,9; 6,1; 6,3; 6,5; 6,7
}
𝐷 = {1,2,3,4,5,6} → 𝐷 ∈ ℕ
𝑛⁄ = 1,2, … 6
𝐼 = {1,3,5,7,9} → 𝐼 ∈ ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
b. 𝐵 × 𝐴
𝐵 × 𝐴
= {
1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 7,1; 7,2
7,3; 7,4; 7,5; 7,6; 9,1; 9,2; 9,3; 9,4; 9,5; 9,6
}
𝐷 = {1,3,5,7,9} → 𝐼 ∈ ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝐼 = {1,2,3,4,5,6} → 𝐷 ∈ ℕ
𝑛⁄ = 1,2, … 6

111
c. 𝐴 × 𝐴
𝐴 × 𝐴
= {
1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 4,1; 4,2; 4,3;
4,4; 4,5; 4,6; 5,1; 5,2; 5,3; 4,4; 5,5; 5,6; 6; 1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6
}
𝐷 = {1,2,3,4,5,6} → 𝐷 ∈ ℕ
𝑛⁄ = 1,2, … 6
𝐼 = {1,2,3,4,5,6} → 𝐷 ∈ ℕ
𝑛⁄ = 1,2, … 6
d. 𝐵 × 𝐵
𝐵 × 𝐵
= {
1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 3,1; 3,3; 3,5; 3,7; 3,9; 5,1; 5,3; 5,5; 5,7; 5,9; 7,1; 7,3; 7,5; 7,7; 7,9;
9,1; 9,3; 9,5; 9,7; 9,9
}
𝐷 = {1,3,5,7,9} → 𝐼 ∈ ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
𝐼 = {1,3,5,7,9} → 𝐼 ∈ ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
XI. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
3𝑥 = 10 − 1
3𝑥 = 9
𝑥 =
9
3
= 3
3𝑥 + 5𝑥 = 2 − 10
8𝑥 = −8
𝑥 = −
8
8
= −1
a. 3𝑥 + 1 = 10
b. 3𝑥 + 10 = −5𝑥 + 2
−10𝑥 − 6𝑥 = −3 − 17
−16𝑥 = −20
𝑥 = −
20
−16
𝑥 =
5
4
11𝑥 − 10𝑥 = −11 − 6
𝑥 = −17
c. 8 − 10𝑥 + 9 = 6𝑥 − 3
d. 6 + 11𝑥 = 10𝑥 − 11
12𝑥 − 9 = 2𝑥 − 10
12𝑥 − 2𝑥 = −10 + 9
10𝑥 = −1
𝑥 = −
1
10
30 − 20𝑥 = 2𝑥 − 4
−22𝑥 = −34
𝑥 =
34
22
=
17
1
e. 3(4𝑥 − 3) = 2(𝑥 − 5)
f. 5(6 − 4𝑥) =
1
2
(4𝑥 − 8)

112

113
UNIDAD VI. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS
GEOMÉTRICAS
I. Calcule:
a. La longitud de una circunferencia, sabiendo que su radio tiene una longitud
de 5u.
𝐿 = 2𝜋𝑟
𝐿 = 2(3,1416)(5𝑢)
𝐿 = 31,416 𝑢
b. El radio de una circunferencia sabiendo que su longitud es 24 u
𝑟 =
𝐿
2𝜋
𝑟 =
24
2(3,1416)
𝑟 = 3,81 𝑢
c. La longitud de la apotema de un pentágono regular, sabiendo que su lado
tiene una medida de 6u y el radio de la circunferencia circunscrita tiene una
medida de 4u
𝑎 = √ 𝑟2 − (
ℓ
2
)
2
𝑎 = √(4𝑢)2 − (
6𝑢
2
)
2
𝑎 = √16𝑢2 − (3𝑢)2
𝑎 = √16𝑢2 − 9𝑢2
𝑎 = √7𝑢2
𝑎 = 2,64𝑢
𝑎 = 3𝑢

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