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Geometría
Elementos geométricos básicos
Punto
• Es una figura geométrica sin dimensiones.
• No tiene ancho, alto ni largo.
• Describe una posición en el plano o el espacio.
A
Plano
• Un plano es un objeto ideal que solo posee
dos dimensiones.
• Contiene infinitos puntos y rectas.
• Las figuras que pueden ser incluidas
totalmente en un plano se denominan figuras
planas.
Sólidos
• Los sólidos son figuras geométricas de tres
dimensiones (largo, ancho y alto)
• Ocupan un lugar en el espacio y por tanto
tienen un volumen.
Recta
• Una recta se extiende indefinidamente en una
dirección y por tanto únicamente tiene una
dimensión.
• Una recta no tiene ancho.
r
Segmento
• Un segmento es la parte de una recta que se
encuentra entre dos puntos.
• Los puntos se denominan extremos del
segmento.
r
B
A 𝑨𝑩
Posición de dos rectas
• En un mismo plano, dos rectas pueden ser
paralelas o secantes:
– Paralelas: no tienen puntos en común
– Secantes: tienen un punto en común.
r
s
t
Las rectas r y s son secantes
Las rectas s y t son paralelas
Semirrecta
• Una semirrecta es cada una de las partes en
queda dividida una recta por uno de sus
puntos.
• Una semirrecta comienza en un punto y se
extiende indefinidamente en un sentido.
r1
r2
A
Ángulo
• Un ángulo es la parte del plano comprendida
entre dos semirrectas que tienen el mismo
punto de origen o vértice.
r1
r2
V Ángulo
Amplitud de un ángulo
• Se denomina amplitud de un ángulo a la
medida de éste.
• Las unidades de medida que se suelen utilizar
son el grado sexagesimal y el radián (usado en
el Sistema Internacional de Unidades).
• Equivalencias:
– 1 vuelta 2π radianes
– 1 vuelta 360o
360o
2π rad
Medida de ángulos
60o
Ángulo recto y rectas perpendiculares
• Un ángulo recto es una cuarta parte de un
ángulo completo, es decir, mide 90o.
• Dos rectas se dicen perpendiculares si son
secantes y forman ángulos rectos.
90o
90o
90o
90o
Este símbolo indica que dos elementos
geométricos son perpendiculares entre sí.
Ángulos: definiciones
• Un ángulo es agudo si es menor de 90o.
• Un ángulo es obtuso si está entre 90o y 180o
• Dos ángulos son complementarios si su suma
es de 90o .
• Dos ángulos son suplementarios si su suma es
de 180o
Ejemplos
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo obtuso
Ángulo llano
60o
30o
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
45o
135o
Ángulos que forman dos rectas
• Dos rectas secantes no perpendiculares forman cuatro ángulos iguales dos
a dos.
• Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes.
• Los ángulos que tienen la misma medida se denominan opuestos por el
vértice.
r1
r2
Ángulos adyacentes
Ángulos opuestos por el vértice
Rectas transversales
• Una recta que interseca a otras dos en puntos distintos se denomina
transversal.
• Cuando las dos rectas son paralelas se forman dos pares de cuatro ángulos
iguales.
r2
r1
s
Las rectas r1 y r2 son
paralelas y la recta s es
transversal.
La recta s forma con r1 y
r2 ocho ángulos, 4 agudos
y 4 obtusos que son
iguales.
Circunferencia: definición
• Una circunferencia son todos los puntos del
plano que se encuentran a la misma distancia
de un punto, llamado radio.
• El compás se utiliza para trazar circunferencias
y para trasladar distancias.
Radio
Centro
Circunferencia
Compás
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y
COMPAS
Definición
• Una construcción con regla y compás es una descripción rigurosa del
procedimiento para construir un elemento geométrico que verifica una
lista de restricciones utilizando regla y compás, además de otras
construcciones geométricas ya conocidas.
• Se consideran básicas las siguientes cinco construcciones:
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– Crear una circunferencia con un centro ya dado y que pasa por otro punto ya existente
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Mediatriz de un segmento
Construcción:
1. Trazar la circunferencia con centro en
A y de longitud la del segmento.
2. Trazar la circunferencia con centro en
B y de longitud la del segmento
3. La mediatriz es la recta que une los
puntos de corte de las dos
circunferencias.
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Elementos básicos de geometría

  • 2. Punto • Es una figura geométrica sin dimensiones. • No tiene ancho, alto ni largo. • Describe una posición en el plano o el espacio. A
  • 3. Plano • Un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones. • Contiene infinitos puntos y rectas. • Las figuras que pueden ser incluidas totalmente en un plano se denominan figuras planas.
  • 4. Sólidos • Los sólidos son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto) • Ocupan un lugar en el espacio y por tanto tienen un volumen.
  • 5. Recta • Una recta se extiende indefinidamente en una dirección y por tanto únicamente tiene una dimensión. • Una recta no tiene ancho. r
  • 6. Segmento • Un segmento es la parte de una recta que se encuentra entre dos puntos. • Los puntos se denominan extremos del segmento. r B A 𝑨𝑩
  • 7. Posición de dos rectas • En un mismo plano, dos rectas pueden ser paralelas o secantes: – Paralelas: no tienen puntos en común – Secantes: tienen un punto en común. r s t Las rectas r y s son secantes Las rectas s y t son paralelas
  • 8. Semirrecta • Una semirrecta es cada una de las partes en queda dividida una recta por uno de sus puntos. • Una semirrecta comienza en un punto y se extiende indefinidamente en un sentido. r1 r2 A
  • 9. Ángulo • Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. r1 r2 V Ángulo
  • 10. Amplitud de un ángulo • Se denomina amplitud de un ángulo a la medida de éste. • Las unidades de medida que se suelen utilizar son el grado sexagesimal y el radián (usado en el Sistema Internacional de Unidades). • Equivalencias: – 1 vuelta 2π radianes – 1 vuelta 360o 360o 2π rad
  • 12. Ángulo recto y rectas perpendiculares • Un ángulo recto es una cuarta parte de un ángulo completo, es decir, mide 90o. • Dos rectas se dicen perpendiculares si son secantes y forman ángulos rectos. 90o 90o 90o 90o Este símbolo indica que dos elementos geométricos son perpendiculares entre sí.
  • 13. Ángulos: definiciones • Un ángulo es agudo si es menor de 90o. • Un ángulo es obtuso si está entre 90o y 180o • Dos ángulos son complementarios si su suma es de 90o . • Dos ángulos son suplementarios si su suma es de 180o
  • 14. Ejemplos Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano 60o 30o Ángulos complementarios Ángulos suplementarios 45o 135o
  • 15. Ángulos que forman dos rectas • Dos rectas secantes no perpendiculares forman cuatro ángulos iguales dos a dos. • Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes. • Los ángulos que tienen la misma medida se denominan opuestos por el vértice. r1 r2 Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice
  • 16. Rectas transversales • Una recta que interseca a otras dos en puntos distintos se denomina transversal. • Cuando las dos rectas son paralelas se forman dos pares de cuatro ángulos iguales. r2 r1 s Las rectas r1 y r2 son paralelas y la recta s es transversal. La recta s forma con r1 y r2 ocho ángulos, 4 agudos y 4 obtusos que son iguales.
  • 17. Circunferencia: definición • Una circunferencia son todos los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto, llamado radio. • El compás se utiliza para trazar circunferencias y para trasladar distancias. Radio Centro Circunferencia Compás
  • 19. Definición • Una construcción con regla y compás es una descripción rigurosa del procedimiento para construir un elemento geométrico que verifica una lista de restricciones utilizando regla y compás, además de otras construcciones geométricas ya conocidas. • Se consideran básicas las siguientes cinco construcciones: – Crear un segmento entre dos puntos preexistentes – Crear una circunferencia con un centro ya dado y que pasa por otro punto ya existente – Crear un punto donde dos rectas se cortan – Crear los puntos donde una recta y una circunferencia se cortan – Crear dos puntos donde se cortan dos circunferencias
  • 20. Mediatriz de un segmento Construcción: 1. Trazar la circunferencia con centro en A y de longitud la del segmento. 2. Trazar la circunferencia con centro en B y de longitud la del segmento 3. La mediatriz es la recta que une los puntos de corte de las dos circunferencias. Definición: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a aquel que pasa por su punto medio. 1 2 3
  • 21. Bisectriz de un ángulo Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman un ángulo Construcción: 1. Con centro el vértice del ángulo, trazar una circunferencia. 2. Con centro en los puntos de corte de la circunferencia y las semirrectas trazar dos circunferencias del mismo radio. 3. Trazar la recta que pase por el punto de intersección de las anteriores circunferencias y el vértice del ángulo 1 2 3
  • 22. Recta tangente a una circunferencia • Una recta r se dice que es secante a una circunferencia cuando tiene dos puntos comunes con ella. • Una recta t es tangente a una circunferencia cuando tiene un solo punto en común con ella.
  • 23. Recta tangente en un punto de una circunferencia Problema: Dado un punto de una circunferencia dibujar su recta tangente Construcción: 1. Trazamos una recta pasando por el centro y el punto 2. Con centro en el punto, trazamos una circunferencia con centro en el punto y radio el de la circunferencia original. 3. Construimos la mediatriz del segmento formado por los dos centros de las circunferencias 1 2 3
  • 24. Construcción de una circunferencia conocidos tres puntos Problema: Nos proporcionan tres puntos de una circunferencia y debemos construir la circunferencia que pasa por ellos. Construcción: 1. Dibujamos dos segmentos que unan dos puntos. 2. Trazamos las mediatrices. 3. El punto de corte de las anteriores rectas será el centro de la circunferencia. 1 2 3