derivadas

1. 9.1
Límite de una Función

2. Motivación del concepto de Límite
◆ Históricamente el concepto de límite es motivado
básicamente por los dos siguientes problemas:
1. Encontrar la PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
a la gráfica de una función “ f “.
t
y
T
f

3. Motivación del concepto de límite
◆ Históricamente el concepto de límite es motivado
básicamente por los dos siguientes problemas:
2. Encontrar el ÁREA UNA REGIÓN PLANA encerrada
por una curva cerrada arbitraria.
t
y
R

4. Motivación del concepto de límite
◆ El estudio de la PENDIENTE DE LA RECTA
TANGENTE motivó el desarrollo del cálculo
diferencial, el cual estudia el concepto de derivada
de una función.
◆ El estudio del cálculo del área motivó el desarrollo
del cálculo integral, el cual estudia el concepto de
antiderivada o integral de una función.
EL CÁLCULO DIFERENCIAL Y CÁLCULO INTEGRAL
dependen de la importancia del concepto de límite, que
estudiaremos a continuación.

5. Definición intuitiva de un límite.
◆ Consideremos una función g(t), la cual mide la velocidad
promedio de un auto:
=
𝟒 𝟐𝟐 − 𝟒
𝟐 − 𝟐
=
𝟒 𝟒 − 𝟒
𝟎
=
𝟎
𝟎
◆ Queremos encontrar el valor de g(t) tan aproximado como
sea posible cuando “t ” está muy próximo de 2.
✦ Primero tomamos valores de “t” que aproximan a 2 desde
la derecha y vemos que g(t) está muy próximo de 16.,
✦ Similarmente, totamos valores de “t” que estén muy
próximo de 2 desde la izquierda, vemos que g(t) está muy
próximo de 16.
t 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001
g(t) 18 16.4 16.04 16.004 16.0004
t 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999
g(t) 14 15.6 15.96 15.996 15.9996

6. Definición intuitiva de límite
◆ Observamos que en ambos casos, g(t) se aproxima de 16
cuando “t” está muy próximo de 2.
◆ Cuando esto ocurre, decimos que el límite de g(t)
cuando “t” está próximo de “2” es igual a 16. Lo cual es
denotado de la forma siguiente:
◆ IMPORTANTE, observar que “t =2” no está en el
dominio de la función g(t).

7. Límite de un función
◆ La función f(x) tiene un límite “L” cuando “x” está muy
próximo de “a”, denotado por:
◆ Si el valor de “f(x)” toma valores muy próximos a “L”
cada vez que tomamos valores de “x” muy próximos
(pero no igual) al valor de “a”.

8. Ejemplos
◆ Sea f(x) = x3. Evaluate
Solución:
◆ Gráficamente podemos
observar que “f(x)” está muy
próximo de 8 cuando
tomamos valores de “x” muy
próximos de 2.
◆ Entonces:
–2 –1 1 2
3
8
6
4
2
–2
x
y f(x) = x3

9. Ejemplos
◆ Sea . Evaluar
Solution
–2 –1 1 2
3
5
3
1
x
y
g(x)
◆ Del gráfico se observa que
g(x) cestá muy próximo de
3 cuando tomamos valores
de x suficientemente cerca
a 1.
◆ Entonces:

10. Ejemplos
◆ Sea Evaluar:
Solution
–2 –1 1
2
5
x
y
◆ El gráfico muestra que
cuando x está muy próximo
de 0 por ambos lados, f(x)
crece infinitamente sin cota
es decir, no se aproxima a
ningún número real
específico.
◆ En estos casos decimos que
el límite de f(x) dno existe
cuando x está próximo de 0.

11. Teorema 1
Propiedades de los límites.
Suponga que existen: y
Entonces, se cumplen:
1. r : número real.
2. c: número real.
3.
4.
5. siempre que M ≠ 0

12. Ejemplos
◆ Use el Teorema 1 para evualuar los siguientes límites:

13. Examples
◆ Use el Teorema 1 para calcular los siguientes límites:

14. Formas Indeterminadas
◆ Consideremos el siguiente límite:
Si aplicamos la Propiedad 5 del Teorema 1, resulta:
◆ En estos casos, decimos que el límite del cociente f(x)/g(x)
cuando x se aproxima 2 tiene la forma indeterminada 0/0.

15. Estrategias para evaluar Formas Indeterminadas
1. Reemplazar la función original por otra
función que sea más apropiada que toma los
mismos valores que la función original excepto
en x = a.
2. Evaluar tel límite de la nueva función cuando x
está muy próximo de a.

16. Ejemplo
◆ Evaluar:
Solución
◆ Hemos visto que tiene la forma indeterminada 0/0.
◆ La expresión original puede expresarse como sigue:
x ≠ 2
◆ Entonces, podemos decir que:
◆ Note que 16 is el mismo valor obtenido al tabular la
expresión original para diferentes valores de “x” muy
próximos de “2”.

17. Ejemplos
◆ Evaluar:
Solución
◆ El gráfico de abajo muestra que las dos funciones tienen el
mismo gráfico, excepto para el valor x = 2:
20
16
12
8
4
x
y
–3 –2 –1
1 2 3
20
16
12
8
4
x
y
–3 –2 –1
1 2 3

18. Ejemplos
◆ Evaluar:
Solución
◆ Puede observarse que tiene la forma indeterminada 0/0.
◆ Restringiendo h ≠ 0, entonces, podemos escribir:
◆ Luego, podemos decir que:

19. Limites en el infinito
◆ Existen ocasiones donde queremos saber si f(x) se
aproxima a un único número real cuando x crece
indefinidamente.
◆ En el gráfico mostrado, cuando x crece indefinidamente,
observamos que f(x) se aproxima al número real 400.
◆ En estos casos, decimos que la recta y = 400 es una
asíntota horizontal.
◆ Es expresado como sigue:
y decimos que 400 es el
límite de la función en el
infinito.
400
300
200
100
x
y
10 20
30 40 50
60

20. Ejemplo
◆ Considere la función:
◆ Determine que sucede con f(x) cuando x tiende para el
infinito (es decir, crece indefinidamente).
Solución:
◆ Tabulando para diversos valores de x y sustituyendo en la
función, obtenemos los siguientes valores para f(x) :
◆ Vemos que si x toma valores cada vez mayores, f(x) toma
valores cada vez más cercanos a 2.
◆ Entonces, podemos decir que:
x 1 2 5 10 100 1000
f(x) 1 1.6 1.92 1.98 1.9998 1.999998

21. Limite de una función en el infinito
◆ La función f tiene límite L cuando x crece
indefinidamente (cuando x se aproxima al infinito),
denotado por:
si f(x) se encuentra arbitrariamente cerca a L cuando x
toma valores arbitrariamente grandes.
◆ Análogamente, la función f tiene límite M cuando x
decrece indefinidamente, denotado por:
si f(x) puede aproximarse arbitrariamente cerca a M
cuando x toma valores arbitrariamente pequeños.

22. Ejemplos
◆ Sea
◆ Evaluar y
Solución:
◆ Al graficar f(x) se observa que:
1
–1
x
y
–3
3

23. Ejemplos
◆ Sea
◆ Evaluar y
Solución
◆ Graficando g(x) se observa que:
x
y
–3 –2 –1
1 2 3

24. Teorema 2
Propiedades de límites
Para todo n > 0:
y
◆ Todas las propiedades del Teorema 1 son válidas
cuando a es reemplazado por ∞ o –∞.
◆ Adicionalmente se tienen las siguientes
propiedades para límites en el infinito:

25. Ejemplos
◆ Evaluar
Solución
◆ Los límites del numerador y denominador no existen
cuando x se aproxima al infinito, entonces la propiedad 5
NO ES aplicable.
◆ Para encontrar la solución procedemos a dividir el
numerador y denominador por x3, resultando:

26. Ejemplos
◆ Evaluar
Solución
◆ Nuevamente, la propiedad 5 NO Es aplicable.
◆ Al igual que en el ejemplo anterior, dividimos numerador y
denominator por x2, resultando:

27. Ejemplos
◆ Evaluar
Solución:
◆ La propiedad 5 NO ES aplicable.
◆ Si dividimos numerador y denominador by x2 se obtiene:
◆ En otras palabras, para estos casos decimos que el límite
no existe.
◆ Esto es denotado por:

28. 9.2
Límites laterales y continuidad

29. Límites Laterales
◆ Considere la función:
◆ Su gráifco muestra que
f NO TIENE UN
LÍMITE cuando x está
próximo de cero,
porque al aproximanos
a cero por cada lado se
obtienen resultados
diferentes.
1
–1
x
y
–1
1

30. Límites Laterales
◆ Considere la función:
◆ Si restringimos x a tomar
valores mayores que cero (a la
derecha de cero), vemos que f(x)
está muy próximo de 1 cuando
damos valores a x próximos 0.
◆ En este caso, decimos que límite
lateral a la derecha de f cuando
x está próximo de 0 es 1,
denotado por:
1
–1
x
y
–1
1

31. Límites Laterales
◆ Considere la función:
◆ Análogamente, si restringimos a x
a tomar valores menores que cero
(a la izquierda de cero), vemos
que f(x) está muy próximo de –1
cuando x está próximo de 0.
◆ En este caso, decimos que el
límite lateral a la izquierda de f
cuando x está próximo de 0 es – 1,
denotado por:
1
–1
x
y
–1
1

32. Límites Laterales
◆ La función f tiene límite lateral a la derecha L cuando
x se aproxima por la derecha de a, denotado por:
si los valores de f(x) están muy cercanos a L cuando
tomamos valores de x suficientemente cerca a (pero
no igual a) a y a la derecha de a.
◆ Similarmente, la función f tiene Límite lateral a la
izquierda L cuando x se aproxima por la izquierda de
a , denotado por:
si los valores de f(x) se aproximan a L cuando
tomamos valores de x suficientemente cerca a (pero
no igual a) a y a la izquierda de a.

33. Teorema 3
Propiedades de Límites
◆ Sea f una función que está definida para todos los
valores de x cercanos a x = a con la posible excepción
que f también esté definida para x = a . Entonces:
◆ La conexión entre Límites laterales y el concepto de
límite definido anteriormente es dado por el siguiente
teorema:

34. – 2 –1
1 2
Ejemplo
◆ Muestre que existe analizando los límites
laterales de f cuando x está muy próximo de 0:
Solución:
◆ Para x > 0, tenemos:
◆ Y para x ≤ 0, se tiene que:
◆ Por tanto:
2
1
x
y

35. Funciones continuas
◆ La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico
se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni
huecos.
◆ Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :
◆ Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
✦ En x = a, f no está definida (x = a no está en el dominio de f ).
a
x
y

36. Funciones continuas
◆ La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico
se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni
huecos.
◆ Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :
◆ Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
✦ En x = b, f(b) no es igual al límite de de f(x) cuando x está muy
próximo de b.
a
x
y
b

37. Funciones continuas
◆ La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico
se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni
huecos.
◆ Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :
◆ Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
✦ En x = c, la función no tiene límite, porque los límites laterales a
la izquierda y derecha son diferentes.
x
y
b c

38. Funciones continuas
◆ La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico
se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni
huecos.
◆ Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :
◆ Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
✦ En x = d, the límite de la función no existe, resultando en un
corte(quiebre) a la gráfica de la función.
x
y
c d

39. Continuidad de una función en un punto x = a
◆ Una función f es continua en un número x = a
si las siguientes condiciones son satisfechas:
1. f(a) está defineda.
2.
3.
◆ Si f no es continua en x = a, entonces f is
llamada discontinua en x = a.
◆ Además, f es continua sobre un intervalo si
f es continua en todo punto del intervalo.

40. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución
◆ La función f es continua en todo punto porque las tres
condiciones de continuidad son satisfechas para todos los
valores de x.
– 2 –1
1 2
5
4
3
2
1
x
y

41. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función g is discontinua en x = 2 porque g is no está
definidad en ese punto. En cualquier otro punto, la
función g es continua.
– 2 –1
1 2
5
4
3
2
1
x
y

42. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función h es continua en todo punto excepto en x = 2
donde es discontinuous porque:
– 2 –1 1 2
5
4
3
2
1
x
y

43. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función F is discontinuao en x = 0 porque el límite de F
no existe cuando x se aproxima a 0. En cualquier otro
punto, la función F es continua.
1
–1
x
y

44. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función G es discontinua en x = 0 porque el límite de G
no existe cuando x está próximo de 0. En cualquier otro
punto la función G es continua.
–1
x
y

45. Propiedades de las Funciones Continuas
1. La función constante f(x) = c es continua en todo punto.
2. La función identidad f(x) = x es continua en todo punto.
Si f y g are funciones continuas en x = a, entonces:
3. [f(x)]n, donde n es un número real, es continua en
x = a siempre que esté bien definida en x = a .
4. f ± g es continua en x = a.
5. fg es continua en x = a.
6. f /g es continua si g(a) ≠ 0.

46. Propiedades las funciones continuas.
◆ Usando las propiedades anterioes, se obtienen las
siguientes propiedades:
1. Una función polinomial y = P(x) es continua en todo
valor de x.
2. Una función racional R(x) = p(x)/q(x) es continua en
todo valor de x donde q(x) ≠ 0.

47. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función g es una función racional.
◆ Observe que el denominador de g nunca es igual a cero.
◆ Entonces, podemos concluir que g(x) es continua para todo
valor de x.

48. Ejemplos
◆ Encuentre los valores de x para los cuales la función es
continua:
Solución:
◆ La función h es una función racional.
◆ En este caso, observar que el denominador de h es igual a
zero en x = 1 y x = 2, que se obtienen al factorizar el
denominador.
◆ Entonces, podemos concluir que h(x) es continua en todo
punto excepto en x = 1 y x = 2.