Este documento define la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una dirección dada por un vector unitario. Explica que se considera un desplazamiento pequeño en esa dirección y se calcula el incremento en la función, definiendo la derivada direccional como el límite del cociente entre ese incremento y la distancia recorrida cuando la distancia tiende a cero. También resume propiedades como las reglas de la suma, factor constante, producto y cadena para derivadas direccionales. Finalmente, explica cómo generalizar el concepto a funciones de

2. Definición:
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde r0 en la dirección marcada
por v
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a
cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en
una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en
dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante
una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee
significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es
aplicable, pero la idea algebraica es la misma.

3. Una forma de determinar, para una función z = 𝑓(x, y) el aumento
en la dirección de un cierto vector u = (u1, u2) a partir del punto
genérico (𝑥, 𝑦) es a través de la recta:
𝐿 ℎ = 𝑥, 𝑦 + ℎ 𝑢1, 𝑢2 = (𝑥 + ℎ𝑢1, 𝑦 + ℎ𝑢2)
Situación que se muestra en la figura, de tal forma que si u =
(u1, u2) es unitario, es decir, 𝑢 = 1 se puede establecer el
cociente de diferencias de la función 𝑧 respecto del incremento en
la dirección de 𝑢.

4. Propiedades:
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones f y g
definidas en la vecindad de un punto ₱ , donde son diferenciables:
 Regla de la suma:
𝐷
𝑣
(𝑓 + 𝑔) = 𝐷
𝑣
𝑓 + 𝐷
𝑣
𝑔
 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒:
𝐷
𝑣
𝑐𝑓 = 𝑐𝐷
𝑣
f
donde c es cualquier constante
 Regla del producto (o regla de Leibniz):
𝐷
𝑣
𝑓𝑔 = 𝑔𝐷
𝑣
𝑓 + 𝑓𝐷
𝑣
𝑔
 Regla de la cadena: Si 𝑔 es diferenciable en el punto p y h es diferenciable
en 𝑔 ℎ entonces:
𝐷
𝑣
(ℎ 𝑜 𝑔)(𝑝) = ℎ′
(𝑔 𝑝 )𝐷
𝑣
𝑔(𝑝)

5. Campo vectorial:
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de ℝ 𝑚
+ℝ 𝑛
del tipo:
del tipo:
F: 𝐴 ⊂ ℝ 𝑚 ⊂ ℝ 𝑛
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:
Dv 𝐹 = lim
ℎ 0
𝐹 𝑥+ℎ𝑣 −𝐹(𝑥)
ℎ
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas
direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si
la función es diferenciable resulta que la aplicación:
𝑣 ⟼ 𝐷𝑣 𝐅
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
𝐷v = 𝑫𝐅 v

6. EJERCICIO