1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO «SANTIAGO MARIÑO»
SEDE BARCELONA
INGENERIA SISTEMAS
MATEMATICA III
Límite y Continuidad de Funciones de Varias
Variables
Bachiller :
Davinson García C.I: 19.184.885
Profesor :
Pedro Beltrán

2. Definición
• Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en ,
excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,
si para cada existe un tal que
siempre que Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier
punto en el disco de radio , el valor de esta entre y .

3. • Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se
aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento,
por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite
de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la
situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se
aproxime a desde un número infinito de direcciones y de
cualesquiera formas.
•
La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y . No
habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe,
entonces debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en
que (x, y) se aproxime a . Así pues, si podemos encontrar dos
diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las
cuales tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no
existe.
• Si conforme a lo largo de una trayectoria y conforme a lo largo de
una trayectoria ,donde , entonces el límite no existe.

4. Limites de una funcion de una variable

5. funciones de una variable,
𝑓: ℝ → ℝ
Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.
𝑓: ℝ2 → ℝ
Estas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y).
Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así
que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En
general, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado por
puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real
determinado.

6. Calcular
Solución:
Es indeterminado:
. Podemos convertirlo al tipo fracción racional para deshacer la indeterminación:
. que sigue siendo indeterminado. Dividimos numerador y denominador por elevado al
mayor exponente de ambos:
Ejemplos Limites de una funcion de una variable

7. • La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un
• conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos
• una función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de
• puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y).
Curvas y superficies de nivel

8. Ejemplos curvas de nivel

9. Grafica :

10. • CONTINUIDAD
• La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de
una variable real.Diremos que una función f es continua en un punto x0
cuando x0 ∈ Dom f, existe el límite de f en x0 (y es finito), y el valor de dicho límite
y el de f(x0) coinciden.
El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce
fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de
la función en el punto. .
Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la función no tiene saltos
repentinos. Cuando tratamos con subconjuntos de R, solo contamos con dos
direcciones mediante las cuales un punto puede ser aproximado: desde la
izquierda o desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la
situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles de
aproximación.

11. Ejemplo:
Consideramos la función:

13. Estudiar la continuidad de las funciones:
Ejemplo de continuidad
x y2
x2
  y
si (x, y)  (0,0)
; g(x,y)=
si (x,y)  (0,0)
si (x,y)  (0,0)
f(x,y)= 
x2
 y4 
x2
 y4




0 0 si (x,y)  (0,0)
x y2

si (x, y)  (0,0)
;
si (x,y)  (0,0)
a) f(x,y)= 
x 2
 y4


0
Límites reiterados en (0, 0):
lim lim f (x, y)  lim(0)  0
x0  y0  x0
limlim f (x, y) lim(0)  0
y0 x0
Límites radiales en (0, 0):
y0
m2
x3
m2
x 0
lim f (x, y)  lim  lim   0
x0 x2
 m4
x4 x0 1 m4
x2
1( x, y)0,0
ymx
Límite a lo largo de la parábola x=ay2
:
ay2
y2
a a
lim  lim  , que depende del valor de a.4 4 2 2
y0 ay  y y0 a 1 a 1
Luego no existe el límite lim f(x, y) y, por tanto, .
(x ,y)0,0
Si (x, y) ≠ (0, 0), f es continua en (x, y) por ser compuesta de funciones continuas.
f no es continua en (0, 0)

14. x2
 y
si (x,y)  (0,0)
 x2
 y4
0
b) g(x,y)=
si (x,y)  (0,0)
Límites reiterados en (0, 0):
lim lim g(x, y)  lim(0)  0
x0x0 
y0

lim lim g(x, y)  lim(0) 
0
y0 x0 y0
Límites radiales en (0, 0):
mx3
mx 0
lim g(x, y)  lim  lim   0
x0 x2
 m4
x4 x0 1 m4
x2
1(x,y)0
ymx
Luego de existir el límite, valdría 0. Pasando a polares, se obtiene:
lím g r cos , rsen  lím
r cos  rsen  0
2
r0
r cos 2
+ rsen
4
r0
¿Depende de α?
2
lim
r sencos 
 lim grhr,, siendo gr r una función que tiende
a
No, ya que
r0 cos2
  r2
sen4

r0
2
hr, 
sencos 
cero cuando r tiende a cero y una función acotada. En efecto:
cos2
  r 2
sen 4


15. Bibliografía
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Limites_y_continuid
ad_de_funciones_de_dos_variables.
http://html.rincondelvago.com/funciones-de-varias-variables.html
http://tallermatematic.eu/wp/?cat=17
https://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%204.p
df
http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node7.html